精品解析：广东省惠州五中教育集团2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷

2024-2025学年广东省惠州五中教育集团八年级（下）期中数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 成立的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件， 根据二次根式有意义的条件可得出， 解一元一次不等式即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知：， 解得∶， 故选：B. 2. 下列条件中，能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理．根据直角三角形的判定可判断选项A和B，C选项中根据三角形的内角和定理以及三个角的比例关系可求出为，根据勾股定理的逆定理可判断选项D，即可得出答案． 【详解】解：A、由无法得到为直角三角形，故本选项不符合题意； B、，， ，无法得到为直角三角形，故本选项不符合题意； C、，， 最大角， 是直角三角形，故本选项符合题意； D、，，，， ， 不是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：C． 3. 小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图1），测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图2），，则图2中对角线的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，勾股定理，等边三角形性质和判定，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． 根据正方形的性质以及勾股定理可得，记交于点，根据菱形的性质结合可得，再利用勾股定理计算，即可解题． 【详解】解：正方形对角线， ， ， 又菱形中，记交于点， ，于点，，，且为等边三角形， ， ， ， ． 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算．熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 根据二次根式运算的法则对各选项进行逐一计算即可． 【详解】解：A、无意义，原题错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意． 故选：C． 5. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形面积=对角线乘积的一半可求BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AO=CO=6，BO=DO，S菱形ABCD= =48， ∴BD=16， ∵DH⊥AB，BO=DO=8， ∴OH=BD=4． 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是灵活运用这些性质解决问题． 6. 正方形具有而菱形不具有的性质是（　　） A. 对角线互相平分 B. 每一条对角线平分一组对角 C. 对角线相等 D. 对边相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质以及菱形的性质即可判断． 【详解】解：正方形和菱形都满足：四条边都相等，对角线平分一组对角，对角线垂直且互相平分； 菱形的对角线不一定相等，而正方形的对角线一定相等． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形与菱形的性质，正确对图形的性质的理解记忆是解题的关键． 7. 下列说法不正确的是（　　） A. 中，若，则是直角三角形 B. 中，若，则是直角三角形 C. 的三边之比是5：12：13，则是直角三角形 D. 中，若，则不是直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据直角三角形的判定方法即可判断． 【详解】解：A. △ABC中，若∠A -∠B=∠C，故∠C+∠B =∠A=90°，则△ABC是直角三角形，正确； B. △ABC中，若a2= b2- c2，故a2+c2= b2，则△ABC是直角三角形，正确； C. △ABC中，若a:b:c=5:12:13，故a2+b2= c2，则△ABC是直角三角形，正确； D. △ABC中，若a2+b2≠c2，则不能判断△ABC是不是直角三角形，错误； 故选：D． 【点睛】此题主要考查直角三角形的判定，解题的关键是熟知勾股定理的应用与角度的计算． 8. 如图，中，，，．点D是边上的动点，过点D作边作，，垂足分别为E，F．连接，则的最小值为（ ） A. 3 B. 2.4 C. 4 D. 2.5 【答案】B 【解析】 【分析】连接，求出的长度，根据矩形的性质，求的最小值，即求的最小值，当时，最小，根据三角形的面积公式即可求出的长，即可求解 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形 ∴， 由垂线段最短可知，当时，线段最小，则线段的值最小， 此时， 即 ∴ ∴的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 9. 如图，四个全等的直角三角形纸片既可以拼成（内角不是直角）的菱形，也可以拼成正方形，则菱形面积和正方形面积之比为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设直角三角形的长直角边长为，短直角边长为，根据菱形的性质可得，从而得到，，即可解答． 【详解】解：设直角三角形的长直角边长为，短直角边长为， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了本题考查了菱形的性质，正方形的性质，直角三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键． 10. 如图，正方形中，在的延长线上取点E，F，使，，连接分别交于H，G下列结论，下列结论：①；②；③；④图中有8个等腰三角形．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查对三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，正方形的性质，平行四边形的性质和判定等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键． 根据正方形的性质和已知推出四边形是平行四边形，得到，无法证出G为的中点；，推出，求出，得到，求出即可；根据三角形的面积公式推出和四边形的面积相等；可得有9个等腰三角形． 【详解】解：∵正方形，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 要使，只要G为的中点即可， 但， ∴， 即和不全等， ∴G不是中点， ∴①错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴②正确； ∵， ， ∴， ∴， 要使和四边形的面积相等，只要和的面积相等即可，根据已知条件， ∴③；正确， 等腰三角形有； ∴④错误； 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，为半径画弧，交网格线于点D，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意得，再利用勾股定理进行计算即可． 【详解】解：连接，如图， 根据题意，得， 在中，由勾股定理，得， ∴， 故答案为：． 12. 如图，两对角线，相交于点，且，若的周长为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形对角线互相平分的性质，可求出的值，然后根据周长可求出的值，即为的值． 【详解】∵两对角线，相交于点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为： 【点睛】此题考查平行四边形的性质，解题关键是平行四边形的对角线互相平分． 13. 如图，在△ABC中，AC＝4，∠A＝60°，∠B＝45°，BC边的垂直平分线DE交AB于点D，连接CD，则AB的长为_________________． 【答案】2＋2 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，根据三角形的外角性质得到∠ADC＝90°，根据含30°角的直角三角形的性质求出AD，根据勾股定理求出DC，进而求出AB． 【详解】解：∵DE是BC的垂直平分线， ∴DB＝DC， ∴∠DCB＝∠B＝45°， ∴∠ADC＝∠DCB＋∠B＝90°， ∵∠A＝60°， ∴∠ACD＝30°， ∴AD＝AC＝2， 由勾股定理得：DC＝＝＝2， ∴DB＝DC＝2， ∴AB＝AD＋DB＝2＋2， 故答案为：2＋2． 【点睛】本题主要考查了三角形外角性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 14. 如图，将长方形纸片沿其对角线折叠，使点落在点的位置，与交于点． 若，求图中阴影部分的周长_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形的折叠问题及矩形的性质．熟记翻折前后两个图形能够重合找出相等的线段是解题的关键．阴影部分的周长为，即矩形的周长计算解题． 【详解】证明：∵四边形为矩形， ∴，， 由翻折可得， ∴阴影部分的周长为 ， 故答案为：． 15. 如图，在菱形中，，于点E，交对角线于点P，过点P作于点F．若，则菱形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由菱形的性质可得平分，由角平分线的性质可得，由等腰直角三角形的性质可求的长，即可求解． 【详解】四边形是菱形， 平分, ， 又 ， ， ， ， ， 菱形的面积， 故答案为：. 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质等知识，掌握菱形的性质是解题的关键． 三、解答题（一）（共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，和利用平方差公式、完全平方公式进行二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式的乘除法，再计算加减法； （2）利用平方差公式、完全平方公式进行计算即可． 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 17. 将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理． 【答案】 证明：由已知可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是推出是直角三角形．先证明是直角三角形，然后根据，代入字母整理化简，即可证明结论成立． 【详解】略 18. 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为BC、AD上的点，且∠1＝∠2.求证：AF＝CE. 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B=∠D，AB=DC，AD=BC， 在△ABE和△CDF中，， ∴△ABE≌△CDF（ASA）， ∴BE=DF 又∵AD=BC ∴AD-DF=BC-BE ∴AF=CE． 【解析】 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得出∠B=∠D、AB=DC、AD=BC，再由ASA证得△ABE≌△CDF，得出BE=DF即可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知：如图，点O是平行四边形的对角线的中点，E，F分别是和上的点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求证：； 【答案】（1） ∵平行四边形， ， 又， ∴四边形是平行四边形； （2） ∵平行四边形， ，，， 又∵四边形是平行四边形， ， ， ， 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，也考查了全等三角形的判定，熟练掌握相关的判定和性质是解答本题的关键． （1）直接利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可； （2）先利用平行四边形的性质得到，，继而得到，从而得证； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，在四边形AECF中，AE⊥EC，AF⊥FC．CE、CF分别是的内、外角平分线． （1）求证：四边形AECF是矩形． （2）当满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由． 【答案】 （1）证明：∵CE、CF分别是△ABC的内外角平分线， ∴∠ACE+∠ACF=×180°=90°， ∵AE⊥CE，AF⊥CF， ∴∠AEC=∠AFC=90°， ∴四边形AECF是矩形． （2）当△ABC满足∠ACB=90°时，四边形AECF是正方形， 理由：∵∠ACE=∠ACB=45°， ∵∠AEC=90°， ∴∠EAC=45°=∠ACE， ∴AE=CE， ∵四边形AECF是矩形， ∴四边形AECF是正方形． 【解析】 【分析】（1）求出∠ECF=90°=∠E=∠F，即可推出答案； （2）∠ACB=90°，推出∠ACE=∠EAC=45°，推出AE=CE即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查对矩形和正方形的判定的理解和掌握，能求出四边形AECF是矩形是解此题的关键． 21. 如图，在中，点E是的中点，连接，、的延长线相交于点F，连接、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求证：四边形是矩形． 【答案】（1） 证明：在中，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2） 证明：∵四边形是平行四边形； ∴， 又由（1）可得，四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴，即四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）通过证明可得，然后由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形； （2）利用三角形外角的性质和角的倍数关系求得，然后求得，从而可得平行四边形是矩形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键． 五、解答题（三）（共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分） 22. 我们规定：若，则称与是关于1的平衡数． （1）若3与是关于1的平衡数，与是关于1的平衡数，求，的值． （2）若，当，为何值时，与是关于1的平衡数？并说明理由． 【答案】（1）, （2） 解： 与是关于1的平衡数， ． ． 将②代入①，， ， 整理得． ， 代入②得，． 综上，当，时，与是关于1的平衡数． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． （1）根据所给的例子，可得出平衡数的求法，由此可得出答案； （2）对式子进行化简，得到、的关系，再联立方程组求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得：，， 解得，． 故答案为，． 【小问2详解】 略 23. 如图1，四边形为正方形，为对角线上一点，连接． （1）求证：； （2）如图2，过点作，交边于点，以为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为6，，求正方形的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形为正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2） ①证明：如图，作于，于，得矩形， ∴， ∵点是正方形对角线上的点， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中 ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴矩形是正方形； ②20 【解析】 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）①作于，于，得矩形，再证，得到，即可得到结论； ②证明，得到，，由，得到，则，由得到，连接，由勾股定理得到，则，即可得到得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：正方形和正方形中，，， ， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 连接， ∴， ∴， ∴， 即正方形的面积为20． 【点睛】此题考查了正方形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，添加合适辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东省惠州五中教育集团八年级（下）期中数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 成立的条件是（ ） A. B. C. D. 2. 下列条件中，能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ， 3. 小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图1），测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图2），，则图2中对角线的长为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 正方形具有而菱形不具有的性质是（　　） A. 对角线互相平分 B. 每一条对角线平分一组对角 C. 对角线相等 D. 对边相等 7. 下列说法不正确的是（　　） A. 中，若，则是直角三角形 B. 中，若，则是直角三角形 C. 的三边之比是5：12：13，则是直角三角形 D. 中，若，则不是直角三角形 8. 如图，中，，，．点D是边上的动点，过点D作边作，，垂足分别为E，F．连接，则的最小值为（ ） A. 3 B. 2.4 C. 4 D. 2.5 9. 如图，四个全等的直角三角形纸片既可以拼成（内角不是直角）的菱形，也可以拼成正方形，则菱形面积和正方形面积之比为（ ） A. 1 B. C. D. 10. 如图，正方形中，在的延长线上取点E，F，使，，连接分别交于H，G下列结论，下列结论：①；②；③；④图中有8个等腰三角形．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，为半径画弧，交网格线于点D，则的长为______． 12. 如图，两对角线，相交于点，且，若的周长为，则______． 13. 如图，在△ABC中，AC＝4，∠A＝60°，∠B＝45°，BC边的垂直平分线DE交AB于点D，连接CD，则AB的长为_________________． 14. 如图，将长方形纸片沿其对角线折叠，使点落在点的位置，与交于点． 若，求图中阴影部分的周长_________________． 15. 如图，在菱形中，，于点E，交对角线于点P，过点P作于点F．若，则菱形的面积为______． 三、解答题（一）（共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理． 18. 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为BC、AD上的点，且∠1＝∠2.求证：AF＝CE. 四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知：如图，点O是平行四边形的对角线的中点，E，F分别是和上的点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求证：； 20. 如图，在四边形AECF中，AE⊥EC，AF⊥FC．CE、CF分别是的内、外角平分线． （1）求证：四边形AECF是矩形． （2）当满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由． 21. 如图，在中，点E是的中点，连接，、的延长线相交于点F，连接、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求证：四边形是矩形． 五、解答题（三）（共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分） 22. 我们规定：若，则称与是关于1的平衡数． （1）若3与是关于1的平衡数，与是关于1的平衡数，求，的值． （2）若，当，为何值时，与是关于1的平衡数？并说明理由． 23. 如图1，四边形为正方形，为对角线上一点，连接． （1）求证：； （2）如图2，过点作，交边于点，以为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为6，，求正方形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $