精品解析：云南省西双版纳傣族自治州景洪市曲靖一中景洪学校2024-2025学年高二下学期期中检测数学试卷

曲靖一中景洪学2024-2025学年下学期高二年级期中考试 数学试卷 试卷满分：150分考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一､单选题 1. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算交集，再求在上的补集即可. 【详解】由， 所以， 故选：B 2. 函数的单调递减区间为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对函数求导，得（）,令，解得， 因此函数的单调减区间为，故选B 考点定位：本小题考查导数问题，意在考查考生利用导数求函数单调区间，注意函数本身隐含的定义域 3. 等差数列中，若，为方程的两根，则等于（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】根据韦达定理求得，然后利用等差数列下标和的性质求解即可. 【详解】∵，为方程的两根，∴， 由等差数列的性质得，即， ∴. 故选：B 4. 如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，点满足，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算求解即可. 【详解】在三棱锥中，点，分别是，的中点， 点满足，若， 则 ， 故选：B 5. 已知直线与圆交于两点，则的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由几何法求弦长时的取值范围，再求其真子集即可. 【详解】的充要条件是：圆心，到直线的距离， 即，故的充分不必要条件是的真子集. 故选：A. 6. 一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱，底面边上的高为.当底面水平放置时水面高度为16（如图①）.当侧面水平放置时（如图②），水面高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用水的体积不变计算可求解. 【详解】设底面的面积为， 当底面水平放置时水面高度为16，所以水的体积为， 设侧面水平放置时，水呈四棱柱体，设四棱柱体的底面梯形的面积为， 则水的体积为，所以，所以， 设四棱柱体的底面梯形的高为，则可得，解得. 故选：D. 7. 已知椭圆的一条弦所在的直线方程是弦的中点坐标是则椭圆的离心率是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设直线与椭圆交点为，分别代入椭圆方程，由点差法可知代入k=1,M(-4,1),解得，选C. 8. 某校新闻社团负责报道采访本校田径运动会，社团派出甲、乙、丙、丁四名成员到跳高、跳远、短跑三个比赛场地进行现场报道，且每个场地至少安排一人，则甲不在短跑场地的不同安排的方法数为（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，分甲单独与组队两种情况，利用特殊元素优先法以及分组分配的思想，可得答案. 【详解】当甲单独一人进行现场报道时，甲有种选择，再将乙、丙、丁分配到其他两个地方， 情况数为，则此时总的情况数为； 当甲与人组队进项现场报道时，先从乙、丙、丁中选出一人与甲组队，则情况数为， 再在跳高、跳远选一个去进行现场报道，则情况数为， 最后剩下的两人安排去其他两个地方，则情况数为， 所以此时总的情况数为； 综上，符合题意的情况数为. 故选：C. 二､多选题 9. 在中，（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则为钝角三角形 D. 若是锐角，，则为锐角三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正弦定理求得，得到，可判定A正确；由，得到或，得到为等腰或直角三角形，可判定B错误；由，结合，得到，判定C正确；由，得到，得到，得到，可判定D正确. 【详解】对于A，设的外接圆的半径为， 若，由正弦定理得，则，所以，所以A正确； 对于B中，因为，可得，且， 若，可得或，即或， 所以为等腰或直角三角形，所以B错误； 对于C中，因为，可得， 若，则，可得，即为钝角， 所以为钝角三角形，所以C正确； 对于D中，因为，可得 若，可得， 由函数在上为单调递增函数，所以，即， 又因为，则，所以为锐角三角形，所以D正确. 故选：ACD. 10. 已知，是的共轭复数，则（ ） A. 若，则 B. 若为纯虚数，则 C. 若，则 D. 若，则集合所构成区域的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用复数的除法及共轭复数的意义判断A；利用纯虚数的意义计算判断B；利用复数的意义判断C；利用复数模的几何意义计算判断D. 【详解】对于A，，则，A正确； 对于B，为纯虚数，令，则，B正确； 对于C，不全是实数的两个复数不能比较大小，C错误； 对于D，集合所构成区域是复平面内以为圆心，3为半径的圆及内部，因此该区域面积为，D正确. 故选：ABD 11. 已知函数，若关于的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则（ ） A. B. C. D. 函数有6个零点 【答案】ABC 【解析】 【分析】方程有四个不同的根，即图象与直线有4个交点，画出函数大致图象可完成判断；B由图象可判断选项正误；C由题可得，，据此可完成判断；D令，可将函数的零点个数转化为图象与直线交点个数之和，据此可完成判断. 【详解】对于A，由题可画出大致图象， 则方程有四个不同的根，即图象与直线有4个交点， 则由图可得，故A正确； 对于B，由图可得，当时，，当趋近于0时，，则，故B正确； 对于C，由题. 又由题及图可得，， 则，注意到函数 在上单调递减，则，故C正确； 对于D，令，则， 由图可得，则的零点个数为 方程根的个数之和， 即图象与直线交点个数之和. 由图，图象与直线交点个数为0，图象与直线交点个数为2， 图象与直线交点个数为3，图象与直线交点个数为3， 则交点个数之和为8，即函数有8个零点，故D错误. 故选：ABC 【点睛】关键点睛：对于零点问题，常转化为函数图象交点相关的问题；对于含有的问题，常通过令来简化问题. 三､填空题 12. 如图为函数 的部分图象，则 的值为_____ 【答案】## 【解析】 【分析】根据函数图象确定函数周期，求出的值，再结合在函数单调递增区间上，代入求解，即可得答案. 【详解】由图可知，则， 由图象可知点在函数单调递增区间上，则， 则，则， 由于，故， 故答案为： 13. 在的展开式中，各项系数之和为，则展开式中的常数项为__________________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用展开式各项系数之和求得的值，由此写出展开式的通项，令指数为零求得参数的值，代入通项计算即可得解. 【详解】的展开式各项系数和为，得， 所以，的展开式通项为， 令，得，因此，展开式中的常数项为. 故答案为：. 【点睛】本题考查二项展开式中常数项的计算，涉及二项展开式中各项系数和的计算，考查计算能力，属于基础题. 四､解答题 14. 随着科技的进步，近年来，我国新能源汽车产业迅速发展，各大品牌新能源汽车除了靠不断提高汽车的性能和质量来提升品牌竞争力，在广告投放方面的花费也是逐年攀升.某校数学兴趣小组对某品牌新能源汽车近 5 年的广告费投入（单位:亿元）进行了统计， 具体数据见下表: 年份代号 1 2 3 4 5 广告费投入 4.8 5.6 6. 2 7. 6 8. 8 并随机调查了 400 名市民对该品牌新能源汽车的认可情况， 得到的部分数据见下表: 认可 不认可 50 岁以下 140 60 50 岁及以上 120 80 （1）求广告费投入与年份代号之间的线性经验回归方程； （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度有关联? 附: ① 经验回归方程中，； ②，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） （2）有关联 【解析】 【分析】（1）由题意计算，求解回归方程即可； （2）由题意计算，结合独立性检验的原理判断即可. 【小问1详解】 由题意，得， 则 ，所以 则， 故广告费投入与年份代号之间的线性经验回归方程为. 【小问2详解】 零假设为：市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度无关联. 由题中表格数据， 计算得. 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05. 15. 如图1在直角梯形中，，，，，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将沿BE折起到图2中的位置，得到四棱锥． （1）证明：平面； （2）当平面平面，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） ， 所以为正方形，所以， 又，平面，平面， 又，且，故四边形为平行四边形， 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由为正方向可知，根据线面垂直判定定理证明平面，然后由可证； （2）以O为原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 求出平面与平面的法向量，然后由向量夹角公式可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面平面，平面平面=， 平面，所以平面， 又平面， 所以，又由（1）知：， 以O为原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 由题意知，， 则， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则，令，则，故 则，令，则，故， 设平面与平面的夹角为， . 16. 已知函数（）． （1）若，求函数的极值； （2）求证：． 【答案】（1）当时，函数取得极小值，，无极大值. （2）证明:，定义域为， ． 令， 则在上恒成立， 所以在上单调递增． 又，， 所以存在唯一的，使得， 当时，，，在上单调递减， 当时，，，在上单调递增， 所以当时，取得最小值． 因为，所以，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以成立． 【解析】 【分析】(1)利用导数求出函数的极大值和极小值即可， （2）求出函数的导数，令，对进行求导，分析得到在定义域上单调递增，接着取点，得到存在唯一的，使得，分析单调性得到当时，取得最小值．再利用导数的零点对，进行变换，从而得到，从而证出成立. 【小问1详解】 若，则，， 所以，． 令，则在上恒成立， 所以在上单调递增，即在上单调递增． 又， 所以当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以当时，函数取得极小值，，无极大值． 【小问2详解】 略. 17. 为响应国家促进消费的政策，某大型商场举办了“消费满减乐翻天”的优惠活动，顾客消费满800元（含800元）可抽奖一次，抽奖方案有两种（顾客只能选择其中的一种） 方案1：从装有5个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球．每摸出1次红球，立减150元，若3次都摸到红球，则额外再减200元（即总共减650元）； 方案2：从装有5个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球．中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则打5折；其余情况无优惠． （1）顾客A选择抽奖方案2，已知他第一次摸出红球，求他能够享受优惠的概率； （2）顾客B恰好消费了800元， ①若他选择抽奖方案1，求他实付金额的分布列和期望（结果精确到0.01）； ②试从实付金额的期望值分析顾客B选择何种抽奖方案更合理． 【答案】（1） （2） ①实付金额的分布列为 800 650 500 150 实付金额的期望为； ②选择方案 【解析】 【分析】（1）设事件表示“第一次摸到红球”，事件表示“能够享受优惠”，求解在第一次摸到红球后，从7个球中不放回摸2个球的情况和摸出两球为红球和一红一蓝两种情况的种数，即可求解； （2）①设顾客B选择抽奖方案1时实付金额为元，由二项分布即可求解；②设顾客B选择抽奖方案2时实付金额为元，根据超几何分布求得均值，比较随机变量和的均值即可判断. 【小问1详解】 设事件表示“第一次摸到红球”，事件表示“能够享受优惠”， 在第一次摸到红球后，抽奖盒中还剩4个红球和3个蓝球，共7个球， 享受优惠包含摸出2个红球和摸出3个红球这两种情况， 从7个球中不放回摸2个球，总情况有种， 摸出两个红球的情况有种， 摸出1红1蓝的情况有种， 所以； 【小问2详解】 ①设顾客B选择抽奖方案1时实付金额为元， 从装有5个红球，3个蓝球的抽奖盒中摸一个球，摸到红球的概率为，摸到蓝球的概率为， 当摸出0个红球时，， 当摸出1个红球时，， 当摸出2个红球时，， 当摸出3个红球时，， 所以实付金额的分布列为 800 650 500 150 实付金额的期望为 ； ②设顾客B选择抽奖方案2时实付金额为元， 当摸出0个红球或1个红球时，， 当摸出2个红球时，， 当摸出3个红球时，， 所以， 所以，所以从实付金额的期望值分析，顾客B选择抽奖方案2更合理. 18. 17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示.四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形.带槽杆长为，点，间的距离为2，转动杆一周的过程中始终有.点M在线段的延长线上，且. （1）建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点E的轨迹Γ的方程； （2）过点的直线与Γ交于A、B两点.记直线MA、MB的斜率为、，证明：为定值. 【答案】（1） （2）证明：（1）当直线斜率存在时，如图1，设：， 联立直线与椭圆方程，可得， 显然，设，，则，， 所以. 由已知得，则，，所以，即为定值. 当直线斜率不存在时，直线垂直于轴，如图2，显然，可得，即. 综上所述，为定值. 【解析】 【分析】（1）依题意，根据椭圆的定义计算求解. （2）通过设直线方程与椭圆方程联立，再利用韦达定理、斜率公式进行计算求解. 【小问1详解】 由已知可得.又， 所以点的轨迹为以、为焦点的椭圆. 设椭圆的方程为， 则，所以，，，， 所以点的轨迹的方程为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 曲靖一中景洪学2024-2025学年下学期高二年级期中考试 数学试卷 试卷满分：150分考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一､单选题 1. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的单调递减区间为 A. B. C. D. 3. 等差数列中，若，为方程的两根，则等于（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 40 4. 如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，点满足，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线与圆交于两点，则的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 6. 一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱，底面边上的高为.当底面水平放置时水面高度为16（如图①）.当侧面水平放置时（如图②），水面高度为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的一条弦所在的直线方程是弦的中点坐标是则椭圆的离心率是 A. B. C. D. 8. 某校新闻社团负责报道采访本校田径运动会，社团派出甲、乙、丙、丁四名成员到跳高、跳远、短跑三个比赛场地进行现场报道，且每个场地至少安排一人，则甲不在短跑场地的不同安排的方法数为（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 32 二､多选题 9. 在中，（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则为钝角三角形 D. 若是锐角，，则为锐角三角形 10. 已知，是的共轭复数，则（ ） A. 若，则 B. 若为纯虚数，则 C. 若，则 D. 若，则集合所构成区域的面积为 11. 已知函数，若关于的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则（ ） A. B. C. D. 函数有6个零点 三､填空题 12. 如图为函数 的部分图象，则 的值为_____ 13. 在的展开式中，各项系数之和为，则展开式中的常数项为__________________. 四､解答题 14. 随着科技的进步，近年来，我国新能源汽车产业迅速发展，各大品牌新能源汽车除了靠不断提高汽车的性能和质量来提升品牌竞争力，在广告投放方面的花费也是逐年攀升.某校数学兴趣小组对某品牌新能源汽车近 5 年的广告费投入（单位:亿元）进行了统计， 具体数据见下表: 年份代号 1 2 3 4 5 广告费投入 4.8 5.6 6. 2 7. 6 8. 8 并随机调查了 400 名市民对该品牌新能源汽车的认可情况， 得到的部分数据见下表: 认可 不认可 50 岁以下 140 60 50 岁及以上 120 80 （1）求广告费投入与年份代号之间的线性经验回归方程； （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度有关联? 附: ① 经验回归方程中，； ②，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 15. 如图1在直角梯形中，，，，，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将沿BE折起到图2中的位置，得到四棱锥． （1）证明：平面； （2）当平面平面，求平面与平面夹角的余弦值. 16. 已知函数（）． （1）若，求函数的极值； （2）求证：． 17. 为响应国家促进消费的政策，某大型商场举办了“消费满减乐翻天”的优惠活动，顾客消费满800元（含800元）可抽奖一次，抽奖方案有两种（顾客只能选择其中的一种） 方案1：从装有5个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球．每摸出1次红球，立减150元，若3次都摸到红球，则额外再减200元（即总共减650元）； 方案2：从装有5个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球．中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则打5折；其余情况无优惠． （1）顾客A选择抽奖方案2，已知他第一次摸出红球，求他能够享受优惠的概率； （2）顾客B恰好消费了800元， ①若他选择抽奖方案1，求他实付金额的分布列和期望（结果精确到0.01）； ②试从实付金额的期望值分析顾客B选择何种抽奖方案更合理． 18. 17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示.四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形.带槽杆长为，点，间的距离为2，转动杆一周的过程中始终有.点M在线段的延长线上，且. （1）建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点E的轨迹Γ的方程； （2）过点的直线与Γ交于A、B两点.记直线MA、MB的斜率为、，证明：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $