精品解析：新疆维吾尔自治区伊犁哈萨克自治州伊宁市第三中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题

高二年级 期中考试 数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 考生注意： 1．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册． 参考公式：经验回归方程： 样本相关系数 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1. 从4种花卉中任选3种，分别种在不同形状的三个花盆中，不同的种植方法有 A. 81种 B. 64种 C. 24种 D. 4种 【答案】C 【解析】 【详解】解答过程略 2. 营养学家对某地区居民的身高与营养摄入量的几组数据进行研究后发现两个变量存在相关关系，该营养学家按照不同的曲线拟合与之间的回归方程，并算出相关指数如下表所示： 拟合曲线 直线 指数曲线 抛物线 三次曲线 与的回归方程 相关指数 0.893 0.986 0.931 0312 则这组数据模型的回归方程的最好选择应是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相关指数的性质，相关指数的值越大，模型的拟合效果越好，即可得出答案． 【详解】相关指数的值越大，说明模型的拟合效果越好，观察可知，指数曲线的最大，故回归方程的最好选择应是， 故选：B． 3. 12人的兴趣小组中有5人是“三好学生”，现从中任选6人参加竞赛．若随机变量X表示参加竞赛的“三好学生”的人数，则为（ ） A. P(X＝6) B. P(X＝5) C. P(X＝3) D. P(X＝7) 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到变量服从参数为的超几何分布，结合概率的计算的公式，即可求解. 【详解】由题意知，随机变量服从参数为的超几何分布， 由概率的计算公式，可得表示的是的取值概率． 故选：C. 4. 已知二项式的展开式中的系数是10，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【详解】二项式的展开式为， 令，解得， 所以. 故选：B 5. 若随机变量满足，.则下列说法正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】依据随机变量数学期望与方差的运算规则求得和的值即可解决 【详解】随机变量满足，， 则，，据此可得，. 故选：D 6. 甲、乙、丙、丁4名志愿者被派往三个足球场参加志愿服务，每名志愿者都必须分配，每个足球场至少分配1名志愿者，但甲、乙不能安排在同一个足球场，则不同的分配方案共有（ ） A. 24种 B. 30种 C. 36种 D. 42种 【答案】B 【解析】 【分析】分类考虑，甲乙有可能各自参加一个足球场或者甲乙有一人和别人一起参加志愿服务，分别求出分配方案种数，相加即得答案. 【详解】由题意甲、乙不能安排在同一足球场中，故甲、乙各自参加一个足球场的服务时，共有种分配方案， 当甲或乙有一人和丙丁中的一人一起参加一个足球场的服务时，有种分配方案， 故不同的分配方案共有种， 故选：B 7. 函数在处有极小值5，则（ ） A. B. C. 或 D. 或3 【答案】A 【解析】 【分析】由题意条件和，可建立一个关于的方程组，解出的值，然后再将带入到中去验证其是否满足在处有极小值，排除增根，即可得到答案. 【详解】由题意可得，则，解得，或．当，时，．由，得；由，得．则在上单调递增，在上单调递减，故在处有极大值5，不符合题意．当，时，．由，得；由，得．则在上单调递减，在上单调递增，故在处有极小值5，符合题意，从而． 故选：A. 8. 盒中有a个红球，b个黑球，c个白球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球d个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题，设事件“第一次抽出的是红球”，事件“第一次抽出的是黑球”，事件“第一次抽出的是白球”， 事件“第二次抽出的是黑球”，则两两互斥，，由全概率公式得，求值即可 【详解】设事件“第一次抽出的是红球”，事件“第一次抽出的是黑球”，事件“第一次抽出的是白球”，事件“第二次抽出的是黑球”. 由全概率公式知 由题意，，，，，，则, 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为了解目前全市高一学生身体素质状况，对某校高一学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀，则下列说法正确的是（ ）附：若，则，. A. 该校学生体育成绩的方差为10 B. 该校学生体育成绩的期望为70 C. 该校学生体育成绩的及格率不到 D. 该校学生体育成绩的优秀率超过 【答案】BC 【解析】 【分析】由正态分布的期望、方差判断A、B正误，利用正态分布的对称性，结合特殊区间概率的求法求、即可判断C、D的正误. 【详解】A：由题设知，所以该校学生体育成绩的方差，错误； B：由题设知，即该校学生体育成绩的期望为70，正确； C：，所以该校学生体育成绩及格率不到85%，正确； D：，故该校学生体育成绩的优秀率为2.28%，故错误； 故选：BC. 10. 已知变量与具有线性相关关系，根据一组样本数据求得的回归直线方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则相关系数 C. 若点都在直线上，则相关系数或 D. 若越大，则越大 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据线性回归方程经过样本中心点，可判断A的真假；根据相关系数的意义，可判断BCD的真假. 【详解】对A：因为线性回归方程必过样本中心点，所以，故A正确； 对B：若，则变量与负相关，则相关系数，故B正确； 对C：若点都在直线上，则相关系数或，C正确； 对D：与的值无关，故D错误. 故选：ABC 11. 已知函数的导函数为，对任意的正数，都满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】设，利用导数求出的单调性，据此即可判断A和B选项；设，求出的单调性，据此可判断C和D选项. 【详解】设，则， 所以在上单调递增， 由得故A选项错误； 由得，故B选项正确； 设， 则 ， 所以在上单调递减， 由得，故C选项正确； 由得，故D选项正确. 故选：BCD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设随机变量X服从两点分布，若，则______． 【答案】0.6 【解析】 【分析】根据两点分布的性质即可求出答案. 【详解】随机变量X服从两点分布，则，又，联立解得． 故答案为：0.6. 13. 某次测量发现一组数据具有较强的相关关系，并计算得到经验回归方程，其中数据书写不清楚，若该数据对应的残差的绝对值不大于，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据回归方程，计算时的预测值，再根据残差的定义求的取值范围. 【详解】当时，， 由. 故答案为： 14. 已知函数的最小值为0，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的条件，利用同构变形并构造函数，借助函数的单调性转化成求函数的最小值. 【详解】依题意，对于恒成立，且能取得等号， 即对于恒成立，且能取得等号， 函数在上单调递增，不等式为， 则，即，因此在上恒成立，且能取得等号， 设，于是是函数在上的最小值， 求导得，当时，，当时，， 函数在上递减，在上递增，且， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：同构变形不等式，利用函数单调性转化成求函数的最小值是关键. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知函数，其导函数为，不等式的解集为. （1）求a，b的值； （2）求函数在上的最大值和最小值. 【答案】（1）；（2）最大值：，最小值：. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得的解集为，利用韦达定理即可求解. （2）利用导数判断函数的单调性，然后求出极值与端点值即可求解. 【详解】解：（1）由的解集为， 则 （2）由（1）问可知，， ，则 x 2 大于零 等于零 小于零 单调递增 极大值 单调递减 则， 由，，则. 【点睛】本题考查了由一元二次不等式的解集求参数、利用导数求函数的最值，考查了计算求解能力，属于基础题. 16. （1）一名同学有5本不同的数学书，3本不同的物理书，2本不同的化学书，现要将这些书放在一个单层的架子上．如果要将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开，那么有多少种不同的放法? （2）一条街道上原有6个路灯，假设保持这几个路灯的相对顺序不变，再多安装3个路灯，则一共有多少种不同的安装方法? 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）采用“元素相邻捆绑法”进行排列. （2）利用分布乘法计数原理求解. 【详解】（1）结合“元素相邻捆绑法”，满足条件的排列方法有： . （2）原有的6个路灯相对顺序不变，出现7个空，所以多安装的第一个路灯有7种安法；安好第7盏路灯后，出现8个空，所以多安装的第二个路灯有8种安法；安装好8个路灯后，出现9个空，所以多安装的第3个路灯有9种安法. 根据“分步乘法计数原理”可得，不同的安装方法有种. 17. 某网红冰淇淋公司计划在市某区开设分店，为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的5个区域的数据作了初步处理后得到下列表格，记表示在5个区域开设分店的个数，表示这个分店的年收入之和． (个) 1 2 3 4 5 (千万元) 1 1.6 2 2.4 3 （1）该公司经过初步判断，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的经验回归方程； （2）如果该公司最终决定在该区选择两个合适的地段各开设一个分店，根据市场调查得到如下统计数据：第一分店每天的顾客平均为300人，其中180人会购买该品牌冰淇淋，第二分店每天的顾客平均为200人，其中150人会购买该品牌冰淇淋．依据的独立性检验，能否认为两个店的顾客购买率有差异? 【答案】（1） （2）依据的独立性检验，能认为两个店的顾客购买率有差异. 【解析】 【分析】（1）利用最小二乘法求解即可. （2）根据已知条件得出列联表，再根据公式求出，再对照临界值表即可得出结论. 【小问1详解】 ，， ， ， 所以，. 所以关于的回归方程为：. 【小问2详解】 根据题意，得列联表如下： 买 不买 合计 分店一 180 120 300 分店二 150 50 200 合计 330 170 500 则， 所以依据的独立性检验，能认为两个店的顾客购买率有差异. 18. 某射击俱乐部将要举行移动靶射击比赛．比赛规则是每位选手可以选择在区射击3次或选择在区射击2次，在区每射中一次得3分，射不中得0分；在区每射中一次得2分，射不中得0分．已知参赛选手甲在区和区每次射中移动靶的概率分别是和． （1）若选手甲在区射击，求选手甲至少得3分的概率． （2）我们把在、两区射击得分的数学期望较高者作为选择射击区的标准，如果选手甲最终选择了在区射击，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出对立事件的概率，在得出选手甲至少得3分的概率； （2）分别求出在，区的得分的数学期望，从而得出不等式，解出的范围． 【小问1详解】 选手甲在区射击不得分的概率为， 选手甲在区射击至少得3分的概率为． 【小问2详解】 设选手甲在区射击的得分为，在乙区射击的得分为， 则的可能取值为0，3，6，9，的可能取值为0，2，4， 则，， ，， ，，， ， ， ，又， ． 19. 设函数在区间上可导，为函数的导函数．若是上的减函数，则称为上的“上凸函数”；反之，若为上的“上凸函数”，则是上的减函数． （1）判断函数在上是否为“上凸函数”，并说明理由； （2）若函数是其定义域上的“上凸函数”，求的取值范围； （3）已知函数是定义在上的“上凸函数”，为曲线上的任意一点，求证：除点外，曲线上的每一个点都在点处切线的下方． 【答案】（1）函数在上是“上凸函数”，理由见解析 （2） （3）证明过程见解析 【解析】 【分析】（1）求导得，令，只需判断在上是否恒成立即可； （2）由题意设，则恒成立，即当时，恒成立，从而分类讨论、分离参数即可求解； （3）构造函数，则，借助“上凸函数”的定义即可得证. 【小问1详解】 由题意，，令， 则，当时，， 即此时，所以即单调递减， 从而由定义可知函数在上是“上凸函数”； 【小问2详解】 因为， 所以，设， 则， 由题意函数是其定义域上的“上凸函数”， 所以单调递减， 从而当时，恒成立， 即当时，恒成立， 当时，不等式左边为，不等式成立，此时任意， 当时，恒成立， 而此时， 所以此时， 当时，恒成立， 而此时，等号成立当且仅当， 即此时，所以， 综上所述，的取值范围为； 【小问3详解】 设为曲线上的任意一点，过点的切线方程为， 令，则， 函数是定义在上的“上凸函数”，则单调递减， 所以当时，，此时单调递减， 所以，， 当时，，此时单调递增， 所以，， 综上所述，除点外，曲线上的每一个点都在点处切线的下方. 【点睛】关键点点睛：关键是得到当时，恒成立，由此即可顺利得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二年级 期中考试 数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 考生注意： 1．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册． 参考公式：经验回归方程： 样本相关系数 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1. 从4种花卉中任选3种，分别种在不同形状的三个花盆中，不同的种植方法有 A. 81种 B. 64种 C. 24种 D. 4种 2. 营养学家对某地区居民的身高与营养摄入量的几组数据进行研究后发现两个变量存在相关关系，该营养学家按照不同的曲线拟合与之间的回归方程，并算出相关指数如下表所示： 拟合曲线 直线 指数曲线 抛物线 三次曲线 与的回归方程 相关指数 0.893 0986 0.931 0.312 则这组数据模型的回归方程的最好选择应是（ ） A. B. C D. 3. 12人的兴趣小组中有5人是“三好学生”，现从中任选6人参加竞赛．若随机变量X表示参加竞赛的“三好学生”的人数，则为（ ） A. P(X＝6) B. P(X＝5) C. P(X＝3) D. P(X＝7) 4. 已知二项式的展开式中的系数是10，则实数（ ） A B. 1 C. D. 2 5. 若随机变量满足，.则下列说法正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 甲、乙、丙、丁4名志愿者被派往三个足球场参加志愿服务，每名志愿者都必须分配，每个足球场至少分配1名志愿者，但甲、乙不能安排在同一个足球场，则不同的分配方案共有（ ） A 24种 B. 30种 C. 36种 D. 42种 7. 函数在处有极小值5，则（ ） A. B. C. 或 D. 或3 8. 盒中有a个红球，b个黑球，c个白球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球d个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为了解目前全市高一学生身体素质状况，对某校高一学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀，则下列说法正确的是（ ）附：若，则，. A. 该校学生体育成绩的方差为10 B. 该校学生体育成绩的期望为70 C. 该校学生体育成绩的及格率不到 D. 该校学生体育成绩的优秀率超过 10. 已知变量与具有线性相关关系，根据一组样本数据求得的回归直线方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则相关系数 C. 若点都在直线上，则相关系数或 D. 若越大，则越大 11. 已知函数的导函数为，对任意的正数，都满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设随机变量X服从两点分布，若，则______． 13. 某次测量发现一组数据具有较强的相关关系，并计算得到经验回归方程，其中数据书写不清楚，若该数据对应的残差的绝对值不大于，则的取值范围为___________． 14. 已知函数的最小值为0，则________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知函数，其导函数为，不等式的解集为. （1）求a，b值； （2）求函数在上的最大值和最小值. 16. （1）一名同学有5本不同的数学书，3本不同的物理书，2本不同的化学书，现要将这些书放在一个单层的架子上．如果要将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开，那么有多少种不同的放法? （2）一条街道上原有6个路灯，假设保持这几个路灯的相对顺序不变，再多安装3个路灯，则一共有多少种不同的安装方法? 17. 某网红冰淇淋公司计划在市某区开设分店，为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的5个区域的数据作了初步处理后得到下列表格，记表示在5个区域开设分店的个数，表示这个分店的年收入之和． (个) 1 2 3 4 5 (千万元) 1 1.6 2 2.4 3 （1）该公司经过初步判断，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的经验回归方程； （2）如果该公司最终决定在该区选择两个合适的地段各开设一个分店，根据市场调查得到如下统计数据：第一分店每天的顾客平均为300人，其中180人会购买该品牌冰淇淋，第二分店每天的顾客平均为200人，其中150人会购买该品牌冰淇淋．依据的独立性检验，能否认为两个店的顾客购买率有差异? 18. 某射击俱乐部将要举行移动靶射击比赛．比赛规则是每位选手可以选择在区射击3次或选择在区射击2次，在区每射中一次得3分，射不中得0分；在区每射中一次得2分，射不中得0分．已知参赛选手甲在区和区每次射中移动靶的概率分别是和． （1）若选手甲在区射击，求选手甲至少得3分的概率． （2）我们把在、两区射击得分的数学期望较高者作为选择射击区的标准，如果选手甲最终选择了在区射击，求的取值范围． 19. 设函数在区间上可导，为函数的导函数．若是上的减函数，则称为上的“上凸函数”；反之，若为上的“上凸函数”，则是上的减函数． （1）判断函数在上是否为“上凸函数”，并说明理由； （2）若函数是其定义域上的“上凸函数”，求的取值范围； （3）已知函数是定义在上的“上凸函数”，为曲线上的任意一点，求证：除点外，曲线上的每一个点都在点处切线的下方． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$