精品解析：山西省长治市2024-2025学年下学期期中测试七年级数学试卷

2024—2025学年第二学期期中教学质量评估试题 七年级数学 注意事项： 1．本试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷两部分，共8页，满分120分． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列方程解为的是（ ） A. B. C. D. 2. 据网络平台最新数据，截止到3月6日07时11分，电影《哪吒之魔童闹海》总票房已超145.80亿元，暂列全球票房第七名．根据美国电影电视工程师协会的规定，最佳观影角度应确保观众与银幕的视线夹角不低于，则观影角度应满足的不等关系为（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的不等式组的解集是，则a的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 2 4. 用代入法解方程组时，代入正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 等式的性质在生活中广泛应用．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度，左边同学比右边同学高5厘米，图中两人的对话体现的数学原理可表示为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 已知是方程组的解，则的值是（ ） A. 5 B. C. 25 D. 7. 已知的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（　　） 0 1 2 9 7 5 3 1 A. B. C. D. 9. 在数学活动课上，老师要求用长为，宽为的长方形硬纸片制作一个无盖的长方体纸盒．小亮同学在长方形硬纸片上截去两角（图中阴影部分），使纸盒底面的四边形是长方形，且．那么他沿虚线所折成的无盖的长方体纸盒的体积是（ ） A. B. C. D. 10. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空”．诗中后两句的意思是如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房，据此求客房和客人的数量，对于甲、乙、丙三人的解题方案，判断正确的个数是（ ） 甲：设客房有x间，则； 乙：设客人有y人，则； 丙：设客房有x间，客人有y人，则． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，把答案写在答题卡的横线上） 11. 已知方程，用含x的代数式表示y，则______． 12. 鱼缸里饲养A、B两种鱼，A种鱼的生长温度的范围是，B种鱼的生长温度的范围是，写出一个你认为适宜两种鱼生长的温度：__℃ 13. 当_______时，方程组的解满足． 14. 如图，若整式的值落在数轴上的区间②内，则整数________． 15. 现有一张宽为的长方形纸条，纸条两面的颜色分别为灰色和白色（图1是白色面，图2是灰色面），折叠该纸条得到如图3所示的图形．已知图中四个灰色的梯形是完全相同的，则原来的长方形纸条的长度为_________． 三、解答题（本大题含8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 解方程（组）： （1）； （2）． 17. 解不等式组：，并将解集表示在数轴上． 18. 利用电脑办公程序可反复进行同一公式的计算．如图是表格设置运算的一部分，设置公式为“”，每行从左至右均按公式规则进行计算．例如，第一行（单元格“”）表示的算式及显示的结果为． （1）求第二行“？”处（单元格“”）应显示的计算结果； （2）要使第三行显示的计算结果（单元格“”处）为最小的正整数，求“■”处（单元格“”）应输入的数值． 19. 有一个数学游戏，如图，一个实数从A，B，C三个位置中任选一个位置出发，按照通道内标注的要求进行运算后到下一个位置． 例如：将3按照 (或) 的顺序进行运算，是将数据3经过“乘以”的运算得出结果． （1）将 按照 的顺序进行运算， 列出算式并求出运算结果； （2）将一个大于3的数按照 的顺序进行运算，发现运算结果总小于 1． 请验证这个结论． 20. 许多人选择晨跑作为锻炼身体的一种方式．某日早上小飞与小浩相约在“水上公园”晨跑，从相同的起点匀速跑向相同的终点，跑完后，他们查看自己运动手表上的数据，得到如下信息： 信息一： 小飞出发时刻 智能手表数据 小飞结束时刻 智能手表数据 小浩出发时刻 智能手表数据 小浩结束时刻 智能手表数据 时刻 步数（690步） 心率（92次/分钟） 时刻 步数（4690步） 心率（132次/分钟） 时刻 步数（340步） 心率（85次/分钟） 时刻 步数（4840步） 心率（141次/分钟） 信息二：小飞每分钟比小浩多跑20步． 信息三：小飞每步比小浩每步多跑米．解决问题： （1）以上“信息一”中的a为__________； （2）列方程求起点与终点的距离． 21. 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”． 例如：已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”．问题解决： （1）请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”______（直接填写序号） ①， ②， ③； （2）若是方程组与不等式的“理想解”，求q的取值范围． 22. 根据以下素材，探索解决问题． 素材一：乐乐餐饮公司提供的早餐中，包含一个的鸡蛋、一份牛奶和一份谷物食品． 素材二：谷物、牛奶和鸡蛋的部分营养成分如下表： 项目 谷物 牛奶 鸡蛋 蛋白质（g） 9.0 3.0 12.0 脂肪（g） 2.1 3.2 8.0 水分（g） 40.2 89.8 74.1 素材三：乐乐餐饮公司有A，B两种午餐套餐（如下表），为了平衡膳食，建议在一周内，平均每顿午餐蔬菜的摄入量不少于280g，肉类摄入量不少于． 套餐 肉类 蔬菜类 主食 A B 问题解决： （1）若一份早餐包含一个的鸡蛋、牛奶和谷物食品，求该份早餐中蛋白质总含量； （2）若早餐中要求蛋白质总含量占早餐总质量的，已知乐乐餐饮提供的一份早餐的总质量为，求每份早餐中牛奶和谷物食品的质量？ （3）为平衡膳食、请你选出一周内符合午餐要求的A，B套餐组合（一周按5天计算）________（填序号）． ①A套餐1天、B套餐4天 ②A套餐2天、B套餐3天 ③A套餐3天、B套餐2天 ④A套餐4天、B套餐1天 23. 综合与探究 【问题情景】 小新将一副直角三角板（含和）按如图①所示方式摆放在直线上（，）． （1）【问题解决】 如图①，直接写出的度数为_________； （2）【拓展延伸】 如图②，若直角三角板绕着点C以每秒的速度顺时针方向旋转，直角三角板绕着点C以每秒的速度逆时针方向旋转，两块直角三角板同时运动，旋转时间为t秒． ①当秒时，求的度数； ②如图③，直线绕着点C以每秒的速度逆时针方向旋转，与两块直角三角板同时运动，当直线转动一周后，全部停止运动．若直线为的三等分线，求t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第二学期期中教学质量评估试题 七年级数学 注意事项： 1．本试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷两部分，共8页，满分120分． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列方程解为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将分别代入到A、B、C、D四个选项中的方程中，看方程左右两边是否相等，进行判断即可． 【详解】解：A．，故此选项不符合题意； B．，故此选项符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解的概念，使得一元一次方程等式成立的未知数的值叫做一元一次方程的解． 2. 据网络平台最新数据，截止到3月6日07时11分，电影《哪吒之魔童闹海》总票房已超145.80亿元，暂列全球票房第七名．根据美国电影电视工程师协会的规定，最佳观影角度应确保观众与银幕的视线夹角不低于，则观影角度应满足的不等关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式，解题的关键是正确理解不等式的定义，本题属于基础题型．根据题意列出不等式即可求出答案． 【详解】解：最佳观影角度应确保观众与银幕的视线夹角不低于， 观影角度应满足的不等关系为， 故选：C 3. 若关于x的不等式组的解集是，则a的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数，由不等式组的解集得出，再结合选项即可得出答案． 【详解】解：∵关于x的不等式组的解集是， ∴， 选项中只有2满足条件， 故选∶D 4. 用代入法解方程组时，代入正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用代入法解二元一次方程组，是基础知识要熟练掌握．将②代入①整理即可得出答案． 【详解】解：， 把②代入①得， ， 去括号得，． 故选：A． 5. 等式的性质在生活中广泛应用．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度，左边同学比右边同学高5厘米，图中两人的对话体现的数学原理可表示为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等式的性质，掌握等式的两个基本性质是解题的关键． 根据题意可得，根据等式的基本性质1，将的两边同时加即可． 【详解】解：由图可知， 根据等式的基本性质1，将的两边同时加，得， ∴A符合题意，BCD不符合题意， 故选：A． 6. 已知是方程组的解，则的值是（ ） A. 5 B. C. 25 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，把代入方程组，利用整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】解：把代入，得：， ∴； 故选A． 7. 已知的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了不等式的基本性质，根据不等式的基本性质求出，，进而得出，，然后求出的取值范围． 【详解】解：∵的解集是， ∴ ∴，， 解得，，即， 故选：A． 8. 整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（　　） 0 1 2 9 7 5 3 1 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的解，根据表格可知，当时，，故的解为． 【详解】解：由表格可知：当时，， ∴的解为． 故选C． 9. 在数学活动课上，老师要求用长为，宽为的长方形硬纸片制作一个无盖的长方体纸盒．小亮同学在长方形硬纸片上截去两角（图中阴影部分），使纸盒底面的四边形是长方形，且．那么他沿虚线所折成的无盖的长方体纸盒的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，一元一次方程的应用（几何问题）等知识点．由展开图分别计算出纸盒底面的边长以及长方体纸盒的高，进而计算出各自所折成的无盖长方体纸盒的容积即可． 【详解】解：设，则， 由题意可得：， 解得：， ， 长方体纸盒的高为：， 则所折成的无盖长方体纸盒的容积为：； 故选：C． 10. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空”．诗中后两句的意思是如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房，据此求客房和客人的数量，对于甲、乙、丙三人的解题方案，判断正确的个数是（ ） 甲：设客房有x间，则； 乙：设客人有y人，则； 丙：设客房有x间，客人有y人，则． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，正确列出方程和方程组． 【详解】解：设客房有x间，则，故甲正确，符合题意； 设客人有y人，则，故乙不正确，不符合题意； 设客房有x间，客人有y人，则，故丙正确，符合题意； 综上：正确的有甲、丙，共2个， 故选：C． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，把答案写在答题卡的横线上） 11. 已知方程，用含x的代数式表示y，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据等式的性质，对原方程进行变形，即可得到结果． 【详解】解：， 等式两边同时加，得： ． 12. 鱼缸里饲养A、B两种鱼，A种鱼的生长温度的范围是，B种鱼的生长温度的范围是，写出一个你认为适宜两种鱼生长的温度：__℃ 【答案】22（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出不等式组，掌握解集的规律：“同大取大，同小取小，大小小大取中间”是解题的关键． 根据题意列出不等式组，求不等式组解集的公共部分，然后确定合适温度即可． 【详解】解：由题意可得：，则， 所以适宜两种鱼生长的温度为22（不唯一，在即可） 故答案为：22． 13. 当_______时，方程组的解满足． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据方程组的解的情况求参数，先解二元一次方程组得到方程组的解，再根据方程组的解满足得到关于的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：整理原方程组得， 得：， 把代入②得，解得， ∴原方程组的解为， ∵原方程组的解满足， ∴， 解得， 故答案为：． 14. 如图，若整式的值落在数轴上的区间②内，则整数________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解不等式，由整式的值落在数轴上的区间②内得，解不等式得x的取值范围，进而可得整数x的值． 【详解】解：若整式的值落在数轴上的区间②内，则 ， 解得， 整数， 故答案为：． 15. 现有一张宽为的长方形纸条，纸条两面的颜色分别为灰色和白色（图1是白色面，图2是灰色面），折叠该纸条得到如图3所示的图形．已知图中四个灰色的梯形是完全相同的，则原来的长方形纸条的长度为_________． 【答案】47 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键．根据“如图摆放时的长度为”列方程求解． 【详解】解：设灰色梯形的上底为， 则， 解得：， ∴， 故答案为：47． 三、解答题（本大题含8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 解方程（组）： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的解法和二元一次方程组的解法，熟知相关计算方法是解题的关键． （1）通过去括号、移项、合并同类项等步骤，将方程化简最终求出解； （2）先通过去分母将含分数的方程转化为整式方程，再利用代入法或消元法联立方程求解． 【小问1详解】 解：去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1，得 【小问2详解】 解：原方程组整理得， 得：， 将代入②得：， 解得：， 故原方程组的解为 17. 解不等式组：，并将解集表示在数轴上． 【答案】， 在数轴上表示如图： 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集并在数轴上表示即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：； 解不等式②，得：， 所以不等式组的解集为： 18. 利用电脑办公程序可反复进行同一公式的计算．如图是表格设置运算的一部分，设置公式为“”，每行从左至右均按公式规则进行计算．例如，第一行（单元格“”）表示的算式及显示的结果为． （1）求第二行“？”处（单元格“”）应显示的计算结果； （2）要使第三行显示的计算结果（单元格“”处）为最小的正整数，求“■”处（单元格“”）应输入的数值． 【答案】（1）6； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，有理数的混合运算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）依据公式为“”即可求解； （2）设“■”处应输入的数值为，最小的正整数为1，依据公式为“”建立方程求解． 【小问1详解】 解：由题意，得 ， ∴第二行“？”处（单元格“”）应显示的计算结果为6； 【小问2详解】 解：设“■”处应输入的数值为，最小的正整数为1，由题意， 得，解得， ∴“■”处（单元格“”）应输入的数值为． 19. 有一个数学游戏，如图，一个实数从A，B，C三个位置中任选一个位置出发，按照通道内标注的要求进行运算后到下一个位置． 例如：将3按照 (或) 的顺序进行运算，是将数据3经过“乘以”的运算得出结果． （1）将 按照 的顺序进行运算， 列出算式并求出运算结果； （2）将一个大于3的数按照 的顺序进行运算，发现运算结果总小于 1． 请验证这个结论． 【答案】（1）， 原式 （2） 解：设这个数为x， 则． ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，不等式的性质，列代数式，根据题意列出算式并准确计算成为解题的关键． （1）根据列出算式，再根据有理数的混合运算法则进行计算即可； （2）先根据的运算顺序列出代数式，然后根据不等式的性质进行解答即可． 【小问1详解】 解：列式为： ． 【小问2详解】 略 20. 许多人选择晨跑作为锻炼身体的一种方式．某日早上小飞与小浩相约在“水上公园”晨跑，从相同的起点匀速跑向相同的终点，跑完后，他们查看自己运动手表上的数据，得到如下信息： 信息一： 小飞出发时刻 智能手表数据 小飞结束时刻 智能手表数据 小浩出发时刻 智能手表数据 小浩结束时刻 智能手表数据 时刻 步数（690步） 心率（92次/分钟） 时刻 步数（4690步） 心率（132次/分钟） 时刻 步数（340步） 心率（85次/分钟） 时刻 步数（4840步） 心率（141次/分钟） 信息二：小飞每分钟比小浩多跑20步． 信息三：小飞每步比小浩每步多跑米．解决问题： （1）以上“信息一”中的a为__________； （2）列方程求起点与终点的距离． 【答案】（1） （2）起点与终点的距离为米 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，有理数运算的应用，熟练掌握行程类一元一次方程的应用方法是解题的关键． （1）先求出小飞的速度，由小飞每分钟比小浩多跑步，得出小浩的速度，再求出小浩的步数，即可求出小浩的运动时间； （2）设小浩每步跑米，则小飞每步跑米，利用两人行驶路程相同列式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知小飞跑步分钟，步数为（步）， 则小飞跑步的速度为（步分钟）， 由小飞每分钟比小浩多跑步， 则小浩跑步的速度为（步分钟）， 由小浩跑步的步数为（步）， 则小浩跑步的时间为（分钟）， 由小浩出发时刻为， 则小浩结束时刻的值为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设小浩每步跑米，则小飞每步跑米， 根据题意得： ， 解得：， 所以（米）， 答：起点与终点的距离为米． 21. 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”． 例如：已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”．问题解决： （1）请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”______（直接填写序号） ①， ②， ③； （2）若是方程组与不等式的“理想解”，求q的取值范围． 【答案】（1）②③ （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，一元一次方程的解，解二元一次方程组，解答的关键是对相应的知识的掌握与灵活运用． （1）根据“理想解”的定义进行求解即可； （2）把代入相应的方程组和不等式，从而求得． 【小问1详解】 解：， 解得：， 当时， ①， 解得：，故①不符合题意； ②， 解得：，故②符合题意； ③， 解得：， 故不等式组的解集是：，故③符合题意； 故答案为：②③； 【小问2详解】 解：∵是方程组与不等式的“理想解”， ∴， 解得， ∴， 解得：． 22. 根据以下素材，探索解决问题． 素材一：乐乐餐饮公司提供的早餐中，包含一个的鸡蛋、一份牛奶和一份谷物食品． 素材二：谷物、牛奶和鸡蛋的部分营养成分如下表： 项目 谷物 牛奶 鸡蛋 蛋白质（g） 9.0 3.0 12.0 脂肪（g） 2.1 3.2 8.0 水分（g） 40.2 89.8 74.1 素材三：乐乐餐饮公司有A，B两种午餐套餐（如下表），为了平衡膳食，建议在一周内，平均每顿午餐蔬菜的摄入量不少于280g，肉类摄入量不少于． 套餐 肉类 蔬菜类 主食 A B 问题解决： （1）若一份早餐包含一个的鸡蛋、牛奶和谷物食品，求该份早餐中蛋白质总含量； （2）若早餐中要求蛋白质总含量占早餐总质量的，已知乐乐餐饮提供的一份早餐的总质量为，求每份早餐中牛奶和谷物食品的质量？ （3）为平衡膳食、请你选出一周内符合午餐要求的A，B套餐组合（一周按5天计算）________（填序号）． ①A套餐1天、B套餐4天 ②A套餐2天、B套餐3天 ③A套餐3天、B套餐2天 ④A套餐4天、B套餐1天 【答案】（1） （2）该早餐中牛奶，谷物 （3）② 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、百分数的应用等内容； （1）根据比例计算蛋白质总含量即可； （2）根据营养成分得条件建立二元一次方程组求解即可； （3）分别计算出每一方案的蔬菜总量和肉类总量，再进行比较即可． 【小问1详解】 解：由题意得，（g）； 答：该份早餐中蛋白质总含量为； 【小问2详解】 解：设该早餐中牛奶，谷物， 由题意得：， 解得：， 答：该早餐中牛奶，谷物； 【小问3详解】 解：A套餐每天蔬菜250克，肉类80克，B套餐每天蔬菜300克，肉类50克， 一周按5天计算， ①A套餐1天、B套餐4天，蔬菜总量为克，肉类总量为克； ②A套餐2天、B套餐3天，蔬菜总量为克，肉类总量为克； ③A套餐3天、B套餐2天，蔬菜总量为克，肉类总量为克； ④A套餐4天、B套餐1天，蔬菜总量为克，肉类总量为． 只有A套餐2天、B套餐3天满足蔬菜不少于克，肉类不少于克， 故选：②． 23. 综合与探究 【问题情景】 小新将一副直角三角板（含和）按如图①所示方式摆放在直线上（，）． （1）【问题解决】 如图①，直接写出的度数为_________； （2）【拓展延伸】 如图②，若直角三角板绕着点C以每秒的速度顺时针方向旋转，直角三角板绕着点C以每秒的速度逆时针方向旋转，两块直角三角板同时运动，旋转时间为t秒． ①当秒时，求的度数； ②如图③，直线绕着点C以每秒的速度逆时针方向旋转，与两块直角三角板同时运动，当直线转动一周后，全部停止运动．若直线为的三等分线，求t的值． 【答案】（1） （2）①；②，，， 【解析】 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，三角板中角度的计算，一元一次方程的实际应用： （1）利用平角的定义，进行求解即可； （2）①根据角的和差关系进行计算即可；②分在左侧，当在左侧，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 ①当时，， ∴； ②∵， ∴， 由题意，得：，，， （ⅰ）如图，当在左侧时，， ， ∵直线为的三等分线， ∴或， ∴或， 解得：或； （ⅱ）如图，当在左侧时：则：，， ∴或， ∴或 ∴或； 综上：或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $