第20课时 菱形、矩形、正方形、梯形-【中考必备】2025年教与学数学课件PPT（广东专版）

2025 教与学 中考必备 数 学 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 第一部分 知识梳理 第五章　四　边　形 第20课时　菱形、矩形、正方形、梯形 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 目 录 CONTENTS 01 课前循环练 02 课标要求 03 考点梳理 04 广东中考 05 高分击破 06 中考演练 07 命题趋势 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 课前循环练 （限时5分钟） 1. （广东真题）在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 （ ） C 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 2. （广东真题）一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，4个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是 （ ） A. B. C. D. B 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 3. （广东真题）如图5-20-1，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列式子中一定成立的是 （ ） A. AC⊥BD B. OA=OC C. AC=BD D. AO=OD 图5-20-1 B 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 4. （广东真题）方程x2=2x的解是　 　.   5. （广东真题）如图5-20-2，在☉O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为　 　.  图5-20-2 x1=0，x2=2 3 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ①理解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，以及它们之间的关系. ②探索并证明矩形、菱形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直.探索并证明矩形、菱形的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 正方形既是矩形，又是菱形；理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系. 课标要求 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 对接教材 人教：八下第十八章　平行四边形（18.2 特殊的平行四边形） 北师：九上第一章　特殊平行四边形 　 考点梳理 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 考点复习 1.矩形的概念 有一个角是　 　的平行四边形叫做矩形  直角 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 广东省对应考点例题 例1. 在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，如果添加一个条件，即可推出该四边形是矩形，那么这个条件可以是 （ ） A.∠D=90°　　　　　 B. AB=CD C. AD=BC D. BC=CD A 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 2.矩形的性质 （1）具有平行四边形的所有性质. （2）矩形的四个角都是　 　.  （3）矩形的对角线　 　.  （4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有　 　条对称轴  直角 相等 2 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 例2. 如图5-20-3，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=60°，AD=2，则AC的长是 （ ） A. 2 B. 4 C. 2 D. 4 图5-20-3 B 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 3.矩形的判定 （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线　 　的平行四边形是矩形.  （3）有三个角是　 　的四边形是矩形  相等 直角 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 例3. 如图5-20-4，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，则下面条件能判定四边形ABCD是矩形的是 （ ） A. AC=BD B. AC⊥BD C. OA=OC D. AB=AD 图5-20-4 A 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 4.菱形的概念 有一组邻边　 　的平行四边形叫做菱形  例4. 下面四个定义中不正确的是 （ ） A.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 B.有一组邻边相等的四边形叫做菱形 C.有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 D.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 相等 B 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 5.菱形的性质 （1）具有平行四边形的所有性质. （2）菱形的四条边都　 　.  （3）菱形的对角线互相　 　，每条对角线平分一组对角.  （4）菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有　 　条对称轴  相等 垂直 2 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 例5. 在菱形ABCD中，AC，BD为对角线，下列说法一定正确的是（ ） A. AC=BD　　　　　 B. AC⊥BD C.∠ABD=∠BAC　 D.∠BAC+∠CAD=90° B 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 6.菱形的判定 （1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形. （2）四条边　 　的四边形是菱形.  （3）对角线互相　 　的平行四边形是菱形  相等 垂直 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 例6. 如图5-20-5，下列选项中，能证明▱ABCD是菱形的条件有 （ ） ① AC⊥BD；② BA⊥AD；③ AB=BC；④ AC=BD. A. ①②③ B. ②③ C. ③④ D. ①③ 图5-20-5 D 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 7.正方形的概念 有一组邻边　 　，并且有一个角是　 　的平行四边形叫做正方形  例7. 在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠D，∠A=90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是 （ ） A. ∠D=90°　　 B. AB=CD C. BC=CD　 D. AC=BD 相等 直角 C 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 8.正方形的性质 正方形具有矩形和菱形的性质： （1）边：四条边都　 　，对边平行.  （2）角：四个角都是　 　.  （3）对角线：对角线相等且　 　，每条对角线　 　一组对角.  （4）正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有　 　条对称轴  相等 直角 互相垂直平分 平分 4 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 例8. 如图5-20-6，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD交于点O.下列结论：① OA=OB；② ∠ACB=45°；③ AC⊥BD；④正方形ABCD有4条对称轴.上述结论正确的有 （ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④ 图5-20-6 A 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 9.正方形的判定 （1）有一组邻边　 　的矩形是正方形.  （2）对角线互相　 　的矩形是正方形.  （3）有一个角是　 　的菱形是正方形.  （4）对角线　 　的菱形是正方形  相等 垂直 直角 相等 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 例9. （1）在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，要使该矩形成为正方形，可添加的一个条件是　 ；  （2）在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，要使该菱形成为正方形，可添加的一个条件是　 .  AB=AD（答案不唯一）　 AC=BD（答案不唯一）　 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 10.平行四边形、矩形、菱形与正方形的关系 （1）从边、角分析： 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 10.（2）从对角线分析： 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 例10. 如图5-20-7，已知▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，请你添加两个适当的条件：　 ，使▱ABCD变为正方形.  图5-20-7 AB=BC，∠ABC=90°（答案不唯一）　 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 11.梯形的概念 只有一组对边　 的四边形叫做梯形.其中有一个角是直角的梯形叫做　 梯形，两腰相等的梯形叫做　 梯形  平行　 直角　 等腰　 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 例11.如图5-20-8，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=CD=4，∠A=120°，则下底BC的长为　 　.  图5-20-8 7 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 广东中考 1. （2022·广东题13，3分，菱形的性质）菱形的边长为5，则它的周长是 　 　.   2. （2024·广东题15，3分，菱形的性质；三角形的面积）如图5-20-9，菱形ABCD的面积为24，E是AB的中点，F是BC上的动点. 若△BEF的面积为4，则图中阴影部分的面积为　 　.   图5-20-9 20 10 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 高分击破 【典型考点】矩形的判定与性质 得分点分析 1. （2024·兰州）如图5-20-10，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC. 　图5-20-10 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （1）求证：四边形ADCE是矩形； （1）证明：∵AB=AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC，即∠ADC=∠ADB=90°. ············1分（利用三线合一的性质得1分） ∵CE∥AD，∴∠ECD=∠ADB=90°. ··················2分（利用平行线的性质得1分） ∵AE⊥AD，∴∠EAD=90°. ··································3分（利用垂直的定义得1分） ∴∠ADC=∠ECD=∠EAD=90°.∴四边形ADCE是矩形. ··················4分（利用矩形的判定得1分） 　图5-20-10 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （2）若BC=4，CE=3，求EF的长. （2）解：∵四边形ADCE是矩形，∴AE=CD，∠AEC=90°. ···············5分（利用矩形的性质得1分） ∵D是BC的中点，BC=4，∴CD=BC=2.∴AE=CD=2. ·························6分（求出AE的长得1分） 在Rt△AEC中，AE=2，CE=3，∴AC==. ···················· 7分（求出AC的长得1分） ∵EF⊥AC，∴S△AEC=AC·EF=AE·CE. ········8分（表示△AEC的面积得1分） ∴EF===. ··················································9分（求出EF的长得1分） 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 温馨提示：此类考题可能见于广东省中考数学试卷的第19题，分值一般为9分，答题时要注意书写格式，分步书写，慢做会求全对，评卷老师是分步给分的哦！ 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 【典型错例】重复证明的错误 2. 如图5-20-11，▱ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F. 求证：四边形AFCE是菱形. 　图5-20-11 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC. ∴∠EAO=∠FCO. ∵EF垂直平分AC， ∴AO=CO，∠AOE=∠COF=90°. 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 在△AOE和△COF中， ∴△AOE≌△COF（ASA）. ∴EO=FO. ∴四边形AFCE是平行四边形. 又∵EF⊥AC， ∴四边形AFCE是菱形. 　图5-20-11 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 错解分析 错解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC.∴∠EAO=∠FCO. ∵EF垂直平分AC， ∴AE=CE，AF=CF，AO=CO，EF⊥AC. 又∵∠AOE=∠COF， ∴△AOE≌△COF（ASA）. ∴AE=CF，OE=OF. ∴AE=CE=CF=AF，AC与EF互相垂直平分. ∴四边形AFCE是菱形. 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 剖析：该解题过程犯了重复证明的错误，在证明四边相等后，又证明了对角线互相垂直平分，这两组条件都可以判定菱形，选其中一个即可. 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 【生长式训练】知识生长→变式创新 3. （中考创新，原创题）如图5-20-12①，将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD，并且测得AB=3 cm，BC=4 cm. 图5-20-12 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 知识种子：基本概念 （1）将这两张三角形纸片按图5-20-12②的方式摆放，连接BD，则AC与BD的位置关系是　 ；  图5-20-12 AC⊥BD　 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 种子生长：矩形的判定与性质 （2）如图5-20-12③，将图5-20-12②中的△A'C'D纸片沿射线CA方向平移，连接BC'，BA'，直至BC'∥A'D. ①判断四边形A'BC'D的形状，并说明理由； 解：①四边形A'BC'D是矩形. 理由：如图5-20-12①，在矩形ABCD中，∠D=90°，AD=BC，AD∥BC， ∴∠ACB=∠CAD. 图5-20-12 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ∴在图5-20-12③中，BC=A'D，∠ACB=∠C'A'D，∠D=90°. ∵BC'∥A'D，∴∠C'A'D=∠A'C'B. ∴∠A'C'B=∠ACB.∴BC'=BC. ∴BC'=A'D.∴四边形A'BC'D是平行四边形. 又∵∠D=90°，∴四边形A'BC'D是矩形. 图5-20-12 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ②如答图5-20-1，过点B作BH⊥AC于点H. 在Rt△ABC中，AB=3 cm，BC=4 cm， ∴AC==5（cm）. ∵S△ABC=AC·BH， ∴BH=（cm）. 在Rt△ABH中，AH=（cm）. 答图5-20-1 ②求平移的距离AC'； 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 在Rt△C'BH中，BC'=BC=4 cm，∴C'H=（cm）. ∴AC'= C'H-AH=（cm）. 答图5-20-1 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 生长变式：图形变式 （3）如图5-20-13，将图5-20-12①中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转∠α，使∠α=∠BAC，得到△AC'D，过点C作AC'的平行线，与DC'的延长线交于点E，判定四边形ACEC'的形状，并说明理由； 解：四边形ACEC'是菱形. 理由：如图5-20-12①，在矩形ABCD中，AB∥CD ∴∠ACD=∠BAC. 如图5-20-13，由旋转的性质，得AC'=AC，∠AC'D=∠BAC. ∵∠CAC'=∠α，∠α=∠BAC， ∴∠CAC'=∠AC'D.∴AC∥C'E. 又∵CE∥AC'，∴四边形ACEC'是平行四边形. 又∵AC'=AC，∴四边形ACEC'是菱形. 图5-20-13 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 种子成树：综合创新 （4）如图5-20-14①，将图5-20-13中的△AC'D继续按逆时针方向旋转，使B，A，D三点在同一条直线上，连接CC'，取CC'的中点F，连接AF并延长至点G，使FG=AF，连接CG，C'G. 图5-20-14 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ①判断四边形ACGC'的形状，并说明理由； 解：①四边形ACGC'是正方形. 理由：∵F为CC'的中点，∴C'F=CF. 又∵FG=AF，∴四边形ACGC'是平行四边形. 又∵AC=AC'，∴四边形ACGC'是菱形. ∵∠AC'D=∠BAC，∠AC'D+∠DAC'=90°， ∴∠BAC+∠DAC'=90°. ∴∠CAC'=180°-（∠BAC+∠DAC'）=90°. ∴四边形ACGC'是正方形. 图5-20-14 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ②如图5-20-14②，将图5-20-14①中△ABC沿着BD方向平移，使点B与点A重合，此时点A平移至点A'，A'C与BC'交于点P，连接CC'，求tan∠C'CP的值. ②由题意，得A'A= C'D=3 cm，AD=4 cm，A'C=AC'=5 cm，A'C⊥AC'. 在Rt△ADC'中，sin∠DAC'=. 在Rt△A'AP中，A'P= A'A·sin∠DAC'=3×（cm）， AP= A'A·cos∠DAC'=3×（cm）. ∴C'P=AC'-AP=5-（cm）. 在Rt△C'PC中，tan∠C'CP=. 图5-20-14 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 中考演练 （限时15分钟） 一、选择题 1. （2024·成都）如图5-20-15，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是 （ ） A. AB=AD B. AC⊥BD C. AC=BD D. ∠ACB=∠ACD 图5-20-15 C 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 2. （2024·临夏州）如图5-20-16，O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为（3，4），则顶点A的坐标为 （ ） A. （-4，2） B. （-，4） C. （-2，4） D. （-4，） 图5-20-16 C 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 3. （2024·通辽）如图5-20-17，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明▱ABCD是菱形的是 （ ） A. ∠BAC=∠BCA B. ∠ABD=∠CBD C. OA2+OB2=AD2 D. AD2+OA2=OD2 图5-20-17 D 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 4. （2024·陕西）如图5-20-18，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H.若AB=6，CE=2，则DH的长为 （ ） A. 2 B. 3 C. D. 图5-20-18 B 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 5. （2024·西藏）如图5-20-19，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，P是边AB上任意一点，过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为D，E，连接DE，则DE的最小值是 （ ） A. 　 B. 　　 C. 　　 D. 图5-20-19 B 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 二、填空题 6. （2024·甘孜州）如图5-20-20，在菱形ABCD中，AB=2，则菱形ABCD的周长为　 　.   图5-20-20 8 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 7. （2024·兰州）如图5-20-21，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F.若AD=4，则EF=　 　.   图5-20-21 2 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 8. （2023·陕西）如图5-20-22，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4.点E在边AD上，且ED=3，M，N分别是边AB，BC上的动点，且BM=BN，P是线段CE上的动点，连接PM，PN.若PM+PN=4，则线段PC的长为　 　.  图5-20-22 2 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 三、解答题 9. （2024·广安）如图5-20-23，菱形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点，BE=BF，求证：∠DEF=∠DFE. 图5-20-23 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C. ∵BE=BF，∴AB-BE=BC-BF，即AE=CF. 在△DAE和△DCF 中， ∴△DAE≌△DCF（SAS）.∴DE=DF.∴∠DEF=∠DFE. 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 10. （2024·长沙）如图5-20-24，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABC=90°. （1）求证：AC=BD； 图5-20-24 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°， ∴四边形ABCD是矩形.∴AC=BD. 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （2）点E在BC边上，满足∠CEO=∠COE. 若AB=6，BC=8，求CE的长及tan∠CEO的值. （2）解：如答图5-20-2，过点O作OH⊥BC于点H，则∠OHE=∠OHC=90°. ∵∠ABC=90°，AB=6，BC=8， ∴AC==10. 答图5-20-2 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 由（1）知四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OB=OD，OC=OA=AC=5. ∴OB=OC.∴HC=HB==3. ∵∠CEO=∠COE，∴CE=OC=5.∴EH=CE-HC=5-4=1. 在Rt△OEH中，tan∠CEO==3. ∴CE的长为5，tan∠CEO的值为3. 答图5-20-2 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 命题趋势 （ 限时 5 分钟） （综合探究）【问题背景】 如图5-20-25，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=2，BC=2，以点O为顶点作边长为2的正方形OEFG，并将正方形OEFG绕点O旋转，正方形与边AD交于点P，与边CD交于点Q. 图5-20-25 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 【知识技能】 （1）如图5-20-25①，当OE⊥AC时，G，Q，C三点重合，此时OQ与OP的数量关系为　 ；  OQ=OP　 图5-20-25 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 【数学理解】（2）当正方形OEFG旋转到如图5-20-25②所示的位置时，猜想OQ与OP的数量关系，并说明理由； 解：（2）OQ=OP. 理由：如答图5-20-3，过点O作OM⊥AD于点M，ON⊥CD于点N. ∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OD，∠ADC=∠DCB=∠DNO=90°. ∴ON∥BC.∴ AB=1. 答图5-20-3 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ∵∠OMD=∠ADC=∠DNO=90°，∴四边形MOND是矩形. ∴∠MON=90°.∴∠MOP+∠EON=90°. ∵四边形OEFG是正方形，∴∠EOG=90°.∴∠EON+∠NOQ=90°.∴∠NOQ=∠MOP. 又∵∠ONQ=∠OMP=90°，∴△ONQ∽△OMP. ∴OP. 答图5-20-3 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 【拓展探索】（3）在正方形的旋转过程中，当DE=EF时，请直接写出DF的长. （3）DF的长为. 【提示】分下面两种情况： ①如答图5-20-4，当点E在AD上方时，过点D作DN⊥EF于点N. 先求得DE=EF=2，∠DEF=30°，则DN=1，EN=. ∴DF=； 答图5-20-4 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ②如答图5-20-5，当点E在AD下方时，点E与点C重合，过点D作DM⊥FC，交FC的延长线于点M. 先求得CF=CD=2，∠DCM=30°，则DM=1，CM= . ∴DF=. 综上所述，DF的长为. 答图5-20-5 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 命题解读：根据最新课程标准和近三年广东中考命题动向，预测2025年广东中考命题方向可能注重考查特殊四边形的基本概念、性质和判定方法，如通过具体图形判断它们的类型、计算相关角度或边长等；强调与其他几何图形的综合运用，可能与三角形、平行四边形、圆等结合；还可能会考查综合探究类题型，通过变换图形位置或构造特殊图形综合考查. 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 谢 谢 ! 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 $$