精品解析：云南省部分学校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试卷

高一数学期中考试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册占30%，必修第二册第六章至第八章第4节占70%． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则的元素个数是（ ） A. 9 B. 7 C. 5 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据并集的定义即可求解. 【详解】由题意可得，则有7个元素． 故选：B. 2. 下列命题正确的是（ ） A. 正四棱柱是正方体 B. 圆锥的截面是圆 C. 一个棱柱至少有5个面 D. 正三棱锥的所有面都是全等的等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据柱体和锥体的定义，即可判断选项. 【详解】正四棱柱是底面为正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱，不一定是正方体，也可能是长方体，故A错误. 圆锥的轴截面是三角形，只有平行于底面的截面才是圆，故B错误. 一个棱柱至少有5个面，比如三棱柱，故C正确. 正三棱锥的所有侧面都是全等的等腰三角形，底面是等边三角形，故D错误. 故选：C 3. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理，结合三角形的性质进行求解即可. 【详解】由题意可得，则或. 因为，所以，所以. 故选：A 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角和同角三角函数的基本关系，结合充分性和必要性进行判断即可得出结论. 【详解】由，且，得， 则；故 由，得， 所以 ∵，∴ ∴ 由，解得或 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：A. 5. 已知是关于的方程（，）的一个根，则（ ） A. 10 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据虚根成对原理可知是方程的另一个根，再由韦达定理计算可得. 【详解】因为是关于的方程（，）的一个根， 所以关于的方程（，）的另一个根为， 所以，解得． 故选：B 6. 下列命题正确的是（ ） A. 两条相交直线不能确定一个平面 B. 若，，三点既在平面内，又在平面内，则平面与重合 C. 若直线，，两两平行，则直线，，共面 D. 若平面与平面交于直线，直线在平面内，且与平面交于点，则点在直线上 【答案】D 【解析】 【分析】由两条相交直线确定平面判断A；当，，三点在同一条直线上时，得不出结论判断B；举反例判断C；利用基本事实3可得点在平面与平面的交线上，可判断D. 【详解】两条相交直线确定一个平面，故A错误． 当，，三点在同一条直线上时，平面与可以不重合，故B错误． 三棱柱的三条侧棱两两平行，但这三条侧棱不共面，故C错误． 由直线在平面内，且与平面交于点可知点既在平面内，又在平面内，则点在平面与平面的交线上，故D正确． 故选：D. 7. 若是的边上的一点（不包含端点），且，则的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据共线向量定理的推论得，然后利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为是的边上的一点（不包含端点）且， 可得，，， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：C 8. 已知函数（）在上恰有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得，结合零点的个数可得，求解即可. 【详解】因为，，所以， 又因为函数在上恰有3个零点， 所以，解得， 所以的取值范围是． 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量平行坐标表示计算求参判断A，根据垂直坐标运算计算求参判断B，根据向量的线性运算判断C，应用模长公式计算求值判断D. 【详解】由，得，解得，故A错误； 由，得，解得，故B正确； 由，得，解得，故C正确； 由，得，解得，故D错误． 故选：BC. 10. 对于任意的，函数满足，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】令可判断A选项；令可判断B选项； 由，令可判断C选项，再利用，即可判断D选项. 【详解】令，得，解得，故A正确； 令，得，即， 因为，，所以，故B错误； 因，则， 令，则，故C正确； 又，， 则，故D正确． 故选：ACD 11. 已知直三棱柱的外接球的半径为5，是以为斜边的直角三角形，且，则（ ） A. 直三棱柱的体积的最大值是24 B. 直三棱柱的体积的最大值是72 C. 直三棱柱的侧面积的最大值是 D. 直三棱柱的表面积的最大值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求得直三棱柱的高为，设，，根据题意得到，分别求出直三棱柱的体积、侧面积、底面积的表达式，利用基本不等式即可判断各选项. 【详解】由题意可得直三棱柱的高为． 设，，则． 直三棱柱的体积． 因为，所以， 当且仅当时，等号成立，则，故A错误，B正确． 直三棱柱的侧面积． 因为， 所以，解得， 则，当且仅当时，等号成立，故C正确． 直三棱柱的上、下底面的面积之和， 当且仅当时，等号成立， 则直三棱柱的表面积， 当且仅当时，等号成立，故D正确． 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用共轭复数及复数除法运算求解即可. 【详解】因为，所以． 故答案为：. 13. 某班数学老师组织本班学生开展课外实地测量活动，如图，这是要测量的一建筑物的高度，选择与该建筑物底部在同一水平面上的，两点，测得米，，，，则该建筑物的高度______米. 【答案】20 【解析】 【分析】设米，在和中，分别表示出和的长，在中，由余弦定理即可求出建筑物的高度. 【详解】设米，在中，因为，则米. 在中，因为，所以米. 在中，由余弦定理可得， 因为米，则， 即，解得，所以米. 故答案为：20 14. 某企业为研发新产品，投入研发的经费逐月递增．已知该企业2025年1月投入该新产品的研发经费为20万元，之后每个月的研发经费在上一个月的研发经费的基础上增加20%，记2025年1月为第1个月，第（）个月该企业投入该新产品的研发经费不低于40万元，则的最小值是_______（参考数据：，） 【答案】5 【解析】 【分析】表示出第个月投入的研发经费为万元，根据题意列不等式，并根据指数函数和对数的运算性质求出的取值范围，即可得解. 【详解】由题意可得，则，所以， 所以，所以． 因为，所以的最小值为5． 故答案为：5. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，． （1）若是纯虚数，求； （2）若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的定义列方程求出，再利用复数的模长公式计算即可； （2）根据复数的几何意义列不等式组，求解即可. 【小问1详解】 因为是纯虚数，所以，解得， 则，所以，故． 【小问2详解】 由题意可得，解得， 所以的取值范围为． 16. 如图，这是一个六角螺帽，它可视作从一个正六棱柱中挖掉一个圆柱，且该圆柱底面圆的圆心与正六棱柱底面中心重合．正六棱柱底面六边形的边长为8毫米，圆柱底面圆的半径为5毫米，六角螺帽的高为10毫米． （1）求这个六角螺帽的体积； （2）求这个六角螺帽的表面积． 【答案】（1）（立方毫米）． （2）（平方毫米）． 【解析】 【分析】（1）利用棱柱和圆柱的体积公式计算即可； （2）利用棱柱和圆柱的侧面积公式计算即可 【小问1详解】 由题意可得，正六棱柱底面六边形的面积（平方毫米）， 圆柱底面圆的面积（平方毫米）， 正六棱柱和圆柱的高（毫米）， 则这个六角螺帽的体积（立方毫米）． 【小问2详解】 由（1）可知这个六角螺帽的上、下底面的面积之和 （平方毫米）， 正六棱柱的侧面积（平方毫米）， 圆柱的侧面积（平方毫米）， 则这个六角螺帽的表面积（平方毫米）． 17. 如图，在四边形中，，，是的中点，． （1）用向量，表示向量，； （2）若，，求的值． 【答案】（1）； （2）18. 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的线性运算可得结果； （2）根据平面向量的线性运算，用向量，分别表示向量，再利用向量数量积的运算律求解即可. 【小问1详解】 因为是的中点，所以， 则． 因为，，所以， 则． 【小问2详解】 因为，所以， 则． 由（1）可知，，则， 故． 因为，，所以， 则． 18. 已知函数（，）的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）求在上的值域； （3）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）利用周期可求得，进而利用的图象过点，可求得，进而可求得函数的解析式； （2）由已知可得，进而可求得在上的值域； （3）设，可得，从而可得，求解即可. 【小问1详解】 由题意可得的最小正周期， 因为，且，所以． 因为的图象过点，所以， 所以． 因为，所以． 故． 【小问2详解】 因为，所以． 当，即时，取得最大值，最大值为； 当，即时，取得最小值，最小值为． 故在上的值域为． 【小问3详解】 设，由（2）可知． 因为对任意的，不等式恒成立， 所以对任意的，不等式成立， 所以， 解得，即的取值范围是． 19. 如图，在四边形中，，，是等边三角形． （1）若，求的面积； （2）若，求的面积； （3）求的面积的最大值． 【答案】（1） （2）. （3）． 【解析】 【分析】（1）通过余弦定理建立方程，求出等边的边长.从而得到面积.， （2）在中用余弦定理得到得余弦及正弦值，从而得到的余弦值，进而求出的面积. （3）由（2）知，可设出，通过正余弦定理在表示出，表示出，最终通过辅助角公式求最值得出第（3）问. 【小问1详解】 在中，由余弦定理可得: ，则． 因为是等边三角形，所以的面积． 【小问2详解】 在中，由余弦定理可得， 则，故， 因为是等边三角形，所以， 所以 ， 则的面积为， 【小问3详解】 设，， 在中，由正弦定理可得，则， 由余弦定理可得， ， 则， 所以的面积： ， 因为，， 所以， 当时，取得最大值，即的面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学期中考试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册占30%，必修第二册第六章至第八章第4节占70%． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则的元素个数是（ ） A. 9 B. 7 C. 5 D. 2 2. 下列命题正确的是（ ） A. 正四棱柱是正方体 B. 圆锥的截面是圆 C. 一个棱柱至少有5个面 D. 正三棱锥的所有面都是全等的等边三角形 3. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知是关于的方程（，）的一个根，则（ ） A. 10 B. C. 5 D. 6. 下列命题正确的是（ ） A. 两条相交直线不能确定一个平面 B. 若，，三点既在平面内，又在平面内，则平面与重合 C. 若直线，，两两平行，则直线，，共面 D. 若平面与平面交于直线，直线在平面内，且与平面交于点，则点在直线上 7. 若是的边上的一点（不包含端点），且，则的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 8. 已知函数（）在上恰有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 对于任意的，函数满足，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知直三棱柱的外接球的半径为5，是以为斜边的直角三角形，且，则（ ） A. 直三棱柱的体积的最大值是24 B. 直三棱柱的体积的最大值是72 C. 直三棱柱的侧面积的最大值是 D. 直三棱柱的表面积的最大值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数，则_______． 13. 某班数学老师组织本班学生开展课外实地测量活动，如图，这是要测量的一建筑物的高度，选择与该建筑物底部在同一水平面上的，两点，测得米，，，，则该建筑物的高度______米. 14. 某企业为研发新产品，投入研发的经费逐月递增．已知该企业2025年1月投入该新产品的研发经费为20万元，之后每个月的研发经费在上一个月的研发经费的基础上增加20%，记2025年1月为第1个月，第（）个月该企业投入该新产品的研发经费不低于40万元，则的最小值是_______（参考数据：，） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，． （1）若是纯虚数，求； （2）若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 16. 如图，这是一个六角螺帽，它可视作从一个正六棱柱中挖掉一个圆柱，且该圆柱底面圆的圆心与正六棱柱底面中心重合．正六棱柱底面六边形的边长为8毫米，圆柱底面圆的半径为5毫米，六角螺帽的高为10毫米． （1）求这个六角螺帽的体积； （2）求这个六角螺帽的表面积． 17. 如图，在四边形中，，，是的中点，． （1）用向量，表示向量，； （2）若，，求的值． 18. 已知函数（，）的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）求在上的值域； （3）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 19. 如图，在四边形中，，，是等边三角形． （1）若，求的面积； （2）若，求的面积； （3）求的面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $