考前猜想03 导数及其应用九种考法-决胜2025年高考数学考前猜想（新高考地区专用）

考前猜想03 导数及其应用九种考法 一、题型方法归纳 1.切线问题 求曲线“在”某点处的切线方程步骤 第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率； 第二步（写方程）：用点斜式； 第三步（变形式）：将点斜式变成一般式 求曲线“过”某点处的切线方程步骤 第一步：设切点为； 第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为 对于平行问题：利用导数求出切线斜率，将斜率相等作为条件建立方程求解； 对于垂直问题：利用两切线斜率乘积为的条件建立方程．同时，结合函数图像和几何性质，灵活运用数形结合思想，快速定位关键点和条件，从而高效解决问题 已知，过点，可作曲线的（）条切线问题 第一步：设切点 第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 第四步：将代入切线方程，得：，整理成关于得分方程； 第五步：题意已知能作几条切线，关于的方程就有几个实数解． 已知和存在（）条公切线问题 第一步：求公切线的斜率，设的切点，设的切点； 第二步：求公切线的斜率与； 第三步：写出并整理切线 （1）整理得： （2）整理得： 第四步：联立已知条件 2.含参讨论单调性 （1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）； （2）导函数的零点在不在定义域或区间内； （3）导函数多个零点时大小的讨论． 3.极值与极值点 利用导数求函数极值的方法步骤 （1）求导数； （2）求方程的所有实数根； （3）观察在每个根x0附近，从左到右导函数的符号如何变化． ①如果的符号由正变负，则是极大值； ②如果由负变正，则是极小值． ③如果在的根x＝x0的左右侧的符号不变，则不是极值点． 根据极值求参数取值范围的步骤 （1）列式：根据极值点处导数值为0和极值这两个条件列方程； （2）验证：求解后验证根的合理性，做好取舍 4.恒成立与存在性问题求参 若)对恒成立，则只需； 若对恒成立，则只需． 恒成立问题解题思路：（1）参变量分离：（2）构造函数：①构造函数，研究函数的单调性，求出函数的最值，解不等式即可；②构造函数后，研究函数单调性，利用单调性解不等式，转化之后参数分离即可解决问题. ，使得能成立； ，使得能成立． 能成立问题解题思路：（1）参变量分离：（2）构造函数：①构造函数，研究函数的单调性，求出函数的最值，解不等式即可；②构造函数后，研究函数单调性，利用单调性解不等式，转化之后参数分离即可解决问题. 分类讨论法解能成立问题：①首先可以把含参不等式整理成适当形式如、等； ②从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值或最值； ③得出结论. 5. 零点问题 判断函数零点个数的常用方法 （1）直接研究函数，求出极值以及最值，画出草图。函数零点的个数问题即是函数图象与轴交点的个数问题． （2）分离出参数，转化为，根据导数的知识求出函数在某区间的单调性，求出极值以及最值，画出草图．函数零点的个数问题即是直线与函数图象交点的个数问题．只需要用a与函数的极值和最值进行比较即可． 讨论证明函数零点个数 证明函数零点个数的方法与判断零点个数的方法相似，多在解答题中进行考察． 利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值（最值）及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数． 注意：单调性+零点存 根据函数零点个数求参数 1、分离参数后，将原问题转化为的值域（最值）问题或转化为直线与的图象的交点个数问题（优先分离、次选分类）求解． 2、利用函数零点存在定理构造不等式求解． 3、转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．在=唯一零点． 6. 隐零点问题 不含参函数的“隐零点”问题的解策略： 已知不含参函数，导函数方程的根存在，却无法求出， 设方程的根为，则有：①关系式成立；②注意确定的合适范围． “虚设零点”的具体操作方法： 第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程，并结合的单调性得到零点的范围；这里应注意，确定隐性零点范围的方式是多种多样的，可以由零点的存在性定理确定，也可以由函数的图象特征得到，甚至可以由题设直接得到，等等；至于隐性零点范围精确到多少，由所求解问题决定，因此必要时尽可能缩小其范围． 第二步：以零点为分界点，说明导函数的正负，进而得到的最值表达式；这里应注意，进行代数式的替换过程中，尽可能将目标式变形为整式或分式，那么就需要尽可能将指、对数函数式用有理式替换，这是能否继续深入的关键． 第三步：将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明；有时候第一步中的零点范围还可以适当缩小．导函数零点虽然隐形，但只要抓住特征(零点方程)，判断其范围(用零点存在性定理)，最后整体代入即可．（即注意零点的范围和性质特征）． 7.构造函数求参 几种导数的常见构造： 对于 ，构造 若遇到，构造 对于，构造 对于，构造 对于或，构造 对于，构造 对于，构造 注：①对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数、系数升指数等，把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数． ②为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需时时对指对式进行“改头换面”，常用的方法有：、、、、、，有时也需要对两边同时加、乘某式等. ③与为常见同构式：，；与为常见同构式：， 8.双变量问题 （1）,,使得成立 （2）,,使得成立 （3）,,使得成立 （4）,,使得成立 9. 不等式证明 利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数． （4）对数单身狗，指数找基友 （5）凹凸反转，转化为最值问题 （6）同构变形 二、重难点例题及变式 类型一、切线问题 例．（1）已知函数，则曲线在处的切线方程为（  ） A． B． C． D． （2）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数（  ） A． B． C． D． 【变式训练1】若曲线在点处的切线过原点，则 . 【变式训练2】已知函数，，若过点的直线与曲线和均相切，则实数的值为（  ） A． B． C．1 D．2 类型二、含参讨论单调性 例．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间. 【变式训练1】已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若和有相同的最小值，求的值. 【变式训练2】已知函数（），讨论的单调性． 类型三、极值与极值点 例．（1）设函数的定义域为是的极大值点，则（  ） A. 是的极小值点 B. 是的极大值点 C. 是的极小值点 D. 是的极大值点 （2）已知函数若，则函数的极小值点是 ；若函数在上存在唯一的极值点．则实数a的取值范围为 ． 【变式训练1】设三次函数的导函数为，函数图象的一部分如图所示，则下列说法正确的个数为（  ） ①函数有极大值 ②函数有极小值 ③函数有极大值 ④函数有极小值 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练2】已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是 ． 类型四、恒成立与存在性问题求参 例．（1）已知函数．若不等式对恒成立，求实数的取值范围． （2）已知函数 ①当时，求的极值； ②若存在，使得，求的取值范围． 【变式训练1】已知对于任意的，存在，使得不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【变式训练2】已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【变式训练3】已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)设函数．若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围． 类型五、零点问题 例．（1）已知若函数有两个零点，则的取值范围为 ． （2）已知函数． ①若在上存在极小值，求实数的取值范围 ②讨论在上的零点个数． 【变式训练1】函数只有一个零点，则实数的取值范围是 . 【变式训练2】已知函数. (1)当时，，求实数的取值范围； (2)判断函数在的零点个数，并说明理由. 类型六、隐零点问题 例．已知函数. (1)若在上单调递增，求实数的取值范围； (2)当时，证明：. 【变式训练1】已知函数，． (1)当时，证明：恒成立； (2)设表示不超过x的最大正整数，若，且关于a的方程有实数根，记b的最小值为t，求的值． 【变式训练2】已知函数． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)若在区间上有唯一的零点，求的取值范围． 类型七、构造函数求参 例．若存在正数，使得不等式有解，则实数的取值范围是 ． 【变式训练1】已知恒成立，则正数的取值范围为 ． 【变式训练2】已知函数． (1)若，求的最小值； (2)若方程有解，求实数a的取值范围． 类型八、双变量问题 例．已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)当时，若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围. 【变式训练1】已知，，若对任意，都存在，使得，则实数的取值范围为 ． 【变式训练2】已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若存在，使得，求a的取值范围． 类型九、不等式证明 例．已知函数（）. (1)讨论函数的单调区间； (2)当时，证明：. 【变式训练1】已知函数. (1)当时，求函数在的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)证明：当时，. 【变式训练2】已知函数. (1)若曲线在点处的切线与轴平行，求的值； (2)设函数，给出的定义域，并证明：曲线是轴对称图形； (3)证明：. 三、考前突破练 1．已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中可能是图象的是（  ） A． B． C． D． 2．已知当时，函数取得最大值2，则（  ） A． B． C． D． 3．已知函数，，若，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 4．若两曲线与存在公切线，则正实数a的取值范围为（  ） A． B． C． D． 5．（多选）已知是定义在上的奇函数，其导函数为，且，则（  ） A．为偶函数 B．在上单调递增 C． D． 6.（多选）定义在上的函数满足，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 7.若函数在处取得极小值，则实数 8．一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为 ． 9．已知实数满足且，则的最小值为 . 10．已知函数，其中 (1)讨论的单调性； (2)若函数有两个极值点，，证明： 11.已知函数． (1)若函数有两个零点，求的取值范围； (2)设是函数的两个极值点，证明：． 12.函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求实数的值； (2)求函数的单调区间； (3)求函数的零点的个数. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 考前猜想03 导数及其应用九种考法 一、题型方法归纳 1.切线问题 求曲线“在”某点处的切线方程步骤 第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率； 第二步（写方程）：用点斜式； 第三步（变形式）：将点斜式变成一般式 求曲线“过”某点处的切线方程步骤 第一步：设切点为； 第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为 对于平行问题：利用导数求出切线斜率，将斜率相等作为条件建立方程求解； 对于垂直问题：利用两切线斜率乘积为的条件建立方程．同时，结合函数图像和几何性质，灵活运用数形结合思想，快速定位关键点和条件，从而高效解决问题 已知，过点，可作曲线的（）条切线问题 第一步：设切点 第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 第四步：将代入切线方程，得：，整理成关于得分方程； 第五步：题意已知能作几条切线，关于的方程就有几个实数解． 已知和存在（）条公切线问题 第一步：求公切线的斜率，设的切点，设的切点； 第二步：求公切线的斜率与； 第三步：写出并整理切线 （1）整理得： （2）整理得： 第四步：联立已知条件 2.含参讨论单调性 （1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）； （2）导函数的零点在不在定义域或区间内； （3）导函数多个零点时大小的讨论． 3.极值与极值点 利用导数求函数极值的方法步骤 （1）求导数； （2）求方程的所有实数根； （3）观察在每个根x0附近，从左到右导函数的符号如何变化． ①如果的符号由正变负，则是极大值； ②如果由负变正，则是极小值． ③如果在的根x＝x0的左右侧的符号不变，则不是极值点． 根据极值求参数取值范围的步骤 （1）列式：根据极值点处导数值为0和极值这两个条件列方程； （2）验证：求解后验证根的合理性，做好取舍 4.恒成立与存在性问题求参 若)对恒成立，则只需； 若对恒成立，则只需． 恒成立问题解题思路：（1）参变量分离：（2）构造函数：①构造函数，研究函数的单调性，求出函数的最值，解不等式即可；②构造函数后，研究函数单调性，利用单调性解不等式，转化之后参数分离即可解决问题. ，使得能成立； ，使得能成立． 能成立问题解题思路：（1）参变量分离：（2）构造函数：①构造函数，研究函数的单调性，求出函数的最值，解不等式即可；②构造函数后，研究函数单调性，利用单调性解不等式，转化之后参数分离即可解决问题. 分类讨论法解能成立问题：①首先可以把含参不等式整理成适当形式如、等； ②从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值或最值； ③得出结论. 5. 零点问题 判断函数零点个数的常用方法 （1）直接研究函数，求出极值以及最值，画出草图。函数零点的个数问题即是函数图象与轴交点的个数问题． （2）分离出参数，转化为，根据导数的知识求出函数在某区间的单调性，求出极值以及最值，画出草图．函数零点的个数问题即是直线与函数图象交点的个数问题．只需要用a与函数的极值和最值进行比较即可． 讨论证明函数零点个数 证明函数零点个数的方法与判断零点个数的方法相似，多在解答题中进行考察． 利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值（最值）及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数． 注意：单调性+零点存 根据函数零点个数求参数 1、分离参数后，将原问题转化为的值域（最值）问题或转化为直线与的图象的交点个数问题（优先分离、次选分类）求解． 2、利用函数零点存在定理构造不等式求解． 3、转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．在=唯一零点． 6. 隐零点问题 不含参函数的“隐零点”问题的解策略： 已知不含参函数，导函数方程的根存在，却无法求出， 设方程的根为，则有：①关系式成立；②注意确定的合适范围． “虚设零点”的具体操作方法： 第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程，并结合的单调性得到零点的范围；这里应注意，确定隐性零点范围的方式是多种多样的，可以由零点的存在性定理确定，也可以由函数的图象特征得到，甚至可以由题设直接得到，等等；至于隐性零点范围精确到多少，由所求解问题决定，因此必要时尽可能缩小其范围． 第二步：以零点为分界点，说明导函数的正负，进而得到的最值表达式；这里应注意，进行代数式的替换过程中，尽可能将目标式变形为整式或分式，那么就需要尽可能将指、对数函数式用有理式替换，这是能否继续深入的关键． 第三步：将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明；有时候第一步中的零点范围还可以适当缩小．导函数零点虽然隐形，但只要抓住特征(零点方程)，判断其范围(用零点存在性定理)，最后整体代入即可．（即注意零点的范围和性质特征）． 7.构造函数求参 几种导数的常见构造： 对于 ，构造 若遇到，构造 对于，构造 对于，构造 对于或，构造 对于，构造 对于，构造 注：①对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数、系数升指数等，把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数． ②为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需时时对指对式进行“改头换面”，常用的方法有：、、、、、，有时也需要对两边同时加、乘某式等. ③与为常见同构式：，；与为常见同构式：， 8.双变量问题 （1）,,使得成立 （2）,,使得成立 （3）,,使得成立 （4）,,使得成立 9. 不等式证明 利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数． （4）对数单身狗，指数找基友 （5）凹凸反转，转化为最值问题 （6）同构变形 二、重难点例题及变式 类型一、切线问题 例．（1）已知函数，则曲线在处的切线方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，， 故， 故在处的切线方程为，即. 故选：B （2）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，设直线与曲线的切点为， 与曲线的切点为， 而的导数为，的导数为， 所以两曲线的切线分别为， 两条切线对应相同，可得，解得， 所以切线方程为，即， 则. 故选：C. 【变式训练1】若曲线在点处的切线过原点，则 . 【答案】 【解析】因为，所以， 所以在点处的切线方程为. 又切线过原点，则，所以 故答案为： 【变式训练2】已知函数，，若过点的直线与曲线和均相切，则实数的值为（  ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解析】设直线与图象相切的切点为， 由，则切线斜率为， 切线方程为，即， 又，且，即， 所以过点与曲线相切的直线方程为， 联立解得，所以， 设, 当单调递增，当单调递减， 所以，故，当且仅当时取等号， 故由得，所以. 故选：C 类型二、含参讨论单调性 例．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间. 【答案】(1)；(2)答案见解析 【解析】（1）当时，函数， 得，所以，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即切线方程为； （2）当时，，， 令，得，， 当时，， 令，得或， 令，得， 所以函数的单调增区间为和，单调减区间为 当时，， 令，得或， 令，得， 所以函数的单调增区间为和，单调减区间为； 综上所述，当时，的单调增区间为和，单调减区间为； 当时，的单调增区间为和，单调减区间为． 【变式训练1】已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若和有相同的最小值，求的值. 【答案】(1)；(2)答案见解析；(3) 【解析】（1）因为，， 所以，所以，， 所以，曲线在点处的切线方程，即． （2）函数的定义域为， 所以，， 所以，当时，在上恒成立，函数在上单调递增， 当时，时，，单调递减；时，，单调递增， 综上，当时，增区间为，无减区间； 当时， 减区间为，增区间为. （3）由（2）知，当时，在上单调递减，在单调递增. 所以， 因为，得， 所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，， 因为和有相同的最小值， 所以，即， 令，， 令，， 所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，即， 所以，在上单调递增， 因为， 所以，等价于 即的值为. 【变式训练2】已知函数（），讨论的单调性． 【答案】答案见解析 【解析】， ①当时，，， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减； ②当时，，，， ， 时，，，，单调递增， 时，，，，单调递减， 时，，，，单调递增； ③当时，，在上单调递增； ④当时，，，， 时，，，，单调递增， 时，，，，单调递减， 时，，，，单调递增； ⑤当时，， 时，，，单调递减， 时，，，单调递增. 类型三、极值与极值点 例．（1）设函数的定义域为是的极大值点，则（  ） A. 是的极小值点 B. 是的极大值点 C. 是的极小值点 D. 是的极大值点 【答案】C 【解析】A选项，的图象和的图象关于轴对称， 因为是的极大值点，故是的极大值点，A错误； BD选项，取，则是的极大值点， ，故不是的极大值点，B错误； ，其为偶函数，在上单调递减， 不是的极大值点，D错误. C选项，的图象和的图象关于原点对称， 因为是的极大值点，故是的极小值点，C正确. 故选：C （2）已知函数若，则函数的极小值点是 ；若函数在上存在唯一的极值点．则实数a的取值范围为 ． 【答案】 1 【解析】①时，，的定义域为， ，令，得或， 当时，；当时，， 故函数的极大值点为，极小值点为， ②，对称轴为， 若函数在上存在唯一的极值点，则只有一个零点在内， 因为的对称轴为，所以， 即且，解得， 所以实数的取值范围为， 故答案为：1；. 【变式训练1】设三次函数的导函数为，函数图象的一部分如图所示，则下列说法正确的个数为（  ） ①函数有极大值 ②函数有极小值 ③函数有极大值 ④函数有极小值 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】由题图知，当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则， 则在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 则的极大值是，极小值是，①④正确， 故选：B 【变式训练2】已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为，，令， 函数有两个极值点，则在区间上有两个不等实数根， 又， 当时，，则函数在区间单调递增， 因此在区间上不可能有两个实数根，舍去， 当时，令，解得， 令，解得，此时函数在单调递增， 令，解得，此时函数在单调递减， 当时，函数取得极大值， 当趋近于0与趋近于时，，要使在区间上有两个实数根， 则，解得， 实数的取值范围是． 故答案为：. 类型四、恒成立与存在性问题求参 例．（1）已知函数．若不等式对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】 【解析】（当时，，， 当时， , 令，， 则， ①当时，在上恒成立，故在上为增函数， 所以，故在上为增函数， 故，不合题意. ②当时，令，得， （i）若，即时，在时，，在上为减函数， ，即，在上为减函数，，符合题意； (ii)若，即时， 当时，，在上为增函数，， 在上为增函数，，不合题意. 综上所述：若不等式对恒成立，则实数的取值范围是. （2）已知函数 ①当时，求的极值； ②若存在，使得，求的取值范围． 【答案】①极大值为，极小值为；② 【解析】①当时，， 则， 令，得；令，得或， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 则时，函数取得极大值， 时，函数取得极小值. ②由，， 则， 当时，，此时，函数在上单调递增， 则，即； 当时，， 则时，；时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即，与矛盾，不符合题意； 当时，，此时，函数在上单调递减， 则，即恒成立，符合题意. 综上所述，的取值范围为． 【变式训练1】已知对于任意的，存在，使得不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】令，则， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以又， 且当时，，当时，， 即， 且当时，，当时，， 所以存在唯一，使得，所以， 故当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以 ， 则， 令， 则， 当时，，当时，， 所以函数上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式训练2】已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数，若存在实数，使得成立， 当时，存在，所以； 当时，不成立； 当时，存在，所以成立， 令，， 当单调递增； 当单调递减； 所以时，，，，所以； 综上得：或. 故选：D. 【变式训练3】已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)设函数．若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)当时，函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为； (2). 【解析】（1）因为， 所以． 当时，与的变化情况如表所示： 0 单调递增 单调递减 所以当时，函数的单调递增区间为， 函数的单调递减区间为． （2）当时，，所以函数为偶函数． 所以当时，函数的单调递增区间为，， 函数的单调递减区间为，, 所以函数的最大值为． 设，则当时，． 对任意，存在，使得成立， 等价于． 当时，函数在区间上的最大值为，不合题意． 当时，函数在区间上的最大值为， 则，解得或， 所以． 当时，函数在区间上的最大值为， 则，解得， 所以. 综上所述，的取值范围是． 类型五、零点问题 例．（1）已知若函数有两个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】当时，，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 所以时，. 当时，，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 所以时，. 画出函数的图象，如图所示： 函数有两个零点等价于的图象有两个交点，， 由图可知或. 所以m的取值范围为. 故答案为： （2）已知函数． ①若在上存在极小值，求实数的取值范围 ②讨论在上的零点个数． 【答案】①；②答案见解析 【解析】①的定义域为，， 当时，，单调递减，无极值，不合题意； 当时，令，得，即， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以在处取得极小值，故，解得， 所以实数的取值范围为． ②令，得，令，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 又，，， 当时，方程无解，所以在上无零点， 当时，方程有个根，所以在上有个零点， 当时，方程有个根，在上有个零点， 当时，方程有个根，在上有个零点， 当时，方程无解，在上无零点． 综上所述，当或时，在上无零点； 当或时，在上有个零点； 当时，在上有个零点． 【变式训练1】函数只有一个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为，易知，所以不是零点， 令，即，得到，令，， 则， 易知恒成立，由，得到， 当时，，时，，时，， 所以在单调递增，单调递减，单调递增， 又易知，当，且时，，时，， 当时，时，，且， 当时，时，，所以的图象如图所示， 由题知与有且只有一个交点，所以， 故答案为：. 【变式训练2】已知函数. (1)当时，，求实数的取值范围； (2)判断函数在的零点个数，并说明理由. 【答案】(1)实数的取值范围为；(2)函数在上的零点个数为1 【解析】（1）由题意得，令，解得，所以， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为， 由于时，，所以实数的取值范围为. （2）令，则，整理得， 令，则， 当时，．所以在上单调递减， 又，， 所以由零点存在性定理得，在上存在唯一零点． 当时，，此时函数无零点． 综上所述，在上存在唯一零点，即函数在上的零点个数为1． 类型六、隐零点问题 例．已知函数. (1)若在上单调递增，求实数的取值范围； (2)当时，证明：. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）， 由题得在上恒成立，. 设，则. 设，则， 显然，当时，单调递增，当时，单调递减， 在处取得最小值， ，即在上单调递增，即 ，经验证适合题意， 故实数的取值范围是. （2）当时，， . 令. 设，则， ，即在上单调递增. 又由， 在上有唯一的零点，即在上有唯一的零点，即， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， ， 设， 恒成立， 在上单调递增，    【变式训练1】已知函数，． (1)当时，证明：恒成立； (2)设表示不超过x的最大正整数，若，且关于a的方程有实数根，记b的最小值为t，求的值． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】（1）若时，且定义域为，， 令，则， 因为，所以恒成立，在上单调递增， 又，所以当时，，时，， 即当时，，时，， 所以时，单调递减，时，单调递增， 所以在时取最小值e， 又因为，当时，，当时，， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以在时取最大值e，从而恒成立． （2）因为关于a的方程有实数根，所以， 设，， 所以在上单调递增，且，， 所以存在点，使得，即，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为，所以， 所以， 所以， 所以． 【变式训练2】已知函数． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)若在区间上有唯一的零点，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）当时，， 所以， 所以在处的切线方程为，即． （2）由得， 设，则在上单调递增，， 当时，在区间上单调递增， 因为，所以在区间上没有零点. 当，即时，在区间上单调递减， 所以在区间上没有零点. 当时，， 存在，使得， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 因为，所以要使有零点，需满足， 即，综上得的取值范围是 类型七、构造函数求参 例．若存在正数，使得不等式有解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为，，所以，不等式可以化为， 令，则，所以． 当时，，故函数在上单调递增． 当时，，不合题意，舍去． 当时，，因为在上单调递增，， 所以，即．令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 当时，，所以在上单调递增，故， 所以，即，矛盾，故舍去． 当时，，所以当时，， 所以，即． 综上可得，实数的取值范围是． 【变式训练1】已知恒成立，则正数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由，可得． 令，易知在上单调递增， 由，可得， 故，即. 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则， 所以，即， 故正数的取值范围是. 故答案为：. 【变式训练2】已知函数． (1)若，求的最小值； (2)若方程有解，求实数a的取值范围． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）当时，， ， 设，则， 在上单调递增，且， 所以时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以； （2）即， 即， 设，则， ，设，则， 所以时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以，即，在上单调递增， 所以方程有解即在上有解， 有解，即有解， 设，则， 时，，单调递增， 时，，单调递减，所以， 当时，， 所以，即实数a的取值范围是． 类型八、双变量问题 例．已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)当时，若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析；(2) 【解析】（1），. 当时，恒成立，在上单调递减； 当时，由，解得，即在上单调递增， 由，解得，即在上单调递减. （2）当时，由（1）知， ，恒成立，在上单调递增，所以， 由题意知，即. 设，则，所以为增函数， 又，所以， 即的取值范围是. 【变式训练1】已知，，若对任意，都存在，使得，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由得. 设，. 则， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 所以，且当时，； 当时，. 故的值域为； 设，. 则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 所以，且当时，； 当时，. 故的值域为； 若，则，故值域， 且恒有. 由题意对任意，都存在，使得. 但当时，恒有， 即不存在，使得，故， 所以，则函数的值域为， 要使对任意，都存在， 使得，即， 则需的值域，则， 解得，故实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式训练2】已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若存在，使得，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，的减区间为，无增区间；当 时，的减区间为，增区间为 (3) 【解析】（1）当时，，则， 得，， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）由，则， 当时， 恒成立，此时在R上单调递减； 当时，令，解得， 此时与的变化情况如下：   - 0 + ↘ 极小值 ↗ 由上表可知，的减区间为，增区间为， 综上，当时，的减区间为，无增区间； 当时，的减区间为，增区间为． （3） 将在区间上的最大值记为，最小值记为， 因为存在，使得， 所以，使得成立，即或， 当时，， 若，使得成立，只需， 由（2）可知在区间上单调或先减后增， 故为与中的较大者， 所以只需当或即可满足题意， 即只需或， 解得或 ，         综上所述，的取值范围是． 类型九、不等式证明 例．已知函数（）. (1)讨论函数的单调区间； (2)当时，证明：. 【答案】(1)当时，的递增区间是（），递减区间为； 当时，的递增区间是，递减区间为； 当时，的递增区间是，无减区间； 当时，的递增区间是，递减区间为. (2)证明见解析 【解析】（1）， ①当时，当时，时，， 所以的递增区间是，递减区间为； ②当时，当时，时，， 所以的递增区间是，递减区间为； ③当时，的递增区间是，无减区间； ④当时，当时，时，， 所以的递增区间是，递减区间为. 综上，当时，的递增区间是（），递减区间为； 当时，的递增区间是，递减区间为； 当时，的递增区间是，无减区间； 当时，的递增区间是，递减区间为. （2）当时，，由题意可得，只需证明， 令， 则， 令，易知在上单调递增， ， 故存在，使得，即， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 故时，取得唯一的极小值，也是最小值. ， 所以，即当时，. 【变式训练1】已知函数. (1)当时，求函数在的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)证明：当时，. 【答案】(1)；(2)当时， 在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增；（3）证明见解析 【解析】（1）当时, ，所以. 得，点处的切线斜率为， 所以函数的图像在点处的切线方程为：， 即：. （2）由得， 当时，恒成立，则在上单调递减； 当时，令得， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增. 综上所述， 当时， 在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）可知，当时， 的最小值. 要证， 只需证 只需证 设. 则，令得. 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增. 所以在处取最小值，且， 所以得证， 即得证. 【变式训练2】已知函数. (1)若曲线在点处的切线与轴平行，求的值； (2)设函数，给出的定义域，并证明：曲线是轴对称图形； (3)证明：. 【答案】(1)1；(2)证明见解析；（3）证明见解析 【解析】（1）因为， 则， 由题意可知，，解得. （2）， 对于函数， 有，解得，即函数的定义域为， 对于函数，则，可得，解得或， 所以，函数的定义域为，故该定义域关于直线对称， 因为 ， 故函数的图象关于直线对称，所以曲线是轴对称图形. （3）当时，， 则，令， 则， 当时，，则函数在上为增函数，此时，， 即，所以，函数在上为增函数，此时，， 取，可得， 于是，即， 所以，， 故. 三、考前突破练 1．已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中可能是图象的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由的图象知，当时，，故，单调递增； 当时，，故，当，，故， 等号仅有可能在x＝0处取得， 所以时，单调递减； 当时，，故，单调递增，结合选项只有C符合. 故选：C. 2．已知当时，函数取得最大值2，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，因为当时，函数取得最大值2， 所以，即，解得， 所以，， 令，得；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，符合题意，所以. 故选：C 3．已知函数，，若，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，， ∴， 令， ∴在上单调递增， ∴，即，∴， 令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ∴， ∴的最小值为， 故选：B. 4．若两曲线与存在公切线，则正实数a的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设公切线与曲线与的交点分别为，，其中， 对于，得， 则与相切的切线方程为，即， 对于，得， 则与相切的切线方程为，即， 由公切线，得，，有，， 令，则，令，得， 当时，单调递增， 当时，单调递减. 所以，故，即. 故选：C 5．（多选）已知是定义在上的奇函数，其导函数为，且，则（  ） A．为偶函数 B．在上单调递增 C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，由是定义在上的奇函数，得，求导得， 即，因此函数为偶函数，A正确； 由，得，即， 解得，， 对于B，，因此在上单调递增，B正确； 对于C，，，即，C错误； 对于D，当时，， 求导得，函数在上单调递增，， 因此，D正确. 故选：ABD 6.（多选）定义在上的函数满足，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】构造函数，则， 因为，所以，故是增函数. 由得，， 即，故A正确； 由得，， 即，故B正确； 由得，， 即，故C错误； 由得，， 即，即，故D正确. 故选：ABD 7.若函数在处取得极小值，则实数 【答案】0 【解析】由，则，得或2， 时，，在R上单调递增，不满足； 时，，在上，在上， 所以在上单调递增，在上单调递减，满足题设，所以. 故答案为：0 8．一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为 ． 【答案】-2 【解析】因为，，所以，， 则在点处的切线方程为，即； 在点处的切线方程为：，即， 由已知，由得，故， 故，解得， 所以，因此 故答案为：-2 9．已知实数满足且，则的最小值为 . 【答案】 【解析】，即， 设，则上式表明， 求导得，当时，在上单调递增， 由于 ，令， ，当时，单调递减；当时，单调递增， . 故答案为：. 10．已知函数，其中 (1)讨论的单调性； (2)若函数有两个极值点，，证明： 【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）由题意得，函数的定义域为，且，， 令， 当，即时，恒成立，则，所以在上是单调递减； 当，即时，函数有两个零点：，， 当x变化时，，的变化情况如下表所示： x - 0 + 0 - 单调递减 单调递增 单调递减 综上，当时，在内单调递增， 在和上单调递减； 当时，在上单调递减. （2）由（1）知，当时，有两个极值点，， 则，是方程的两个根，由韦达定理，得，， 所以， ， 令，，则， 当时，，则在区间上单调递减， 从而， 故 11.已知函数． (1)若函数有两个零点，求的取值范围； (2)设是函数的两个极值点，证明：． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1），则， 令，得， 若函数有两个零点，则直线与函数的图象有两个不同的交点． 设，则． 当时，单调递减，当时，单调递增， 因此．当时，，当时，， 作出函数的大致图象与直线，如图所示，要使二者有两个不同交点， 则，故的取值范围为． （2）因为是函数的两个极值点，所以． 由（1）知，不妨设， 要证，即证， 只需证，显然． 由（1）知当时，单调递增，所以只需证， 而，所以即证． 设， 则， 当时，单调递减，所以当时，， 所以当时，，原不等式得证 12.函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求实数的值； (2)求函数的单调区间； (3)求函数的零点的个数. 【答案】(1)；(2)单调增区间为，，单调减区间为 (3)三个零点 【解析】（1）函数，所以. 依题意，解得. （2）由（1）知：函数，所以. 令，则， 记两根分别为，且，. 列表 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数的单调增区间为，，单调减区间为. （3）函数.    令，得或，所以是函数的一个零点. 下面只要研究零点情况. 由（1）知，且，即. 又因为函数在上单调递减，所以， 即函数在上有且只有一个零点. 又因为，，且函数在上单调递增， 所以，存在唯一的，使. 同理，又因为，，且函数在上单调递增， 所以，存在唯一的，使. 所以函数存在三个零点，，.   综上函数存在三个零点，，. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$