精品解析：河北省承德市第一中学2024--2025学年高一下学期4月份月考数学试卷

河北承德市第一中学 2024—2025学年第二学期高一数学4月份月考试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知向量，，且，则的值为（ ） A. -6 B. 6 C. D. 2. 观察下面的几何体，哪些是棱柱？（ ） A. （1）（3）（5） B. （1）（2）（3）（5） C. （1）（3）（5）（6） D. （3）（4）（6）（7） 3. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面向量，，，满足，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 关于x的方程有一根为1，则一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求） 9. （多选）下列说法不正确的是（　　） A. 棱台的两个底面相似 B. 棱台的侧棱长都相等 C. 棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台 D. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 10. 在等腰直角三角形中，，，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 将函数的图象向右平移个个单位得到函数的图象 D. 若方程在上有且只有一个实数根，则m的取值范围是 三、填空题（本大题共3小题，共15分 12. 若，则______． 13. 已知的内角所对的边分别为a、b、c，，为边上一点，满足，且．则的最小值为______． 14. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到达处时测得公路右侧一山底在西偏北的方向上；行驶后到达处，测得此山底在西偏北的方向上，山顶的仰角为，则此山的高度______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 （1）求 （2）若，的面积为，求a的值. 16. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）若，求的值； （3）将函数图象上所有点向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上有两个零点，求的取值范围． 17. 已知. （1）求的单调递增区间； （2）若，，求满足不等式的x的取值范围. 18. 已知向量，且与的夹角为， （1）求证： （2）若，求的值； （3）若与的夹角为，求的值． 19. 如图，在平行四边形中，，垂足为P，E为中点， （1）若·=32，求的长； （2）设||＝，||＝，＝－，＝x＋y，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北承德市第一中学 2024—2025学年第二学期高一数学4月份月考试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知向量，，且，则的值为（ ） A. -6 B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，利用数量积的坐标运算由求解. 【详解】已知向量，， 因为， 所以， 解得 故选：A 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，属于基础题. 2. 观察下面的几何体，哪些是棱柱？（ ） A. （1）（3）（5） B. （1）（2）（3）（5） C. （1）（3）（5）（6） D. （3）（4）（6）（7） 【答案】A 【解析】 【分析】根据棱柱的定义分析判断即可. 【详解】根据棱柱的结构特征：一对平行的平面且侧棱相互平行的几何体， 所以棱柱有（1）（3）（5）. 故选：A. 3. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同角基本关系式求出，利用，结合和差角公式可解. 【详解】由，则， 又，， 而 . 故选：D. 4. 用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将化成弧度结合选项即可求解； 【详解】用弧度制可表示为， 所以与角的终边相同的角构成的集合为 故选：D． 5. 已知平面向量，，，满足，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，利用平方运算得，建立平面直角坐标系，根据图形的几何性质可得，将代入即可求得最大值. 【详解】因为，，设， 则，即，解得， 建立平面直角坐标系，如图所示． 设，，， 则，，，，， 因为，所以， 则， 所以的最大值为． 故选：C． 6. 关于x的方程有一根为1，则一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】将1代入，根据二倍角公式和两角差的余弦公式，整理可得 ，即，根据角的范围，即可求出结果. 【详解】因为1是的根， 所以， 又， 所以有，， 整理可得，，即. 因为，，，所以. 则由可得，，所以. 所以一定是等腰三角形. 故选：A. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性可得，利用的单调性得，利用在区间上的单调性得，即可求解. 【详解】因为是增函数，则， 又在上单调递增，所以， 因为在区间上单调递减，所以，且，所以， 故选：D. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数的平方关系及题中角度范围，求出和的值，再利用整体思想，将转化为，用余弦的和角公式展开求值即可. 【详解】，，， 又，， ，， ，， ，， 则 ， 故选：C． 二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求） 9. （多选）下列说法不正确的是（　　） A. 棱台的两个底面相似 B. 棱台的侧棱长都相等 C. 棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台 D. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，由棱台、棱锥、棱柱的定义，依次分析选项，即可得到答案. 【详解】由棱台是用平行于底面的平面截棱锥而得，知A正确，B，C不正确；棱柱的侧棱都相等且互相平行，且侧面是平行四边形，但侧面并不一定全等，D不正确. 故选：BCD 10. 在等腰直角三角形中，，，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据向量的线性运算法则，可判定A正确；由，可判定B不正确； ，可判定C不正确；由，，结合数量积的运算公式，可判定D正确. 【详解】如图所示，等腰直角中，，， 对于A中，由， 所以A正确； 对于B中，由，所以B不正确； 对于C中，由， 所以，所以C不正确； 对于D中，由， 所以，所以D正确. 故选：AD. 11. 已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 将函数的图象向右平移个个单位得到函数的图象 D. 若方程在上有且只有一个实数根，则m的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】根据图像可求得可得A正确，将代入检验即可得B错误，利用平移规则可知C正确，由整体代换法并根据函数图象可求得的取值范围是，故D错误. 【详解】由函数图象可得， 函数的周期满足，则， 故，解得，所以. 又函数过点，即，则， 所以，，即，， 又，所以，所以. 由前面计算已求得，故A正确； 对于B，若函数的图象关于点对称，则. 计算， 所以的图象不关于点对称，故B错误； 对于C，将函数的图象向右平移个单位得到： ，故C正确； 对于D，当时，， 令，则，. 当时，在上单调递增，在上单调递减； 又，，. 因为的图象与有且只有一个实数根， 所以的取值范围是，故D错误. 故选：AC 三、填空题（本大题共3小题，共15分 12. 若，则______． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】根据三角函数值的除法公式直接求解. 【详解】由已知， 故答案为：. 13. 已知的内角所对的边分别为a、b、c，，为边上一点，满足，且．则的最小值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】由条件可得BD平分，利用三角形等面积转化可得，求出代入所求式，整理后运用基本不等式即可求得. 【详解】由得平分．因为， 故由，可得， 化简得，即， 则． 因为，故， 当且仅当，即时，等号成立， 此时取得最小值9． 故答案为：9 14. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到达处时测得公路右侧一山底在西偏北的方向上；行驶后到达处，测得此山底在西偏北的方向上，山顶的仰角为，则此山的高度______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，在中，由正弦定理得到，从而得到. 【详解】由题意得， 故， 故中，由正弦定理得， 即，解得， 又在点测得山顶的仰角为，故， 故. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 （1）求 （2）若，的面积为，求a的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，结合余弦定理即可得答案; （2）结合（1）及得，进而得，，再根据恒等变换得，进而根据三角形面积得，最后由正弦定理即可得答案. 【小问1详解】 由条件及余弦定理得，， 可得， 所以． 【小问2详解】 由得，， 又，所以， 则，． 可得， 由的面积为得， 所以． 由正弦定理得，， 所以，故. 16. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）若，求的值； （3）将函数图象上所有点向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换公式将函数化简，再由正弦函数的性质计算可得； （2）依题意可得，再由及二倍角公式计算可得； （3）首先求出解析式，依题意可得与在上有两个交点，分析在上的单调性与取值，即可求出的范围. 【小问1详解】 因为 ， 所以的最小正周期； 【小问2详解】 由，得，即， 故 . 【小问3详解】 将函数图象上所有点向右平移个单位长度得到， 再把所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到 ， 所以， 因为函数在上有两个零点， 即与在上有两个交点， 因为，故， 令，解得，所以在上单调递增， 令，解得，所以在上单调递减， 且当时，当时， 当时， 所以，解得， 故函数在上有两个零点，实数的取值范围为. 17. 已知. （1）求的单调递增区间； （2）若，，求满足不等式的x的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）化简的解析式，根据正弦函数的单调性可求的单调递增区间； （2）利用换元法求x的取值范围. 【小问1详解】 = =， 令，解得 所以单调递增区间为，. 【小问2详解】 由（1）可得， 令，则，所以 所以不等式为，得，即 由，解得，所以解集为. 18. 已知向量，且与的夹角为， （1）求证： （2）若，求的值； （3）若与的夹角为，求的值． 【答案】（1）证明见解 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积的定义及向量数量积的运算律，结合向量垂直的条件即可求解； （2）根据（1）的结论及向量的模公式，结合向量数量积的运算律及一元二次方程的解法即可求解； （3）根据（1）的结论及向量的模公式，利用向量的数量积的运算律及向量的夹角公式即可求解. 【小问1详解】 因为与的夹角为， 所以， 所以， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 因为， 所以，即， 于是有，即 ，解得或, 所以的值为或. 【小问3详解】 由（1）知，， 因为 所以， ， ， 因为与的夹角为， 所以，即，且， 于是有，解得或（舍）, 所以的值为. 19. 如图，在平行四边形中，，垂足为P，E为中点， （1）若·=32，求的长； （2）设||＝，||＝，＝－，＝x＋y，求的值． 【答案】（1）4 （2）－ 【解析】 【分析】（1）利用投影向量来求向量的数量积即可； （2）先解三角形得到各边长，再利用向量知识来求解即可. 【小问1详解】 ,∴是在方向上的投影向量, ∴·＝,即； 法二：，∴·||·||||·||， 即； 【小问2详解】 在中，＝， 所以， ＝＝， 因为，所以，, 以P为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，建系如图: 易知因为E为中点， 所以， ，，, ∵＝x＋y,∴ ，解得：，所以： 法二： 在中，＝， 所以， ＝＝， 因为，所以，, 因为，所以， 又∵ 由平面向量基本定理得： ，解得：，所以： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $