精品解析：江苏省新海高级中学开发区校区2024-2025学年高一下学期期中数学试题

江苏省新海高级中学开发区校2024-2025学年度第二学期 期中考试 高一年级数学试卷（必修） 命题人：霍小伟 审核人：吴旻玥 时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，若，则（ ） A. 12 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示计算即可. 【详解】由，则，解得. 故选：A. 2. 已知角A为△ABC的内角，cos A＝－，则sin 2A＝（ ） A. － B. － C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系由余弦求得正弦，借助正弦的倍角公式，即可求得结果. 【详解】∵角A为△ABC的内角，∴0＜A＜π， ∴sin A＝ ＝， ∴sin 2A＝2sin Acos A＝2××＝－. 故选：. 【点睛】本题考查同角三角函数关系，以及正弦的倍角公式，属基础题. 3. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，，则角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出角，再结合三角形内角和定理计算即得. 【详解】在中，，，， 由正弦定理得，而，则， 因此，所以. 故选：B 4. 若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段（ ） A. 能组成直角三角形 B. 能组成锐角三角形 C. 能组成钝角三角形 D. 不能组成三角形 【答案】B 【解析】 【分析】首先设的三边分别为，，，得到角为最大的角，再根据得到为锐角，即可得到答案. 【详解】由题知：设的三边分别为，，， 因为，所以角为最大的角. 因为，， 所以为锐角，故三角形为锐角三角形. 故选：B 5. 一个物体在三个力，，的作用下，处于静止状态，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由物体处于静止状态，得到，计算求得. 【详解】由题意可得， 所以. 故选：D 6. 已知，均为锐角，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出，，再由及两角差的正弦公式计算可得. 【详解】因为，均为锐角，则，又， 所以， 所以，， 所以 . 故选：C 7. 边长为2的正方形上有一动点，则向量的最大值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，分在正方形的四条边上的情况分别求解即可． 【详解】如图，分别以为轴建立平面直角坐标系， 则， 设，则，，所以， 当在边或上时，，所以， 当在边上时，，所以， 当在边上时，，所以， 所以的取值范围是，所以向量的最大值是． 故选：D. 8. 在中，，，若最短边的长为，则最长边的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设内角的对边分别为，利用两角和的正切公式得，则，，再根据同角三角函数的基本关系求得和，利用正弦定理即可求解. 【详解】在中，，，且最短边的长为， 设内角的对边分别为， 由题意得，又，所以， 因为，， 故，故， 又，， 解得（负值已舍去），同理可得， 由正弦定理得，即，解得， 所以的最长边长为. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用二倍角公式判断A、C，根据两角差的正切公式判断B，利用辅助角公式判断D. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确. 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：BD 10. 关于复数及其共轭复数，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 若复数，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用特殊值判断A，根据共轭复数的定义判断BD，根据复数的模及代数形式的乘法运算判断C. 【详解】对于A：令，则，，显然不满足，故A错误； 对于B：设，则，因为，所以， 所以，故B正确； 对于C：设，则，， 所以，故C正确； 对于D：因为，所以，则，故D正确. 故选：BCD 11. 对于函数，下列正确的有（ ） A. 是偶函数 B. 在区间单调递增 C. 的值域为 D. 的图象关于直线对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义判断A，根据正弦函数的性质判断B，利用特殊值判断C，根据对称性判断D. 【详解】对于A：因为的定义域为， 且， 所以为偶函数，故A正确； 对于B：当时， 则，因为在上单调递增， 所以在区间上单调递增，故B正确； 对于C：因为，故C错误； 对于D：因为， 所以的图象关于直线对称，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，满足条件的点的集合表示的图形的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据向量模的计算公式得到，即可求出点的集合表示的图形的面积. 【详解】设，因为，所以， 则，所以点在以坐标原点为圆心，为半径的圆上， 所以点的集合表示的图形的面积. 故答案为： 13. 在直角中，，，，点是边上靠近的三等分点，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】首先求出，，再根据利用两角差的正切公式计算可得. 【详解】因为点是边上靠近的三等分点，，所以， 又，，所以，所以， 又， 所以. 故答案为： 14. 在中，为中点，，设与交于点，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】以、为基底表示出，再根据平面向量共线定理及推论求出，即可求出，，即可得解. 【详解】因为， 所以， 由三点共线，可设， 所以. 又三点共线，所以， 又、不共线，所以，解得， 所以，又， ， 所以，即. 故答案为： 四、解答题：本题共有5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）设复数，若对应的点位于复平面的第四象限，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据复数代数形式的运算法则计算可得； （2）根据复数的几何意义得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）因为， 所以； （2）复数在复平面内对应的点为， 依题意可得，解得，即的取值范围为. 16. 已知，，． （1）求与的夹角； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的运算律求出，再由夹角公式计算可得； （2）根据及数量积的运算律计算可得. 【小问1详解】 因为，所以， 即， 又，，所以，所以， 所以， 由于，所以， 【小问2详解】 因为，，， 所以. 17. 已知三内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，的面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，即可求出，从而得解； （2）利用余弦定理得到，再由的面积公式求得，即可得解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 又，故． ∴， 即， 因为， 所以； 【小问2详解】 在中由余弦定理得：， 代入，得：，即， 又∵， ∴，所以，解得（负值已舍去）． 18. 已知， （1）求的最小正周期； （2）若，，求的值； （3）求函数在上的单调递增区间． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简，再由正弦函数的性质计算可得； （2）依题意可得，即可求出，再由及两角差的正弦公式计算可得； （3）根据正弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】 因为 ， 所以的最小正周期； 【小问2详解】 因为，即， 所以，又，所以， 所以， 所以 ； 【小问3详解】 由，则， 令，解得， 所以函数在上的单调递增区间为. 19. 如图，半圆的直径为，为直径延长线上的一点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形．设， （1）当时，求四边形的周长； （2）用表示四边形的面积，并求其面积的最大值； （3）求的最大值，并指出此时的值． 【答案】（1） （2），最大值为 （3）最大值为，此时 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出，即可得解； （2）利用余弦定理表示出，再由面积公式转化为的三角函数，用三角函数最值来解即可； （3）依题意即求的最大值，利用正弦定理表示出，即可求出，从而求出，再由余弦定理表示出，利用三角恒等变换公式及正弦函数的性质求出的最大值，即可得解. 【小问1详解】 在中，，，， 由余弦定理得， 所以，于是四边形OACB的周长为． 【小问2详解】 在中，由余弦定理得， 所以，， 于是四边形的面积 ， 即， 当，即时，四边形的面积取得最大值为， 所以当满足时，四边形的面积最大，最大值为． 【小问3详解】 因为， 所以要求的最大值，即求的最大值， 因为， 在中由正弦定理得， 即， 所以， 所以 ， 由余弦定理得 ， 因为，所以当时，取得最大值. 所以的最大值为，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省新海高级中学开发区校2024-2025学年度第二学期 期中考试 高一年级数学试卷（必修） 命题人：霍小伟 审核人：吴旻玥 时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，若，则（ ） A. 12 B. C. D. 2. 已知角A为△ABC的内角，cos A＝－，则sin 2A＝（ ） A. － B. － C. D. 3. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，，则角等于（ ） A. B. C. D. 4. 若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段（ ） A. 能组成直角三角形 B. 能组成锐角三角形 C. 能组成钝角三角形 D. 不能组成三角形 5. 一个物体在三个力，，的作用下，处于静止状态，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，均为锐角，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 边长为2的正方形上有一动点，则向量的最大值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 8. 在中，，，若最短边的长为，则最长边的长为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 关于复数及其共轭复数，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 若复数，则 11. 对于函数，下列正确的有（ ） A. 是偶函数 B. 在区间单调递增 C. 的值域为 D. 的图象关于直线对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，满足条件的点的集合表示的图形的面积为_____． 13. 在直角中，，，，点是边上靠近的三等分点，则_____． 14. 在中，为中点，，设与交于点，则_____． 四、解答题：本题共有5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）设复数，若对应的点位于复平面的第四象限，求的取值范围． 16. 已知，，． （1）求与的夹角； （2）求． 17. 已知三内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，的面积为，求． 18. 已知， （1）求的最小正周期； （2）若，，求的值； （3）求函数在上的单调递增区间． 19. 如图，半圆的直径为，为直径延长线上的一点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形．设， （1）当时，求四边形的周长； （2）用表示四边形的面积，并求其面积的最大值； （3）求的最大值，并指出此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $