精品解析：甘肃省兰州市第五十六中学2024-2025学年 七年级下学期期中试卷数学

2024-2025学年甘肃省兰州五十六中七年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分） 1. 如图，污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水沟，做法如下：过点A作于点B，沿着方向铺设排水管道可用料最省．能准确解释这一现象的数学知识是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 D. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 2. 为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了的光刻机难题，其中，则用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各图中，∠1和∠2 不是同位角的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算不正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是：（ ） A. 4 B. 6 C. 10 D. 14 6. 下列各式，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 7. 等腰三角形底边长为，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，其差为，则该等腰三角形的腰长为（　　） A. B. C. D. 或 8. 若可以配成一个完全平方公式，则m的值为（    ） A. B. C. 16 D. 9. 若，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，是内部的射线且，过点作于点，过点作于点．给出下面三个结论：①；②；③．其中正确的有（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 11. 如图，直线，点A在直线上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线、于B、C两点，以点C为圆心，长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），连接，其中交于点E．若；则①；②；③；④；⑤沿折叠，与重合．其中正确的有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）． 12. 若（为常数），则______． 13. 如图，在的正方形网格中，等于________． 14. 如图所示，在中，于D，于E，与交于点F，，则的长度为_____ ． 15. 如图，两个正方形边长分别为a，b，如果，则阴影部分的面积为 _____． 三、解答题（本大题共11小题，共75分．解答写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，已知，，．求证：． 证明：因为， 所以（ ） 所以，（ ） 因为， 所以（ ）． 所以____________（ ）． 18. 先化简，再求值：．其中． 19. 如图，已知点E、F在直线上，点N在线段上，与交于点M，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 20. 如图，已知和线段，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于，另一个内角等于，且这两个内角的夹边等于．（不写作法，保留作图痕迹） 21. 关于的代数式化简后不含有项和常数项 （1）求和的值． （2）若，求：代数式的值． 22. 如图，已知在中，，，在中，，，连接，，延长交于点F．试说明：． 23. 如图，在中，，D是上一点，，且，过M作交于E．求证：． 24. 定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题． （1）求的值； （2）若运算的结果为108，求t的值； （3），，，则的值为 ． 25. 如图，米，于点B，于点A，已知米，点F从点B出发，以3米/秒的速度沿向点A运动（到达点A停止运动），设点F的运动时间为t秒． （1）如图，______．（用t的代数式表示） （2）点F从点B开始运动，点D同时从点A出发，以x米/秒的速度沿射线AE运动，是否存在这样x的值．使得与全等？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． 26. 已知，在四边形中，，，分别是边上的点．且．探究线段的数量关系． （1）为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明________；再证明_________；即可得出线段之间的数量关系是______________________． （2）如图②，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，，分别是所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年甘肃省兰州五十六中七年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分） 1. 如图，污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水沟，做法如下：过点A作于点B，沿着方向铺设排水管道可用料最省．能准确解释这一现象的数学知识是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 D. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂线段最短进行判断即可． 【详解】解：由题意得，解释这一现象的数学知识是“垂线段最短”， 故选：C． 【点睛】本题考查垂线段最短，理解垂线段最短的意义是正确解答的关键． 2. 为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了的光刻机难题，其中，则用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意易得，然后根据科学记数法可直接进行求解． 【详解】解：由题意得：， ∴用科学记数法表示为； 故选D． 【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键． 3. 下列各图中，∠1和∠2 不是同位角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同位角，熟练掌握同位角的特征是解题的关键．根据同位角的特征逐一判断即可． 【详解】解：A．与有一条边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，不符合题意 B. 与有一条边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，不符合题意； C. 与有一条边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，不符合题意； D. 与的一边不在同一条直线上，不是同位角，符合题意． 故选：． 4. 下列计算不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查合并同类项法则、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据积的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项法则、幂的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：A、，故选项计算正确，不符合题意； B、，，故选项计算正确，不符合题意； C、，故选项计算不正确，符合题意； D、，故选项计算正确，不符合题意； 故选：C． 5. 已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是：（ ） A. 4 B. 6 C. 10 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．设此三角形第三边的长为x，根据三角形的三边关系求出x的取值范围，找出符合条件的x的值即可． 【详解】解：设此三角形第三边的长为x，则， 即， 四个选项中只有10符合条件． 故选：C． 6. 下列各式，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，平方差公式为 ，需满足两数之和与两数之差的乘积． 根据平方差公式的结构特征判断即可． 【详解】解：A、，不能用平方差公式计算，不符合题意； B、，不能用平方差公式计算，不符合题意； C、，不能用平方差公式计算，不符合题意； D、，能用平方差公式计算，符合题意， 故选：D． 7. 等腰三角形底边长为，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，其差为，则该等腰三角形的腰长为（　　） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，设腰长为x，得出方程或，求出x后根据三角形三边关系进行验证即可． 【详解】解：如图， 设腰长为，一腰的中线为， 则或， 解得：， ∴或1， ①三边长为9、9、1，符合三角形三边关系定理； ②三边是1、1、9，，不符合三角形三边关系定理； 所以，该等腰三角形的腰长为， 故选：C． 8. 若可以配成一个完全平方公式，则m的值为（    ） A. B. C. 16 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式的特点是解题的关键； 根据完全平方式得出，即可求解． 【详解】解：∵ 是一个完全平方式， ∴可设为 ， ∴， 解得：． 故选：D． 9. 若，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查零指数幂，平方差公式，积的乘方，先分别计算a，b，c的值，再比较即可． 【详解】解：， ，， 因为， 所以， 故选：D． 10. 如图，在中，是内部的射线且，过点作于点，过点作于点．给出下面三个结论：①；②；③．其中正确的有（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】利用即可；②③证明得出对应线段相等即可. 【详解】解：于点，于， , ,故正确 在和中 故正确 （垂线段最短） 故错误 故选 【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，也是典型的“一线三直角”的几何模型，熟练掌握三角形的判定和性质是解题的关键. 11. 如图，直线，点A在直线上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线、于B、C两点，以点C为圆心，长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），连接，其中交于点E．若；则①；②；③；④；⑤沿折叠，与重合．其中正确的有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、轴对称，熟练掌握等腰三角形和全等三角形的性质是解题关键．根据平行线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，则①正确；证出，根据全等三角形的性质可得，则②正确；根据平行线的性质可得，由此可得，则③错误；根据角的和差可得，则④正确；根据可得⑤正确． 【详解】解：∵直线，， ∴， 由题意可知，， ∴，则①正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∴，，则②正确； 又∵直线， ∴， ∴，则③错误； ∵，， ∴， ∴，则④正确； ∵， ∴沿折叠，与重合，则⑤正确； 综上，正确的有4个， 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）． 12. 若（为常数），则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，多项式相等的条件，代数式求值，利用多项式乘以多项式把左式展开化简，再根据多项式相等的条件求出的值，进而代入代数式计算即可求解，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ∵ ∴， ∴，，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在的正方形网格中，等于________． 【答案】##90度 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，正确找出两个全等三角形是解题关键．如图（见解析），先证出，再根据全等三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：如图 由题意得：，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图所示，在中，于D，于E，与交于点F，，则的长度为_____ ． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，根据推出，根据全等得出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 15. 如图，两个正方形边长分别为a，b，如果，则阴影部分的面积为 _____． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式的变形，以及阴影部分面积的表示方法，用a和b表示出阴影部分面积，再通过完全平方公式的变换，可求出阴影部分面积． 【详解】解：∵两个正方形边长分别为a，b， ∴， ∴， ，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴S阴影． 故答案为：9 三、解答题（本大题共11小题，共75分．解答写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂与零指数幂、单项式乘以多项式、幂的乘方与积的乘方、单项式除以单项式等知识，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算有理数的乘方、负整数指数幂与零指数幂、化简绝对值，再计算加减法即可得； （2）先计算单项式乘以多项式、幂的乘方与积的乘方、单项式除以单项式，再计算整式的加减法即可得． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 如图，已知，，．求证：． 证明：因为， 所以（ ） 所以，（ ） 因为， 所以（ ）． 所以____________（ ）． 【答案】垂直的定义，直角三角形的两个锐角互余，等角的余角相等，，，同位角相等，两直线平行． 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，根据垂直的定义，直角三角形的两个锐角互余，平行线的判定即可得出答案． 【详解】证明：因为， 所以（垂直的定义） 所以，（直角三角形的两个锐角互余） 因为， 所以（ 等角的余角相等 ） 所以（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：垂直的定义，直角三角形的两个锐角互余，等角的余角相等，，，同位角相等，两直线平行． 18. 先化简，再求值：．其中． 【答案】3ab-3b2，-2 【解析】 【分析】原式利用多项式乘以多项式法则，完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式=2a2-ab-b2-2a2+4ab-2b2 =3ab-3b2， 当时，原式=1-3=-2． 【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 19. 如图，已知点E、F在直线上，点N在线段上，与交于点M，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法和性质，是解题的关键： （1）由，推出，进而推出，即可得证； （2）根据平行线性质，角的和差关系，以及对顶角相等，即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴，， ∴， ∴． 20. 如图，已知和线段，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于，另一个内角等于，且这两个内角的夹边等于．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 如图： 【解析】 【分析】本题考查作图复制作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，①作射线，在射线上截取．②分别在直线的上方作，，射线交射线于点．即为所求． 【详解】略 21. 关于的代数式化简后不含有项和常数项 （1）求和的值． （2）若，求：代数式的值． 【答案】（1）， （2）5 【解析】 【分析】本题考查整式的乘法和加减运算、代数式求值． （1）先将已知代数式整理后，根据题意求得a、m值； （2）根据，求得n值，然后代值求解即可． 【小问1详解】 解： ， 因代数式中不含项与常数项， ，， ，； 【小问2详解】 解：∵，，， ， ∴， 解得， ． 22. 如图，已知在中，，，在中，，，连接，，延长交于点F．试说明：． 【答案】 证明：∵，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．先证出，再利用定理即可得． 【详解】略 23. 如图，在中，，D是上一点，，且，过M作交于E．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了垂直、平行线的性质、三角形全等的判定与性质，正确找出两个全等三角形是解题关键．先根据垂直的定义可得，再根据平行线的性质可得，然后证出，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】略 24. 定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题． （1）求的值； （2）若运算的结果为108，求t的值； （3），，，则的值为 ． 【答案】（1）96 （2） （3）21 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘方、同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用等知识，正确理解新运算的定义是解题关键． （1）根据新运算的定义可得，再计算有理数的乘方即可得； （2）根据新运算的定义和同底数幂乘法的逆用可得，则可得，由此即可得； （3）先根据新运算的定义可得，再利用同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用计算即可得． 【小问1详解】 解：由题意得： ． 【小问2详解】 解：由题意得： ， ∵运算的结果为108， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵，，， ∴ ， 故答案为：21． 25. 如图，米，于点B，于点A，已知米，点F从点B出发，以3米/秒的速度沿向点A运动（到达点A停止运动），设点F的运动时间为t秒． （1）如图，______．（用t的代数式表示） （2）点F从点B开始运动，点D同时从点A出发，以x米/秒的速度沿射线AE运动，是否存在这样x的值．使得与全等？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）平方米 （2）的值为3或4 【解析】 【分析】（1）先根据路程速度时间得出米，再利用三角形的面积公式即可求解； （2）由于，所以当与全等时，分两种情况：①；②．根据全等三角形对应边相等列出方程，即可求解． 【小问1详解】 米，，米， （平方米）． 故答案为：平方米； 【小问2详解】 由题意可得，，，． 当与全等时，分两种情况： ①如果，那么，， ，， 解得； ②如果，那么，， ，， 解得，． 故所求的值为3或4． 【点睛】本题结合动点问题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，难度适中．用的代数式表示出是解决第（1）小题的关键，进行分类讨论是解决第（2）小题的关键． 26. 已知，在四边形中，，，分别是边上的点．且．探究线段的数量关系． （1）为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明________；再证明_________；即可得出线段之间的数量关系是______________________． （2）如图②，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，，分别是所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系． 【答案】（1） （2） （1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图②，延长 到点G，使 ，连接， ∵， ∴， 在 与 中， ， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ， 在 与 中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）或或； 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）依据题意，补全小宁的解题思路即可； （2）延长 到点G，使 ，连接 ，先证明，再证明，即可得出线段之间的数量关系； （3）分三种情况讨论，分别采用截长补短，先利用证明三角形全等，再进行线段的和差计算即可． 【小问1详解】 解：补全小宁的解题思路如下： 先证明；再证明；即可得出线段之间的数量关系是， 故答案为： ，，； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：或或，理由如下： ①，如图：在 上截取，使 ，连接 ， ∵ ∴ 在 与 中， ∴ ∴， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ， 在 与 中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②，如图，在上截取， 同第一种情况，先证得，再证得， ∴ ； ③由（1）、（2）可知，； ④如图，点 在 延长线上，点 在延长线上，此时线段之间并无直接数量关系； 综上，线段之间的数量关系为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $