精品解析：广东省佛山市狮山镇初中2024～2025学年下学期期中教学质量监测试题 八年级数学试题

2024～2025学年度第二学期狮山镇初中期中教学质量监测试题 八年级数学 说明：本试卷共6页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 佛山是一座拥有千年文化传承和非遗艺术美丽的城市，常将几何韵律注入传统艺术，比如佛山醒狮、铜凿剪纸、祖庙建筑，顺德鱼灯等，下列哪件作品以中心对称之美诠释了“旋转生万象”的智慧，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集在数轴上可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，将点A（－2，3）向左平移3个单位长度后得到的点的坐标为（ ） A. （－5，3） B. （1，3） C. （－2，0） D. （－2，6） 5. 中，的对边分别为a、b、c，下列条件中，不能判断是直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中，的垂直平分线交于点，，，的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，一次函数y1＝x＋b与一次函数y2＝kx＋4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x＋b＞kx＋4的解集是（　　） A. x＞﹣2 B. x＞0 C. x＞1 D. x＜1 8. 如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB、AC于M、N，则△AMN的周长为（　　） A. 12 B. 10 C. 8 D. 不确定 9. 如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，与BC交于点E，分别以点E，C为圆心，大于EC的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC于点D．若∠B＝45°，AC＝，CD＝1，则AB的长度为（　　） A. 2 B. 2 C. 2 D. 3 10. 如图，点为等边三角形内的一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①点与点的距离为10；②绕点顺时针旋转会和重合；③；④，其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 写出满足的不等式的一个整数解______． 12. 等腰三角形的一边长是，另一边长是，则这个等腰三角形的周长为______． 13. 如果关于x的不等式的解集与的解集相同，则______． 14. 某种商品进价200元，标价300元出售，商场规定可以打折销售，但其利润不能少于．请你帮助售货员计算一下，此种商品最多__________折销售． 15. 已知一副直角三角板如图放置，其中BC＝6，EF＝8，把30°的三角板向右平移，使顶点B落在45°的三角板的斜边DF上，则两个三角板重叠部分（阴影部分）的面积为_____． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解不等式组：，并把它的解集表示在数轴上． 17. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．其中、、． （1）将沿轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的； （2）将绕着点顺时针旋转90°，画出旋转后得到的，、、的对应点分别是、、； （3）连，直接写出点、的坐标：______、：______． 18. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E．求BE的长． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 图1是一个平分角的仪器，其中． （1）如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边上，沿画一条射线，交于点P．是的平分线吗？请判断并说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作⊥于点Q，若，的面积是60，求的长． 20. 【问题背景】 2025年央视春晚节目《秧BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 素材1 若买1台A型机器人、3台型机器人，共需260万元； 若买3台A型机器人、2台型机器人，共需360万元． 素材2 A型机器人每台每天可分拣22万件； B型机器人每台每天可分拣18万件； 问题解决（1） 求A、两种型号智能机器人的单价； 问题解决（2） 现该企业准备用不超过700万元购买A、两种型号智能机器人共10台． 则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 21. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到△ACE． （1）求证：AE⊥BD； （2）若AD＝2，CD＝3，试求四边形ABCD的对角线BD的长． 五、解答题（三）：本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分． 22. 问题探究：同学们在学习了函数、方程与不等式的关系后，某学习小组同学想要研究不等式组的解集，请按照该组同学的探究思路完成以下问题： 首先令，再通过列表、描点、连线的方法作出该函数的图像并对其性质进行了探究． 如表y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 … y … 1 3 5 3 1 … （1）如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，请你画出该函数的图像；并观察函数的图像，当y随x的增大而减小时，x的取值范围是__________； （2）若，为该函数图像上不同的两点，则　 　； （3）当时，自变量x的取值范围是　 　； （4）定义，例如，，则函数的最大值为_________． 23. 按要求解答下列问题： （1）【问题初探】 在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，点D在边上，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F．求证：． ①如图2，小辉同学要证明，从而给出如下解题思路：过点E作交的延长线于点M． ②如图3，小光同学要证，从而给出如下解题思路：在上截取，连接． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． （2）【类比分析】 李老师发现之前两名同学都利用构造全等三角形，证明出特殊三角形，为了帮助学生更好地感悟构造全等三角形的方法，李老师提出下面的问题，请你解答． 如图4，在中，，点D，E在边上，，连接，点F在边上，连接，且．求证：． （3）【学以致用】 如图5，在中，，点D在边上，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F，连接，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第二学期狮山镇初中期中教学质量监测试题 八年级数学 说明：本试卷共6页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 佛山是一座拥有千年文化传承和非遗艺术美丽的城市，常将几何韵律注入传统艺术，比如佛山醒狮、铜凿剪纸、祖庙建筑，顺德鱼灯等，下列哪件作品以中心对称之美诠释了“旋转生万象”的智慧，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义．寻找对称中心是解题的关键； ‌中心对称图形则是指一个图形可以绕着一个点（‌对称中心）‌旋转，‌使得旋转前后的图形互相重合．‌根据中心对称的定义逐项判断即可． 【详解】A．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意； B．可以找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项符合题意； C．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意； D．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：B． 2. 不等式的解集在数轴上可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先按照移项，合并同类项的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 数轴表示不等式的解集如下： ， 故选：D； 3. 已知，下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、∵， ∴， 故A不符合题意； B、∵， ∴, 故B符合题意； C、∵， ∴， 故C不符合题意； D、∵， ∴不一定成立 故D不符合题意； 故选：B． 4. 在平面直角坐标系中，将点A（－2，3）向左平移3个单位长度后得到的点的坐标为（ ） A. （－5，3） B. （1，3） C. （－2，0） D. （－2，6） 【答案】A 【解析】 【分析】根据直角坐标系的坐标平移即可求解． 【详解】一个点向左平移之后的点的坐标，纵坐标不变，横坐标减3，即得到坐标(-5,3)， 故选：A． 【点睛】本题考查了点的平移的坐标特征，需熟记沿横轴平移，横坐标变化，沿纵轴平移纵坐标变化，沿正方向平移加，沿负方向平移减． 5. 中，的对边分别为a、b、c，下列条件中，不能判断是直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理的逆定理．利用勾股定理的逆定理可以判断AD；根据即可推出即可判断B；利用三角形内角和等于180度，即可求出，即可判断C． 【详解】解：A、∵在中，、、的对边分别为、、， ∴当，，时，， ∴此时是直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵， ∴即， ∴此时是直角三角形，故本选项不符合题意； C、∵，， ∴， ∴此时不是直角三角形，故本选项符合题意； D、∵，，， ∴， ∴此时是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 6. 如图，在中，的垂直平分线交于点，，，的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出，进而根据等腰三角形的性质和外角的性质得出，最后根据三角形内角和为180度求解即可． 【详解】∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 7. 如图，一次函数y1＝x＋b与一次函数y2＝kx＋4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x＋b＞kx＋4的解集是（　　） A. x＞﹣2 B. x＞0 C. x＞1 D. x＜1 【答案】C 【解析】 【详解】解：当x＞1时，x+b＞kx+4， 即不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1． 故选C． 8. 如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB、AC于M、N，则△AMN的周长为（　　） A. 12 B. 10 C. 8 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的定义可得∠ABE＝∠CBE，∠ACE＝∠BCE，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CBE＝∠BEM，∠BCE＝∠CEN，然后求出∠ABE＝∠BEM，∠ACE＝∠CEN，根据等角对等边可得BM＝ME，CN＝NE，然后求出△AMN的周长＝AB+AC． 【详解】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点E， ∴∠ABE＝∠CBE，∠ACE＝∠BCE， ∵MN∥BC， ∴∠CBE＝∠BEM，∠BCE＝∠CEN， ∴∠ABE＝∠BEM，∠ACE＝∠CEN， ∴BM＝ME，CN＝NE， ∴△AMN的周长＝AM+ME+AN+NE＝AB+AC， ∵AB＝AC＝4， ∴△AMN的周长＝6+4＝10． 故选B． 【点睛】考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟记各性质是解题的关键． 9. 如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，与BC交于点E，分别以点E，C为圆心，大于EC的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC于点D．若∠B＝45°，AC＝，CD＝1，则AB的长度为（　　） A. 2 B. 2 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由作图痕迹可知AD⊥BC，根据勾股定理即可求出AD的值，利用∠B＝45°确定△ABD是等腰直角三角形，再利用勾股定理求出AB长即可． 【详解】解：由作法得AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在Rt△ACD中，AD＝， ∵∠B＝45°， ∴∠BAD=180°-∠ADB-∠B=45°=∠B， ∴AD=BD， ∴△ABD为等腰直角三角形， ∴AB＝AD＝． 故选：B． 【点睛】本题考查了尺规作图，勾股定理，三角形内角和，等腰直角三角形，发现AD⊥BC是解题的关键． 10. 如图，点为等边三角形内的一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①点与点的距离为10；②绕点顺时针旋转会和重合；③；④，其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．连接，根据旋转的性质得，，可判断为等边三角形，则，可对①进行判断；由为等边三角形得到，，则把逆时针旋转后，与重合，与重合，于是可对②进行判断；再根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，则可对③进行判断；由于，利用等边三角形的面积公式和直角三角形面积公式计算后可对④进行判断． 【详解】解：①连接，如图， 线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段， ，， 为等边三角形， ，所以①正确； ②为等边三角形， ，， 把逆时针旋转后，与重合，与重合， 绕点顺时针旋转会和重合，所以②正确； ③由②可知；， ， 在中， ， ， 为直角三角形， ， 即，所以③正确； ④，所以④正确． 综上，①②③④都是正确的， 故选：D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 写出满足的不等式的一个整数解______． 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 首先求出不等式的解集，然后求出整数解即可． 【详解】解： 移项得， 合并同类项得， ∴满足不等式的整数解x的值为3（答案不唯一）． 故答案为：3（答案不唯一）． 12. 等腰三角形的一边长是，另一边长是，则这个等腰三角形的周长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：分两种情况： 当腰为时，，所以不能构成三角形； 当腰为时，，所以能构成三角形，周长是：． 故答案为：12． 13. 如果关于x的不等式的解集与的解集相同，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式、解一元一次方程，先分别解一元一次不等式，再根据不等式的解集相同可得，即可求解． 【详解】解：， 解得， ， 解得， ∵关于x的不等式的解集与的解集相同， ∴， 解得， 故答案为：2． 14. 某种商品进价200元，标价300元出售，商场规定可以打折销售，但其利润不能少于．请你帮助售货员计算一下，此种商品最多__________折销售． 【答案】##七 【解析】 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是：根据利润的要求，列出相关的关系式，从而求解． 设打折销售，根据题目意思，列出关于的不等式进行求解即可． 【详解】解：设打折销售，则售价为元，利润为元， 由题意得：， 解得：， 此种商品可以按最多打7折销售， 故答案为：7． 15. 已知一副直角三角板如图放置，其中BC＝6，EF＝8，把30°的三角板向右平移，使顶点B落在45°的三角板的斜边DF上，则两个三角板重叠部分（阴影部分）的面积为_____． 【答案】12﹣ 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得CF＝BC＝6，然后求出EC的长，再根据锐角三角函数即可求出AC的长，再利用锐角三角函数求出EG的长，最后根据梯形的面积公式计算即可． 【详解】解：在直角△BCF中， ∵∠F＝45°，BC＝6， ∴CF＝BC＝6． 又∵EF＝8， 则EC＝2． 在直角△ABC中， ∵BC＝6，∠A＝30°， ∴AC＝＝6， 则AE＝6﹣2，∠A＝30°， ∴EG＝AE·tanA＝6﹣， 阴影部分的面积为：（EG+BC）•EC＝×（6﹣+6）×2＝12﹣． 故答案是：12﹣． 【点睛】此题考查的是等腰直角三角形的性质、锐角三角函数和求梯形的面积，掌握等腰直角三角形的性质、利用锐角三角函数解直角三角形和梯形的面积公式是解决此题的关键． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解不等式组：，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】， 数轴表示如下所示： 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 17. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．其中、、． （1）将沿轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的； （2）将绕着点顺时针旋转90°，画出旋转后得到的，、、的对应点分别是、、； （3）连，直接写出点、的坐标：______、：______． 【答案】（1）如图，△A1B1C1即为所求作． （2）如图，△A2B2C2即为所求作． （3），． 【解析】 【分析】（1）根据平移方式分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可． （2）根据旋转的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可． （3）根据点的位置直接写出坐标即可． 【详解】解：（1） 略 （2） 略 （3）B2、C2的坐标分别为：（4，﹣2），（1，﹣3）． 故答案为：（4，﹣2），（1，﹣3）． 【点睛】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，熟练运用所学知识解决问题． 18. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E．求BE的长． 【答案】 【解析】 【分析】利用AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，得到，，得到△CAD≌△EAD，得到AC=AE，再用勾股定理求出AB即可得到答案． 【详解】∵∠C=90°，DE⊥AB ∴ ∵ AD平分∠ CAB， ∴ 又∵AD=AD ∴ △CAD≌△EAD（AAS） ∴ AE=AC=1 在Rt△ACB中，由勾股定理得 ∴ 【点睛】本题考查全等三角形的判定定理、勾股定理的应用，证明出△CAD≌△EAD是关键． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 图1是一个平分角的仪器，其中． （1）如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边上，沿画一条射线，交于点P．是的平分线吗？请判断并说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作⊥于点Q，若，的面积是60，求的长． 【答案】（1） 是的平分线 理由如下： 在和中， ， ∴ ∴， ∴平分． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等的判定方法及角平分线的性质，能够熟练运用角平分线的性质得到高的长度是解题关键． （1）利用三条对应边相等证明来得到即可． （2）利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到的高，再运用割补法及面积计算公式解题即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ∵平分，， ∴的高等于， ∵． ∴， ∵ ∴． 20. 【问题背景】 2025年央视春晚节目《秧BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 素材1 若买1台A型机器人、3台型机器人，共需260万元； 若买3台A型机器人、2台型机器人，共需360万元． 素材2 A型机器人每台每天可分拣22万件； B型机器人每台每天可分拣18万件； 问题解决（1） 求A、两种型号智能机器人的单价； 问题解决（2） 现该企业准备用不超过700万元购买A、两种型号智能机器人共10台． 则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 【答案】问题解决（1）A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； 问题解决（2）选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组，一元一次不等式的应用是解题的关键． （1）设型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元，根据题意列出方程组，计算结果即可； （2）设购买型智能机器人台，则购买型智能机器人台，先求出的取值范围，再得出每天分拣快递的件数，当取得最大值时，每天分拣快递的件数最多． 【详解】（1）解：设型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元， ，解得， 答：型智能机器人的单价为80万元，型智能机器人的单价为60万元； （2）A型智能机器人台，则购买型智能机器人台， ， ， 每天分拣快递的件数， 当时，每天分拣快递的件数最多为万件， 选择购买型智能机器人台，购买型智能机器人台． 21. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到△ACE． （1）求证：AE⊥BD； （2）若AD＝2，CD＝3，试求四边形ABCD的对角线BD的长． 【答案】 (1)如图，设AC与BD的交点为点M，BD与AE的交点为点N， ∵旋转 ∴AC=BC，∠DBC=∠CAE 又∵∠ABC=45°， ∴∠ABC=∠BAC=45°， ∴∠ACB=90°， ∵∠DBC+∠BMC=90° ∴∠AMN+∠CAE=90° ∴∠AND=90° ∴AE⊥BD， （2） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得AC=BC，∠DBC=∠CAE，即可得∠ACB=90°，根据直角三角形的性质可得AE⊥BD， （2）由旋转的性质可得CD=CE=3，BD=AE，∠DCE=∠ACB=90°，由勾股定理可求BD的长． 【详解】（1）略 （2）如图，连接DE， ∵旋转 ∴CD=CE=3，BD=AE，∠DCE=∠ACB=90° ∴DE==3，∠CDE=45° ∵∠ADC=45° ∴∠ADE=90° ∴EA== ∴BD=. 【点睛】此题考查旋转的性质，勾股定理，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键． 五、解答题（三）：本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分． 22. 问题探究：同学们在学习了函数、方程与不等式的关系后，某学习小组同学想要研究不等式组的解集，请按照该组同学的探究思路完成以下问题： 首先令，再通过列表、描点、连线的方法作出该函数的图像并对其性质进行了探究． 如表y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 … y … 1 3 5 3 1 … （1）如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，请你画出该函数的图像；并观察函数的图像，当y随x的增大而减小时，x的取值范围是__________； （2）若，为该函数图像上不同的两点，则　 　； （3）当时，自变量x的取值范围是　 　； （4）定义，例如，，则函数的最大值为_________． 【答案】（1）函数的图像如图的所示， （2） （3）或 （4）1． 【解析】 【分析】（1）用描点法作出函数的图像；再根据图像性质求解即可； （2）把，代入，求解即可； （3）利用图像法，根据（1）中所画函数图像求解即可； （4）分三种情况：当 时，；当时，；当时，；分别 求出函数最大值即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：把，分别代入，得 ，则， 解得：， ∵，为该函数图像上不同的两点， ∴； 【小问3详解】 解：由图像可得：当时，自变量x的取值范围是或； 【小问4详解】 解：由图像可得： 当 时，，当时，y的最大值为； 当时，，当时，y的最大值为1； 当时，，当时，y的最大值为1； 综上， y的最大值为1． 【点睛】本题考查作函数图像，利用图像法求解问题，新定义问题，熟练掌握用描点法作函数图像和利用图像法解决问题是解题的关键． 23. 按要求解答下列问题： （1）【问题初探】 在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，点D在边上，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F．求证：． ①如图2，小辉同学要证明，从而给出如下解题思路：过点E作交的延长线于点M． ②如图3，小光同学要证，从而给出如下解题思路：在上截取，连接． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． （2）【类比分析】 李老师发现之前两名同学都利用构造全等三角形，证明出特殊三角形，为了帮助学生更好地感悟构造全等三角形的方法，李老师提出下面的问题，请你解答． 如图4，在中，，点D，E在边上，，连接，点F在边上，连接，且．求证：． （3）【学以致用】 如图5，在中，，点D在边上，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F，连接，求的面积． 【答案】（1）解：选择小辉同学的解题思路． 证明：如图2，过作交的延长线于， ， ， ，， ． 将线段绕点顺时针旋转得到线段， ， ，，， ， ，． ， ， ， ， ， ， ． ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ． 选择小光同学的解题思路． 证明：如图3，在上截取，连接． ， ， ． ， ，即． ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ． ， ， ； （2） 证明：如图4，过作于，过作于． ，， ， ，，， ， ，． ，，， ，， ， ． 在和中， ， ， ． ，， ， ，， ， ，即， ； （3） 【解析】 【分析】（1）①选择小辉同学的解题思路，证明，再证出为等腰直角三角形，最后根据勾股定理可得，即可得出结论；②选择小光同学的解题思路，证明，再根据勾股定理可得，即可得出结论； （2）过作于，过作于，证明，得到，；再证明，即可得出结论； （3）在边上截取，连接，过作于，可得，证明，，根据含角直角三角形的性质得到的长，再根据勾股定理算出，即可求出面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图5，在边上截取，连接，过作于， 由题意得，，． ， ． ，， ∴， ， 在和中， ，，， ， ． ，， ， ， ， ． 又， ，， ． ，， ， 根据勾股定理得，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $