精品解析：吉林省松原市前郭县南部学区2024～2025学年下学期八年级数学期中测试卷　

八年级数学期中测试卷 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 使式子有意义的的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 2. 下列二次根式中，与的乘积为有理数的是（ ） A. B. C. D. 3. 以下列各组数据为三边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，1，2 B. 2，3，4 C. 8，15，17 D. ，2， 4. 正方形具备而矩形不具备的性质是（ ） A. 四条边都相等 B. 四个角都是直角 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等 5. 如图，为测量位于一水塘旁的两点，间的距离，在地面上确定点，分别取，的中点，，量得，则，之间的距离是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，菱形的对角线交于坐标原点，若点的坐标为，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 计算：____． 8. 一个矩形的长为，宽为，则该矩形的面积为_____． 9. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOD=120°，AC=4，则△ABO的周长为_____________． 10. 如图，一支铅管放在圆柱笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，若铅笔长为，则这只铅笔露在笔筒外面的长度的最小值是_______________． 11. 如图，以正方形的边为边向其内部作等边三角形，连接．若，则的面积为______． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 计算：． 13. 计算 14. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点．四边形ABDE是平行四边形． 求证：四边形ADCE是矩形 15. 某学校数学兴趣小组准备利用所学知识测量该市一公园人工湖的长度，并画出如图所示的示意图，两名同学分别站在相距70米的水平线上点和点处，另有两名同学分别站在湖的两端点和点处，均垂直于，且测得，，过点作于点．计算人工湖两端点之间的距离（结果保留根号）． 16. 图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．在图①，图②，图③中按下列要求各画一个四边形，使其顶点均在格点上． （1）在图（1）中画一个正方形，且面积为10； （2）在图（2）中画一个菱形（不是正方形），且面积为4； （3）在图（3）中画一个平行四边形（不是特殊的平行四边形），且周长是无理数． 17. 将一张宽度相等的纸条如图放置，与的边交于点E、F，连接别与相交于M、N两点． 求证：四边形是平行四边形． 18. 如图，在四边形中，，，分别是，的中点，且，连接． （1）求的度数； （2）若，比长，求的长． 19. 如图，在平行四边形中，，，，且交于点O，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 20. 综合与探究 已知在菱形中，为锐角，E为的中点，连接． 【动手操作】 第一步：如图①，将四边形沿折叠，得到四边形，点B的对应点为点M，点C的对应点为点N． 第二步：如图②，连接． 【问题解决】 （1）如图①，若，则的度数是_________； （2）如图②，判断的形状，并说明理由； 【拓广探索】 （3）如图②，若，，在线段上存在点P，使是以为顶角的等腰三角形，直接写出的长度． 21. 如图，已知四边形为正方形，点为对角线上的点，连接，过点作，交边于点，以为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形； （2）求证：； （3）当五边形为轴对称图形时，若，直接写出的长． 22. 如图，在中，，，垂直平分于点．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，点到达终点时，、同时停止运动．设点运动的时间为秒． （1）的长为 　　 （2）用含的代数式表示线段的长． （3）当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． （4）当为钝角三角形时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学期中测试卷 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 使式子有意义的的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．根据分式的分母不能为、二次根式的被开方数大于或等于列出式子求解即可． 【详解】解：使式子有意义， 则，且， 解得：且， 故选：B． 2. 下列二次根式中，与的乘积为有理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式乘法运算、二次根式性质化简等知识，根据选项中所给的二次根式，由二次根式乘法运算法则计算，再由二次根式性质化简即可得到答案．熟记二次根式乘法运算、二次根式性质是解决问题的关键． 【详解】解：A、，不是有理数，不符合题意； B、，是有理数，符合题意； C、，不是有理数，不符合题意； D、，不是有理数，不符合题意； 故选：B． 3. 以下列各组数据为三边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，1，2 B. 2，3，4 C. 8，15，17 D. ，2， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理，实数的运算，根据勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】解：A、，不能构成三角形，不符合题意； B、，不能构成直角三角形，不符合题意； C、，能构成直角三角形，符合题意； D、，不能构成直角三角形，不符合题意； 故选C． 4. 正方形具备而矩形不具备的性质是（ ） A. 四条边都相等 B. 四个角都是直角 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查矩形与正方形的性质，熟练掌握性质能对其进行分析是解题的关键．根据正方形和矩形的性质，即可求解． 【详解】解：A、正方形的四条边相等，但矩形的对边相等，但邻边不一定相等，故A符合题意； B、正方形和矩形的四个角都是直角，均相等，故B不符合题意； C、正方形和矩形的对角线都互相平分，故C不符合题意； D、正方形和矩形的对角线均相等，故D不符合题意； 故选：A． 5. 如图，为测量位于一水塘旁的两点，间的距离，在地面上确定点，分别取，的中点，，量得，则，之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，根据三角形中位线定理解答即可，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，之间的距离是， 故选：． 6. 如图，菱形的对角线交于坐标原点，若点的坐标为，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形的对称性、关于原点中心对称的点的坐标特征等知识，由题意，结合菱形的对称性可知点与点关于坐标原点中心对称，由关于原点中心对称的点的坐标特征即可得到答案．熟记菱形的对称性、关于原点中心对称的点的坐标特征是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 点与点关于坐标原点中心对称， 点的坐标为， 点的坐标是， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 计算：____． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的性质化简，再相减． 【详解】解： 故答案是：． 【点睛】本题考查了二次根式的减法，解题的关键是掌握二次根式的化简及性质． 8. 一个矩形的长为，宽为，则该矩形的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，二次根式的应用，利用矩形的性质，结合二次根式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 9. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOD=120°，AC=4，则△ABO的周长为_____________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据矩形的性质，得到为等边三角形，边长为2，即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，AC=4 ∴，， ∴ 又∵∠AOD=120° ∴ ∴为等边三角形 ∴的周长为 故答案为6． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 10. 如图，一支铅管放在圆柱笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，若铅笔长为，则这只铅笔露在笔筒外面的长度的最小值是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，关键是把实际问题抽象成数学问题，当铅笔不垂直于底面放置时，利用勾股定理可求得铅笔露出笔筒部分的最小长度． 【详解】解：当铅笔不垂直于底面放置时，由勾股定理得：， 则铅笔在笔筒外部分的最小长度为：； 故答案为：． 11. 如图，以正方形的边为边向其内部作等边三角形，连接．若，则的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先由正方形性质、等边三角形性质得到相关角度与边的关系，再由两个三角形全等的判定与性质得到，过点作，如图所示，在中，由含的直角三角形性质和勾股定理求出，数形结合表示出的面积为，代值求解即可得到答案． 【详解】解：以正方形的边为边向其内部作等边三角形， ，，则， 在和中， ， ， 过点作，如图所示： 在中，，，，则，由勾股定理可得， ，， 的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形性质、等边三角形性质、全等三角形的判定与性质、含的直角三角形性质、勾股定理、间接求三角形面积等知识，熟练掌握相关几何性质是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先进行乘除运算，再合并同类二次根式即可，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 13. 计算 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可． 【详解】解： 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，关键在于正确应用乘法公式，简化计算． 14. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点．四边形ABDE是平行四边形． 求证：四边形ADCE是矩形 【答案】 证明：∵四边形ABDE是平行四边形， ∴AE∥BC，AB＝DE，AE＝BD． ∵D为BC的中点， ∴CD＝DB． ∴CD∥AE CD＝AE， ∴四边形ADCE是平行四边形． ∵AB＝AC， ∴AC＝DE． ∴平行四边形ADCE是矩形． 【解析】 【详解】略 15. 某学校数学兴趣小组准备利用所学知识测量该市一公园人工湖的长度，并画出如图所示的示意图，两名同学分别站在相距70米的水平线上点和点处，另有两名同学分别站在湖的两端点和点处，均垂直于，且测得，，过点作于点．计算人工湖两端点之间的距离（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理应用，涉及矩形判定与性质，过点作于点，如图所示，由矩形判定得到四边形是矩形，进而由矩形性质得到，在中，由勾股定理求解即可得到答案，熟记矩形判定与性质、勾股定理求线段长是解决问题的关键． 【详解】解：过点作于点，如图所示： ， ． 、均垂直于， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，，，则由勾股定理得． 16. 图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．在图①，图②，图③中按下列要求各画一个四边形，使其顶点均在格点上． （1）在图（1）中画一个正方形，且面积为10； （2）在图（2）中画一个菱形（不是正方形），且面积为4； （3）在图（3）中画一个平行四边形（不是特殊的平行四边形），且周长是无理数． 【答案】（1） 如图所示：正方形即为所求； （2） 如图所示： （3） 如图所示： 【解析】 【分析】（1）由题意可知正方形的边长为，选择的矩形，由勾股定理可知，矩形对角线为，如图所示即可得到答案； （2）由菱形性质，对角线相互垂直，且面积为对角线长度乘积的一半，如图所示即可得到答案； （3）在网格中选取的正方形、的矩形，由勾股定理求正方形及矩形的对角线为无理数，如图所示即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 菱形（不是正方形）即为所求； 【小问3详解】 解：，， 周长为无理数， 平行四边形（不是特殊的平行四边形）即为所求． 【点睛】本题考查复杂作图，涉及网格中由勾股定理求线段长、正方形的判定与性质、菱形判定与性质、平行四边形判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形及特殊平行四边形的相关判定与性质作图是解决问题的关键． 17. 将一张宽度相等的纸条如图放置，与的边交于点E、F，连接别与相交于M、N两点． 求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：纸条宽度相等， ， ， ，，即， 四边形是平行四边形， ， 又， 四边形是平行四边形． ，又， 四边形是平行四边形 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，根据平行四边形的判定分别证明四边形和四边形是平行四边形，进而结合平行四边形的性质可证得结论． 【详解】略 18. 如图，在四边形中，，，分别是，的中点，且，连接． （1）求的度数； （2）若，比长，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了三角形的中位线的性质，勾股定理，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形中位线的性质． （）先由三角形中位线可得，则可求出，最后利用角度和差即可求解； （）由题意可设，则，再由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵，分别是，的中点， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（）得：， 在中， 由勾股定理得：， 即， 解得：，即， ∵，分别是，的中点， ∴． 19. 如图，在平行四边形中，，，，且交于点O，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵E，F分别是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质与判定，菱形的判定与性质，勾股定理，含30度角的直角三角形特征，熟练掌握相关性质定理是解题关键 （1）先证明四边形是平行四边形，再证明其临边相等即可； （2）过点O作于点G，先求，再求，最后根据勾股定理求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点O作于点G， ∵E是的中点，， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 20. 综合与探究 已知在菱形中，为锐角，E为的中点，连接． 【动手操作】 第一步：如图①，将四边形沿折叠，得到四边形，点B的对应点为点M，点C的对应点为点N． 第二步：如图②，连接． 【问题解决】 （1）如图①，若，则的度数是_________； （2）如图②，判断的形状，并说明理由； 【拓广探索】 （3）如图②，若，，在线段上存在点P，使是以为顶角的等腰三角形，直接写出的长度． 【答案】（1）； （2）为直角三角形，理由如下： ∵翻折， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴为直角三角形； （3） 【解析】 【分析】（1）菱形的性质，求出的度数，折叠得到，即可得出结果； （2）根据折叠和中点，得到，等边对等角结合三角形的内角和定理，求出，即可得出结论； （3）先证明，得到，作，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出的长，三线合一求出的长，勾股定理求出的长，再利用线段的和差关系，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵折叠， ∴； 故答案为：； （2）略 （3）∵折叠， ∴垂直平分， 由（2）可知：， ∴， ∴， ∵菱形， ∴， ∵为的中点， ∴， 作，则：， ∴， ∵是以为顶角的等腰三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质，折叠的性质，等边对等角，含30度角的直角三角形，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，折叠的性质，是解题的关键． 21. 如图，已知四边形为正方形，点为对角线上的点，连接，过点作，交边于点，以为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形； （2）求证：； （3）当五边形为轴对称图形时，若，直接写出的长． 【答案】（1） 证明：过点作，，如图所示： 四边形是矩形， 是正方形的对角线， 是的角平分线， ， 四边形是正方形， 为矩形， ， ， ， 在和中， ， ， 为矩形， 矩形是正方形； （2） 证明：由（1）知矩形是正方形， ，， 四边形为正方形， ，， ， ， 在和中， ； （3） 【解析】 【分析】（1）过点作，，如图所示，由正方形的判定与性质得到相关角度与线段关系，再由两个三角形全等的判定得到，则，再由正方形的判定即可得证； （2）由正方形性质得到相关角度与线段关系，再由两个三角形全等的判定即可得证； （3）由五边形为轴对称图形，正方形的边，得到，，在中，由勾股定理求得，数形结合表示出，代值求解即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：五边形为轴对称图形，正方形的边， ，， 在中，，，则由勾股定理可得， ， 由（2）知， ， ． 【点睛】本题考查特殊平行四边形综合，涉及矩形的性质、正方形的判定与性质、角平分线判定与性质、全等三角形的判定与性质、轴对称图形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关几何判定与性质是解决问题的关键． 22. 如图，在中，，，垂直平分于点．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，点到达终点时，、同时停止运动．设点运动的时间为秒． （1）的长为 　　 （2）用含的代数式表示线段的长． （3）当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． （4）当为钝角三角形时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）8 （2）当点在线段上时，，当点在线段的延长线上时，； （3）或； （4）或或． 【解析】 【分析】（1）由垂直平分线的性质可求，由勾股定理可求解； （2）分两种情况讨论，列出代数式即可； （3）由平行四边形的性质可得，列出方程可求解； （4）分三种情况讨论，列出不等式组即可求解． 【小问1详解】 解：垂直平分于点， ，， ， ， 故答案为：8； 【小问2详解】 解：当点在线段上时，， 当点在线段的延长线上时，； 【小问3详解】 解：以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，且， ， 或， 解得：或； 【小问4详解】 解：当点在上，点在上时，则， ， ， 当在线段的延长线上时，点在上时， 当时，如图所示， ， 又， ∴， 解得：， ∴时，， 当点在线段的延长线上，点在上时，则， ， ， 综上所述：或或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，不等式的应用，一元一次方程的应用，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $