精品解析：广东省深圳市建文外国语学校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

深圳市建文外国语学校2024-2025学年第二学期期中考试 高二数学 本试题卷共4页，19题.全卷满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 书架第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，现从书架第1层，第2层，第3层各取1本书，有多少种不同取法（ ） A. 9种 B. 24种 C. 种 D. 种 2. 的展开式第三项为（ ） A. 60 B. C. D. 3. “杨辉三角”是数学史上的一个重要成就，本身包含许多有趣的性质，如图： 则第8行的第7个数是（ ） A. 8 B. 21 C. 28 D. 56 4. 某学校社团举办一年一度的“五四”青年节展演．现从《歌唱祖国》《我的未来不是梦》《爱拼才会赢》《走进新时代》这4首独唱歌曲和《光荣啊，中国共青团》《我爱你中国》这2首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出，最后一首歌曲必须是合唱歌曲，则不同的安排方法共有（ ） A. 14种 B. 48种 C. 72种 D. 120种 5. 已知变量x，y呈线性相关关系，回归方程为，且变量x，y的样本数据如下表所示 x -2 -1 0 1 2 y 5 4 m 2 1 据此计算出在时，预测值为-0.2，则m的值为（ ） A. 3 B. 2.8 C. 2 D. 1 6. 设，随机变量的分布列如图，则当在内增大时， A. 减小 B. 增大 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小 7. 已知随机变量X服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，且，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量X的分布列如下表：若，则（ ） 0 1 A. B. C. D. 10. 某工厂有3个车间生产同型号的电子元件，第一车间的次品率为2%，第二车间的次品率为1%，第三车间的次品率为1.5%，三个车间的成品都混合堆放在一个仓库．假设第一、二、三车间生产的成品比例为，现有一客户从该仓库中随机取一件，则下列说法正确的有（ ） A. 取出的该件是次品的概率约为0.012 B. 取出的该件是次品的概率约为0.016 C. 若取出的电子元件是次品，则它是第一车间生产的概率约为0.5 D. 若取出的电子元件是次品，则它是第一车间生产的概率约为0.4 11. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上 12. 两点分布：若，则______． 13. 某次数学考试中，学生成绩服从正态分布.若，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩高于120的概率是__________. 14. 如图，在中国象棋的模盘上，敌方有一无名小卒，小卒未过河前只能竖行，不能横行，过河后每次只可横行或竖行一格，需想办法到达敌军的“帅”处，从而坐上“正堂”，赢得胜利，已知小卒中途不会受到任何阻碍，则小卒坐到“正堂”的最短路线有______条． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的二项展开式有7项． （1）求，并求出所有二项式系数之和； （2）求展开式中含项的系数； （3）求展开式中的有理项． 16. 某科技公司2025年计划推出量子加密通信设备，该设备可实时保护数据传输，目标用户为学校、企业和自由开发者.该公司调查了不同用户对该设备的需求情况，得到数据如下（单位：个）： 学校 企业 自由开发者 有需求 170 无需求 120 已知调查了400个学校和150个自由开发者. （1）求和的值； （2）估计目标用户对该设备有需求的概率； （3）是否有的把握认为学校用户与非学校用户对该设备的需求情况有差异？ 附：. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 17. 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如下表所示. 歌曲 猜对的概率 0.6 0.5 0.3 获得的公益基金额/元 1000 2000 3000 （1）该嘉宾从三首歌曲中随机选择一首，求该嘉宾猜对歌名的概率. （2）若猜歌名的规则如下：按照的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，求嘉宾获得的公益基金总额的分布列及均值. 18. 某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从道备选题中一次性随机抽取 道题，按照题目要求独立完成. 规定：至少正确完成其中道题便可通过面试.已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且两位应聘者每题正确完成与否互不影响. （1）求甲正确完成面试题数的分布列及其期望； （2）求乙正确完成面试题数的分布列及其方差； （3）试问:甲和乙谁通过面试的可能性更大?并说明理由. 19. 华为Pura70的发布是中国芯片行业的重大突破，华为的高端手机越来越受到消费者的青睐.某手机店今年2～6月份Pura70手机的销量如下表所示： 月份 2 3 4 5 6 手机销量（部） 42 53 66 109 用最小二乘法得到手机销量（单位：部）关于月份的回归直线方程为，且销量的方差. （1）求； （2）求相关系数（精确到0.01），并据此判断手机销量与月份的相关性强弱（若，则可判断与线性相关较强）； （3）求时的残差；已知，求决定系数（精确到0.01）. 附：回归系数，相关系数，决定系数，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市建文外国语学校2024-2025学年第二学期期中考试 高二数学 本试题卷共4页，19题.全卷满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 书架第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，现从书架第1层，第2层，第3层各取1本书，有多少种不同取法（ ） A. 9种 B. 24种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理直接求解即可. 【详解】由分步计数原理可知：共有种不同走法． 故选：B. 2. 的展开式第三项为（ ） A. 60 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用二项展开式的通项公式，求出的展开式第三项． 【详解】的通项为 的展开式第三项， 故选：． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题． 3. “杨辉三角”是数学史上的一个重要成就，本身包含许多有趣的性质，如图： 则第8行的第7个数是（ ） A. 8 B. 21 C. 28 D. 56 【答案】C 【解析】 【分析】根据“杨辉三角”的规律求解即可. 【详解】依题意，第8行的第7个数是28． 故选：C． 4. 某学校社团举办一年一度的“五四”青年节展演．现从《歌唱祖国》《我的未来不是梦》《爱拼才会赢》《走进新时代》这4首独唱歌曲和《光荣啊，中国共青团》《我爱你中国》这2首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出，最后一首歌曲必须是合唱歌曲，则不同的安排方法共有（ ） A. 14种 B. 48种 C. 72种 D. 120种 【答案】D 【解析】 【分析】按照合唱歌曲的个数来分类：可能选出两首，可能是一首，合唱歌曲有要求，则需要先排，然后进行排列. 【详解】（1）若只选取一首合唱歌曲，有种方法，那么独唱歌曲要选首，有种方法，然后先排合唱歌曲在最后，其余的全排列，共种； （2）若选取两首合唱歌曲，有种方法，那么独唱歌曲要选首，有种方法，然后先排选一首合唱歌曲在最后有种方法，其余的全排列，共种. 因此一共种. 故选：D 5. 已知变量x，y呈线性相关关系，回归方程为，且变量x，y的样本数据如下表所示 x -2 -1 0 1 2 y 5 4 m 2 1 据此计算出在时，预测值为-0.2，则m的值为（ ） A. 3 B. 2.8 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由题意求出，即得回归直线方程，表示出样本中心点坐标，代入回归方程，即可求得答案. 【详解】由题意知回归方程为过点，则， 即； 又，， 由于回归方程为必过样本中心点， 故， 故选：C 6. 设，随机变量的分布列如图，则当在内增大时， A. 减小 B. 增大 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出和，再求根据求出方差，最后根据二次函数的单调性即可得出答案． 【详解】由于， ， 故， 则的图象是以为对称轴、开口向下的抛物线， 所以在时单调递增，在时单调递减， 因此在上先增大后减小． 7. 已知随机变量X服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性可得：，，结合题意可求，进而可求． 【详解】，则， ∴，则， ∴， 故选：C． 8. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，且，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由二项分布的方差公式可求出或，又因为可得，所以可求出，再由二项分布的期望即可求出答案. 【详解】解：由二项分布的方差公式有， 解得: 或. 而即， 解得: 所以，从而. 故选:A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量X的分布列如下表：若，则（ ） 0 1 A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】结合概率之和为以及求得，由此求得，从而判断出正确答案. 【详解】依题意，AB选项正确. ，C选项正确. ，D选项错误. 故选：ABC 10. 某工厂有3个车间生产同型号的电子元件，第一车间的次品率为2%，第二车间的次品率为1%，第三车间的次品率为1.5%，三个车间的成品都混合堆放在一个仓库．假设第一、二、三车间生产的成品比例为，现有一客户从该仓库中随机取一件，则下列说法正确的有（ ） A. 取出的该件是次品的概率约为0.012 B. 取出的该件是次品的概率约为0.016 C. 若取出的电子元件是次品，则它是第一车间生产的概率约为0.5 D. 若取出的电子元件是次品，则它是第一车间生产的概率约为0.4 【答案】BC 【解析】 【分析】利用赋值法，直接求解即可 【详解】取第一车间产品300件，第二车间产品200件，第三车间产品300件，所以共有次品件次品， 所以三个仓库中按成品比例为混合时，任取一件为次品的概率为；B正确 若取出的为次品则为第一车间生产的概率为，C正确 故选：BC 11. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二项式的特征，利用赋值法逐项计算即可求解. 【详解】令可得，，故选项A错误； 令可得，① 令可得，② ②①可得， 则， 因为，所以，故选项B正确； 展开式中的系数为，则， 的系数为，即， 因为，所以，故选项C正确； 令， 等式两边同时对求导可得， ， 令可得，，故选项D正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上 12. 两点分布：若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】略 【详解】略 13. 某次数学考试中，学生成绩服从正态分布.若，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩高于120的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求出学生的成绩高于120的概率，再根据独立重复试验的概率公式可求出结果. 【详解】因为，所以， 所以，因为，所以， 所以， 则所求概率为. 故答案为： 14. 如图，在中国象棋的模盘上，敌方有一无名小卒，小卒未过河前只能竖行，不能横行，过河后每次只可横行或竖行一格，需想办法到达敌军的“帅”处，从而坐上“正堂”，赢得胜利，已知小卒中途不会受到任何阻碍，则小卒坐到“正堂”的最短路线有______条． 【答案】70 【解析】 【分析】根据题意，小卒需要横着需走4步，竖着需走4步，然后即可得到结果. 【详解】小卒过河前只能往前走，故过河前路线唯一，过河后需走八步，其中，横着需走4步，竖着需走4步，故只需选出横着走的四步即可，即． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的二项展开式有7项． （1）求，并求出所有二项式系数之和； （2）求展开式中含项的系数； （3）求展开式中的有理项． 【答案】（1）；64 （2）1215 （3），，， 【解析】 【分析】（1）由二项展开式有7项，可得，所有二项式系数之和为； （2）先求出二项展开式的通项为，再令，解得，代入通项计算即可； （3）分析得出要得到有理项，必须让为整数，从而得到，再代入通项计算即可. 【小问1详解】 因为的二项展开式有7项，所以， 所以所有二项式系数之和为； 【小问2详解】 由（1）知，所以的二项展开式的通项为 ， 令，解得， 所以展开式中含项的系数为； 【小问3详解】 因为的二项展开式的通项为， 因为，且，所以能使为整数的， 所以展开式中的有理项分别为 ，， ，. 16. 某科技公司2025年计划推出量子加密通信设备，该设备可实时保护数据传输，目标用户为学校、企业和自由开发者.该公司调查了不同用户对该设备的需求情况，得到数据如下（单位：个）： 学校 企业 自由开发者 有需求 170 无需求 120 已知调查了400个学校和150个自由开发者. （1）求和的值； （2）估计目标用户对该设备有需求的概率； （3）是否有的把握认为学校用户与非学校用户对该设备的需求情况有差异？ 附：. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1） （2）； （3）有的把握认为学校用户与非学校用户对该设备的需求情况有差异. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出关于m，n的等量关系式即可求解； （2）由题设数据结合古典概型直接计算即可得解； （3）列出列联表，计算出卡方值即可判断得解. 【小问1详解】 由题得； 【小问2详解】 由题可得估计目标用户对该设备有需求的概率为； 【小问3详解】 列出列联表： 学校用户 非学校用户 总计 有需求 300 270 570 无需求 100 170 270 总计 400 440 840 零假设学校用户与非学校用户对该设备的需求情况无差异. 由表格得， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 所以有的把握认为学校用户与非学校用户对该设备的需求情况有差异. 17. 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如下表所示. 歌曲 猜对的概率 0.6 0.5 0.3 获得的公益基金额/元 1000 2000 3000 （1）该嘉宾从三首歌曲中随机选择一首，求该嘉宾猜对歌名的概率. （2）若猜歌名的规则如下：按照的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，求嘉宾获得的公益基金总额的分布列及均值. 【答案】（1） （2）的分布列如下： ，【解析】 【分析】（1）根据全概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为、、、，利用相互独立事件的概率公式求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望. 【小问1详解】 分别用、、表示猜对歌曲、、歌名的事件，则、、相互独立， 用表示事件“该嘉宾从、、随机选择一首歌曲，且猜对歌名”， 用表示事件“该嘉宾选择歌曲”， 用表示事件“该嘉宾选择歌曲”， 用表示事件“该嘉宾选择歌曲”， 则，，，， 所以 . 【小问2详解】 依题意的可能取值为、、、， 所以， ， ， ， 所以的分布列如下： 所以. 18. 某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从道备选题中一次性随机抽取 道题，按照题目要求独立完成. 规定：至少正确完成其中道题便可通过面试.已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且两位应聘者每题正确完成与否互不影响. （1）求甲正确完成面试题数的分布列及其期望； （2）求乙正确完成面试题数的分布列及其方差； （3）试问:甲和乙谁通过面试的可能性更大?并说明理由. 【答案】（1） （2） （3）甲通过面试的可能性更大，理由： 因为，， 所以，所以甲通过面试的可能性大. 【解析】 【分析】（1）确定的可能取值，利用超几何分布求概率公式求出概率，列出分布列，求出期望即可； （2）确定的可能取值，利用二项分布求概率公式求出概率，列出分布列，求出期望方差即可； （3）确定甲、乙通过面试的概率，比较即可的结论. 【小问1详解】 甲正确完成试题数的可能取值为，，， ，，， 所以甲正确完成面试题数的分布列为： . 【小问2详解】 乙正确完成面试题数的可能取值为：，，， ，， ，， 所以乙正确完成面试题数的分布列为： 所以， . 【小问3详解】 略 19. 华为Pura70的发布是中国芯片行业的重大突破，华为的高端手机越来越受到消费者的青睐.某手机店今年2～6月份Pura70手机的销量如下表所示： 月份 2 3 4 5 6 手机销量（部） 42 53 66 109 用最小二乘法得到手机销量（单位：部）关于月份的回归直线方程为，且销量的方差. （1）求； （2）求相关系数（精确到0.01），并据此判断手机销量与月份的相关性强弱（若，则可判断与线性相关较强）； （3）求时的残差；已知，求决定系数（精确到0.01）. 附：回归系数，相关系数，决定系数，. 【答案】（1） （2），线性相关较强 （3）， 【解析】 【分析】（1）由样本中心点在回归直线上，解出； （2）由相关系数的公式，结合回归系数的值及公式求得的值，进而得到线性相关性； （3）根据公式求得的值. 【小问1详解】 ，， 将代入，得，解得. 【小问2详解】 由，得， 由，得. 所以， . 所以，手机销量与月份的线性相关较强. 【小问3详解】 ， 所以，，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $