黑龙江省哈尔滨市第六中学校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题
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哈尔滨市第六中学 2024 级高一下学期期中考试
数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 58 分,第Ⅱ卷 92分,共 150分.
第Ⅰ卷 (选择题,共 58分)
一、单选题(本题共 8个小题,每小题 5分,共 40 分.在每小题所给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的.)
1.若 2 1 i Ra a 为实数, 2 3i Rb b 是纯虚数,则复数 ia b 为( )
A.2 i B.2 i C.1 2i D. 1 2i
2.如图,在复平面内,复数 1z , 2z 对应的向量分别是OA,OB ,
则
2
1
z
z
对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.如图,在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中,M , N , P 分别是
1 1C D ,BC, 1 1A D 的中点,有下列四个结论:
① AP 与CM 是异面直线;
② AP ,CM , 1DD 相交于一点;
③ 1/ /MN BD ;
④ / /MN 平面 1 1BB D D.
其中所有正确结论的编号是 ( )
A.①④ B.②④ C.②③ D.②③④
4.已知向量 2, 1, 1 , 3a b a b ,则向量 a 在 b 上的投影向量的坐标为( )
A.
1 1
,
4 4
B. 4,4 C. 4, 4 D.
1 1
,
4 4
5.已知圆台上、下底面的半径分别为 1 和 2,表面积为11 ,则这个圆台的体积为( )
A.7 15 B.
7 15
3
C.
7 3
3
D.7 3
6.将正三角形 ABC,按“斜二测”画法在水平放置的
平面上画出为 A B C ,则cos B A C ( )
A.
1
5
B.
1
3
C.
1
2
D.
2 6
4
7.在矩形 ABCD中, 2AB , 1BC ,点E为BC的中点,点F 在线段DC 上.
若 AE AF AP ,且点 P 在直线 AC 上,则EF AP ( )
A.
3
2
B.
9
4
C.
5
2
D. 3
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8.在等腰 ABC 中,BA BC ,若点 M为 ABC 的垂心,且满足
1
8
BM BA BC ,
则 cos ABC 的值为 ( )
A.
1
5
B.
1
6
C.
1
7
D.
1
8
二、多选题(本题共 3个小题,每小题 6分,共 18 分.在每小题所给出的四个选项中,
有多个选项符合题目要求,全部选对的得 6分,部分选对的得部分分,有选错的得 0分.)
9. ABC 的内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,若 2 2 2a b c ab ,
且2cos sin sinA B C ,则 ABC 的形状为 ( )
A.等边三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
10.下列命题正确的是 ( )
A.若直线a 与直线b 分别在两个相交平面内,则a 与b 可能平行、相交或异面
B.若直线 l与平面 平行,则平面 内有无数条直线与 l平行
C.若直线a 与直线b 平行,则a 平行于经过b 的任何平面
D.若直线 l上有无数个点不在平面 内,则 l ∥
11.在 ABC 中,点 ,D M 分别满足 3 , 2 ,AB AD BC MC AM 与CD相交于点F ,
则下列说法中正确的是 ( )
A.
1
2
AF AM
B.若 4, 2,
3
AB AC BAC
,则 5 2 3AM
C. : 1:3AFD MFCS S
D.若 ABC外接圆的半径为 2,且 2BC ,
则 AB AC 的取值范围为 0,6 4 3
第Ⅱ卷 (非选择题,共 92分)
三、填空题(本题共 3个小题,每小题 5分,共 15分.把答案填在题中横线上)
12.球面上三点 A、B、C,AB=18,BC=24,AC=30,
球心到平面 ABC的距离为球半径的一半,则球半径为 .
13.陀螺起源于我国,最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器
时代遗址.如图所示的是一个陀螺立体结构图.已知底面圆的直径
6cmAB ,圆柱体部分的高 6cmBC ,圆锥体部分的高 4cmCD ,
则这个陀螺的表面积是 2cm .
14.如图,测量河对岸的塔高 AB ,可以选取与塔底B 在同一
水平面内的两个测量基点C 与D,现测得 30BCD ,
105BDC , 32 mCD ,在C 点测得塔顶 A的仰角为60 ,
则塔的总高度为 米.
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四、解答题(本题共 5道题,共 77分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或
演算步骤.)
15.(13 分)已知长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中 3AB ,平面 1 1AC B截去长方体的一个角后
得到如图所示的几何体 1 1 1ABCD AC D .
(1) 若 1 4, 3AA BC ,求几何体 1 1 1ABCD AC D 的表面积.
(2) 若 1AA BC ,几何体 1 1 1ABCD AC D 外接球的表面积为29π,其体积为20,
求棱 1AA 的长;
16.(15 分)已知 ABC 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ,且 3 cos cos 0a c B b A .
(1)求cosB;
(2)若 2 2b ,求 ABC 面积的最大值.
17.(15 分)如图已知四棱锥 S ABCD ,底面 ABCD为梯形,AD BC∥ , 2SA AB BC ,
3AD ,P、Q为侧棱 SD上的点,且 : : 3 : 2 : 4DP PQ QS ,点M 为 SA上的点,
且3AM AS .
(1)求证: //CP 平面 SAB;
(2)求证:平面 //BMQ 平面 ACP ;
(3)平面BMQ与侧棱 SC 相交于点E,
写出
SE
EC
的值(不需要证明).
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18.(17 分)已知 ABC 的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,且 ( )( ) ( )b a b a c b c .
(1)求角 A的大小;
(2)若 2b , 3c ,点 D是边 BC上的一点,且
3
2
BD
DC
.求 AD的长;
(3)若 ABC 是锐角三角形, 1b ,点 E为 AB的中点,求 CE的取值范围.
19.(17 分)如图,设 ABC 的内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,
AD为 BC边上的中线,已知 1c ,sin 4sinB C ,
21
cos
7
BAD .
(1)求 ABC 的面积;
(2)点G 为 AD上一点,
2
5
AG AD ,过点G 的直线与边 ,AB AC(不含端点)分别交于
,E F .若
9
10
AG EF ,求
AEF
ABC
S
S
的值.
《期中考试》数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D B B A C A B C CD AB AC
12.10 3 13.60� 14.48 + 16 3.
15. (1)99+3 41
2
,(2)4 (1)若��1 = 4,BC=3,�△�1�� = �△���1=
1
2
× 4 × 3 = 6, �△�1�1�1=
1
2
×
3 × 3 = 9
2
, ����� = 3 × 3 = 9 , ���1�1� = ���1�1� =4 × 3 = 12
�1�1 = 32 + 32 = 3 2,�1� = 32 + 42 = 5,��1 = 32 + 42 = 5,
在△ �1�1�中由余弦定理���∠�1��1 =
�1�2+�1�2−�1�12
2�1��1�
= 16
25
,
则��� ∠�1��1 = 1 − ���2 ∠�1��1 =
3 41
25
,
所以�△�1��1 =
1
2
× �1� × �1� × ���∠�1��1 =
1
2
× 5 × 5 × 3 41
25
= 3
2
41,
所以�����−�1�1�1 = �△�1�� + �△���1 + �△�1�1�1 + �����+���1�1� + ���1�1� + �△�1��1 =
2(�� + �� + ��) − 1
2
(�� + �� + ��) + �△�1��1 =
99+3 41
2
(2)设�� = � = 3,�� = �, 1AA c � > � ,
又�2 + �2 + �2 = 4�2( R为长方体外接球半径),
又外接球的表面积为 29�,即 24π 29πR ,所以 4�2 = 29,
∴�2 + �2 = 20①;
又�����−�1�1�1 = �����−�1�1�1�1 − ��−�1�1�1 = ��� −
1
3
× 1
2
��� = 5
6
��� = 20,
∴�� = 8②;
由①②解得 � = 2� = 4或
� = 4
� = 2(舍去),∴棱长��1为 4;
16.【答案】(1)���� = 1
3
;(2)6 2;
(1)因为 ( 3 )cos cos 0a c B b A ,
所以 (sin 3sin )cos sin cos 0A C B B A ,
则 sin cos sin cos 3sin cosA B B A C B ,
即 sin( ) 3sin cosA B C B ,即 sin 3sin cosC C B ,
在△ ���中,��� � > 0,则��� � = 1
3
.
(2)在△ ���中,���� = 1
3
,由余弦定理,�2=�2+�2-2������ ,8= �2+�2-23 �� ≥ 2�� −
2
3
�� =
4
3
�� , �� ≤ 6 当且仅当� = � = 3时等号成立
由��� � = 1
3
,得��� � = 2 2
3
所以△ ���的面积 S=1
2
������ ≤ 1
2
× 6 × 2 2
3
=2 2.
17.(1)连接��,在△ ���中,∵ ��
��
= 2
3
= ��
��
,∴ �� ∥ ��,且�� =
2
3
�� = 2,
又�� ∥ ��,�� = 2,∴ �� ∥ ��且�� = ��,∴四边形����为平行
四边形,∴ �� ∥ ��,
又 BM 平面���,�� ⊄平面���,所以��//平面���.
(2)由(1)得�� ∥ ��,又BM 平面���,�� ⊄平面���,∴ ��//
平面���,
在△ ���中,∵ ��: ��: �� = 3: 2: 4,∴ ��
��
= 2
3
= ��
��
∴ �� ∥ ��,又�� ⊂平面���,�� ⊄平
面���,∴ ��//平面���,又因�� ∩ �� = �且��, ��均在平面���中,∴平面���//平面
���. (3)2
18.【答案】(1)� =
�
3;(2)�� =
6 3
5
;(3)[ 3
2
, 1).
【详解】(1)在△ ���中,由 ( )( ) ( )b a b a c b c ,得�2 + �2 − �2 = ��,由余弦定理得
���� = �
2+�2−�2
2��
= 1
2
,而 0 < � < �,所以� =
�
3.(2)由(1)得
2 2 2 22 3 2 3 7a b c bc ,由点D是边BC上的一点,且
��
��
= 3
2
,得�� = 3
5
� = 3 7
5
,
在△ ���, △ ���中,由余弦定理得���� = �
2+��2−��2
2�⋅��
= �
2+�2−�2
2��
,即 7[32 + ( 3 7
5
)2 −
��2] = 3 7
5
[32 + ( 7)2 − 22],所以�� = 6 3
5
.(3)在锐角△ ���中,
0 < � < �
2
0 < 2π
3
− � < �
2
,则
�
6
< � <
�
2,
3tan
3
B ,
由正弦定理得� = � ��� �
����
=
��� (�+�3)
����
= 1
2
+ 3
2
⋅ ����
����
= 1
2
+ 3
2
⋅ 1
����
∈ ( 1
2
, 2),
在△ ���中,点 E为 AB的中点,�� = 1
2
�,
由余弦定理得�� = ( 1
2
�)2 + 12 − 2 ⋅ 1
2
� ⋅ 1 ⋅ 1
2
= 1
2
(� − 1)2 + 3 ∈ [ 3
2
, 1),
所以 CE的取值范围是[ 3
2
, 1).
19.(1) 3,(2)16;(1)法一:由��� � = 4 ��� �及正弦定理得:� = 4� = 4
∵ ���∠��� = 21
7
, ∴ ��� ∠��� = 1 − ���2 ∠��� = 2 7
7
又∵��是��边上的中线,
ABD ACDS S ,即
1
2
�� ⋅ �� ⋅ ��� ∠��� = 1
2
�� ⋅ �� ⋅ ��� ∠��� ⇒ ���∠��� = 1
4
��� ∠��� =
7
14
易知∠���为锐角,∴ ���∠��� = 3 21
14
,
∴ ��� ∠��� = ��� ∠��� + ∠��� = ���∠��� ���∠��� + ���∠������∠��� =
3
2
∴ �△��� =
1
2
�� ⋅ �� ⋅ ��� ∠��� = 3;
(法二)由��� � = 4 ��� �及正弦定理得:� = 4� = 4
∵ ���∠��� = 21
7
, ∴ ��� ∠��� = 2 7
7
,在△ ���中,由正弦定理得 ��
���∠���
= ��
���∠���
①,
在△ ���中,设∠��� = �,由正弦定理得 ��
����
= ��
���∠���
②,① ②得,��� � = 7
14
易知�
为锐角,∴ ��� � = 3 21
14
,∴ ��� ∠��� = ��� ∠��� + ∠��� = ���∠��� ���∠��� +
���∠��� ���∠��� = 3
2
∴ �△��� =
1
2
�� ⋅ �� ⋅ ��� ∠��� = 3;
(法三):由��� � = 4 ��� �及正弦定理得:� = 4� = 4,设∠��� = �,∵AD为��边上的中
线,∴�� = 1
2
�� + 1
2
�� ,则�� ⋅ �� = �� ⋅ 1
2
�� + �� = 1
2
��
2
+ 1
2
�� �� ��� � =
2 ��� � + 1
2
, �� = �� 2 = 1
4
�� 2 + �� 2 + 2�� ⋅ �� ,
= 1
2
��
2
+ ��
2
+ 2 �� �� ��� � = 17+8 ��� �
2
, ∴���∠��� = ��
⋅��
�� ⋅ ��
= 4 ��� �+1
17+8 ��� �
=
21
7
,整理得 228cos 8cos 11 0 ,即 2 ��� � − 1 14 ��� � + 11 = 0,∴ ��� � = 1
2
或
��� � =− 11
14
, 经检验,��� � = 1
2
符合题意,∴��� � = 3
2
, ∴
�△��� =
1
2
�� ⋅ �� ⋅ ��� � = 3.(2) 设�� = ��� , �� = ��� , �, � ∈ 0,1 .∵D为 BC的中
点,�� = 1
2
�� + 1
2
�� ,∴ �� = 25��
= 1
5
�� + 1
5
�� = 1
5�
�� + 1
5�
�� 又 E、G、F三点共线,
所以 1
5�
+ 1
5�
= 1,即1
�
+ 1
�
= 5③ 又�� = �� − �� = ��� − ��� ,∴ �� ⋅ �� =
1
5
�� + 1
5
�� ⋅
��� − ��� = 9
10
,由(1)知,�� = 1, �� = 4, �� ⋅ �� = 2,化简得 12� − 2� = 3④, 由
③④,得
1
2
, 1
3
, ∴�△���
�△���
=
1
2×��×��×���∠���
1
2×��×��×���∠���
= ��
��
× ��
��
= 1
2
× 1
3
= 1
6
.
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