第19讲　矩形、菱形、正方形 课件 2025年中考数学一轮专题复习（广东专版）

第19讲　矩形、菱形、正方形 第五单元 内容索引 01 考点·梳理整合 02 考题·自测体验 03 考法·分类全析 04 考点·巩固迁移 考点·梳理整合 直角 中心对称 直角 直角 相等 平分 一半 轴对称 相等 四边形　 平行四边形　 直角 垂直平分 平方 平行四边形 菱形 菱形 矩形 考题·自测体验 1.(2021广东深圳)在正方形ABCD中,AB=2,点E是BC边的中点,连接DE,延长EC至点F,使得EF=DE,过点F作FG⊥DE,分别交CD,ED,AB于点N,M,G,连接CM,EG,EN,下列结论正确的有(　　). ①tan∠GFB=;　②MN=NC; ③;　④S四边形GBEM=. A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 B 2.(2023广东深圳)如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=6,将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF,若四边形ECDF为菱形,则a的值为(　). A.1 B.2 C.3 D.4 B 3.(2024广东深圳)如图所示,四边形ABCD,DEFG,GHIJ均为正方形,且 S正方形ABCD=10,S正方形GHIJ=1,则正方形DEFG的边长可以是 　　　　.(写出一个答案即可)  2 4.(2021广东)如图,边长为1的正方形ABCD中,点E为AD的中点.连接BE,将△ABE沿BE折叠得到△FBE,BF交AC于点G,求CG的长. 解:延长BF交CD于H,连接EH. ∵△FBE由△ABE沿BE折叠得到, ∴EA=EF=,∠EFB=∠EAB=90°. ∵E为AD中点,∴EA=ED,∴ED=EF=. ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠D=∠EFB=∠EFH=∠EAB=90°. 在Rt△EDH和Rt△EFH中, ∴Rt△EDH≌Rt△EFH,∴∠DEH=∠FEH. 又∠AEB=∠FEB,∴∠HEB=90°, ∴∠DEH+∠AEB=90°. ∴∠ABE=∠DEH, ∴△DHE∽△AEB, ∴,∴DH=. ∵CH∥AB,∠HGC=∠AGB,∴∠DCA=∠CAB, ∴△HGC∽△BGA,∴. 由勾股定理得AC=,∴CG=. 5.(2023广东)综合与实践 主题:制作无盖正方体形状的纸盒. 素材:一张正方形纸板. 步骤1:如图1,将正方形纸板的边长三等分,画出九个相同的小正方形,并剪去四个角上的小正方形; 步骤2:如图2,把剪好的纸板折成无盖正方体形状的纸盒. 猜想与证明:(1)直接写出纸板上∠ABC与纸盒上∠A1B1C1的大小关系; (2)证明(1)中你发现的结论. 解:(1)∠ABC=∠A1B1C1. (2)连接AC(图略).∵A1B1为正方形对角线, ∴∠A1B1C1=45°.设每个方格的边长为1, 则AB=,AC=BC=. ∵AC2+BC2=AB2, ∴由勾股定理的逆定理得△ABC是等腰直角三角形,∴∠ABC=45°,∴∠ABC=∠A1B1C1. 6.(2023广东节选)综合运用 如图1,在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上.如图2,将正方形OABC绕点O逆时针旋转,旋转角为α(0°<α<45°),AB交直线y=x于点E,BC交y轴于点F. (1)当α为多少度时,OE=OF. (2)若点A(4,3),求FC的长. 解:(1)当OE=OF时,在Rt△AOE和Rt△COF中,∴Rt△AOE≌Rt△COF, ∴∠AOE=∠COF. ∵由旋转知∠α=∠COF,∴∠α=∠AOE. ∴2∠AOE=45°. ∴∠COF=∠AOE=∠α=22.5°, ∴当旋转角α为22.5°时,OE=OF. (2)过点A作AG⊥x轴于点G(图略),则有AG=3,OG=4, ∴OA==5. ∵四边形OABC是正方形, ∴OC=OA=5,∠AOC=∠C=∠AGO=90°, 由旋转知∠COF=∠GOA. ∴Rt△AOG∽Rt△FOC, ∴, ∴FC=, ∴FC的长为. 考法·分类全析 考法1矩形的性质和判定 明晰矩形与一般平行四边形的区别和联系是解答此类问题的突破口. 例1如图5-19-1,在△ABC中,AB=AC,D为边BC上一点,以AB,BD为邻边作▱ABDE,连接AD,EC. (1)求证:△ADC≌△ECD; (2)若BD=CD,求证:四边形ADCE是矩形. 证明:(1)由四边形ABDE是平行四边形, 可知AB∥DE,AB=DE,∴∠B=∠EDC. 又AB=AC,∴AC=DE,∠B=∠ACB, ∴∠EDC=∠ACD. 在△ADC和△ECD中, ∴△ADC≌△ECD. (2)由四边形ABDE是平行四边形, 可知BD∥AE,BD=AE,∴AE∥CD. 又BD=CD,∴AE=CD, 故四边形ADCE是平行四边形. 在△ABC中,AB=AC,BD=CD, ∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°, 故四边形ADCE是矩形. 方法点拨 判定一个四边形是矩形的方法:(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形;(2)有三个角是直角的四边形是矩形;(3)对角线相等的平行四边形是矩形. 考法2菱形的性质 1.明晰菱形与一般平行四边形的区别和联系. 2.涉及对角线时要考虑勾股定理. 例2如图5-19-2,在菱形ABCD中,∠A=60°,E,F分别是AB,AD的中点,DE,BF相交于点G,连接BD,CG.有下列结论:①∠BGD=120°;②BG+DG=CG; ③△BDF≌△CGB;④S△ABD=AB2.其中正确的结论有(　　). A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD=BC=CD. ∵∠A=60°,∴△ABD是等边三角形. ∵E,F分别是AB,AD的中点, ∴BF⊥AD,DE⊥AB, ∴∠AFB=∠AED=90°,∠ADE=∠ABF=30°, ∴∠BGD=∠EGF=120°.故①正确. ∵∠BCD=∠A=60°,∴∠ADC=∠ABC=120°. ∴∠CDG=∠CBG=90°. ∵CD=CB,CG=CG,∴Rt△CDG≌Rt△CBG, ∴BG=DG,∠BCG=∠DCG=30°. ∴CG=2BG,即CG=BG+DG.故②正确. ∵△ABD是等边三角形,∴BD=AB=AD. ∵△BDF和△CGB都是直角三角形,斜边分别为BD,CG,而CG>BD,∴BD≠CG. ∴△BDF和△CGB不可能全等.故③不正确. ∵DE=AB, ∴S△ABD=DE·AB=AB·AB=AB2. 故④正确. 综上,①②④正确.故选C. 答案:C 方法点拨 菱形具有平行四边形的性质;菱形的四条边相等;菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;菱形是轴对称图形,它有两条对称轴. 考法3菱形的判定 证明菱形的常用思路:“平行四边形和一组邻边相等”或“平行四边形和对角线互相垂直”. 例3如图5-19-3,在菱形ABCD中,将对角线AC分别向两端延长到点E和F,使得AE=CF.连接DE,DF,BE,BF.求证:四边形BEDF是菱形. 证明:连接BD,交AC于点O,如图所示. ∵四边形ABCD是菱形, ∴OA=OC,OB=OD,AC⊥BD. ∵AE=CF,∴OE=OF, ∴四边形BEDF是平行四边形. ∵EF⊥BD,∴四边形BEDF是菱形. 方法点拨 本题主要考查菱形的判定方法.这里是运用对角线互相垂直的平行四边形是菱形来证明的. 考法4正方形的性质及判定 1.明晰正方形具备平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 2.证明正方形的一般思路:矩形和一组邻边相等,矩形和对角线互相垂直,菱形和对角线相等,菱形和一个内角是90°. 3.正方形具有中心对称性与轴对称性. 例4如图5-19-4,过正方形ABCD的顶点C作CG∥BD,在CG上取一点F,使BF=BD,且交CD于点E,连接DF.求证:DE=DF. 证明:如图,连接AC交BD于点O,过点F作FH⊥BD于点H.由四边形ABCD为正方形, 可知AC⊥BD,且OC=BD. ∵CG∥BD,AC⊥BD,FH⊥BD, ∴四边形OCFH为矩形.∴HF=OC=BD. ∵BF=BD,∴HF=BF, ∴∠DBF=30°,∴∠BFD=75°. 又四边形ABCD为正方形,∴∠BDE=45°, ∴∠DEF=∠BDE+∠DBF=75°,∴∠DEF=∠BFD,∴DE=DF. 方法点拨 本题主要考查“正方形的四个角均为直角,其对角线互相垂直平分且相等,每一条对角线平分一组对角”“直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么该直角边所对的锐角为30°”及“等角对等边”. 考点·巩固迁移 1.如图,四边形ABCD为菱形,A,B两点的坐标分别是(2,0),(0,1),点C,D在坐标轴上,则菱形ABCD的周长等于(　　). A. B.4 C.4 D.20 C 2.如图,在平行四边形ABCD中,对角线BD⊥AD,AB=10,AD=6,O为BD的中点,E为边AB上一点,直线EO交CD于点F,连接DE,BF.下列结论不成立的 是(　　). A.四边形DEBF为平行四边形 B.若AE=3.6,则四边形DEBF为矩形 C.若AE=5,则四边形DEBF为菱形 D.若AE=4.8,则四边形DEBF为正方形 D 3.如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB,BC,CD,DA的垂线,交各边于点E,F,G,H,则四边形EFGH的周长为 (　　). A.3+ B.2+2 C.2+ D.1+2 A 4.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,已知O是AC的中点, AE=CF,DF∥BE. (1)求证:△BOE≌△DOF. (2)若OD=AC,则四边形ABCD是什么特殊四边形?请说明理由. (1)证明:∵DF∥BE,∴∠FDO=∠EBO,∠DFO=∠BEO. ∵OA=OC,AE=CF, ∴OA-AE=OC-CF,即OE=OF. 在△BOE和△DOF中, ∴△BOE≌△DOF. (2)解:若OD=AC,则四边形ABCD是矩形. 理由:∵△BOE≌△DOF,∴OB=OD, ∴OA=OB=OC=OD,即BD=AC, 故四边形ABCD为矩形. 本 课 结 束 $$