甘肃省甘南州临潭县第一中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学（练习卷）

2024-2025学年度第二学期期末考试（练习卷） 高二 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 已知函数 ，则 A． B． C． D． 甲、乙、丙三人参加学业水平测试，已知他们通过测试的概率分别为 ，，，且每人是否通过测试相互独立，则这三人中至少有一人通过测试的概率为 A． B． C． D． 已知随机变量 ，若 ，则 A． B． C． D． 如图，在四面体 中，，，， 为 的中点， 为 的中点，则 可用向量 ，， 表示为 A． B． C． D． 已知函数 的图象与 轴相切于点 ，则函数 的极小值为 A． B． C． D． 如图，在正方体 中，棱长为 ，， 分别为 和 上的点，，则 与平面 的位置关系是 A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定 从 ，，，，，，，， 中不放回地依次取 个数，事件 为“第一次取到的是奇数”， 为“第二次取到的是 的整数倍”，则 A． B． C． D． 已知函数 的图象上有且仅有四个不同的点关于直线 的对称点在 的图象上，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分. 已知函数 ，下列结论中正确的是 A． 的图象关于 中心对称 B． 的图象关于 对称 C． 的最大值为 D． 既是奇函数，又是周期函数 甲罐中有 个红球， 个白球和 个黑球，乙罐中有 个红球， 个白球和 个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 ， 和 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是 A． B． C．事件 与事件 相互独立 D． ，， 是两两互斥的事件 如图，正方体 的棱长为 ，以下结论正确的是 A．异面直线 与 所成的角为 B．直线 与 垂直 C．直线 与 平行 D．三棱锥 的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 ． 设函数 ，若 ，，则 ，， 的大小关系是 ． 为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员 名，其中种子选手 名；乙协会的运动员 名，其中种子选手 名．从这 名运动员中随机选择 人参加比赛，则事件“选出的 人中恰有 名种子选手，且这 名种子选手来自同一个协会”的概率为 ，设随机变量 为“选出的 人中种子选手的人数”，则 的数学期望为 ． 4、 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （13分）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形，侧棱 的长为 ，且 与 ， 的夹角都等于 ， 是 的中点，设 ，，． (1) 试用 ，， 表示向量 ； (2) 求 的长． （15分）小李下班后驾车回家的路线有两条．路线 经过三个红绿灯路口，每个路口遇到红灯的概率都是 ；路线 经过两个红绿灯路口，第一个路口遇到红灯的概率是 ，第二个路口遇到红灯的概率是 ．假设两条路线全程绿灯时的驾车回家时长相同，且每个红绿灯路口是否遇到红灯相互独立． (1) 若小李下班后选择路线 驾车回家，求至少遇到一个红灯的概率． (2) 假设每遇到一个红灯驾车回家时长就会增加 ，为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间（单位：）的期望最小，小李应选择哪条路线？请说明理由． （15分）已知函数 在 处有极值 ． （Ⅰ）求 ， 的值； （Ⅱ）证明：． （17分）如图， 且 ，， 且 ， 且 ，，． (1) 若 为 的中点， 为 的中点，求证：； (2) 求二面角 的正弦值； (3) 若点 在线段 上，且直线 与平面 所成的角为 ，求线段 的长． （17分）某游戏公司对今年新开发的一些游戏进行测评，为了了解玩家对游戏的体验感，研究人员随机调查了 名玩家，对他们的游戏体验感进行测评，并将所得数据统计如图所示，其中 ． (1) 求这 名玩家测评分数的平均数； (2) 由于该公司近年来生产的游戏体验感较差，公司计划聘请 位游戏专家对游戏进行初测，如果 人中有 人或 人认为游戏需要改进，则公司将回收该款游戏进行改进；若 人中仅 人认为游戏需要改进，则公司将另外聘请 位专家二测，二测时， 人中至少有 人认为游戏需要改进的话，公司将对该款游戏进行回收改进．已知该公司每款游戏被每位专家认为需要改进的概率为 ，且每款游戏之间改进与否相互独立． ①对该公司的任意一款游戏进行检测，求该款游戏需要改进的概率； ②每款游戏聘请专家测试的费用均为 元/人，今年所有游戏的研发总费用为 万元，现对该公司今年研发的 款游戏都进行检测，假设公司的预算为 万元，判断这 款游戏所需的最高费用是否超过预算，并通过计算说明． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 参考答案 一、单项选择题（共8题，共40分） 1. 【答案】C 2. 【答案】D 【解析】所求事件的对立事件为“三人均未通过测试”，概率为 ， 故至少一人通过测试的概率为 ． 3. 【答案】A 【解析】由已知 ， 所以 ， 故选：A． 4. 【答案】B 5. 【答案】A 【解析】 ，由题知 ，又 ，联立两个方程，解得 ，， 所以 ，，令 ，解得 或 ，经检验，知 是函数的极小值点， 所以 ． 6. 【答案】B 【解析】因为正方体棱长为 ，， 所以 ，， 所以 又因为 是平面 的 法向量， 且 ， 所以 ， 所以 ． 7. 【答案】B 8. 【答案】A 【解析】可求得直线 关于直线 的对称直线为 ， 当 时，，， 当 时，，则当 时，， 单减，当 时，， 单增； 当 时，，， 当 ，，当 时， 单减，当 时， 单增； 根据题意画出函数大致图象，如图： 当 与 相切时，得 ，解得 ； 当 与 相切时，满足 解得 ，， 结合图象可知 ，即 ，． 二、多项选择题（共3题，共18分） 9. 【答案】A；B；D 【解析】对于A，因为 ， ， 所以 ， 可得 的图象关于 中心对称，故A正确； 对于B，因为 ， ， 所以 ， 可得 的图象关于直线 对称，故B正确； 对于C，化简得 ， 令 ，，， 因为 的导数 ， 所以当 ， 时，， 函数 为减函数； 当 时，，函数 为增函数． 因此函数 的最大值为 或 ， 结合 ， 可得 的最大值为 ． 由此可得 的最大值为 而不是 ，故C不正确； 对于D，因为 ，所以 是奇函数． 因为 ， 所以 为函数 的一个周期，得 为周期函数． 可得 既是奇函数，又是周期函数，得D正确． 10. 【答案】B；D 【解析】易见 ，， 是两两互斥的事件， ． 11. 【答案】A；B；D 【解析】如图所示，建立空间直角坐标系． A中，，，，， 所以 ，， 所以 ， 所以异面直线 与 所成的角为 ． B中，，， ， 所以直线 与 垂直． C中，， 因为 ， 所以直线 与 垂直，不平行； D中，三棱锥 的体积 ． 综上可知，只有C不正确． 故选ABD． 三、填空题（共3题，共15分） 12. 【答案】 【解析】因为随机变量 服从正态分布 ， 所以正态分布密度曲线关于直线 对称． 因为 ， 所以 ． 所以 ． 13. 【答案】 14. 【答案】 ； 【解析】记“选出的 人中恰有 名种子选手，且这 名种子选手来自同一个协会”为事件 ，由已知， 有 ， 所以事件 发生的概率为 ． 随机变量 的所有可能取值为 ，，，． ． 所以随机变量 的分布列为：随机变量 的数学期望 ． 四、解答题（共5题，共77分） 15. 【答案】 (1) 因为 是 的中点， 所以 ． 因为 ，， 所以 ， 结合 ，，， 得 ． (2) 因为 ，， 所以 ，． 因为 ，， 所以 ，． 由（）知 ， 所以 所以 ，即 的长等于 ． 16. 【答案】 (1) 设路线 遇到红灯的个数的随机变量为 ，则 ， 所以至少遇到一个红灯的事件为 ， 由对立事件概率公式，得 ， 所以若小李下班后选择路线 驾车回家，至少遇到一个红灯的概率为 ． (2) 设路线 累计增加时间的随机变量为 ，则 ， 所以 ， 设路线 第 个路口遇到红灯为事件 ，则 ，， 设路线 累计增加时间的随机变量为 ，则 的所有可能取值为 ，，，则 ， ， ， 所以 ， 因为 ， 所以为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间的期望最小，小李应选择路线 ． 17. 【答案】（Ⅰ），， 由已知可得， 即 所以 经检验符合题意， 所以 （Ⅱ）原不等式转化为 ， 设 ，那么 ， 令 ，解得 ， 当 变化时，， 的变化情况如表所示：所以，当 时， 取得最小值， 所以 ，即 ， 所以 ． 18. 【答案】 (1) 依题意，可以建立以 为原点，分别以 ，， 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向的空间直角坐标系（如图）， 可得 ，，，，，，，，． 依题意 ，．设 为平面 的法向量，则 即 不妨令 ，可得 ． 又 ，可得 ， 又因为直线 ， 所以 ． (2) 依题意，可得 ，，． 设 为平面 的法向量，则 即 不妨令 ，可得 ， 设 为平面 的法向量，则 即 不妨令 ，可得 ． 因此有 ，于是 ． 所以，二面角 的正弦值为 ． (3) 设线段 的长为 ，则点 的坐标为 ，可得 ． 易知， 为平面 的一个法向量，故 ， 由题意，可得 ，解得 ． 所以线段 的长为 ． 19. 【答案】 (1) 依题意 ， 故 ， 而 ， 联立两式解得 ，， 所求平均数为 ． (2) ①因为一款游戏初测被认定需要改进的概率为 ， 一款游戏二测被认定需要改进的概率为 ， 所以某款游戏被认定需要改进的概率为 ②设每款游戏的测评费用为 元，则 的可能取值为 ，， ， ， 故 ， 令 ，， ． 当 时，， 在 上单调递增， 当 时，， 在 上单调递减， 所以 的最大值为 ， 所以实施此方案，最高费用为 ， 故所需的最高费用将超过预算． 学科网（北京）股份有限公司 $$