2025年江苏省南京市玄武区 第二次中考模拟数学练习卷

2025年江苏省南京市玄武区 第二次中考模拟数学练习卷 注意事项： 1．本试卷共8页．全卷满分120分，考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．） 1.下列各数：，，，，其中比大的数是(    ) A. B. C. D. 2.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 3.下列二次根式中，属于最简二次根式的是(    ) A. B. C. D. 4.如图，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，在此过程中绿化带上植物高度的平均数与方差均发生变化关于这两个统计量的变化情况，描述正确的是(    ) A. 平均数变小，方差变小B. 平均数变小，方差变大 C. 平均数变大，方差变大D. 平均数变大，方差变小 5.小兔和小龟进行了新型的“龟兔赛跑”比赛，它们在校园的型跑道图进行赛跑，小兔以为起点，沿着的线路到达终点，小龟以为起点沿着的线路到达终点小龟提前出发，小兔和小龟在经过线路中的大树时都休息了分钟，再以原速度继续比赛，最终小兔和小龟同时到达各自的终点设小兔所跑的时间为分钟，小龟所跑的路程与小兔所跑的路程差为米，，图是与的函数关系图象，有下列结论： 小龟跑了米后小兔出发； 当时，小龟到达大树开始休息； 小兔的速度为米分钟，大树距离小兔的起点米． 则以上说法正确的有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6.如图，在中，是边上的中点，连接，把沿翻折，得到，与交于点，连接，若，，则点到的距离为(    ) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7.比较大小：          填“”“”或“” 8.随着我国科技事业的不断发展，国产无人机所使用的芯片越来越先进，在芯片上某种电子元件大约只占，将用科学记数法表示为______． 9.分解因式：______． 10.若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 11.方程的解为______． 12.如图，正方形被分成两个小正方形和两个长方形，如果两小正方形的面积分别是和，那么两个长方形阴影部分的面积之和为          ． 13.如图，点是菱形的对称中心，连接、，，，为过点的一条直线，点、分别在、上，则图中阴影部分的面积为______． 14.如图，点是反比例函数上一点，矩形的周长是，正方形和正方形的面积之和为，则反比例函数的解析式是______． 15.如图，在四边形中，，，，对角线与相交于点，若，则          ． 16.如图，平行四边形中，，，，动点从点出发沿折线运动，到达点停止运动在运动过程中，过点作于点，设点的运动路程为，记为，的图象与的图象有个公共点时的取值范围______． 三、解答题（本大题共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.解不等式组． 18.先化简，再求值：，其中． 19.本小题分 如图，在▱中，、分别垂直于对角线的延长线，垂足分别为、求证：． 20.本小题分 小亮有黑、白各张卡片，分别写有数字把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，排成四行，排列规则如下： 从左至右按从小到大的顺序排列： 黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边． 小亮每行翻开了两张卡片，如图所示： 其余卡片上数字小亮让小明根据排列规则进行推算小明发现有的卡片上数字可以唯一确定，有的卡片上的数字并不能唯一确定． 求第四行最后一张白色卡片上数字． 小明对不能唯一确定的卡片上数字进行猜测，求小明一次猜对所有数字的概率． 21.本小题分 如图，矩形的对角线与交于点，为的中点，连接，过点作，交延长线于点，交于点，连接． 求证：四边形是平行四边形； 若，求的长． 22.本小题分 温州市以“数据能力”双轮驱动，创新打造区域医疗集成平台，通过项医学服务、云端智能算力调度和全场景智慧应用，为百姓健康保驾护航．为了进一步了解系统在患者就诊中资源调配的作用，在引入系统前后对患者就诊时长进行了抽样调查．以下是患者就诊时长随机抽样统计表单位：分钟： 患者就诊时长随机抽样统计表样本容量： 时长系统 众数分钟 中位数分钟 平均数分钟 方差分钟 系统人数 　 　 老系统人数 　 老系统就诊时长的众数是          ，系统就诊时长的中位数是          ； 计算系统患者的平均就诊时长： 结合以上数据，评价系统在患者就诊中是否起到了资源调配的作用． 23.本小题分 小区内开车必须遵守限速安全规范．如图，在某小区拐角处的一段道路上，有一儿童在处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的处驶来，经过秒直行到处刚好观察到处的儿童此时三点共线已知，，，，试问该汽车是否遵守行车安全规范？参考数据：，， 24.本小题分 如图，在四边形中，，平分，与相切于点，以为直径作交于点，交于点． 求证：； 若，求的半径． 25.本小题分 制作简易杆秤 杆秤示意图 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：其中秤盘质量克，重物质量克，秤砣质量克，秤纽与秤盘的水平距离为厘米，秤纽与零刻线的水平距离为厘米，秤砣与零刻线的水平距离为厘米． 【设计杆秤】 设定克，克，最大可称重物质量为克，零刻线与末刻线的距离定为厘米． 任务一：确定和的值． 当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于、的方程； 当秤盘放入质量为克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于、的方程； 根据和所列方程，求出和的值． 任务二：确定刻线的位置． 根据任务一，求关于的函数表达式； 从零刻线开始，每隔克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离． 26.本小题分 新定义：我们把抛物线其中与抛物线称为“关联抛物线”例如：抛物线的“关联抛物线”为：已知抛物线的“关联抛物线”为． 写出的表达式用含的式子表示及顶点坐标： 若，过轴上一点，作轴的垂线分别交抛物线于点，． 当时，求点的坐标； 当时，的最大值与最小值的差为，求的值． 27.本小题分 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 如图，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值． 【深入探究】 如图，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长． 【拓展延伸】 在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形若能，直接写出所有直角三角形的面积若不能，请说明理由． 第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年江苏省南京市玄武区第二次中考模拟数学练习卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各数：，，，，其中比大的数是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：，，故符合题意； B.，故不符合题意； C.，故不符合题意； D.，故不符合题意； 故选：． 利用有理数大小的比较方法：、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 2.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：、，无法计算，故此选项错误； B、，正确； C、，故此选项错误； D、，故此选项错误； 故选：． 直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则分别计算得出答案． 此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 3.下列二次根式中，属于最简二次根式的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、是最简二次根式，故此选项符合题意； 故选：． 满足以下两个条件：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可． 本题考查了最简二次根式，熟练掌握这个概念是解题的关键． 4.如图，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，在此过程中绿化带上植物高度的平均数与方差均发生变化关于这两个统计量的变化情况，描述正确的是(    ) A. 平均数变小，方差变小 B. 平均数变小，方差变大 C. 平均数变大，方差变大 D. 平均数变大，方差变小 【答案】A  【解析】解：园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，在此过程中绿化带上植物高度的平均数变小，方差变小． 故选：． 根据平均数和方差的定义解答即可． 此题考查了算术平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 5.小兔和小龟进行了新型的“龟兔赛跑”比赛，它们在校园的型跑道图进行赛跑，小兔以为起点，沿着的线路到达终点，小龟以为起点沿着的线路到达终点小龟提前出发，小兔和小龟在经过线路中的大树时都休息了分钟，再以原速度继续比赛，最终小兔和小龟同时到达各自的终点设小兔所跑的时间为分钟，小龟所跑的路程与小兔所跑的路程差为米，，图是与的函数关系图象，有下列结论： 小龟跑了米后小兔出发； 当时，小龟到达大树开始休息； 小兔的速度为米分钟，大树距离小兔的起点米． 则以上说法正确的有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C  【解析】解：当时，． 小龟所跑的路程与小兔所跑的路程差为米，， 小龟跑了米后小兔出发． 故正确； 点的坐标为表示第分时，乌龟与兔子的路程差为，兔子所跑的路程已经超过乌龟．但是第分钟时，两只动物的路程差为，那么在点处，应该是跑得快的小兔开始休息． 故错误； 第分到第分钟，只有乌龟在比赛，兔子在休息；第分钟时，两只动物的路程差为兔子也到了大树下，开始休息分钟，那么第到第分钟，只有兔子在比赛，并且在点处时到达终点． 兔子的速度米分，大树到终点的距离是米． 兔子的总路程米． 大树距离小兔的起点米． 故正确． 故选：． 根据点可判断出小龟跑了米后小兔出发； 根据点可得兔子所跑的路程已经超过乌龟，并且到达大树下开始休息分钟； 根据点可得乌龟到达大树下，开始休息分钟，那么第到第分钟，只有兔子在比赛，并且到达终点，可得大树到终点的路程，取路程除以时间即为兔子的速度，进而算出总路程，减去大树到终点的路程即为大树距离小兔的起点． 本题考查一次函数的应用．根据题意判断出函数图象中各个关键点是意义是解决本题的关键． 6.如图，在中，是边上的中点，连接，把沿翻折，得到，与交于点，连接，若，，则点到的距离为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：如图，连接，交于点，过点作于点， ，是边上的中点， ， 由翻折知，≌，垂直平分， ，，， ， 为等边三角形， ， ， ， 在中， ，， ，， ， 在中， ， ， ， ， 故选：． 连接，交于点，过点作于点，由翻折知，≌，垂直平分，证为等边三角形，利用解直角三角形求出，，，在中，利用勾股定理求出的长，在中利用面积法求出的长． 本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 7.比较大小：           填“”“”或“” 【答案】  【解析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键． 两个负数，绝对值大的反而小，故先通分比较和的大小，再比较和的大小即可． 【详解】解：， ， 故答案为． 8.随着我国科技事业的不断发展，国产无人机所使用的芯片越来越先进，在芯片上某种电子元件大约只占，将用科学记数法表示为______． 【答案】  【解析】解：． 故答案为：． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 9.分解因式： ______． 【答案】  【解析】解： ， 故答案为：． 先提公因式，再根据完全平方公式分解因式即可． 本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键． 10.若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】  【解析】解：由题意可得：，， 则， ． 故答案为：． 先利用已知条件求出，，从而得到，再将原式利用完全平方公式展开，利用替换项，整理后得到，即得． 本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值，正确进行计算是解题关键． 11.方程的解为______． 【答案】  【解析】解：原方程去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为， 故答案为：． 利用去分母将原方程化为整式方程，解得的值后进行检验即可． 本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 12.如图，正方形被分成两个小正方形和两个长方形，如果两小正方形的面积分别是和，那么两个长方形阴影部分的面积之和为          ． 【答案】  【解析】略 13.如图，点是菱形的对称中心，连接、，，，为过点的一条直线，点、分别在、上，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】  【解析】解：连接、， 点是菱形的对称中心， ，是与的交点， ，， ，， 为过点的一条直线， 四边形的面积四边形的面积菱形的面积， 菱形的面积， 四边形的面积， 阴影部分的面积四边形的面积，， 阴影部分的面积， 故答案为：． 先算出菱形的面积，再算出四边形的面积，因为阴影部分的面积四边形的面积，求得三角形的面积，可得阴影部分的面积． 本题考查了中心对称、菱形，关键是掌握菱形的性质． 14.如图，点是反比例函数上一点，矩形的周长是，正方形和正方形的面积之和为，则反比例函数的解析式是______． 【答案】  【解析】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，则，根据题意可得： ， 解得， 点在反比例函数图象上， ． 反比例函数的解析式为． 故答案为：． 设正方形的边长为，正方形的边长为，则，根据题意可得方程组求出即可得到反比例函数解析式． 本题考查了反比例函数值的几何意义、正方形性质、矩形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键． 15.如图，在四边形中，，，，对角线与相交于点，若，则          ． 【答案】  【解析】略 16.如图，平行四边形中，，，，动点从点出发沿折线运动，到达点停止运动在运动过程中，过点作于点，设点的运动路程为，记为，的图象与的图象有个公共点时的取值范围______． 【答案】或  【解析】解：过点作于点， 则， 则， 即， 则， 当点在上时， 则， 则； 当点在上时， 同理可得：， 即， 当时，，当时，，当时，， 根据上述点坐标描点、连线绘制图象如下： 从图象看，函数的最小值为答案不唯一； 当图象过和、时，为符合题意的临界点， 当图象过时，则， 直线的表达式为：，即， 当图象过时，则，则， 故或， 故答案为：或． 当点在上时，则，则，即可求解；当点在上时，同理可解；描点、连线绘制图象，再观察函数图象即可求解；图象过和、时，为符合题意的临界点，即可求解． 本题考查的是一次函数综合运用，涉及到函数作图、一次函数的性质，分类求解和数形结合是解题的关键． 三、计算题：本大题共2小题，共12分。 17.解不等式组． 【答案】解： 解不等式得：， 解不等式得：， 则不等式组的解集为．   【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 18.先化简，再求值：，其中． 【答案】解：原式分 分 ；分 当时，原式分  【解析】这道求代数式值的题目，不应考虑把的值直接代入，通常做法是先把代数式化简，然后再代入求值． 分式的混合运算需特别注意运算顺序及符号的处理，也需要对通分、分解因式、约分等知识点熟练掌握． 四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 如图，在▱中，、分别垂直于对角线的延长线，垂足分别为、求证：． 【答案】证明见解析．  【解析】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， 在和中， ， ≌， ． 由平行四边形的性质推出，，得到，由垂直的定义得到，即可证明≌，推出． 本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是由平行四边形的性质推出≌． 20.本小题分 小亮有黑、白各张卡片，分别写有数字把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，排成四行，排列规则如下： 从左至右按从小到大的顺序排列： 黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边． 小亮每行翻开了两张卡片，如图所示： 其余卡片上数字小亮让小明根据排列规则进行推算小明发现有的卡片上数字可以唯一确定，有的卡片上的数字并不能唯一确定． 求第四行最后一张白色卡片上数字． 小明对不能唯一确定的卡片上数字进行猜测，求小明一次猜对所有数字的概率． 【答案】；  ．  【解析】解：黑卡在左边， 白卡数字可能为或， 又白卡排在第一行， 第四行最后一张白色卡片上数字只能是； 每行能确定的数字为： 第一行： 第二行：  第三行： 第四行： 不能确定的是黑色、、，共有三种填法，是等可能性的，猜对的有一种， 即小明一次猜对所有数字的概率为． 根据规则确定数值； 根据不能确定的数字进行求概率即可． 本题考查了概率公式、图形类规律探索等知识，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 21.本小题分 如图，矩形的对角线与交于点，为的中点，连接，过点作，交延长线于点，交于点，连接． 求证：四边形是平行四边形； 若，求的长． 【答案】证明过程见解答；   ．  【解析】证明：四边形是矩形， ， ， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ≌， ， ， 四边形是平行四边形； 解：四边形是平行四边形，，四边形是菱形，，， 四边形是矩形， ，，，， ， 是等边三角形， ，， ，， ，， ， ， ． 根据矩形的性质证明≌，得，进而可以证明四边形是平行四边形； 结合证明四边形是菱形，得，，再证明是等边三角形，利用等边三角形的性质和含度角的直角三角形的性质即可解决问题． 本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含度角的直角三角形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，解题的关键是记住矩形、菱形的判定方法． 22.本小题分 温州市以“数据能力”双轮驱动，创新打造区域医疗集成平台，通过项医学服务、云端智能算力调度和全场景智慧应用，为百姓健康保驾护航．为了进一步了解系统在患者就诊中资源调配的作用，在引入系统前后对患者就诊时长进行了抽样调查．以下是患者就诊时长随机抽样统计表单位：分钟： 患者就诊时长随机抽样统计表样本容量： 时长系统 众数分钟 中位数分钟 平均数分钟 方差分钟 系统人数 　 　 老系统人数 　 老系统就诊时长的众数是          ，系统就诊时长的中位数是          ； 计算系统患者的平均就诊时长： 结合以上数据，评价系统在患者就诊中是否起到了资源调配的作用． 【答案】(1)30;20  (2)分钟；  (3)系统在患者就诊中是否起到了资源调配的作用，从众数、中位数、平均数上分析，系统比老系统用时更短；从方差上分析，系统就诊时长更稳定．  【解析】  本题考查了统计的应用，熟练掌握中位数，众数，平均数的计算方法是解答本题的关键． 根据众数、中位数的定义计算即可； 老系统就诊时长出现次数最多的是，出现了次， 老系统就诊时长的众数是． 系统就诊时长从小到大排列后，排在第和第位的是和， 系统就诊时长的中位数是． 故答案为：，；   根据加权平均数的计算公式求解即可；   根据众数、中位数、平均数、方差分析即可． 23.本小题分 小区内开车必须遵守限速安全规范．如图，在某小区拐角处的一段道路上，有一儿童在处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的处驶来，经过秒直行到处刚好观察到处的儿童此时三点共线已知，，，，试问该汽车是否遵守行车安全规范？参考数据：，， 【答案】解：中，， 由勾股定理得， ，， ， ， ， 在中，，， ， ， 小车行驶的速度为， 小车行驶符合安全规范．   【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 先由勾股定理得，证明，则，求出，再求出，最后比较即可． 24.本小题分 如图，在四边形中，，平分，与相切于点，以为直径作交于点，交于点． 求证：； 若，求的半径． 【答案】证明见解析；   的半径为．  【解析】证明：平分，为的切线， ，，， ， ， ， ， ； 解：以为直径作交于点，如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的半径为． 根据角平分线的定义得到，由切线的性质证明，进一步即可得到结论； 连接，得到，进而得出，得到，根据勾股定理得到，即可得到答案． 本题主要考查了切线的性质，勾股定理，圆周角定理，解直角三角形，正确的作辅助线是解题的关键． 25.本小题分 制作简易杆秤 杆秤示意图 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：其中秤盘质量克，重物质量克，秤砣质量克，秤纽与秤盘的水平距离为厘米，秤纽与零刻线的水平距离为厘米，秤砣与零刻线的水平距离为厘米． 【设计杆秤】 设定克，克，最大可称重物质量为克，零刻线与末刻线的距离定为厘米． 任务一：确定和的值． 当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于、的方程； 当秤盘放入质量为克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于、的方程； 根据和所列方程，求出和的值． 任务二：确定刻线的位置． 根据任务一，求关于的函数表达式； 从零刻线开始，每隔克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离． 【答案】由题意得，，，，，． 由题意得，，，． 由可得解得 由可知，，，则． 由可知，，当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有．相邻刻线间的距离为厘米．   【解析】略 26.本小题分 新定义：我们把抛物线其中与抛物线称为“关联抛物线”例如：抛物线的“关联抛物线”为：已知抛物线的“关联抛物线”为． 写出的表达式用含的式子表示及顶点坐标： 若，过轴上一点，作轴的垂线分别交抛物线于点，． 当时，求点的坐标； 当时，的最大值与最小值的差为，求的值． 【答案】(1)解：根据“关联抛物线”的定义可得的解析式为：，     ∵， ∴的顶点坐标为；   (2)①设点P的横坐标为m， ∵过点P作x轴的垂线分别交抛物线于点M，N， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∴或．            ②∵的解析式为：， ∴当时，， 当时，， 当时，， 根据题意可知，需要分三种情况讨论， I、当且时，即， 函数的最大值为；函数的最小值为， ∴， 解得或（舍）； Ⅱ、当且时，即， 函数的最大值为；函数的最小值为， ∴， 解得或（舍）： Ⅲ、当时，， 函数的最大值为，函数的最小值为； ∴， 解得（舍）； 综上，a的值为或．   【解析】  本题考查二次函数背景下新定义类问题，二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 根据“关联抛物线”的定义可得的解析式为：，利用待定系数法即可求解；   设点的横坐标为，过点作轴的垂线分别交抛物线于点，，，得出进行求解即可； 根据题意可知，需要分三种情况讨论，、当且和Ⅱ、当且以及当进行分析求解． 27.本小题分 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 如图，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值． 【深入探究】 如图，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长． 【拓展延伸】 在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形若能，直接写出所有直角三角形的面积若不能，请说明理由． 【答案】解：，，． ， ，， 即， ∽， ． 连接，延长交于点， 根据得∽， ， 是中线 ， ， ， 即， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形为矩形， ，，， ，， ， ， 设，，则， ， ， ， ，解得 ，， ，， ∽， ， ， ，解得． 如图，当与重合时，此时，此时是直角三角形， 故 如图，当在的延长线上时，此时，此时是直角三角形， 故 如图，当时，此时是直角三角形，过点作于点， ， ， ，，， 四边形是矩形， ， ， 故 如图，当时，此时是直角三角形，过点作于点，交于点， ，， ， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ，解得 故．  【解析】本题考查了旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理的判定和应用，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，熟练掌握三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，中位线定理是解题的关键． 根据，，证明，，继而得到，即，再证明∽，得到． 连接，延长交于点，根据得∽，得到，根据中线得到，继而得到，结合，得到即，得到，再证明，得证矩形，再利用勾股定理，三角形相似的判定和性质计算即可． 运用分类思想解答即可． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$