精品解析：广东省深圳市蛇口育才教育集团2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

育才教育集团2024-2025学年度第二学期初二年级期中考试数学试卷 注意事项： 1．答题前，请将姓名、准考证号和座位号用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将准考证号用2B铅笔填涂完整． 2．全卷共3页．考试时间90分钟，满分100分． 3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 4．考试结束后，请将答题卡交回． 一、单选题（每题3分，共24分） 1. 下列选项中，可以看作中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】该题主要考查了中心对称图形，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，若旋转后的图形与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A、是中心对称图形，该选项符合题意； B、不是中心对称图形，该选项不符合题意； C、不是中心对称图形，该选项不符合题意； D、不是中心对称图形，该选项不符合题意； 故选：A． 2. 如果a＞b，c＜0，那么下列不等式成立的是（ ）． A. a＋c＞b＋c； B. c－a＞c－b； C. ac＞bc； D. ． 【答案】A 【解析】 【详解】根据不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．一个个筛选即可得到答案． 解答：解：A，∵a＞b，∴a+c＞b+c，故此选项正确； B，∵a＞b， ∴-a＜-b， ∴-a+c＜-b+c， 故此选项错误； C，∵a＞b，c＜0， ∴ac＜bc， 故此选项错误； D，∵a＞b，c＜0， ∴， 故此选项错误； 故选A． 3. 如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，该不等式组可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的步骤和解不等式的依据．分别求出每个不等式组的解集，再结合数轴判断即可得出答案． 【详解】解：由数轴知不等式组的解集为， A选项不等式组的解集为； B选项不等式组的解集为； C选项不等式组的解集为； D选项不等式组无解． 故选：B． 4. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；因此此题可根据“把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解”进行求解即可． 【详解】解：A、，属于整式的乘法，故不符合题意； B、，等式右边不是几个整式乘积的形式，不是因式分解，故不符合题意； C、，等式右边不是整式，不是因式分解，故不符合题意； D、，属于因式分解，故符合题意； 故选D． 5. 的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的乘法，根据分式的乘法法则即可得出答案． 【详解】解： 故选：A 6. 下列各组数中，不能构成直角三角形三边的是（　　） A. 3，4，5 B. 9，40，41 C. D. 7，24，25 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，根据勾股定理的逆定理分别计算各个选项，选出正确的答案． 【详解】解：A、，能组成直角三角形，故此选项不符合题意； B、，能组成直角三角形，故此选项不符合题意； C、，不能组成直角三角形，故此选项符合题意； D、，能组成直角三角形，故此选项不符合题意． 故选：C 7. 已知关于的不等式的最小整数解为3，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，先解出不等式，然后根据最小整数解为3得出关于的不等式组，解之即可求得的取值范围．正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质． 【详解】解：解不等式，得：， 不等式有最小整数解3， ， 解得：， 故选：B． 8. 如图，在等腰直角三角形中，，内一动点P到A，B，C三点的距离之和的最小值为2，的长为（ ）． A. B. 4 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】把绕点逆时针旋转得到，连接，，过点作，点可看成是线段绕点逆时针旋转而得的定点，为定长．当、、、四点在同一直线上时，最小．即可求解； 【详解】解：如图，把绕点逆时针旋转得到，连接，，过点作， ，， 为等边三角形， ， 点可看成是线段绕点逆时针旋转而得的定点，为定长． 当、、、四点在同一直线上时，最小． ， 把绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 中，， ， ， ， 故选：A 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了费马点求最值问题，涉及到的知识点有旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，以及两点之间线段最短等知识点，读懂题意，利用旋转作出正确的辅助线是解本题的关键． 二、填空题（每题3分，共15分） 9. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：=； 故答案为 10. 若有意义，则的取值范围是_________． 【答案】x>2##2＜x 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数和分式有意义的条件：分母不为0即可求出结论． 【详解】解：由题意可得x-2>0， 解得：x>2， 故答案为：x>2． 【点睛】本题考查的是分式及二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为0解题的关键． 11. 如图，一艘轮船由海平面上地出发，要到地的北偏东方向的处，已知轮船先沿正东方向行驶了100海里到达地，再沿北偏东方向行进，恰能到达目的地，那么，两地相距_____海里． 【答案】100 【解析】 【分析】本题主要考查方向角的定义，等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．根据题意证明是等腰三角形即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：，， ， ， ， 故答案为：． 12. 如图，函数和的图象相交于点，则关于不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数与一元一次不等式的关系是解题的关键，先把点A的坐标代入中求解m的值，然后根据一次函数与不等式的关系可进行求解． 【详解】解：把代入． 得． 解得． 即A点坐标为． ∵由图象可得，当时，， ∴关于x的不等式的解集为． 故答案为：． 13. 如图，中．D为上一动点，连接，的垂直平分线分别交，于点E，F，线段长的最大值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、角所对直角边是斜边的一半以及垂线段最短的性质，将的最大值转化为最小是解决本题的关键，属于压轴题． 先求出的长，过点F作于H，连接，若要使最大，则需要最小，然后根据垂线段最短列式求解即可． 【详解】解：连接， 中，，，， ， 垂直平分， ，过点F作于H， 若要使最大，则需要最小， 设，则， ， ， （垂线段最短）， ， 解得． 最小值为，的最大值为， 故答案为：． 三、解答题（共61分） 14. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，不等式组解集的原则“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”，先求出两个不等式的解集，再找出两个不等式的公共解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式①得：， ∴不等式组的解集为：． 15. 先化简，再求值：其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，除法变乘法，约分化简后，利用整体代入法进行计算即可．熟练掌握分式的乘除法则，是解题的关键． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴原式． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为点． （1）请在图中画出将向左平移4个单位长度得到的，并写出点的坐标； （2）请在图中画出将绕着原点顺时针旋转得到的，并写出点的坐标； （3）在x轴上找一点P，使得最小，并写出点P的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求，点的坐标为， （2） 如图，即为所求，点的坐标为， （3） 如图，点P即为所求，点P的坐标为 【解析】 【分析】此题考查了平移、旋转、轴对称最短路径的作图，熟练掌握作图方法是解题的关键． （1）找到向左平移4个单位长度得到的对应点，顺次连接即可得到，写出点的坐标； （2）找到绕着原点顺时针旋转得到的对应点，顺次连接即可得到，写出点的坐标； （3）根据轴对称最短路径的要求进行作图，即可找到点P的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 17. 如图，，的垂直平分线交于D，交于E． （1）若，求的度数； （2）若，的周长为23，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． （1）由的垂直平分线交于，交于，根据线段垂直平分线的性质，可求得，继而求得的度数，则可求得的度数． （2）由的周长为，推出，根据，由此即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵的垂直平分线交于，交于， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 ∵的垂直平分线交于，交于， ∴，， ∵的周长为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的周长． 18. 灵蛇献瑞，已蛇呈祥．新年之际，探亲访友，都会提上新春礼盒，缤纷美食，满载幸福与甜蜜．某百货超市计划主推两款礼盒：坚果礼盒“锦然秋鸿”和糖果礼盒“甘饴冬藏”．已知2件坚果礼盒和3件糖果礼盒进价660元，3件坚果礼盒和2件糖果礼盒进价690元． （1）求每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是多少元？ （2）超市决定用不超过66600元资金购进坚果礼盒和糖果礼盒共500盒，其中坚果礼盒的数量不少于糖果礼盒数量的，且两种礼盒的进价保持不变，销售时每件坚果礼盒售价为175元，每件糖果礼盒售价为150元，若本次购进的两种礼盒全部售出，请问坚果礼盒购进多少件时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】（1）每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是150元，120元； （2）坚果礼盒购进200件时．可使本次销售获得最大利润，最大利润是14000元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，不等式，是解题的关键． （1）设每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是x元，y元，根据2件坚果礼盒和3件糖果礼盒进价660元，3件坚果礼盒和2件糖果礼盒进价690元，列出方程，解方程即可； （2）设坚果礼盒购进a件，则糖果礼盒购进件，根据坚果礼盒的数量不少于糖果礼盒数量的，列出不等式，解不等式求出a的取值范围，设利润为w元，根据每件坚果礼盒售价为175元，每件糖果礼盒售价为150元，列出关系式，根据一次函数性质，求出结果即可． 【小问1详解】 解：设每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是x元，y元， 根据题意得：， 解得， 答：每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是150元，120元； 【小问2详解】 解：设坚果礼盒购进a件，则糖果礼盒购进件， 根据题意得：， 解得：， 又， 解得：， ， 设利润为w元，根据题意得： ， ， 随a的增大而减少， 当时，w最大，最大值为， 答：坚果礼盒购进200件时．可使本次销售获得最大利润，最大利润是14000元． 19. 根据项目素材，探索解决问题． 项目主题 如何剪出直角三角形的完美线？ 项目背景 新课标（2022版）要求学校教育要坚持“立德树人”，实施“跨学科学习、项目式学习”在学习完三角形的证明后，某校组织了该次项目式学习． 项目素材 在直角三角形中，过直角顶点剪一刀，剪痕将直角分成两个锐角，若这两个锐角分别等于此直角三角形中的另外两个内角，则称这条剪痕为直角三角形的“完美线”．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 问题解决 项目一 如图，有一张直角三角形纸片，，，图1中的是完美线，请在图2中画出与图1不相同的“完美线”剪法，并标出两个锐角的度数． 项目二 如图，在直角三角形纸片中，，过点C剪一刀，剪痕与交于点 D．你发现满足什么条件时，是直角三角形的“完美线”，请说明理由． 项目三 在中，，°，，的“完美线”与交于点D，将沿“完美线”翻折得到，求的长度． 【答案】 项目一：如图，过点作， ， ，， 为的“完美线”； 项目二：当为斜边上的高时，或为斜边上的中线时，为的“完美线”； 项目三：或． 【解析】 【分析】项目一：根据完美线的定义作图即可； 项目二：根据完美线的定义，结合直角三角形的性质分两种情况，当为斜边上的高时，当为斜边上的中线时，分别画出图形，进行解答即可； 项目三：分两种情况，当为斜边上的高时，当为斜边上的中线时，分别画出图形，进行解答即可． 【详解】项目一：略 项目二：当为斜边上的高时，如图所示： ， ，， ， 同理可得：， 为的“完美线”； 当为斜边上的中线时，如图所示： 为斜边上的中线， ， ，， 为的“完美线”； 综上所述，当为斜边上的高或为斜边上的中线时，为的“完美线”； 项目三：在中，，，， ，，， 当为斜边上的高时，如图所示： ， ，， 根据折叠可知，，， ， 三点共线， ； 当为斜边上的中线时，如图所示： 为斜边上的中线，，, ， ， 根据折叠可知，，， , 为等边三角形，，且与互相平分， ； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出图形，注意进行分类讨论． 20. 数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动： （1）【操作探究】如图1，为等边三角形，将绕点A旋转得到，连接，F是的中点，连接． ①图1中的角有_______个； ②图1中与的数量关系是_______． （2）【迁移探究】如图2，将（1）中的等边绕点A逆时针旋转得到，连接，F是的中点，连接．探究与的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】如图3，在中将绕点A旋转，得到，连接，F是的中点，连接．在旋转过程中，当时，直接写出线段的长． 【答案】（1）①4； ②； （2） ；理由如下： 如图所示： 等边绕点逆时针旋转，得到， ，，， ， ， 为中点，， ， 是等腰直角三角形， ， ； （3）或． 【解析】 【分析】（1）据折叠的性质结合中位线即可得解； （2）先证，再证是等边三角形即可得解∶ （3）分类讨论，在上方和下方两种情况，分别画出图形，利用特殊直角三角形求解即可 【小问1详解】 解：①为等边三角形， 将绕点旋转，得到， ， 为中点， ，是的中位线，也是的中位线， ， ； 故答案为：4； ②由①知，是的中位线， ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当在下方时，如图所示： ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 为中点， ， ， ， ， ， ； ②当在上方时，如图所示：    ，， ； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考了查折叠的性质、等边三角形的性质、中位线定理、等腰直角三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 育才教育集团2024-2025学年度第二学期初二年级期中考试数学试卷 注意事项： 1．答题前，请将姓名、准考证号和座位号用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将准考证号用2B铅笔填涂完整． 2．全卷共3页．考试时间90分钟，满分100分． 3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 4．考试结束后，请将答题卡交回． 一、单选题（每题3分，共24分） 1. 下列选项中，可以看作中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果a＞b，c＜0，那么下列不等式成立的是（ ）． A. a＋c＞b＋c； B. c－a＞c－b； C. ac＞bc； D. ． 3. 如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，该不等式组可能是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 下列各组数中，不能构成直角三角形三边的是（　　） A. 3，4，5 B. 9，40，41 C. D. 7，24，25 7. 已知关于的不等式的最小整数解为3，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在等腰直角三角形中，，内一动点P到A，B，C三点的距离之和的最小值为2，的长为（ ）． A. B. 4 C. D. 8 二、填空题（每题3分，共15分） 9. 因式分解：__________． 10. 若有意义，则的取值范围是_________． 11. 如图，一艘轮船由海平面上地出发，要到地的北偏东方向的处，已知轮船先沿正东方向行驶了100海里到达地，再沿北偏东方向行进，恰能到达目的地，那么，两地相距_____海里． 12. 如图，函数和的图象相交于点，则关于不等式的解集为______． 13. 如图，中．D为上一动点，连接，的垂直平分线分别交，于点E，F，线段长的最大值是_______． 三、解答题（共61分） 14. 解不等式组：． 15. 先化简，再求值：其中． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为点． （1）请在图中画出将向左平移4个单位长度得到的，并写出点的坐标； （2）请在图中画出将绕着原点顺时针旋转得到的，并写出点的坐标； （3）在x轴上找一点P，使得最小，并写出点P的坐标． 17. 如图，，的垂直平分线交于D，交于E． （1）若，求的度数； （2）若，的周长为23，求的周长． 18. 灵蛇献瑞，已蛇呈祥．新年之际，探亲访友，都会提上新春礼盒，缤纷美食，满载幸福与甜蜜．某百货超市计划主推两款礼盒：坚果礼盒“锦然秋鸿”和糖果礼盒“甘饴冬藏”．已知2件坚果礼盒和3件糖果礼盒进价660元，3件坚果礼盒和2件糖果礼盒进价690元． （1）求每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是多少元？ （2）超市决定用不超过66600元资金购进坚果礼盒和糖果礼盒共500盒，其中坚果礼盒的数量不少于糖果礼盒数量的，且两种礼盒的进价保持不变，销售时每件坚果礼盒售价为175元，每件糖果礼盒售价为150元，若本次购进的两种礼盒全部售出，请问坚果礼盒购进多少件时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是多少元？ 19. 根据项目素材，探索解决问题． 项目主题 如何剪出直角三角形的完美线？ 项目背景 新课标（2022版）要求学校教育要坚持“立德树人”，实施“跨学科学习、项目式学习”在学习完三角形的证明后，某校组织了该次项目式学习． 项目素材 在直角三角形中，过直角顶点剪一刀，剪痕将直角分成两个锐角，若这两个锐角分别等于此直角三角形中的另外两个内角，则称这条剪痕为直角三角形的“完美线”．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 问题解决 项目一 如图，有一张直角三角形纸片，，，图1中的是完美线，请在图2中画出与图1不相同的“完美线”剪法，并标出两个锐角的度数． 项目二 如图，在直角三角形纸片中，，过点C剪一刀，剪痕与交于点 D．你发现满足什么条件时，是直角三角形的“完美线”，请说明理由． 项目三 在中，，°，，的“完美线”与交于点D，将沿“完美线”翻折得到，求的长度． 20. 数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动： （1）【操作探究】如图1，为等边三角形，将绕点A旋转得到，连接，F是的中点，连接． ①图1中的角有_______个； ②图1中与的数量关系是_______． （2）【迁移探究】如图2，将（1）中的等边绕点A逆时针旋转得到，连接，F是的中点，连接．探究与的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】如图3，在中将绕点A旋转，得到，连接，F是的中点，连接．在旋转过程中，当时，直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $