精品解析：　山东省德州市夏津县2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

夏津县2024~2025学年八年级数学第二学期期中学习 成果阶段展示 （全卷满分150分，考试时间为120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 第Ⅰ卷（选择题 共48分） 一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来。每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记为零分． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的为( ) A. B. C. D. 2. 三边分别为a，b，c，在下列条件中，不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题的逆命题成立的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 正方形的对角线相等 C. 对顶角相等 D. 若，则 4. 在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（ ） A. ①对角线相等 B. ③对角线互相垂直 C. ②有一组邻边相等 D. ④对角线互相平分 5. 已知，，则与的关系为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一圆柱体的底面圆周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的表面爬行到点C，则爬行的最短路程是( ) A. 2 B. C. 2 D. 14 7. 如图，矩形中，，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 如图，在中，，且，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值（ ） A. B. 6 C. D. 9. 小天同学按如下步骤作图： （1）画矩形，使得，连接； （2）分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于E，F两点； （3）画直线，分别与交于点、，连接． 则四边形的周长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（ ） A. 12 B. 24 C. 12 D. 16 11. 如图，正方形外取一点，连接．过点作的垂线交于点，若，．下列结论：①；②到直线的距离为；③；④．其中正确结论是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题 共102分） 二、填空题：本大题共6小题，共记24分，只要求填写最后结果，每小题填对4分． 12. 若有意义，则实数a的取值范围是________． 13. 如果两个最简二次根式与能合并，那么_____． 14. 如图，在菱形中，的垂直平分线交对角线于点F，垂足为点E，连接，若，则___________． 15. 已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式，则△ABC的形状为_______ ． 16. 如图，在正方形中，对角线与相交于点O，E为上一点，，F为的中点，若的周长为32，则的长为___________． 17. 如图，图①中是第七届国际数学教育大会会徽图案、它是由一串有公共顶点的直角三角形（如图②）演化而成的．如果图②中的，若代表的面积，代表的面积，以此类推，代表的面积，则的值为______． 三、解答题：本大题共7小题，共记78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤． 18. （1）计算：； （2）已知：，求的值． 19. 如图，四边形是平行四边形，和分别是边、的点，且，有以下条件： ①，②点是边的中点． 请从以上①②中任选1个作为已知条件，再解决下列问题： （1）你选择的已知条件是__________（填序号）； 求证：四边形是矩形； （2）在（1）的条件下，若，求四边形的面积． 20. 如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度；当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离，求钟摆的长度． 21. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽证明了勾股定理，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，图1所示的“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形（两直角边长分别为，且，斜边长为）和一个小正方形拼成的一个大正方形． （1）请用两种不同方法表示图1中阴影部分面积．（结果化为最简） 方法1：__________；方法2：__________；根据以上信息，可以得到等式__________； （2）将图1中的2个直角三角形位置改变得到图2，若，求图2中阴影部分的面积． （3）图3，将这四个全等的直角三角形紧密地拼接形成风车状图案，已知外围轮廓（实线）的周长为24，且，求该风车状图案的总面积． 22. 如图，在中，，过点作的平行线与的平分线交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）与交于点，过点作交的延长线于点，连接．若，求的长； （3）在（2）的条件下，已知点是线段上一点，且，则的长为__________． 23. （1）用“”、“”、“”填空． __________，__________，__________，__________． （2）由（1）中各式猜想与的大小，并说明理由． （3）请利用上述结论解决下面问题： 某同学在做一个面积为对角线互相垂直的四边形风筝时，用来做对角线的竹条至少要多少厘米？ 24. 如图1，在四边形ABCD中，，∠B＝90°，AD＝acm，BC＝bcm，并且a，b满足b＝+8，若动点P从A点出发，以每秒0.5cm的速度沿线段AD向点D运动；点Q从C点出发以每秒2cm的速度沿CB方向运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，回答下列问题： （1）AD＝______cm，BC＝______cm． （2）设点P、Q同时出发，并运动了x秒，求当x为多少秒时，四边形PQBA是矩形． （3）如图2，若四边形ABCD变为平行四边形ABCD，AD＝BC＝6cm，动点P从A点出发，以每秒0.5cm的速度沿线段AD向点D运动；动点Q从C点出发以每秒2cm的速度在BC间往返运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设P、Q两点同时出发，并运动了t秒，求当t为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 夏津县2024~2025学年八年级数学第二学期期中学习 成果阶段展示 （全卷满分150分，考试时间为120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 第Ⅰ卷（选择题 共48分） 一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来。每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记为零分． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式； B、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； C、是最简二次根式； D、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． 故选C． 2. 三边分别为a，b，c，在下列条件中，不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据三角形内角和定理和勾股定理逆定理解答． 根据三角形内角和定理可分析出B、C的正误；根据勾股定理逆定理可分析出A、D的正误． 【详解】解：A、由，可得，能判定是直角三角形，不符合题意； B、由，得出，不能判定是直角三角形，符合题意； C、由，得出，能判定是直角三角形，不符合题意； D、由，可得是直角三角形，不符合题意； 故选：B． 3. 下列命题的逆命题成立的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 正方形的对角线相等 C. 对顶角相等 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】将每个命题的条件和结论对调，再判断其正确与否． 【详解】A.对角线互相平分的四边形是平行四边形， 逆命题是，平行四边形的对角线互相平分，成立； B.正方形的对角线相等， 逆命题是，对角线相等的四边形是正方形，不成立； C.对顶角相等， 逆命题是，相等的两个角是对顶角，不成立； D.若，则， 逆命题是，若，则，不成立． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了逆命题及其真假，解决问题的关键是熟练掌握构造逆命题的方法，其真伪的判断． 4. 在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（ ） A. ①对角线相等 B. ③对角线互相垂直 C. ②有一组邻边相等 D. ④对角线互相平分 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定，矩形和菱形的判定，对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直的矩形是正方形，对角线相等的菱形是正方形，据此可得答案． 【详解】解：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直的矩形是正方形，对角线相等的菱形是正方形， 故错误的只有④， 故选： D． 5. 已知，，则与的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查的是二次根式的化简，掌握分母有理化是解决此题的关键． 将进行分母有理化，即可判断． 【详解】解：， 故选：A． 6. 如图，一圆柱体的底面圆周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的表面爬行到点C，则爬行的最短路程是( ) A. 2 B. C. 2 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】此题最直接的解法，就是将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：底面周长为20cm，半圆弧长为10cm， 画展开图形如下： 由题意得：AD＝10cm，CD＝4cm， 根据勾股定理得：AB＝＝＝2（cm）． 故选A． 【点睛】此题主要考查了平面展开﹣最短路径问题，解题的关键是根据题意画出展开图，表示出各线段的长度． 7. 如图，矩形中，，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，根据两点之间的距离求点表示的数，解题的关键是熟练掌握勾股定理以及通过距离表示点的坐标． 根据矩形的性质和勾股定理得出，根据两个点之间线段的长度求出点的坐标即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ， 由勾股定理得， ， ∵点表示的数为， 点表示的数为， 故选：C． 8. 如图，在中，，且，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 连接，根据条件得出四边形为矩形，根据矩形的对角线相等和垂线段最短，得出当时，线段最短，利用勾股定理和等面积法即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，于点，于点， ∴四边形为矩形， ∴， 当时，线段最短，即线段最短， 在中，由勾股定理得，， 利用等面积法可得， 即， 故选：C． 9. 小天同学按如下步骤作图： （1）画矩形，使得，连接； （2）分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于E，F两点； （3）画直线，分别与交于点、，连接． 则四边形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作图和性质、矩形的性质、勾股定理等知识． 利用基本作图可判断垂直平分，则，，设，则，，在中利用勾股定理得到，解方程得到，同理可得，然后计算四边形的周长． 【详解】解：由作法得垂直平分， ，， 设，则，， ∵四边形是矩形， ∴ 在中，， 解得， 即， 同理可得， 四边形的周长为． 故选：D． 10. 如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（ ） A. 12 B. 24 C. 12 D. 16 【答案】D 【解析】 【详解】解：如图，连接BE， ∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∠EFB=60°， ∴∠AEF=180°-∠EFB=180°－60°=120°，∠DEF=∠EFB=60°． ∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处， ∴∠BEF=∠DEF=60°． ∴∠AEB=∠AEF-∠BEF=120°－60°=60°． 在Rt△ABE中，AB=AE•tan∠AEB=2tan60°=2． ∵AE=2，DE=6，∴AD=AE+DE=2+6=8． ∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2×8=16． 故选D． 11. 如图，正方形外取一点，连接．过点作的垂线交于点，若，．下列结论：①；②到直线的距离为；③；④．其中正确结论是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】证明，则，进一步即可得到，即可判断①；过B作，交的延长线于F，则，得，，由，可得，即可判断②；连接，由全等三角形的性质可得到，，根据，即可判断③；求出，则，得到，即可判断④． 【详解】解：∵正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 故①正确； 过B作，交的延长线于F，则，     ∵， ∴，， 又∵， ∴， 即点B到直线的距离为1， 故②不正确； 如图，连接， ∵， ∴，， ∴， 故③正确； ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④正确， 综上可知，①③④正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、等腰三角形的判定和性质、正方形和三角形的面积公式、勾股定理等知识，添加适当的辅助线是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题 共102分） 二、填空题：本大题共6小题，共记24分，只要求填写最后结果，每小题填对4分． 12. 若有意义，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义则被开方数是非负数列式求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 13. 如果两个最简二次根式与能合并，那么_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式、同类二次根式、一元一次方程等知识，理解并掌握最简二次根式和同类二次根式的定义和性质是解题关键．根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得关于的一元一次方程，求解即可获得答案． 【详解】解：∵两个最简二次根式与能合并， ∴两个最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得． 故答案为：4． 14. 如图，在菱形中，的垂直平分线交对角线于点F，垂足为点E，连接，若，则___________． 【答案】##15度 【解析】 【分析】根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：∵平分 故答案为： 【点睛】本题综合考查菱形的性质及垂直平分线的性质．掌握相关结论是解题关键． 15. 已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式，则△ABC的形状为_______ ． 【答案】等腰直角三角形 【解析】 【详解】∵， ∴c2－a2－b2=0，且a－b=0． 由c2－a2－b2=0得c2=a2＋b2， ∴根据勾股定理的逆定理，得△ABC为直角三角形． 又由a－b=0得a=b， ∴△ABC为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 16. 如图，在正方形中，对角线与相交于点O，E为上一点，，F为的中点，若的周长为32，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用斜边上的中线等于斜边的一半和的周长，求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，利用三角形的中位线定理，即可得解． 【详解】解：的周长为32， ． 为DE的中点， ． ， ， ， ， ． 四边形是正方形， ，O为BD的中点， 是的中位线， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，斜边上的中线，三角形的中位线定理．熟练掌握斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键． 17. 如图，图①中是第七届国际数学教育大会会徽图案、它是由一串有公共顶点的直角三角形（如图②）演化而成的．如果图②中的，若代表的面积，代表的面积，以此类推，代表的面积，则的值为______． 【答案】#### 【解析】 【分析】先利用勾股定理得到规律，然后得出规律，再计算即可得到答案． 【详解】解：， ， …… ， 可得 ， ， ， …… ， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用、算术平方根的运算等知识，得到是解题的关键． 三、解答题：本大题共7小题，共记78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤． 18. （1）计算：； （2）已知：，求的值． 【答案】（1）1；（2）13 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，二次根式的乘法运算，求一个数的绝对值，整式的化简求值，完全平方公式等，解题的关键是熟练掌握各运算法则． （1）先进行二次根式的化简，二次根式的乘法运算和求一个数的绝对值，然后再进行同类二次根式的合并即可； （2）利用完全平方公式进行整理，然后代入求值即可． 【详解】解：（1） ； （2） 将代入上式得， 原式． 19. 如图，四边形是平行四边形，和分别是边、的点，且，有以下条件： ①，②点是边的中点． 请从以上①②中任选1个作为已知条件，再解决下列问题： （1）你选择的已知条件是__________（填序号）； 求证：四边形是矩形； （2）在（1）的条件下，若，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：若选①， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； 若选②， 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，线段中点性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判断和性质． （1）①利用平行四边形的性质得出，再根据，得出四边形是平行四边形，利用有一个角是直角的平行四边形为矩形即可得出证明； ②利用平行四边形的性质得出对边平行且相等，根据有一组对边平行且相等的四边形，得出四边形是平行四边形，利用有一个角是直角的平行四边形为矩形即可得出证明； （2）根据勾股定理求得，然后利用矩形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， 由（1）知四边形是矩形， ∴． 20. 如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度；当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离，求钟摆的长度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设，得到 ， ，运用勾股定理得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：设， 根据题意可知，，， ， ． 在中，， ， 解得： 钟摆的长度是． 21. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽证明了勾股定理，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，图1所示的“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形（两直角边长分别为，且，斜边长为）和一个小正方形拼成的一个大正方形． （1）请用两种不同方法表示图1中阴影部分面积．（结果化为最简） 方法1：__________；方法2：__________；根据以上信息，可以得到等式__________； （2）将图1中的2个直角三角形位置改变得到图2，若，求图2中阴影部分的面积． （3）图3，将这四个全等的直角三角形紧密地拼接形成风车状图案，已知外围轮廓（实线）的周长为24，且，求该风车状图案的总面积． 【答案】（1）；；； （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明与运用，灵活掌握等面积法证明勾股定理是解题的关键． （1）运用等面积法计算即可； （2）先表示出阴影部分面积，再代入计算即可； （3）将风车周长表示出来，其中，再结合勾股定理求解出，最后计算面积即可． 【小问1详解】 解：方法1：， 方法2：， ， 故答案为：；；； 【小问2详解】 解：， 当时，； 【小问3详解】 解：∵，外围轮廓（实线）的周长为24， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 22. 如图，在中，，过点作的平行线与的平分线交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）与交于点，过点作交的延长线于点，连接．若，求的长； （3）在（2）的条件下，已知点是线段上一点，且，则的长为__________． 【答案】（1） 证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形； （2） （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理等知识，熟练运用这些性质与定理进行推理是解题的关键． （1）由推出，得到，得出，继而得到，推出四边形是平行四边形，得到四边形是菱形； （2）由（1）知四边形是菱形，得到，，求出，推出； （3）分两种情况：当点在线段上时， 当点在线段上时，利用勾股定理分别计算即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知四边形是菱形， ，， 在中，， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，当点在线段上时， ， ， ； 如图，当点在线段上时， 同理可得， ； 的长为或． 23. （1）用“”、“”、“”填空． __________，__________，__________，__________． （2）由（1）中各式猜想与的大小，并说明理由． （3）请利用上述结论解决下面问题： 某同学在做一个面积为对角线互相垂直的四边形风筝时，用来做对角线的竹条至少要多少厘米？ 【答案】（1）；；；； （2）， 理由如下： ∵， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的实际应用，非负数的性质，掌握完全平方公式是解决问题的关键． （1）根据完全平方公式进行计算可得结论； （2）直接利用完全平方公式的非负数的性质解答即可； （3）根据对角线互相垂直的四边形面积＝相互垂直的对角线乘积的一半，并综合利用（2）的结论得出答案即可． 【详解】解：（1）， ； ， ； ， ； ， ； 故答案为：； （2）略 （3）设，， 由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴用来做对角线的竹条至少要． 24. 如图1，在四边形ABCD中，，∠B＝90°，AD＝acm，BC＝bcm，并且a，b满足b＝+8，若动点P从A点出发，以每秒0.5cm的速度沿线段AD向点D运动；点Q从C点出发以每秒2cm的速度沿CB方向运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，回答下列问题： （1）AD＝______cm，BC＝______cm． （2）设点P、Q同时出发，并运动了x秒，求当x为多少秒时，四边形PQBA是矩形． （3）如图2，若四边形ABCD变为平行四边形ABCD，AD＝BC＝6cm，动点P从A点出发，以每秒0.5cm的速度沿线段AD向点D运动；动点Q从C点出发以每秒2cm的速度在BC间往返运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设P、Q两点同时出发，并运动了t秒，求当t为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 【答案】（1）6，8 （2）当x为3.2秒时，四边形PQBA是矩形 （3）当t为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的被开方数非负即可求出a，则b可求，问题得解； （2）根据题意可知AP＝0.5xcm，CQ＝2xcm，则BQ＝BC﹣CQ＝（8﹣2x）cm，当AP＝BQ时，根据，∠B=90°，可得四边形PQBA是矩形，依据AP＝BQ时列出一元一次方程，解方程即可求解； （3）根据AD=6cm，P点的速度每秒为0.5cm，可得，再求出Q点走完6cm的距离所需时间为6÷2=3秒，即根据题意可知AP＝0.5tcm，AP＝0.5tcm，点Q的运动距离为2tcm，PD＝AD﹣AP＝（6﹣0.5t）cm，当P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，即有PD＝BQ，据此列方程．由于Q点在BC间往复运动，Q点走完6cm的距离所需时间为3秒，即以3秒为一个阶段分情况讨论：①当0＜t≤3时，②当3＜t≤6时，③当6＜t≤9时，④当9＜t≤12时，以上四种情况，均根据PD＝BQ，列方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵， 又∵，， ∴， ∴a＝6，b＝8， ∴AD＝6cm，BC＝8cm， 故答案为：6，8； 【小问2详解】 解：根据题意可知：AP＝0.5xcm，CQ＝2xcm， ∴BQ＝BC﹣CQ＝（8﹣2x）cm， 当AP＝BQ时，根据可知，四边形ABQP是平行四边形， 又∵∠B=90°， ∴四边形PQBA是矩形， ∴根据AP＝BQ，有0.5x＝8﹣2x， 解得x＝3.2， 答：当x为3.2秒时，四边形PQBA是矩形； 【小问3详解】 解：∵AD=6cm，P点的速度每秒为0.5cm， ∴时间， ∴Q点移动的最大距离为：12×2=24cm， ∵AD=BC=6cm，Q点的速度每秒为2cm， ∴Q点走完6cm的距离所需时间为6÷2=3秒， 根据题意可知：AP＝0.5tcm，点Q的运动距离为2tcm， ∴PD＝AD﹣AP＝（6﹣0.5t）cm， 当P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，即有PD＝BQ， ①当0＜t≤3时，PD＝（6﹣0.5t）cm，BQ＝（6﹣2t）cm， ∴6﹣0.5t＝6﹣2t， 解得t＝0（不符合题意，舍去）； ②当3＜t≤6时，PD＝（6﹣0.5t）cm，BQ＝（2t﹣6）cm， ∴6﹣0.5t＝2t﹣6， 解得t＝4.8； ③当6＜t≤9时，PD＝（6﹣0.5t）cm，BQ＝BC﹣CQ＝（18﹣2t）cm， ∴6﹣0.5t＝18﹣2t， 解得t＝8； ④当9＜t≤12时，PD＝（6﹣0.5t）cm，BQ＝BC﹣CQ＝（2t﹣18）cm， ∴6﹣0.5t＝2t﹣18， 解得t＝9.6． 综上所述：当t为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，一元一次方程在几何中的应用等知识．注重分类讨论的思想是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $