5.2【专题】三角形五心一点的性质与应用 课时同步训练 2024～2025学年北师大版数学七年级下册

2024~2025学年度北师大版数学七年级下册课时同步训练 第五章 图形的轴对称 5.2 简单的轴对称图形 【专题】三角形五心一点的性质与应用 三角形的五心是指三角形的重心、外心、内心、垂心、旁心。三条中线的交点是重心，三边垂直平分线的交点是外心，三条内角平分线的交点为内心，三角形三条高线的交点为垂心。与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫作三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫作三角形旁心。重心、外心、内心、垂心只有一个，但旁心有三个。 三角形的一点即费马点，是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点，分为两种情况。 值得注意的是，在三角形的五心一点中，在七年级下册中只要求了解并应用外心、内心、重心和垂心，其中重心需要重点熟悉掌握，而旁心与费马点，以及五心一点中关于圆的相关内容仅作扩展内容了解即可，不要求应用与证明。 【知识点1】三角形的外心：三边的垂直平分线的交点，也即三角形外接圆的圆心。 如图，已知点O为的外心，则. 【知识点2】三角形的内心：三顶角的角平分线的交点，也即三角形内接圆的圆心。 如图，已知点O为的内心，则. 【知识点3】【★温故知新】三角形的重心：三条中线的交点。 如图，已知点O为的内心，则.若点O为内任意一点，当且仅当点O为的内心时，使得最小 【知识点4】【★温故知新】三角形的垂心：三条高线的交点。 【知识点5】【知识扩展】三角形的旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线的交点。 如图，已知点为的旁心。以点O为例，则有. 【知识点6】【知识扩展】三角形的费马点：三条高线的交点。 如上图，已知点P为（三角形三角均不大于）的费马点，若点P为内任意一点，当且仅当点P为的费马点时，使得最小，此时可知. 如上图，已知有一个大于的内角，则的费马点P与该钝角的顶点B重合，此时最小。 【综合训练】 一、选择题 1．下列事件中，是必然事件的是（    ） A．抛掷1枚质地均匀的骰子，出现6点向上 B．某种彩票的中奖率为1%，购买100张彩票一定中奖 C．三角形的外心一定在三角形的外部 D．三角形的内心一定在三角形的内部 2．在中，小明的作图痕迹如图所示，他作出的两条线的交点为O，下列说法正确的是（   ） A．点O是的重心 B．的垂直平分线一定不经过点0 C．点O到三边距离相等 D．点O到三个顶点距离相等 3．下列说法正确的是（   ） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．三角形三个内角的平分线的交点是重心 C．三角形的一个外角等于两个内角的和 D．在中，若，则为锐角三角形 4．如图，在中，交边于点D．设△ABC的重心为Q，若点Q在线段上，则下列结论正确的是（    ）． A．平分 B．为的中垂线 C． D．的周长等于的周长 5．如图，已知的面积为8，点O为的重心，则四边形的面积为（   ） A． B． C．8 D． 6．三角形的五心在平面几何中占有非常重要的地位，这五心分别是：重心、外心、内心、垂心、旁心，其中三角形的重心是三角形的（  ） A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三边垂直平分线的交点 7．如图，在的正方形格纸中，的顶点均在格点上，边与网格线交于点D，边过格点E，连接，相交于点O，则点O为的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．以上结果均不对 8．如图，点是的内心，、是上的点，且，，若，则（    ） A． B． C． D． 9．已知△ABC在正方形网格中的位置如图所示，点A、B、C、P均在格点上，则点P叫做△ABC的（　　） A．内心 B．重心 C．外心 D．无法确定 二、填空题 10．点G为的重心，如果，，，则的面积为 ． 11．如图，是三角形的重心，如果三角形的面积为，则四边形的面积是 ． 12．等腰Rt△ABC中，斜边AB＝12，则该三角形的重心与外心之间的距离是 ． 13．如图，点是的重心，延长交于点，延长交于点．若，，则 ． 14．如图，点D是的重心，连接并延长交于点E，，的周长比的周长大2，则的大小为 ． 15．如图，是的重心，连接并延长交于，连接并延长交于．若的面积是，则四边形的面积是 ． 16．如图，D，E，F分别为的中点，点G为的重心．已知的面积为3，则的面积为 ． 17．如图，是的重心，， ． 三、解答题 18．如图，在中，为的平分线，请用尺规作图法，求作的内心．（保留作图痕迹，不写作法） 19．同学们知道，三角形三条边的垂直平分线交于同一点，我们把这点称为三角形的外心．请你作出图中的外心．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 20．我们知道，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．由此，我们可以引入如下新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．如图，点P在线段BC上，∠ABP＝∠APD＝∠PCD＝90°，BP＝CD．求证：点P是△APD的准外心； 21．【发现与探究】三角形的重心 三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．图1中，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作．图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． (1)图3中，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (2)由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积 ，如果面积为，用含有的式子表示的面积为 ，： ； (3)图4中，是重心，点、在的边、上，、交于，，，，求四边形的面积． 22．阅读并理解下面内容，解答问题． 三角形的内心 定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心． 如图1，已知AM，BN，CP是△ABC的三条内角平分线． 求证：AM，BN，CP相交于一点． 证明：如图2，设AM，BN相交于点O， 过点O分别作，，，垂足分别为点D，E，F． ∵点O是∠BAC的平分线AM上的一点， ∴，（依据1） 同理，． ∴．（依据2） ∵CP是∠ACB的平分线， ∴点O在CP上，（依据3） ∴AM，BN，CP相交于一点． 请解答以下问题： （1）上述证明过程中的“依据1”“依据2”“依据3”分别是指什么？ （2）如果，，，，请直接用a，b，c，r表示△ABC的面积．    学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度北师大版数学七年级下册课时同步训练 第五章 图形的轴对称 5.2 简单的轴对称图形 【专题】三角形五心一点的性质与应用 三角形的五心是指三角形的重心、外心、内心、垂心、旁心。三条中线的交点是重心，三边垂直平分线的交点是外心，三条内角平分线的交点为内心，三角形三条高线的交点为垂心。与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫作三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫作三角形旁心。重心、外心、内心、垂心只有一个，但旁心有三个。 三角形的一点即费马点，是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点，分为两种情况。 值得注意的是，在三角形的五心一点中，在七年级下册中只要求了解并应用外心、内心、重心和垂心，其中重心需要重点熟悉掌握，而旁心与费马点，以及五心一点中关于圆的相关内容仅作扩展内容了解即可，不要求应用与证明。 【知识点1】三角形的外心：三边的垂直平分线的交点，也即三角形外接圆的圆心。 如图，已知点O为的外心，则. 【知识点2】三角形的内心：三顶角的角平分线的交点，也即三角形内接圆的圆心。 如图，已知点O为的内心，则. 【知识点3】【★温故知新】三角形的重心：三条中线的交点。 如图，已知点O为的内心，则.若点O为内任意一点，当且仅当点O为的内心时，使得最小 【知识点4】【★温故知新】三角形的垂心：三条高线的交点。 【知识点5】【知识扩展】三角形的旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线的交点。 如图，已知点为的旁心。以点O为例，则有. 【知识点6】【知识扩展】三角形的费马点：三条高线的交点。 如上图，已知点P为（三角形三角均不大于）的费马点，若点P为内任意一点，当且仅当点P为的费马点时，使得最小，此时可知. 如上图，已知有一个大于的内角，则的费马点P与该钝角的顶点B重合，此时最小。 【综合训练】 一、选择题 1．下列事件中，是必然事件的是（    ） A．抛掷1枚质地均匀的骰子，出现6点向上 B．某种彩票的中奖率为1%，购买100张彩票一定中奖 C．三角形的外心一定在三角形的外部 D．三角形的内心一定在三角形的内部 【答案】D 【分析】本题考查的是对必然事件的概念的理解，熟练掌握必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件是解题的关键． 【详解】解：A、抛掷1枚质地均匀的骰子，出现6点向上是随机事件，故本选项不符合题意； B、某种彩票的中奖率为1%，购买100张彩票一定中奖是随机事件，故本选项不符合题意； C、三角形的外心一定在三角形的外部是随机事件，故本选项不符合题意； D、三角形的内心一定在三角形的内部是必然事件，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，熟练掌握必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件是解题的关键． 2．在中，小明的作图痕迹如图所示，他作出的两条线的交点为O，下列说法正确的是（   ） A．点O是的重心 B．的垂直平分线一定不经过点0 C．点O到三边距离相等 D．点O到三个顶点距离相等 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，利用三线合一的性质可得为的平分线，又是底边上的高和中线，即可解答，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，由题意可得为的平分线，为的垂直平分线， ， ， 为的垂直平分线， 交点O为三角形垂直平分线的交点， 点O到三个顶点距离相等， 故选：D． 3．下列说法正确的是（   ） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．三角形三个内角的平分线的交点是重心 C．三角形的一个外角等于两个内角的和 D．在中，若，则为锐角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了多边形，解题的关键是了解三角形外角的性质、三角形的内角定理、正多边形的定义以及三角形的重心等知识，难度不大．根据三角形外角的性质、三角形的内角定理、正多边形的定义以及三角形的定义分别进行判断，即可得出答案． 【详解】解：A．各边都相等，各角都相等的多边形是正多边形，故本选项错误，不符合题意； B．三角形三边中线的交点是重心，故本选项错误，不符合题意； C．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，故本选项错误，不符合题意； D．在中，若，则，为锐角三角形，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 4．如图，在中，交边于点D．设△ABC的重心为Q，若点Q在线段上，则下列结论正确的是（    ）． A．平分 B．为的中垂线 C． D．的周长等于的周长 【答案】C 【分析】利用重心的性质得到为的中线，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：∵的重心为G，点G在线段AD上， ∴为的中线， ∴，选项C符合题意； 当时，平分，为的中垂线，的周长等于的周长， ∴选项A、B、D都不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形重心的概念，三角形重心是三角形三边中线的交点． 5．如图，已知的面积为8，点O为的重心，则四边形的面积为（   ） A． B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的重心的定义，三角形的中线，三角形的面积；根据题意可得，进而根据三角形中线的性质，即可求解． 【详解】解：因为点O是的重心， 所以点、分别是的中点， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以． 因为， 所以． 故选：C． 6．三角形的五心在平面几何中占有非常重要的地位，这五心分别是：重心、外心、内心、垂心、旁心，其中三角形的重心是三角形的（  ） A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】B 【分析】根据三角形重心的概念解答即可. 【详解】三角形的重心为三角形三条中线的交点 故选B 【点睛】本题主要考查了三角形重心的概念，掌握三角形重心的概念是解题的关键. 7．如图，在的正方形格纸中，的顶点均在格点上，边与网格线交于点D，边过格点E，连接，相交于点O，则点O为的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．以上结果均不对 【答案】A 【分析】根据三角形三条中线的交点是三角形的重心进行判断即可． 【详解】解：由图可知，点D、E是、的中点， 、是的中线， ∴点O是的重心， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的重心，熟练掌握三角形重心的定义是解题的关键． 8．如图，点是的内心，、是上的点，且，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，连接OA，OB，OC，进而求得，，即∠CBO=∠CMO，∠OBA=∠ONA，根据三角形内角和定理即可得到∠MON的度数. 【详解】如图，连接OA，OB，OC， ∵点是的内心， ∴， ∵CM=CB，OC=OC， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质及判定，三角形的内角和定理及角度的转换，熟练掌握相关辅助线的画法及三角形全等的判定是解决本题的关键. 9．已知△ABC在正方形网格中的位置如图所示，点A、B、C、P均在格点上，则点P叫做△ABC的（　　） A．内心 B．重心 C．外心 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据正方形网格图、三角形的重心的概念解答． 【详解】如图： 由正方形网格图可以看出，点E、F、D分别是AC、AB、BC的中点， ∴点P叫做△ABC的重心， 故选B． 【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点是解题的关键． 二、填空题 10．点G为的重心，如果，，，则的面积为 ． 【答案】72 【分析】延长AG到，连接，使得，则，再证明是直角三角形即可得解； 【详解】如图所示，延长AG到，连接，使得，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∴； 故答案是：72． 【点睛】本题主要考查了三角形重心的性质和三角形全等判定与性质，准确计算是解题的关键． 11．如图，是三角形的重心，如果三角形的面积为，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据三角形的中线求面积，知道重心是三角形三条中线的交点是解题的关键． 连接并延长交于点，由题意得，，，从而得到，，，设，，，得到，继而得出，，即可得到答案． 【详解】解：连结并延长交于点， 是的重心， ，，， ，，， 设，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 12．等腰Rt△ABC中，斜边AB＝12，则该三角形的重心与外心之间的距离是 ． 【答案】2． 【分析】画出图形，找到三角形的重心与外心，利用重心和外心的性质求距离即可. 【详解】如图，点D为三角形外心，点I为三角形重心，DI为所求. ∵直角三角形的外心是斜边的中点， ∴CD＝AB＝6， ∵I是△ABC的重心， ∴DI＝CD＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查三角形的重心和外心，能够掌握三角形的外心和重心的性质是解题的关键. 13．如图，点是的重心，延长交于点，延长交于点．若，，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了三角形的重心性质，掌握三角形的重心性质是解决问题的关键．根据三角形重心的定义，即三角形三条中线的交点，可得，，即可求解． 【详解】解：点是的重心，延长交于点，延长交于点， ，， ， 故答案为：． 14．如图，点D是的重心，连接并延长交于点E，，的周长比的周长大2，则的大小为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了三角形中线的定义，三角形周长计算，根据题意可得是的中线，则，再根据三角形周长计算公式推出，据此可得答案． 【详解】解：∵点D是的重心， ∴是的中线， ∴， ∵的周长比的周长大2， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15．如图，是的重心，连接并延长交于，连接并延长交于．若的面积是，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了重心的概念：重心是三角形三边中线的交点，三角形中线的性质；根据重心的概念，得到是的中线，故可得，进而推出的面积和四边形的面积相等，即可解答． 【详解】解：是的重心， 是的中线， ， 四边形的面积， 故答案为：4． 16．如图，D，E，F分别为的中点，点G为的重心．已知的面积为3，则的面积为 ． 【答案】18 【分析】本题主要考查三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线是解题关键．根据三角形中线的性质求解即可． 【详解】解：∵的面积为3，D，E，F分别为的中点， ∴，，， ∴， ∴， 同理 ∴的面积为， 故答案为：18． 17．如图，是的重心，， ． 【答案】4 【分析】本题考查三角形的重心，根据是的重心，可得是的中线，即可求解． 【详解】∵是的重心， ∴是的中线 ∴， ∴ 故答案为：4． 三、解答题 18．如图，在中，为的平分线，请用尺规作图法，求作的内心．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握三角形的内心是三角形三条角平分线的交点是解答本题的关键． 如图：作的角平分线交于M，点M即为所求． 【详解】如图，点M即所求： 19．同学们知道，三角形三条边的垂直平分线交于同一点，我们把这点称为三角形的外心．请你作出图中的外心．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】作图见解析． 【分析】本题考查作图一复杂作图，线段垂直平分线的性质、 三角形的外接圆与外心，分别作线段，的垂直平分线，相交于点，则点即为所求，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：如图，结合三角形的外心的定义，分别作线段，的垂直平分线，相交于点， ∴点即为所求． 20．我们知道，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．由此，我们可以引入如下新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．如图，点P在线段BC上，∠ABP＝∠APD＝∠PCD＝90°，BP＝CD．求证：点P是△APD的准外心 【答案】见解析 【分析】利用AAS证明△ABP≌△PCD，得到AP＝PD，由定义可知点P是△APD的准外心； 【详解】（1）证明：∵∠ABP＝∠APD＝∠PCD＝90°， ∴∠APB+∠PAB＝90°，∠APB+∠DPC＝90°， ∴∠PAB＝∠DPC， 在△ABP和△PCD中， ， ∴△ABP≌△PCD（AAS）， ∴AP＝PD， ∴点P是△APD的准外心； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及新定义的运用能力．理解题中给的定义是解题的关键． 21．【发现与探究】三角形的重心 三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．图1中，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作．图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． (1)图3中，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (2)由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积 ，如果面积为，用含有的式子表示的面积为 ，： ； (3)图4中，是重心，点、在的边、上，、交于，，，，求四边形的面积． 【答案】(1)，见解析 (2)相等，； (3) 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算．解题的关键是读懂题中所给材料，并能正确运用即可． （1）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出； （2）由（1）中的结论即可得出； （3）运用以上两题的方法，根据三角形的面积底高，先求出的面积进而求出四边形的面积即可． 【详解】（1）解：                由题意可知，， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，所以的面积为． ∵ ∴，即 故答案为；相等，；  ． （3）解：是的重心， ， ， ， ． 22．阅读并理解下面内容，解答问题． 三角形的内心 定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心． 如图1，已知AM，BN，CP是△ABC的三条内角平分线． 求证：AM，BN，CP相交于一点． 证明：如图2，设AM，BN相交于点O， 过点O分别作，，，垂足分别为点D，E，F． ∵点O是∠BAC的平分线AM上的一点， ∴，（依据1） 同理，． ∴．（依据2） ∵CP是∠ACB的平分线， ∴点O在CP上，（依据3） ∴AM，BN，CP相交于一点． 请解答以下问题： （1）上述证明过程中的“依据1”“依据2”“依据3”分别是指什么？ （2）如果，，，，请直接用a，b，c，r表示△ABC的面积．    【答案】（1）依据1：角平分线上的点到角的两边的距离相等；依据2：等量代换；依据3：角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；（2）或． 【分析】（1）根据题意可直接进行作答； （2）由（1）可得OD=OE=OF，然后根据等积法进行求解即可． 【详解】解：（1）由题意得： 依据1：角平分线上的点到角的两边的距离相等． 依据2：等量代换． 依据3：角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． （2）由（1）得： OD=OE=OF=r， ，，， ， △ABC的面积表示为：． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理及判定定理，熟练掌握角平分线的性质定理及判定定理是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$