精品解析：2025年四川省成都市邛崃市九年级中考二模考试数学试题

九年级下期模拟考试 数 学 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”． 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 如果收入元记作元，那么支出元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的知识点是相反意义的量，解题关键是熟练掌握“相反意义的量的表示”． 根据正负数的含义，可得：收入记住“”，则支出记作“”，据此求解即可． 【详解】解：收入元记作元， 支出元记作元． 故选：． 2. 某半导体公司研发了一款新型存储芯片，部分参数如下：晶体管栅极宽度米；单个芯片面积：2.5平方毫米；集成元件数量80亿个；光刻工艺线宽误差：米．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，确定和的值是解题关键．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解： 故选：A． 3. 下列运算结果错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、单项式乘以单项式、积的乘方、同底数幂的除法进行计算即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：A. ，故该选项正确，不符合题意； B. ，故该选项正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，符合题意； D. ，故该选项正确，不符合题意； 故选：C． 4. 如图所示（易拉罐的上下底面互相平行），用吸管吸易拉罐内的饮料时，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，根据平行线的性质可得，进而根据对顶角相等，即可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴ 故选：B． 5. 某科技论坛对 、豆包、腾讯元宝、夸克四款助手中某一项功能的月度用户评分进行了统计，数据如下表所示（单位：分）： 助手 评分（满分） 豆包 腾讯元宝 夸克 评分的众数和中位数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查众数和中位数，掌握众数和中位数，会求众数与中位数，特别注意中位数除排序外还要根据数据的个数是奇与偶来计算是关键．将题目中4个数据按照从小到大的顺序排列，即可得到这组数据的众数与中位数． 【详解】解：数据：，，，按照从小到大排列是：，，，， 出现次数最多， 故这组数据的众数是，中位数是， 故选：D． 6. 如图，为直径，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理的推论，连接，得出，进而可得，根据同弧所对的圆周角相等，即可求解． 【详解】解：连接，如图 是的直径， ， ， ， ． 故选：C． 7. 《九章算术》中有这样一个数学问题：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”翻译为：“今有五只雀、六只燕，分别称重时，五只雀比六只燕重；若交换一只雀和一只燕，两边重量相等．五只雀和六只燕共重1斤．问每只雀、燕各重多少斤？”（注意：古代1斤=16两）设每只雀x斤，每只燕y斤，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列二元一次方程组，设每只雀x斤，每只燕y斤，根据题意列方程组，即可求解． 【详解】解：设每只雀x斤，每只燕y斤， 交换一只雀和一只燕，两边重量相等，则，即， 五只雀和六只燕共重1斤，即， 所以 故选：B． 8. 某同学用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格，请你根据获得的信息分析下列四个结论，其中正确的是（ ） A. 对称轴为 B. 关于的一元二次方程只有一个根 C. 当时，随的减小而减小 D. 二次函数图象的顶点坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征以及抛物线与轴的交点问题；根据表格数据求得二次函数的解析式，逐项分析，即可求解． 【详解】解：将代入，得， 解得： ∴二次函数解析式为，顶点坐标为，故D正确 ∴抛物线的对称轴为直线，故A不正确； 当时，，，的一元二次方程有两个不等实数根，故B不正确， ∵，对称轴为直线，当时，随的减小而减小，故C不正确, 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用提公因式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．提公因式即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 10. 如图，在中，，且，若的面积为，则四边形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，先证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解题． 【详解】解： ， ， ， ， 四边形的面积 故答案为：． 11. 一个不透明的口袋中有红球10个、黑球若干个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程1000次，发现有400次摸到红球，估计口袋中有黑球________个． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查由频率估计概率，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．设这个口袋中黑球的数量为个，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：设这个口袋中黑球的数量为个， 解得： 经检验是原方程的解， 故答案为：． 12. 点，都在函数的图象上，且，则________（填“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数性质，根据反比例函数的性质可以确定双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，从而得出答案． 【详解】解：函数中，， 函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大， ， 在第四象限，B在第二象限， ， ， 故答案为：． 13. 如图，在中，，过点C作，再分别以点B和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线分别交，，于点D，O，E，连接，若，，则的长为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质、菱形的判定与性质，连接，根据勾股定理求出，由题意可知，为线段的垂直平分线，则，，，根据得，根据证明，可得出；由得，由，得，可得出，得出，由勾股定理得出． 【详解】解：连接，如图， 在中，，，， ． 由题意可知，为线段的垂直平分线，则，，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， 又， ∴ ∴， 在中，， 故答案为：3． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. 计算与解不等式组 （1）计算：； （2）解不等式组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的知识点是求一个数的立方根、负整数指数幂、零指数幂、求一个数的绝对值、实数的混合运算、解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握相关运算法则． （1）先根据求一个数的立方根、负整数指数幂、零指数幂、求一个数的绝对值计算，再结合实数的混合运算法则即可得解； （2）分别解出不等式①、②后，找出共同解集即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：解不等式①，， ， 得， 解不等式②，， 得， 不等式组的解集为． 15. 交通道路的不断完善带动了旅游业的发展，某县旅游景区有，，，，等著名景点，该县旅游部门统计绘制出2025年“五·一”长假期间旅游情况统计图，根据以下信息解答下列问题： （1）2025年“五·一”期间，该县周边景点共接待游客________千人，扇形统计图中E景点所对应的圆心角的度数是________度，并补全条形统计图； （2）根据近几年到该县旅游人数的增长趋势，预计2026年“五·一”节将有7万游客选择该县旅游，请估计有多少万人会选择去景点旅游？ （3）请用画树状图或列表的方法计算在，，三个景点中，甲、乙两个旅行团同时选择去同一个景点的概率． 【答案】（1）， （2）估计有万人会选择去景点旅游 （3） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图，数形结合是解题的关键； （1）根据景点的人数以及百分表进行计算即可得到该市周边景点共接待游客数；先求得景点所对应的圆心角的度数，再根据扇形圆心角的度数部分占总体的百分比进行计算即可；根据景点接待游客数补全条形统计图； （2）根据景点接待游客数所占的百分比，即可估计2026年“五·一”节选择去景点旅游的人数； （3）根据甲、乙两个旅行团在、、三个景点中各选择一个景点，画出树状图，根据概率公式进行计算，即可得到同时选择去同一景点概率． 【小问1详解】 解：该市周边景点共接待游客数为：（千人）， 景点所对应的圆心角的度数是：， 景点接待游客数为：（千人）， 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 ∵景点接待游客数所占的百分比为：， ∴估计2026年“五·一”节选择去景点旅游人数约为：（万人）； 【小问3详解】 画树状图可得： ∵共有9种可能出现的结果，这些结果出现的可能性相等，其中同时选择去同一个景点的结果有3种， ∴同时选择去同一个景点的概率． 16. 如图1是近几年热门的中小学生课桌椅，其椅子可实现坐直和躺睡两种状态，根据人体工学原理，当椅背与凳面在160度左右时，人体会感到舒适，可进一步提高学生午休的睡眠质量．如图2是该椅子在躺睡状态时的截面图：点E，F均在所在的直线上，若，凳面，凳面始终与地面平行，腿托，椅背，，，，请求出此时躺椅在地面的水平长度投影EF的长．（结果精确到；参考数据：，） 【答案】躺椅在地面的水平长度投影约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，矩形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点A作，交其延长线于点G，过点B作于点T，根据题意可得四边形是矩形，利用平行线的性质得到，利用三角函数求出的长，根据，求出结果． 【详解】解：过点A作，交其延长线于点G，过点B作于点T， ∵凳面始终与地面平行，，， ∴G，A，B，T四点共线，四边形是矩形， ∴， ∵，， ， ∴， 在中，，， ， ， 又∵， ∴， 在中，，， ， ， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴躺椅在地面的水平长度投影约为． 17. 如图，在四边形中，，，且，以为直径的与边相切于点，交于点，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）的半径为13 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）连接，，先证明，根据圆内接四边形对角互补，可得，结合公共角，即可证明； （2）连接，，相交于点，根据同弧所对的圆周角相等得，结合已知以及正弦的定义得出，设，则，，证明根据相似三角形的性质求得的值，即可求解． 【小问1详解】 证明：连接，， 切于点， ， ， 为的直径， ， ， 又， ， ， 又，，，四点共圆， ∴， ∵， ， 又， ； 【小问2详解】 连接，，相交于点， 是的直径， ， ， ， ， 又， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， 设，则，， ，， ， ， ， ， ， ， 舍去，， ， 的半径为． 18. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于A，B两点，点B的纵坐标为3 （1）求点A的坐标和k的值； （2）如图2，点C在反比例函数的图象上，且在点B的左侧，连接并延长交x轴于点D，连接，，若，求的面积； （3）若点P是坐标轴上的点，点Q是平面内一点，是否存在点P，Q，使得四边形是矩形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）9 （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）先求出点的坐标，再根据点的坐标即可求得；由与的图象的交点关于原点对称可得点的坐标； （2）由推得，设，则，再由点在的图象上可求得点坐标，从而可由得解； （3）由直线的解析式求出过点且与垂直的直线的解析式，可得直线与轴的交点及直线与轴的交点坐标，这两点即为点，再结合矩形性质、利用点的平移即可求解对应的点坐标． 【小问1详解】 解：直线与反比例函数的图象相交于，两点，点的纵坐标为， ∴， ∴， 点的坐标为， ， ， 与的图象的交点关于原点对称， 点与点关于原点对称， ； 【小问2详解】 解：，， ， 又， ， ， 设，则， 又在的图象上， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：存在点，，使得四边形是矩形，理由如下： 设直线的解析式为，把代入， 则， 直线的解析式为， 设过点且与垂直的直线交y轴于点E，作轴于点N，作于点M， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ，即 设过点且与垂直的直线的解析式为， 将代入可得 ∴， 直线解析式为， 当时，， 直线与轴的交点为，直线与轴的交点为（与点E重合）， 四边形是矩形， ，且， ∴点向点的平移方式与点向点的平移方式与距离一样， ∵，，， ∴； 当时，同理可得． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数与反比例函数综合、相似三角形的判定与性质，平移的性质、矩形的性质，解题关键是分类讨论找出对应点，坐标． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 如图，将绕点顺时针旋转，得到，且点的对应点恰好落在上，则的度数为________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等角对等边，三角形的内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转得，，根据等角对等边以及三角形的内角和定理，可得，进而根据领补角的定义即可求解． 【详解】解：由旋转得，， ∴ ∴ 故答案为：． 20. 若点是直线与双曲线的交点，则代数式的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，反比例函数与一函数交点问题，根据题意可得，代入代数式，即可求解． 【详解】解：，根据题意可得， ∴， ∴ 故答案为：． 21. 如图，在等腰中，，．以点为圆心，的长为半径作；再以为直径作，向该图形随机投掷飞镖，每次飞镖都落在图形上，则飞镖落在阴影部分的概率为________（用含的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】作于点，设，由垂径定理、三线合一定理及解直角三角形的相关计算表示出，，再分别列代数式表示和，飞镖落在阴影部分的概率即为． 【详解】解：作于点， ， ， ， 设，则，， ， ， ， ， ， 飞镖落在阴影部分的概率为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是垂径定理、三线合一定理、解直角三角形的相关计算、扇形面积公式、几何概率，解题关键是理解飞镖落在阴影部分的概率即为阴影部分面积占图形总面积的比值． 22. 某数学学习小组在综合实践《猜想、证明、拓广》中探究了矩形的“减半”问题，课后对其他问题进行探究，发现当已知矩形的相邻两边分别为和，和，和，和，和，和，和，和时，都不存在这样的矩形，它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的；当已知矩形的相邻两边分别为和时，他们发现存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的，请你帮助他们写出这个矩形较短边的长为________；当已知矩形的长和宽分别为和时，若存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的，则和应满足的关系式为________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意得出设所求的矩形的两边分别是和，根据题意列出方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：设所求的矩形的两边分别是和，由题意得方程组 解得：或 这个矩形较短边的长为 当已知矩形的长和宽分别为和时，由题意得方程组 ∴ 即 ∵存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的， ∴方程有实数根， ∴ 即 ∴ 故答案为：． 23. 如图，在矩形中，点为矩形对角线的中点，点为上一点，点为射线上一点，若，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将逆时针旋转得到，那么是等腰直角三角形，那么，那么那么当、、三点共线时，最短，且等于，此时在的延长线上，延长，连接，作的垂直平分线交于点，那么，先证明，得到，可证为等边三角形，接着通过证明，推出落在上，不妨设，那么，，通过算得，接着利用，算得，从而得到，最后利用算得的最小值． 【详解】解：将逆时针旋转得到，那么是等腰直角三角形，， 由题意可知，，那么， 那么当、、三点共线时，最短，且等于，此时在的延长线上，如图所示： 当点在的延长线时， 延长，连接，作的垂直平分线交于点，那么，连接，如图所示： ，，， ， ，， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 落在上， 不妨设，那么， ， 在矩形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 最小值为． 故答案：． 【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点作出合适的辅助线是解题的关键． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 年春节，随着电影《哪吒》的爆火，某超市计划购进“哪吒”和“敖丙”两款手办进行销售．经了解每个“哪吒”手办的进价比每个“敖丙”手办的进价多元，用元购进“哪吒”手办的个数与用元购进“敖丙”手办的个数相同． （1）单个“哪吒”手办和单个“敖丙”手办的进价分别是多少元？ （2）该超市计划购进这两种手办共个，其中“哪吒”手办的个数不低于“敖丙”手办个数的一半，若“敖丙”手办、“哪吒”手办的售价分别为元/个、元/个．设购进“敖丙”手办的个数为个，两种手办全部售完时获得的利润为元．问超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】（1）单个“敖丙”手办的进价是元，单个“哪吒”手办的进价是元． （2）超市应进“敖丙”手办个，“哪吒”手办个，才能获得最大利润，最大利润为元． 【解析】 【分析】（1）设单个“敖丙”手办的进价是元，则单个“哪吒”手办的进价是元，根据题意列出分式方程后求解即可，注意检验； （2）由题意得，解出的取值范围，再由题意得出关于的关系式，分析该式，结合的取值范围即可得解． 【小问1详解】 解：设单个“敖丙”手办的进价是元，则单个“哪吒”手办的进价是元， 据题意得，， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， ， 单个“敖丙”手办的进价是元，单个“哪吒”手办的进价是元． 【小问2详解】 解：据题意得， 解得， ， ， 随的增大而增大， 又，为整数，且两种手办都有， 时，（元）， 此时， 超市应进“敖丙”手办个，“哪吒”手办个，才能获得最大利润，最大利润为元． 【点睛】本题考查的知识点是分式方程的实际应用、一元一次不等式的实际应用、一次函数的实际应用，解题关键是正确理解题意． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点，与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点．连接，作射线，且． （1）求抛物线（）的表达式； （2）点是射线下方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交线段于点．点是线段上一动点，轴于点，点为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； （3）将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（）中线段长度取得最大值时的点，且与射线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点T的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用正切函数求得，得到，再利用待定系数法即可求解； （2）求得，利用待定系数法求得直线解析式，设（），则，当时，最大，此时，将线段向左平移个单位得到，则，当三点共线时最小，即最小，最小值为的长度，则的最小值为； （3）根据（2）可得，再利用平移的性质得到新抛物线的解析式，再分两种情况讨论，计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，则， ∴， ∴， 将和代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：令，则， 解得或， ∵， 则 设直线的解析式为， 代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 设（），则， ∴， ∵， ∴当时，最大，此时， ∵点是线段上一动点，轴于点， ∴当线段长度取得最大值时， ∵，，点为线段的中点， ∴ 将线段向左平移个单位得到，则 当三点共线时最小，即最小，最小值为的长度； ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：由（2）得， ∴新抛物线由向左平移个单位，向上平移个单位得到， ∴， 过点作交抛物线于点， ∴， 同理求得直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为，代入 ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立得， 解得，， 当时，， ∴， 联立直线和抛物线解析式可得 解得：， 当时，， ∴ ∴轴， 又∵ ∴ ∴ 作关于直线的对称点，连接交于点 ∴ ∵ ∴ ∵，， ∴将点向左平移个单位再向下平移个单位，得 同理直线的解析式为， 联立， 解得或， 当时，， ∴， 综上，符合条件的点T的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合问题，考查二次函数的图象及性质，待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，平移的性质，数形结合是解题的关键． 26. 在平行四边形中，，点是对角线上一动点（点不与点，点重合），点是边上一动点（点不与点，点重合），且，连接，． （1）将沿对角线翻折后，发现点与点重合，连接，且与交于点，如图所示，求证：； （2）如图2所示，在（1）的条件下，当点，点移动到某个位置时，连接，若，点在线段上，且．求证：是线段中点； （3）如图3所示，在（1）的条件下，分别取，的中点，，连接交于点，若，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）或，见解析 【解析】 【分析】（1）根据翻折的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，证明得出，进而根据三角形的外角的性质得出，进而证明； （2）延长至点，使，连接，，证明，进而根据含度角的直角三角形的性质得出，设，则，，过点作于点，过点作于点，过点作于点，勾股定理求得设，则，勾股定理求得，根据，利用余弦的定义得出，进而勾股定理求得的长，求得，即可求解． （3）延长至点使，连接，，取中点，连接，，，证明是等边三角形，证明，得出，根据，，等量代换可得． 【小问1详解】 证明：由翻折可知， 又∵四边形是平行四边形，， ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 证明：延长至点，使，连接，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， 设，则，， 在图中，过点作于点，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∴，，， ∴， 设，则，由勾股定理可得， ，， ∴， ∴， 解得，即， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴是线段的中点； 【小问3详解】 解：或， 理由如下： 延长至点使，连接，， 取中点，连接，，， 由（）得， 是等边三角形， ，分别是，的中点，， ， ， 是等边三角形， 在中， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵分别是的中点， ∴即 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴， 又， 垂直平分， ， ， 又， ， 又， ， ， ， 又，有， ，， ， ， 又，， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的性与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正弦的定义，折叠的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级下期模拟考试 数 学 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”． 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 如果收入元记作元，那么支出元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 某半导体公司研发了一款新型存储芯片，部分参数如下：晶体管栅极宽度米；单个芯片面积：2.5平方毫米；集成元件数量80亿个；光刻工艺线宽误差：米．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算结果错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示（易拉罐的上下底面互相平行），用吸管吸易拉罐内的饮料时，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 某科技论坛对 、豆包、腾讯元宝、夸克四款助手中某一项功能的月度用户评分进行了统计，数据如下表所示（单位：分）： 助手 评分（满分） 豆包 腾讯元宝 夸克 评分的众数和中位数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 如图，为直径，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》中有这样一个数学问题：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”翻译为：“今有五只雀、六只燕，分别称重时，五只雀比六只燕重；若交换一只雀和一只燕，两边重量相等．五只雀和六只燕共重1斤．问每只雀、燕各重多少斤？”（注意：古代1斤=16两）设每只雀x斤，每只燕y斤，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 某同学用描点法画二次函数图象时，列出了下面的表格，请你根据获得的信息分析下列四个结论，其中正确的是（ ） A. 对称轴为 B. 关于的一元二次方程只有一个根 C. 当时，随的减小而减小 D. 二次函数图象的顶点坐标为 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 因式分解：________． 10. 如图，在中，，且，若面积为，则四边形的面积为________． 11. 一个不透明的口袋中有红球10个、黑球若干个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程1000次，发现有400次摸到红球，估计口袋中有黑球________个． 12. 点，都在函数的图象上，且，则________（填“”或“”）． 13. 如图，在中，，过点C作，再分别以点B和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线分别交，，于点D，O，E，连接，若，，则的长为________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. 计算与解不等式组 （1）计算：； （2）解不等式组： 15. 交通道路的不断完善带动了旅游业的发展，某县旅游景区有，，，，等著名景点，该县旅游部门统计绘制出2025年“五·一”长假期间旅游情况统计图，根据以下信息解答下列问题： （1）2025年“五·一”期间，该县周边景点共接待游客________千人，扇形统计图中E景点所对应的圆心角的度数是________度，并补全条形统计图； （2）根据近几年到该县旅游人数的增长趋势，预计2026年“五·一”节将有7万游客选择该县旅游，请估计有多少万人会选择去景点旅游？ （3）请用画树状图或列表的方法计算在，，三个景点中，甲、乙两个旅行团同时选择去同一个景点的概率． 16. 如图1是近几年热门的中小学生课桌椅，其椅子可实现坐直和躺睡两种状态，根据人体工学原理，当椅背与凳面在160度左右时，人体会感到舒适，可进一步提高学生午休的睡眠质量．如图2是该椅子在躺睡状态时的截面图：点E，F均在所在的直线上，若，凳面，凳面始终与地面平行，腿托，椅背，，，，请求出此时躺椅在地面的水平长度投影EF的长．（结果精确到；参考数据：，） 17. 如图，在四边形中，，，且，以为直径的与边相切于点，交于点，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 18. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于A，B两点，点B的纵坐标为3 （1）求点A的坐标和k的值； （2）如图2，点C在反比例函数的图象上，且在点B的左侧，连接并延长交x轴于点D，连接，，若，求的面积； （3）若点P是坐标轴上的点，点Q是平面内一点，是否存在点P，Q，使得四边形是矩形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 如图，将绕点顺时针旋转，得到，且点对应点恰好落在上，则的度数为________度． 20. 若点是直线与双曲线的交点，则代数式的值为________． 21. 如图，在等腰中，，．以点为圆心，的长为半径作；再以为直径作，向该图形随机投掷飞镖，每次飞镖都落在图形上，则飞镖落在阴影部分的概率为________（用含的代数式表示）． 22. 某数学学习小组在综合实践《猜想、证明、拓广》中探究了矩形的“减半”问题，课后对其他问题进行探究，发现当已知矩形的相邻两边分别为和，和，和，和，和，和，和，和时，都不存在这样的矩形，它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的；当已知矩形的相邻两边分别为和时，他们发现存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的，请你帮助他们写出这个矩形较短边的长为________；当已知矩形的长和宽分别为和时，若存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的，则和应满足的关系式为________． 23. 如图，在矩形中，点为矩形对角线的中点，点为上一点，点为射线上一点，若，，则的最小值为________． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 年春节，随着电影《哪吒》的爆火，某超市计划购进“哪吒”和“敖丙”两款手办进行销售．经了解每个“哪吒”手办的进价比每个“敖丙”手办的进价多元，用元购进“哪吒”手办的个数与用元购进“敖丙”手办的个数相同． （1）单个“哪吒”手办和单个“敖丙”手办的进价分别是多少元？ （2）该超市计划购进这两种手办共个，其中“哪吒”手办个数不低于“敖丙”手办个数的一半，若“敖丙”手办、“哪吒”手办的售价分别为元/个、元/个．设购进“敖丙”手办的个数为个，两种手办全部售完时获得的利润为元．问超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点，与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点．连接，作射线，且． （1）求抛物线（）的表达式； （2）点是射线下方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交线段于点．点是线段上一动点，轴于点，点为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； （3）将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（）中线段长度取得最大值时的点，且与射线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 26. 在平行四边形中，，点对角线上一动点（点不与点，点重合），点是边上一动点（点不与点，点重合），且，连接，． （1）将沿对角线翻折后，发现点与点重合，连接，且与交于点，如图所示，求证：； （2）如图2所示，在（1）的条件下，当点，点移动到某个位置时，连接，若，点在线段上，且．求证：是线段中点； （3）如图3所示，在（1）的条件下，分别取，的中点，，连接交于点，若，试猜想与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$