精品解析：江苏省无锡市第六高级中学2024-2025学年高一下学期期中数学试题

先锡市第六高级中学2024-2025学年第二学期期中质量调研 高一年级数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 出卷人：吴伟 审卷人：邵敏伟 2025年4月 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知向量．若与共线，则（ ） A. B. C. D. 2 2. 已知一个物体在三个力的作用下处于静止状态，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则z的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. i 4. 已知向量，满足，，，夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，且，则的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 6. 复数，则在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 若平面向量两两夹角相等，且，则（ ） A. 2 B. 5 C. 2或5 D. 或 8. 已知是关于的方程的一个根，均为实数，则（ ） A. 7 B. 3 C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 关于复数，给出下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. . 10. 在下列各组向量中，不可以作为基底的是（   ） A. B. C. D. 11. 已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为锐角三角形 C. 若，则为等腰三角形或直角三角形 D. 若，，这样的三角形有两解，则的取值范围为 三、填空题（本题共3小题、每小题5分，共15分） 12. 已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东的方向航行，B船沿正北方向航行（如图）．若A船的航行速度为60n mile/h，1小时后，B船测得A船位于B船的北偏东的方向上，则此时A，B两船相距________n mile． 13. 定义运算，则符合条件的复数_______． 14. 如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，， ，则 的值是_______. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 在复数范围内解方程： （1）； （2）. 16. 已知复数． （1）若z是实数，求实数m的值； （2）若z是虚数，求实数m的取值范围； （3）若z是纯虚数，求实数m的值． 17. 已知向量，． （1）当且时，求； （2）当，与夹角为钝角，求x范围． 18. 如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点． （1）若，求的值； （2）求的长； （3）求的取值范围． 19. 如图，有一块空地，其中，，当地政府计划将这块空地改造成一个度假区，拟在中间挖一个人工湖，其中都在边AB上，且，挖出的泥土堆放在地带上方便建造景观，剩下的地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在的周围安装防护网．设 （1）当时，求的值，并求此时防护网的总长度； （2）为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，求：面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 先锡市第六高级中学2024-2025学年第二学期期中质量调研 高一年级数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 出卷人：吴伟 审卷人：邵敏伟 2025年4月 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知向量．若与共线，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线得到方程，解出即可. 【详解】因为向量．且与共线， 所以得，解得. 故选：A. 2. 已知一个物体在三个力的作用下处于静止状态，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由处于静止状态可知三个力合成为，由此得出的坐标. 【详解】因为该物体静止，即受力平衡，三个力的合力为，即， 所以. 故选：A. 3. 已知，则z的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. i 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法求出复数即可求解. 【详解】因为，所以，所以z的虚部为. 故选：A 4. 已知向量，满足，，，夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由投影向量计算公式，可得答案. 【详解】在上的投影向量. 故选：C. 5. 在中，，且，则的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】首先由余弦定理得，再由题干条件结合正弦定理得，故是等边三角形. 【详解】由，得，所以； 又，由正弦定理得，所以是等边三角形. 故选：C. 6. 复数，则在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义结合复数的几何意义可得出结论. 【详解】因为，则， 所以，复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限. 故选：B. 7. 若平面向量两两夹角相等，且，则（ ） A. 2 B. 5 C. 2或5 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得夹角为或，再分夹角为和夹角为两种情况讨论，结合数量积的运算律即可得解. 【详解】因为平面向量，，两两的夹角相等，所以夹角有两种情况， 即，，两两的夹角为或, 当夹角为时，； 当夹角为时， ； 综上所述：或. 故选：C． 8. 已知是关于的方程的一个根，均为实数，则（ ） A. 7 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】可根据实系数一元二次方程的根的性质求出方程的另一个根，再利用韦达定理求出、的值，最后计算. 【详解】因为是关于的实系数方程的一个根，所以另外一个根是， 由韦达定理可知，，故. 故选：A． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 关于复数，给出下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. . 【答案】BD 【解析】 【分析】利用复数的意义判断AC；利用复数的乘方计算判断B；计算复数的模判断D作答. 【详解】不全是实数的两个复数不能比较大小，AC错误； 因为，因此，B正确； 因为，因此，D正确. 故选：BD 10. 在下列各组向量中，不可以作为基底的是（   ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】逐项判断向量是否共线即可得解. 【详解】因为共线，故不能做基底，故A正确； 因为，所以不共线，可作基底，故B错误； 因为，所以，即共线，故不能作基底，故C正确； 因为，所以，即共线，故不能作基底，故D正确. 故选：ACD 11. 已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为锐角三角形 C. 若，则为等腰三角形或直角三角形 D. 若，，这样的三角形有两解，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正弦定理判断A、D；利用余弦定理判断B；利用正弦定理将边化角，再由二倍角公式判断C. 【详解】对于A，由及由正弦定理，得，则，A正确； 对于B，由余弦定理，得为锐角，但无法判断角A和角B是否为锐角， 因此无法判断是否为锐角三角形，B错误； 对于C，由及正弦定理，得，即， 由，得，则或，即或， 因此为等腰三角形或直角三角形，C正确； 对于D，由三角形有两解，得，即，即的取值范围为，D正确. 故选：ACD 三、填空题（本题共3小题、每小题5分，共15分） 12. 已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东的方向航行，B船沿正北方向航行（如图）．若A船的航行速度为60n mile/h，1小时后，B船测得A船位于B船的北偏东的方向上，则此时A，B两船相距________n mile． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理求的长度即可. 【详解】由题设，n mile，且， 由正弦定理有，则，可得n mile. 故答案为：. 13. 定义运算，则符合条件的复数_______． 【答案】 【解析】 【分析】由定义建立等量关系，设，代入由复数相等计算求解即可. 【详解】由题意得．设， 则， 所以，解得， 所以． 故答案为：. 14. 如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，， ，则 的值是_______. 【答案】 【解析】 【详解】因为， ， 因此， 【考点】向量数量积 【名师点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 在复数范围内解方程： （1）； （2）. 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用分解因式法求解方程. （2）利用配方法求解方程. 【小问1详解】 由，得，即，解得或， 所以方程的解为或. 【小问2详解】 由，得，则，解得， 所以方程的解为. 16. 已知复数． （1）若z是实数，求实数m的值； （2）若z是虚数，求实数m的取值范围； （3）若z是纯虚数，求实数m的值． 【答案】（1）或 （2）且 （3） 【解析】 【分析】（1）根据复数为实数的充要条件列式求解即可. （2）根据复数为虚数的充要条件列式求解即可. （3）根据复数为纯虚数的充要条件列式求解即可. 【小问1详解】 若z是实数，则，解得或． 【小问2详解】 若z是虚数，则，解得且． 【小问3详解】 若z是纯虚数，则解得． 17. 已知向量，． （1）当且时，求； （2）当，与夹角为钝角，求x范围． 【答案】（1） （2）且 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标表示即可求解； （2）根据向量平行的坐标关系可求，进而根据数量积为负即可求解. 【小问1详解】 ，，则，， 由于可得， 由于，故， 此时，，故，则， 【小问2详解】 ，， 由，可得，解得， 由可得， 故当与夹角为钝角时，则且 18. 如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点． （1）若，求的值； （2）求的长； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算，结合图形的几何性质，可得答案； （2）利用同一组基底表示向量，根据数量积的运算律，可得答案； （3）利用同一组基底表示向量，根据数量积的运算律，结合二次函数的性质，可得答案. 【小问1详解】 由分别为的中点，则，， 由图可得，则， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，， 由，则， ， 可得，解得. 【小问3详解】 由图可得， ， ， 由，则. 19. 如图，有一块空地，其中，，当地政府计划将这块空地改造成一个度假区，拟在中间挖一个人工湖，其中都在边AB上，且，挖出的泥土堆放在地带上方便建造景观，剩下的地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在的周围安装防护网．设 （1）当时，求的值，并求此时防护网的总长度； （2）为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，求：面积的最小值. 【答案】（1），9km； （2） 【解析】 【分析】（1）通过余弦定理求，由正弦定理求，可得是等边三角形，即可求防护网的总长度. （2）设，表示其他角，利用正弦定理表示，根据三角形面积公式即可求出最小值. 【小问1详解】 ∵，，，∴，. 在中，由余弦定理得：，∴， 由正弦定理得：，即， ∴，又为锐角，∴， ∴，∴是等边三角形， ∴的周长，即防护网的总长度为. 【小问2详解】 设，则，， 在中，由正弦定理得， 即，∴， 在中，由正弦定理得，即，∴， ∴ ， 当，即时，的面积最小，最小面积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $