5.2简单的轴对称图形课时3 角平分线的性质　课件　2024-2025学年北师大版七年级数学下册

第五章 生活中的轴对称 5.3 简单的轴对称图形 课时3 角平分线的性质 1.会用尺规作图法作一个角的平分线，知道作法的理论依据.（重点） 2.探究并证明角平分线的性质.（难点） 3.会用角平分线的性质解决实际问题. 学习目标 新课讲解 如图，已知：∠AOB.求作：∠AOB 的平分线. 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧线，交OA于点N，交OB于点M. （2）分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. （3）画射线OC，射线OC即为所求. 新课讲解 如图，已知：∠AOB.求作：∠AOB 的平分线. （3）应该在角的内部找所作两弧的交点，因为所作的射线为角的平分线，而角的平分线应该在角的内部. （4）“画射线OC”不能说成“连接OC”，因为连接OC得到的是线段，而角的平分线是一条射线. 新课讲解 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. （1）“点”是指角的平分线上任意位置的点； （2）“点到角的两边的距离”是指点到角的两边的垂线段的长度. 几何表示： 如图，∵OC是∠AOB的平分线，点P是OC上一点， PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. ∴PD=PE. 新课讲解 如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E.求证：PD=PE. 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO=∠PEO=90°. 在△PDO和△PEO中， ∠PDO=∠PEO， ∠AOC=∠BOC， OP=OP， ∴△PDO≌△PEO（AAS）， ∴PD=PE. 新课讲解 证明几何命题的一般步骤. （1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证； （3）经过分析，找出由已知推出要证明的结论的途径，写出证明过程. （1）所画图形应符合题意，并具有一般性和代表性.在画图的时候要考虑是否存在不同的情形，若存在，则要分别画出图形，再分别进行证明； （2）证明过程中的每一步推理都要有依据，比如：已知条件、定义、定理等. 新课讲解 例 1 求证：三角形的一边的两端点到这条边上的中线所在的直线的距离相等. 需要先将命题改写成”如果……那么……“的形式，然后确定已知和求证. 新课讲解 已知，如图所示，AD为△ABC的中线，且CF⊥AD于点F，BE⊥AD交AD的延长线于点E.求证：BE=CF. 证明：∵AD为△ABC的中线， ∴BD=CD. ∵CF⊥AD，BE⊥AD交AD的延长线于点E， ∴∠BED=∠CFD=90°. 在△BED和△CFD中， ∠BED=∠CFD， ∠BDE=∠CDF， BD=CD， ∴△BED≌△CFD（AAS）， ∴BE=CF. 课堂小结 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 性质 应用 利用角平分线的性质解决实际问题 角平分线的做法 会用尺规作图法画出一个已知角的平分线 角平分线的性质 当堂小练 证明：∵OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB， ∴PC=PD. 在Rt△OCP和Rt△ODP中， ∵ OP=OP， PC=PD， ∴Rt△OCP≌ Rt△ODP（HL）. ∴ ∠CPO=∠DPO，OC=OD. 如图，OP为∠AOB 的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D，则下列结论错误的是（ ） A.PC=PD B.∠CPO=∠DOP C.∠CPO=∠DPO D.OC=OD B 当堂小练 解：在△ABC中，∠C=90°， ∴DC⊥AC. 又∵DE⊥AB，AD平分∠CAB， ∴DC=DE. 在Rt△ACD和Rt△AED中, AD=AD， DC=DE， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AC=AE. ∵AC=BC， ∴AE=BC， ∴△DEB的周长为8cm. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D， DE⊥AB，垂足为E，若AB=8cm，则△DEB 的周长为（ ） A.10cm B.7cm C.8cm D.不能确定 C D 拓展与延伸 如图，点D、B分别在∠MAN的两边上，C是∠MAN内一点，AB =AD，BC = CD，CE⊥AM于E，CF⊥AN于F. 求证：CE = CF. 1.如图，将∠AOB对折，使A与B重合，折痕为射线OP，若∠AOB=44°，则∠AOP=　 　.  22° 课堂练习 2.如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是（ ） A.PC=PD B.∠CPD=∠DOP C.∠CPO=∠DPO D.OC=OD B 3.（北师7下P132、人教8上P48）用尺规作图：作出已知角的平分线. 已知：如图，∠AOB.求作：射线OC，使OC平分∠AOB.（要求：保留作图痕迹，不写作法） 解：如图，射线OC即为所求. 答案图 4.【例1】观察图中尺规作图的痕迹，下列说法错误的是（ ） A.OE是∠AOB的平分线 B.OC=OD C.∠AOE=∠BOE D.点C，D到OE的距离不相等 D 5.【例2】如图，在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，AD=3 cm，BC=10 cm，则点D到BC的距离为　 　，△DBC的面积为　 　.  3 cm 15 cm2 6.【例3】（北师7下P134）有两块大小一样并都含有30°角的直角三角板，按照如图位置摆放，其中M是AD与BC的交点.点M到AB的距离等于MC吗？ 解：在Rt△ABC与Rt△BAD中，∠ABC=∠BAD=30°， 所以∠BAC=90°-30°=60°. 所以∠MAC=∠BAC-∠BAD=30°， 即∠MAC=∠BAM.所以AM是∠CAB的平分线. 因为MC⊥AC，所以点M到AB的距离等于MC. 7.如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=76°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E. （1）填空：∠EDA=　 　；  （2）若AB=20，AC=16，DE=6，求S△ABC. 解：（2）过点D作DF⊥AC于点F， 因为AD是△ABC的角平分线，DF⊥AC，DE⊥AB， 所以DF=DE=6， 所以S△ABC=S△ACD+S△ABD= ×20×6=108. 58° 8.如图，P是∠BAC的平分线AD上的一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，下列结论中不一定正确的是（ ） A.PE=PF　　 B.AE=AF C.△APE≌△APF D.AP=PE+PF D 9.如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，DE⊥BC于点E.若BC=7，则△CDE的周长为　 　.  7 10.（2024朔州四模）如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M，N.试说明：PM=PN. 解：因为BD是∠ABC的平分线，所以∠ABD=∠CBD. 在△ABD和△CBD中， 所以△ABD ≌ △CBD（SAS）， 所以∠ADB=∠CDB. 所以DB是∠ADC的平分线. 因为点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，所以PM=PN. ★11. 0.40如图，∠AOB=90°，OC平分∠AOB，将三角尺的直角顶点落在OC上的任意一点P处，使三角尺的两条直角边与∠AOB的两边分别相交于点E，F，试猜想PE，PF的大小关系，并说明理由. 解：PE=PF，理由如下： 如图，过点P作PM⊥OA， PN⊥OB，垂足是M，N， 则∠PME=∠PNF=90°， 答案图 因为OP平分∠AOB，所以PM=PN，∠MOP=∠NOP=45°， 由三角形的内角和为180°，得∠MPO=∠NPO=45°， 所以∠MPN=90°，因为∠EPF=90°， 所以∠MPE+∠EPN=∠NPF+∠EPN=90°，所以∠MPE=∠FPN， 在△PEM和△PFN中， ， 所以△PEM≌△PFN（ASA），所以PE=PF. 答案图 布置作业 请完成本课对应习题 感谢大家 $$