黑龙江省哈尔滨市第六中学校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

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第 1 页,共 4 页 哈尔滨市第六中学 2024 级高一下学期期中考试 数学试题 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 58 分,第Ⅱ卷 92分,共 150分. 第Ⅰ卷 (选择题,共 58分) 一、单选题(本题共 8个小题,每小题 5分,共 40 分.在每小题所给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1.若    2 1 i Ra a   为实数,    2 3i Rb b   是纯虚数,则复数 ia b 为( ) A.2 i B.2 i C.1 2i D. 1 2i  2.如图,在复平面内,复数 1z , 2z 对应的向量分别是OA,OB , 则 2 1 z z 对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.如图,在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中,M , N , P 分别是 1 1C D ,BC, 1 1A D 的中点,有下列四个结论: ① AP 与CM 是异面直线; ② AP ,CM , 1DD 相交于一点; ③ 1/ /MN BD ; ④ / /MN 平面 1 1BB D D. 其中所有正确结论的编号是 ( ) A.①④ B.②④ C.②③ D.②③④ 4.已知向量  2, 1, 1 , 3a b a b     ,则向量 a 在 b 上的投影向量的坐标为( ) A. 1 1 , 4 4       B.  4,4 C.  4, 4 D. 1 1 , 4 4       5.已知圆台上、下底面的半径分别为 1 和 2,表面积为11 ,则这个圆台的体积为( ) A.7 15 B. 7 15 3  C. 7 3 3  D.7 3 6.将正三角形 ABC,按“斜二测”画法在水平放置的 平面上画出为 A B C   ,则cos B A C    ( ) A. 1 5  B. 1 3  C. 1 2  D. 2 6 4  7.在矩形 ABCD中, 2AB  , 1BC  ,点E为BC的中点,点F 在线段DC 上. 若 AE AF AP  ,且点 P 在直线 AC 上,则EF AP  ( ) A. 3 2 B. 9 4  C. 5 2  D. 3 第 2 页,共 4 页 8.在等腰 ABC 中,BA BC ,若点 M为 ABC 的垂心,且满足 1 8 BM BA BC  , 则 cos ABC 的值为 ( ) A. 1 5 B. 1 6 C. 1 7 D. 1 8 二、多选题(本题共 3个小题,每小题 6分,共 18 分.在每小题所给出的四个选项中, 有多个选项符合题目要求,全部选对的得 6分,部分选对的得部分分,有选错的得 0分.) 9. ABC 的内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,若 2 2 2a b c ab    , 且2cos sin sinA B C ,则 ABC 的形状为 ( ) A.等边三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 10.下列命题正确的是 ( ) A.若直线a 与直线b 分别在两个相交平面内,则a 与b 可能平行、相交或异面 B.若直线 l与平面 平行,则平面 内有无数条直线与 l平行 C.若直线a 与直线b 平行,则a 平行于经过b 的任何平面 D.若直线 l上有无数个点不在平面 内,则 l ∥ 11.在 ABC 中,点 ,D M 分别满足 3 , 2 ,AB AD BC MC AM  与CD相交于点F , 则下列说法中正确的是 ( ) A. 1 2 AF AM B.若 4, 2, 3 AB AC BAC      ,则 5 2 3AM   C. : 1:3AFD MFCS S  D.若 ABC外接圆的半径为 2,且 2BC  , 则 AB AC 的取值范围为 0,6 4 3  第Ⅱ卷 (非选择题,共 92分) 三、填空题(本题共 3个小题,每小题 5分,共 15分.把答案填在题中横线上) 12.球面上三点 A、B、C,AB=18,BC=24,AC=30, 球心到平面 ABC的距离为球半径的一半,则球半径为 . 13.陀螺起源于我国,最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器 时代遗址.如图所示的是一个陀螺立体结构图.已知底面圆的直径 6cmAB  ,圆柱体部分的高 6cmBC  ,圆锥体部分的高 4cmCD  , 则这个陀螺的表面积是 2cm . 14.如图,测量河对岸的塔高 AB ,可以选取与塔底B 在同一 水平面内的两个测量基点C 与D,现测得 30BCD  , 105BDC  , 32 mCD  ,在C 点测得塔顶 A的仰角为60 , 则塔的总高度为 米. 第 3 页,共 4 页 四、解答题(本题共 5道题,共 77分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤.) 15.(13 分)已知长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中 3AB  ,平面 1 1AC B截去长方体的一个角后 得到如图所示的几何体 1 1 1ABCD AC D . (1) 若 1 4, 3AA BC  ,求几何体 1 1 1ABCD AC D 的表面积. (2) 若 1AA BC ,几何体 1 1 1ABCD AC D 外接球的表面积为29π,其体积为20, 求棱 1AA 的长; 16.(15 分)已知 ABC 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ,且  3 cos cos 0a c B b A   . (1)求cosB; (2)若 2 2b  ,求 ABC 面积的最大值. 17.(15 分)如图已知四棱锥 S ABCD ,底面 ABCD为梯形,AD BC∥ , 2SA AB BC   , 3AD  ,P、Q为侧棱 SD上的点,且 : : 3 : 2 : 4DP PQ QS  ,点M 为 SA上的点, 且3AM AS . (1)求证: //CP 平面 SAB; (2)求证:平面 //BMQ 平面 ACP ; (3)平面BMQ与侧棱 SC 相交于点E, 写出 SE EC 的值(不需要证明). 第 4 页,共 4 页 18.(17 分)已知 ABC 的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,且 ( )( ) ( )b a b a c b c    . (1)求角 A的大小; (2)若 2b  , 3c  ,点 D是边 BC上的一点,且 3 2 BD DC  .求 AD的长; (3)若 ABC 是锐角三角形, 1b  ,点 E为 AB的中点,求 CE的取值范围. 19.(17 分)如图,设 ABC 的内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c, AD为 BC边上的中线,已知 1c  ,sin 4sinB C , 21 cos 7 BAD  . (1)求 ABC 的面积; (2)点G 为 AD上一点, 2 5 AG AD ,过点G 的直线与边 ,AB AC(不含端点)分别交于 ,E F .若 9 10 AG EF  ,求 AEF ABC S S   的值. 《期中考试》数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B B A C A B C CD AB AC 12.10 3 13.60� 14.48 + 16 3. 15. (1)99+3 41 2 ,(2)4 (1)若��1 = 4,BC=3,�△�1�� = �△���1= 1 2 × 4 × 3 = 6, �△�1�1�1= 1 2 × 3 × 3 = 9 2 , ����� = 3 × 3 = 9 , ���1�1� = ���1�1� =4 × 3 = 12 �1�1 = 32 + 32 = 3 2,�1� = 32 + 42 = 5,��1 = 32 + 42 = 5, 在△ �1�1�中由余弦定理���∠�1��1 = �1�2+�1�2−�1�12 2×�1�×�1� = 16 25 , 则��� ∠�1��1 = 1 − ���2 ∠�1��1 = 3 41 25 , 所以�△�1��1 = 1 2 × �1� × �1� × ���∠�1��1 = 1 2 × 5 × 5 × 3 41 25 = 3 2 41, 所以�����−�1�1�1 = �△�1�� + �△���1 + �△�1�1�1 + �����+���1�1� + ���1�1� + �△�1��1 = 2(�� + �� + ��) − 1 2 (�� + �� + ��) + �△�1��1 = 99+3 41 2 (2)设�� = � = 3,�� = �, 1AA c � > � , 又�2 + �2 + �2 = 4�2( R为长方体外接球半径), 又外接球的表面积为 29�,即 24π 29πR  ,所以 4�2 = 29, ∴�2 + �2 = 20①; 又�����−�1�1�1 = �����−�1�1�1�1 − ��−�1�1�1 = ��� − 1 3 × 1 2 ��� = 5 6 ��� = 20, ∴�� = 8②; 由①②解得 � = 2� = 4或 � = 4 � = 2(舍去),∴棱长��1为 4; 16.【答案】(1)���� = 1 3 ;(2)6 2; (1)因为 ( 3 )cos cos 0a c B b A   , 所以 (sin 3sin )cos sin cos 0A C B B A   , 则 sin cos sin cos 3sin cosA B B A C B  , 即 sin( ) 3sin cosA B C B  ,即 sin 3sin cosC C B , 在△ ���中,��� � > 0,则��� � = 1 3 . (2)在△ ���中,���� = 1 3 ,由余弦定理,�2=�2+�2-2������ ,8= �2+�2-23 �� ≥ 2�� − 2 3 �� = 4 3 �� , �� ≤ 6 当且仅当� = � = 3时等号成立 由��� � = 1 3 ,得��� � = 2 2 3 所以△ ���的面积 S=1 2 ������ ≤ 1 2 × 6 × 2 2 3 =2 2. 17.(1)连接��,在△ ���中,∵ �� �� = 2 3 = �� �� ,∴ �� ∥ ��,且�� = 2 3 �� = 2, 又�� ∥ ��,�� = 2,∴ �� ∥ ��且�� = ��,∴四边形����为平行 四边形,∴ �� ∥ ��, 又 BM 平面���,�� ⊄平面���,所以��//平面���. (2)由(1)得�� ∥ ��,又BM 平面���,�� ⊄平面���,∴ ��// 平面���, 在△ ���中,∵ ��: ��: �� = 3: 2: 4,∴ �� �� = 2 3 = �� �� ∴ �� ∥ ��,又�� ⊂平面���,�� ⊄平 面���,∴ ��//平面���,又因�� ∩ �� = �且��, ��均在平面���中,∴平面���//平面 ���. (3)2 18.【答案】(1)� = � 3;(2)�� = 6 3 5 ;(3)[ 3 2 , 1). 【详解】(1)在△ ���中,由 ( )( ) ( )b a b a c b c    ,得�2 + �2 − �2 = ��,由余弦定理得 ���� = � 2+�2−�2 2�� = 1 2 ,而 0 < � < �,所以� = � 3.(2)由(1)得 2 2 2 22 3 2 3 7a b c bc        ,由点D是边BC上的一点,且 �� �� = 3 2 ,得�� = 3 5 � = 3 7 5 , 在△ ���, △ ���中,由余弦定理得���� = � 2+��2−��2 2�⋅�� = � 2+�2−�2 2�� ,即 7[32 + ( 3 7 5 )2 − ��2] = 3 7 5 [32 + ( 7)2 − 22],所以�� = 6 3 5 .(3)在锐角△ ���中, 0 < � < � 2 0 < 2π 3 − � < � 2 ,则 � 6 < � < � 2, 3tan 3 B  , 由正弦定理得� = � ��� � ���� = ��� (�+�3) ���� = 1 2 + 3 2 ⋅ ���� ���� = 1 2 + 3 2 ⋅ 1 ���� ∈ ( 1 2 , 2), 在△ ���中,点 E为 AB的中点,�� = 1 2 �, 由余弦定理得�� = ( 1 2 �)2 + 12 − 2 ⋅ 1 2 � ⋅ 1 ⋅ 1 2 = 1 2 (� − 1)2 + 3 ∈ [ 3 2 , 1), 所以 CE的取值范围是[ 3 2 , 1). 19.(1) 3,(2)16;(1)法一:由��� � = 4 ��� �及正弦定理得:� = 4� = 4 ∵ ���∠��� = 21 7 , ∴ ��� ∠��� = 1 − ���2 ∠��� = 2 7 7 又∵��是��边上的中线, ABD ACDS S   ,即 1 2 �� ⋅ �� ⋅ ��� ∠��� = 1 2 �� ⋅ �� ⋅ ��� ∠��� ⇒ ���∠��� = 1 4 ��� ∠��� = 7 14 易知∠���为锐角,∴ ���∠��� = 3 21 14 , ∴ ��� ∠��� = ��� ∠��� + ∠��� = ���∠��� ���∠��� + ���∠������∠��� = 3 2 ∴ �△��� = 1 2 �� ⋅ �� ⋅ ��� ∠��� = 3; (法二)由��� � = 4 ��� �及正弦定理得:� = 4� = 4 ∵ ���∠��� = 21 7 , ∴ ��� ∠��� = 2 7 7 ,在△ ���中,由正弦定理得 �� ���∠��� = �� ���∠��� ①, 在△ ���中,设∠��� = �,由正弦定理得 �� ���� = �� ���∠��� ②,① ②得,��� � = 7 14 易知� 为锐角,∴ ��� � = 3 21 14 ,∴ ��� ∠��� = ��� ∠��� + ∠��� = ���∠��� ���∠��� + ���∠��� ���∠��� = 3 2 ∴ �△��� = 1 2 �� ⋅ �� ⋅ ��� ∠��� = 3; (法三):由��� � = 4 ��� �及正弦定理得:� = 4� = 4,设∠��� = �,∵AD为��边上的中 线,∴�� = 1 2 �� + 1 2 �� ,则�� ⋅ �� = �� ⋅ 1 2 �� + �� = 1 2 �� 2 + 1 2 �� �� ��� � = 2 ��� � + 1 2 , �� = �� 2 = 1 4 �� 2 + �� 2 + 2�� ⋅ �� , = 1 2 �� 2 + �� 2 + 2 �� �� ��� � = 17+8 ��� � 2 , ∴���∠��� = �� ⋅�� �� ⋅ �� = 4 ��� �+1 17+8 ��� � = 21 7 ,整理得 228cos 8cos 11 0    ,即 2 ��� � − 1 14 ��� � + 11 = 0,∴ ��� � = 1 2 或 ��� � =− 11 14 , 经检验,��� � = 1 2 符合题意,∴��� � = 3 2 , ∴ �△��� = 1 2 �� ⋅ �� ⋅ ��� � = 3.(2) 设�� = ��� , �� = ��� , �, � ∈ 0,1 .∵D为 BC的中 点,�� = 1 2 �� + 1 2 �� ,∴ �� = 25�� = 1 5 �� + 1 5 �� = 1 5� �� + 1 5� ��又 E、G、F三点共线, 所以 1 5� + 1 5� = 1,即1 � + 1 � = 5③ 又�� = �� − �� = ��� − ���,∴ �� ⋅ �� = 1 5 �� + 1 5 �� ⋅ ��� − ��� = 9 10 ,由(1)知,�� = 1, �� = 4, �� ⋅ �� = 2,化简得 12� − 2� = 3④, 由 ③④,得 1 2   , 1 3   , ∴�△��� �△��� = 1 2×��×��×���∠��� 1 2×��×��×���∠��� = �� �� × �� �� = 1 2 × 1 3 = 1 6 .

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