专题23 双参数问题（4大题型）-2025年新高考数学函数与导数压轴小题专题突破

专题23 双参数问题 【题型归纳】 题型一：共零点问题 题型二：和差型最值问题 题型三：乘除型最值问题 题型四：其他类型 【方法技巧总结】 1、分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． 2、函数思想法 第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解． 3、数形结合法 【典型例题】 题型一：共零点问题 【例1】（2025·湖北·二模）已知，函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·辽宁·一模）设函数，若恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 【变式1-2】设函数，若恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·江西·二模）已知，若在上恒成立，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 题型二：和差型最值问题 【例2】（2025·黑龙江大庆·一模）已知函数，若对任意的，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·广东珠海·一模）若不等式对一切恒成立，其中，e为自然对数的底数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为（   ） A．8 B．9 C．32 D．36 题型三：乘除型最值问题 【例3】（2025·高三·江苏苏州·期中）已知函数，若，则的最大值为（   ） A． B． C．e D． 【变式3-1】已知函数（，），，若对，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知，若关于的不等式恒成立，则的最大值为（    ） A． B．2 C．1 D． 【变式3-3】已知，若恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四：其他类型 【例4】（2025·四川成都·模拟预测）已知函数没有极值点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·河北·模拟预测）已知实数满足不等式，则 . 【变式4-2】（2025·高三·安徽宿州·期末）若不等式（是自然对数的底数）对任意恒成立，则当取最大值时，实数 . 【过关测试】 1．（2025·高三·安徽马鞍山·期中）已知，，，当时，恒成立，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 2．已知，当时，恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．已知，当时，恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·高三·湖北·开学考试）若不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，若当时，恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B．1 C． D． 6．已知函数，若恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·湖南·一模）若不等式对恒成立，其中，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数 对任意 成立，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 9．（2025·青海西宁·模拟预测）函数，且存在，使得，若对任意，恒成立，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 10．已知关于的不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，，，恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 12．（2025·江苏·模拟预测）已知，，对于，恒成立，则的最小值为（    ） A． B．－1 C． D．－2 13．（2025·福建福州·模拟预测）已知，函数，.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（2025·浙江·二模）已知在上恒成立，则的最小值是（    ） A．0 B． C． D． 15．（2025·湖南永州·三模）已知函数，对于定义域内的任意恒有，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 16．一般地，对于函数和复合而成的函数，它的导数与函数，的导数间的关系为．若关于的不等式对于任意恒成立，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 17．已知m，n为实数，，若对恒成立，则的最小值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 18．（2025·江西·一模）已知关于的不等式对任意恒成立，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 19．已知关于的不等式对任意恒成立，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 20．（2025·广东惠州·一模）已知函数（，且），若恒成立，则的最小值为 ． 21．已知函数对任意成立，则的最小值为 ． 22．已知函数，若，则最大值为 23．（2025·高三·上海·期中）若存在，使得对任意的恒成立，则的最小值为 ． 24．（2025·贵州六盘水·模拟预测）已知函数，若恒成立，则mn的最大值为 ． 25．（2025·高三·山东聊城·期中）设，若，使得对恒成立，则的取值范围是 . 26．若对一切恒成立，则的最大值为 . 27．（2025·安徽·模拟预测）若对一切恒成立，则的最大值为 . 28．（2025·高三·四川成都·开学考试）已知不等式对任意恒成立，则当取最大值时， . 29．已知函数， （ⅰ）若在上单调，则的取值范围是 ； （ⅱ）若对任意的，，则的最大值为 ． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题23 双参数问题 【题型归纳】 题型一：共零点问题 题型二：和差型最值问题 题型三：乘除型最值问题 题型四：其他类型 【方法技巧总结】 1、分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． 2、函数思想法 第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解． 3、数形结合法 【典型例题】 题型一：共零点问题 【例1】（2025·湖北·二模）已知，函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得的定义域为．设， 则，令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 又当时，，当时，， 所以在内有两个零点，设为， 则当时，，当时，． 设， 由，得当时，， 当时，，则为方程的两个实数根， 所以，，． 又，，所以，， 所以， 即，则，所以． 易知，，故， 设，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，故的最小值为e． 解法二 由，，， 得． 在同一平面直角坐标系中作出函数，，的大致图象， 数形结合可知，若， 则与，的图象的两个交点重合， 如图，设这两个交点分别为，则为方程的两个实数根， 所以，，． 易知为方程的两个实数根，所以，， 以下同解法一． 故选：C. 【变式1-1】（2025·辽宁·一模）设函数，若恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【解析】当时，，不满足恒成立； 当时，令，可得或， 函数的零点为和， 因为恒成立，所以， 所以， 令，则， 令， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 则， 所以的最小值为1. 故选：D 【变式1-2】设函数，若恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意函数的定义域为，当时，， 则由，得恒成立，因为的值域为，故不可能恒成立，故不成立； 当时，由，得，由得， 由，得，由得，因为恒成立，故，即， 故，设，则，由，得到， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 故，所以的最小值为， 故选：D. 【变式1-3】（2025·江西·二模）已知，若在上恒成立，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】①因，则， 由得，；得，， 所以在上单调递增，上单调递减， 因，则， 因，则，即， 则， 又， 则由零点存在性定理可知，在和内分别存在一个零点， ②若，则在上单调递增； 若，则在上单调递减，在上单调递增； ③因为恒成立， 所以和有两个相同正根，且， 对于方程，即， 则，且，； 由和，可得， 两式相加得，，即， 令，对求导，. 令，即，解得. 当时，，递增； 当时，，递减. 所以在处取最大值，. 综上， 的最大值为. 故选：B. 题型二：和差型最值问题 【例2】（2025·黑龙江大庆·一模）已知函数，若对任意的，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，所以， 当时，恒成立，所以在上单调递增，且当时，不符合题意； 当时，则当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，则， 所以， 令，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以， 则， 即的最大值为. 故选：C 【变式2-1】（2025·广东珠海·一模）若不等式对一切恒成立，其中，e为自然对数的底数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】法一：不等式对一切恒成立即为 不等式对一切恒成立， 今，则有； 故不等式对一切恒成立等价于恒成立， 所以为的最大值点. 显然，，否则时，，与题设矛盾. 又，此时 若，存在区间，是否且，总有， 这与为的最大值点矛盾，故不成立， 同理也不成立，故，则， 当时，当时，，当时，， 故在上递增，上递减，符合题意； 当时，当时，， 当时，， 故在上递减，上递增，上递减， 而当时，， 故即，故恒成立，故符合题意. 综上，，因此. 法二：不等式可化为， 令， 当时，，此时，直线恒过点， 故只需直线为在点处的切线即可， ，此时. 当时，亦恒过点， 为使对一切恒成立， 需开口向下，且在点处与有公切线即可， 故，此时. 综上，的取值范围是. 故选：A. 【变式2-2】已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为（   ） A．8 B．9 C．32 D．36 【答案】D 【解析】由函数，若对任意的，不等式恒成立， 作出两个二次函数图象和动直线， 利用数形结合分析： 二次函数与直线交于点，与直线交于点， 二次函数与直线交于点，与直线交于点， 要使得取得最大值，则斜率取最小，轴截距取最大， 此时直线过点A作函数的切线，不妨设切点为， 则求导可得，所以过切点的切线方程为：， 当切线过点时，有，解得或， 因为，所以此时满足题意，故切线方程为：， 此时，故， 故选：D. 题型三：乘除型最值问题 【例3】（2025·高三·江苏苏州·期中）已知函数，若，则的最大值为（   ） A． B． C．e D． 【答案】A 【解析】， 因为，且函数和都是增函数， 故若恒成立，则函数和的零点相同， 即. 故，设则 故在，，单调递增； 在，，单调递减. 故 故最大值为. 故选：A 【变式3-1】已知函数（，），，若对，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，， 令， 则，恒成立，即恒成立，即， ， 令，解得， 令，即在上单调递增； 令，即在上单调递减. ， ，， 令，， 令，即在单调递增； 令，即在单调递减； ， ，即的取值范围为. 故选：B 【变式3-2】已知，若关于的不等式恒成立，则的最大值为（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】A 【解析】将不等式变形，可得， 要使不等式恒成立，需满足： 当时，，因此需， 当时，，因此需，若同时满足上述两个要求，则， 下面验证时，恒成立， 当时，，所以， 所以， 当时，，所以， 所以， 当时，， 所以时，不等式恒成立， 所以，令，所以， 令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，取得最大值，最大值为， 所以的最大值为. 故选：. 【变式3-3】已知，若恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 由题知，，当时，，在上单调递增， 又趋于时，趋于，不满足题意； 当时，解得，解得， 所以在上单调递减，在单调递增， 所以当时，， 因为恒成立，所以，即， 所以， 令，则， 当时，，当时，， 所以，当时，， 所以的取值范围是. 故选：C 题型四：其他类型 【例4】（2025·四川成都·模拟预测）已知函数没有极值点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数没有极值点， ，或恒成立， 由指数爆炸的增长性，不可能恒小于等于0， 恒成立． 令，则， 当时，恒成立，为上的增函数， 因为是增函数，也是增函数， 所以，此时，不合题意； ②当时，为增函数，由得， 令 在上单调递减，在上单调递增， 当时，依题意有， 即， ，， 令，， 则， 令，令，解得， 所以当时，取最大值 故当，，即，时，取得最大值 综上，若函数没有极值点，则的最大值为 故选：B. 【变式4-1】（2025·河北·模拟预测）已知实数满足不等式，则 . 【答案】8 【解析】不等式， 令函数，，求导得， 当时，；当，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则，即，当且仅当时取等号， 于是，即，当且仅当时取等号， 因此，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 则， 于是，解得，所以. 故答案为：8. 【变式4-2】（2025·高三·安徽宿州·期末）若不等式（是自然对数的底数）对任意恒成立，则当取最大值时，实数 . 【答案】 【解析】由题意可知，令， 当时，研究函数与的图象， 因为，当时，，所以函数单调递减， 当时，，所以函数单调递增， 所以函数有最小值为， 而为单调递减的直线，如图， 此时不恒成立，不符合题意； 当时，， 令，， 易知在上单调递减，在上单调递增， 且由于函数有最小值为，所以当时，方程有解， 设解为，则，且， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 由题意恒成立，所以， 所以， 当且仅当时取等号，此时. 【过关测试】 1．（2025·高三·安徽马鞍山·期中）已知，，，当时，恒成立，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，恒成立，等价于恒成立； 设，，则， 令得；令得； 所以在上单调递减，在上单调递增； 当，因为；当时，；当时，； 故在上有两个零点，记为，，不妨令； 显然当或时，；当时，； 要使恒成立，则，也是的两个零点， 故，； 又，所以，则，所以； 令，则， 令得；令得； 所以在上单的递减；在上单调递增；则； 因为当时，的两个零点关于对称，此时的两个零点不可能关于对称，因此；所以； 当时，的恒成立；此时需要恒成立，则，所以； 综上，的最小值为； 故选：D 2．已知，当时，恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，原不等式化为恒成立， 令，，求导得， 由得，；由得，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而，当时，，当时，， 则函数在上有两个零点，记为， 显然当或时，，当时， 要使恒成立，则也是的两个零点， 于是，由，得，即，因此， 令，求导得，由，得，由得， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 所以的最小值为. 故选：A 3．已知，当时，恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，原不等式化为恒成立， 令，，求导得， 由得，；由得，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而，当时，，当时，， 则函数在上有两个零点，记为， 显然当或时，，当时， 要使恒成立，则也是的两个零点， 于是，由，得，即，因此， 令，求导得，由，得，由得， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 所以的最小值为. 故选：A. 4．（2025·高三·湖北·开学考试）若不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则恒成立， 又， 当时，恒成立，所以在上单调递增，且时，不符合题意； 当时，令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以， 所以， 令，， 则，所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，即的取值范围是. 故选：B 5．已知函数，若当时，恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【解析】依题意，，， 设函数，， 函数在上单调递增，，则当时，； 令，则，若恒成立，则，否则， 下面验证时存在满足题意， 不妨令，则，在处的导数值为，取，此时， 设函数，要证恒成立，只需证恒成立， ，当时，， 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，所以的最大值为e. 故选：D 6．已知函数，若恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】定义域为， 当时，可知在上单调递增， 其中，不合题意， 当时，， 令得，令得， 在上单调递减，在单调递增， 故在处取得极小值，也是最小值， 其中， 又恒成立，故，即， 所以， 令， 则， 因为， 所以当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以. 故选：B 7．（2025·湖南·一模）若不等式对恒成立，其中，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，即， 当时，由函数与的图象可知，两函数图象有一个交点，记为， 则当时，，即，不满足题意； 当时，令，则， 令，则，因为单调递增， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以时，有最小值， 又对恒成立， 所以，即， 所以，当且仅当时等号成立. 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，， 所以，即，当且仅当，时等号成立， 所以的取值范围为. 故选：A 8．已知函数 对任意 成立，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】函数，求导得，依题意，， 当时，恒有，函数单调递增，当时，， 而函数在上单调递增，函数值集合为， 因此存在，当时，，不符合题意，则有， 当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 即有，于是， 则，令，求导得， 当时，，当时，， 即函数在上递减，在上递增，因此， 所以的最小值为2. 故选：D 9．（2025·青海西宁·模拟预测）函数，且存在，使得，若对任意，恒成立，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【解析】∵函数，且存在，使得， ∴有解，即为有解， 令，则，则函数为单调递增函数，则． ∵函数对任意，恒成立，∴，即， 令，则，当时，，函数为单调递增函数， 当时，，函数为单调递减函数，∴当时，取最大值3， ∴的最大值为． 故选：B． 10．已知关于的不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】关于的不等式恒成立，即， 令，则， ， 当时，，则在上递增，所以无最大值， 当时，令，解得，令，解得， 所以在上递增，在上递减， 所以， 所以，得， 所以，即， 所以当时，， 令， 所以此时取最小值为， 当时，， 综上，的最小值为， 故选：C 11．已知函数，，，恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，其中，则， 令，其中，则， 故函数在上为增函数， ①当时，，，则， 所以，， 所以，存在，使得； ②当时，，则，， 所以，存在，使得； ③当时，令，则， 令，则， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，，即，当且仅当时，等号成立， 所以，， 所以存在，使得，即. 由上可知，对任意的，存在，使得， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以， ，则， 所以，， 令，其中， 所以，， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以，，即的最大值为. 故选：A. 12．（2025·江苏·模拟预测）已知，，对于，恒成立，则的最小值为（    ） A． B．－1 C． D．－2 【答案】C 【解析】因为对于，恒成立， 所以对于，恒成立， 设，所以. 当时，，函数单调递增， 所以函数没有最大值，所以这种情况不满足已知； 当时， 当时，，函数单调递增. 当时，，函数单调递减. 所以. 所以. 所以. 设， 所以， 当时，，函数单调递减. 当时，，函数单调递增. 所以. 所以的最小值为. 故选：C 13．（2025·福建福州·模拟预测）已知，函数，.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，即， 令， ， 令， 则，所以函数为增函数，即函数为增函数， 又， 则当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以， 所以的取值范围是. 故选：C. 14．（2025·浙江·二模）已知在上恒成立，则的最小值是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【解析】在上恒成立，等价于在上恒成立， 等价于在上恒成立， 令，， 当时，则在上单调递增，则若时，，不符合题意； 当时，则， 若时，，此时单调递增； 若时，，此时单调递减，所以， 则，即， 令，，则， 当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增， 所以，所以， 所以的最小值是． 故选：D． 15．（2025·湖南永州·三模）已知函数，对于定义域内的任意恒有，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不等式可化为， 因为，将不等式两边同时除以得， 令，原不等式等价于：， 设，，对求导可得， 则函数单调递减且下凸，要使恒成立， 则直线与曲线相切时取最值，如图， 当直线与曲线相切时，设切点为， 则，且，整理可得，， 解得：，此时， 故选：A. 16．一般地，对于函数和复合而成的函数，它的导数与函数，的导数间的关系为．若关于的不等式对于任意恒成立，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解析】依题意恒成立，即恒成立， 设，， 设，则，所以在上单调递增， 当时，在上递减，没有最小值，不符合题意. 当时，由解得， 所以在区间递减； 在区间递增. 所以的最小值是， 依题意可知， 即，即， 设， ， 所以在区间递增； 在区间递减， 所以的最大值为， 所以的最大值为. 故选：C 17．已知m，n为实数，，若对恒成立，则的最小值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解析】， 当时，恒成立，则单调递增，，显然不恒成立， 当时，时，，函数单调递减；时，，函数单调递增， ∴， ∵恒成立，∴， ∴， ∴， 令， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， ∴． 故选：B 18．（2025·江西·一模）已知关于的不等式对任意恒成立，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解析】关于的不等式对任意恒成立， 设，， 若，对任意恒成立，则，对任意恒成立， 当时，在同一坐标系中作出函数，的图象， 显然，由图可知，对任意不恒成立； 当时，在同一坐标系中作出函数，的图象， 显然，由图可知，对任意不恒成立； 当时，在同一坐标系中作出函数，的图象， 由图可知，临界条件是直线与曲线的图象相切时， 由，求导，设，解得，且， 当的切线斜率为2时，切点坐标为， 故，所以， 即， 所以，令， 求导， 令，得，即， 当，函数单调递增， 当，函数单调递减， 所以当，函数取到最大值，且. 故的最大值为． 故选：D． 19．已知关于的不等式对任意恒成立，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解析】设，， 若，对任意恒成立，则，对任意恒成立， 当时，在同一坐标系中作出函数的图象， 显然，由图可知，对任意不恒成立； 当时，在同一坐标系中作出函数的图象， 由图可知，临界条件是直线与曲线的图象相切时， 由，求导， 设，解得，且， ∴当的切线斜率为1时，切点坐标为， 故，所以 即 两边同除以，，令 求导 令，得，即 当，，函数单调递增，当，，函数单调递减， 所以当，函数取到最大值，且 故的最大值为 故选：C. 20．（2025·广东惠州·一模）已知函数（，且），若恒成立，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】函数的定义域为， 当时，可得在上单调递增，又，所以不合题意； 当时，， 易知，在上单调递增，令，解得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以当时，有极小值，也是最小值， 又因为恒成立且，所以， 则，得，所以， 设，，令，得， 当，，则在上单调递减， 当，，则在上单调递增， 所以，即的最小值为. 故答案为：. 21．已知函数对任意成立，则的最小值为 ． 【答案】2 【解析】由函数，可得，且， 若时，恒成立，函数单调递增， 当时，， 因为函数在上单调递增，所以， 所以存在，使得时，，不符合题意，则有， 当时，；当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，则， 令，可得， 当时，；当时，， 所以函数在上递减，在上递增， 所以， 所以的最小值为， 故答案为：2． 22．已知函数，若，则最大值为 【答案】 【解析】由题意，， 注意到，， 当时，令，解得或， 令，解得，不满足,， 当时，令，解得或， 令，解得，不满足，， 当时，函数成立，符合条件， 所以，即. 令，则， 令，则， 令，则， 所以在单调递增，在单调递减， 所以. 故答案为：. 23．（2025·高三·上海·期中）若存在，使得对任意的恒成立，则的最小值为 ． 【答案】2 【解析】存在，使得对任意的恒成立， 即存在，使得对任意的恒成立， 令，可得， 当，所以，在上单调递增， 当，所以，在上单调递减， 令，所以， 当，，在单调递减， 当，，在单调递增， 所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 24．（2025·贵州六盘水·模拟预测）已知函数，若恒成立，则mn的最大值为 ． 【答案】 【解析】函数的定义域都为R，不等式， 依题意，对任意，成立，令，求导得， 当时，恒成立，函数在上单调递增，函数的值域为R，不符合题意； 当时，的值域为，则，； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 因此，，令函数， 求导得，当时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，， 则，当且仅当时取等号，所以mn的最大值为. 故答案为： 25．（2025·高三·山东聊城·期中）设，若，使得对恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由，可得， 令，可得，所以， 当时，在上单调递减，无最大值，不符合题意， 当时，方程的解为， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以， 因为，使得对恒成立， 所以，所以， 所以， 令，求导可得， 当， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所认 所以， 所以的取值范围是. 故答案为： 26．若对一切恒成立，则的最大值为 . 【答案】/ 【解析】由题意可得对一切恒成立， 令，则， 当时，，故在上单调递减， 此时在上无最小值，不符合题意， 当时，令，有，令，有， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 即，则， 令，则， 故当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故，即， 当满足题意，即的最大值为. 故答案为：. 27．（2025·安徽·模拟预测）若对一切恒成立，则的最大值为 . 【答案】 【解析】令得， 若时，则，可知在上单调递增， 且当时，与矛盾． 若时，， 可知在内单调递减，在内单调递增， 当时，， 即，可得， 令，则， ， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，， 当时，的最大值为． 故答案为：. 28．（2025·高三·四川成都·开学考试）已知不等式对任意恒成立，则当取最大值时， . 【答案】 【解析】已知不等式对任意恒成立，根据目标式，知， 由，得， 令，则， 当时，，函数单调递增且值域为R，此时不恒成立， 当时，令，则， 设，则， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以，所以， 所以时，方程有解，设解为，则，所以， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以， 所以，所以， 又，当且仅当，即时取等号， 当，取最大值，此时. 故答案为：. 29．已知函数， （ⅰ）若在上单调，则的取值范围是 ； （ⅱ）若对任意的，，则的最大值为 ． 【答案】 ； . 【解析】（i）由，得， 当在上单调递增时，则恒成立， 即在上恒成立，所以， 当在上单调递减时，则恒成立， 即在上恒成立，所以， 所以的取值范围是. （ii）因为，， 所以， 当时，恒成立，所以在上单调递增， 且当时，，不符合题意， 当时，则当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，， ， 令，则， 当时，，函数在在上单调递增， 当时，，函数在在上单调递减， 所以，所以， 所以. 所以的最大值为. 故答案为：（i）；（ii）. 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 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