专题24 函数的伸缩问题（4大题型）-2025年新高考数学函数与导数压轴小题专题突破

专题24 函数的伸缩问题 【题型归纳】 题型一：垂直伸长变换 题型二：垂直缩短变换 题型三：复合伸缩问题 题型四：综合问题 【方法技巧总结】 1、水平伸缩：对函数，参数k控制横坐标缩放．当时，图像水平压缩为原图的倍；当时，图像水平拉伸为原图的倍． 2、垂直伸缩：对函数，参数k控制纵坐标缩放．当时，图像纵向拉伸倍；当时，图像纵向压缩k倍． 3、复合伸缩：同时存在水平和垂直伸缩时，需按运算顺序处理．如需先水平缩放m倍，再纵向缩放k倍，两者独立影响图像． 【典型例题】 题型一：垂直伸长变换 【例1】已知定义在上的连续函数，满足，则方程的解的个数为（    ） A．13 B．14 C．20 D．21 【变式1-1】函数的定义域为，满足，且时，，若，恒有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·山东青岛·模拟预测）函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 题型二：垂直缩短变换 【例2】（2025·广东广州·模拟预测）函数是定义在R上的奇函数，当时，，则函数在上的所有零点之和为（    ） A．－32 B．32 C．16 D．8 【变式2-1】（2025·高三·上海·期中）对于函数，有下列四个命题 ①任取，，都有； ②（为正整数），对一切恒成立； ③若关于的方程有且只有两个不同的实根，，则； ④函数有5个零点 上述四个命题中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-2】设函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型三：复合伸缩问题 【例3】（2025·高三·上海·开学考试）定义在区间上的函数满足：①；②当时，，则集合中的最小元素是 A．13 B．21 C．45 D．51 【变式3-1】（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若函数恰有个零点，则 B．关于的方程有个不同的解 C．任意实数 ，不等式恒成立 D．函数的图象与直线，及x轴所围成图形的面积为 【变式3-2】（广东省冮门市2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试题）已知函数，则（    ） A．128 B．256 C．512 D．1024 题型四：综合问题 【例4】（多选题）已知函数的定义域为，当时，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则当时， C．若，则的图象与函数的图象恰有3个交点 D．若，，则的图象与直线在内的交点个数是 【变式4-1】（2025·高三·浙江·开学考试）已知函数，且若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知函数的图象在区间内的最高点对应的坐标为，则集合中元素的个数为 ． 【过关测试】 1．（2025·江西·二模）已知函数，则在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知的定义域为，则关于的方程的实数根个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2025·宁夏中卫·二模）设是定义在R上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数，则下列说法正确的个数有（    ） （1）当时， （2） （3）若，则实数的最小值为 （4）若有三个零点，则实数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2025·陕西西安·一模）设函数的定义域为，满足，且当时，．则下列结论正确的个数是（    ） ①； ②若对任意，都有，则a的取值范围是； ③若方程恰有3个实数根，则m的取值范围是． A．0 B．1 C．2 D．3 5．设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数，若对任意的，恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·高三·湖北·开学考试）定义在上的函数满足，且当时，.若对，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，其中，给出以下关于函数的结论： ①②当时，函数值域为③当时方程恰有四个实根④当时，若恒成立，则．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知函数定义域为，满足，且当时，，若对任意，都恒成立，则的取值范围为（） A． B． C． D． 9．（2025·高三·湖北荆州·期末）设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是 A． B． C． D． 10．已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 11．（2025·山东济南·一模）定义域为的函数满足，当时，，若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数有3个零点 B．在区间内，函数的图象与x轴围成的图形的面积为 C．对于实数，不等式恒成立 D．关于x的方程有个不同的解 13．（多选题）已知函数则下列说法正确的是（   ） A．函数有3个零点 B．关于x的方程有个不同的解 C．对于实数，不等式恒成立 D．在区间内，函数的图象与x轴围成的图形的面积为 14．（多选题）函数的定义域为，且满足，当时，，则（    ） A． B．时， C．若对任意的，都有，则的最大值为 D．若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是 15．（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．关于x的方程有个不同的解 C．函数与函数恰有两个交点 D．当时，恒成立． 16．（多选题）（2025·高三·山西·期末）已知函数则下列说法正确的是（    ） A．为增函数 B．方程有两个实根 C．恒成立 D．当时， 17．（多选题）对于函数．下列结论正确的是（    ） A．任取，都有 B．函数 有2个零点 C．函数在上单调递增 D．若关于的方程有且只有两个不同的实根，则． 18．（多选题）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．当时， B．函数在上单调递增 C．方程有4个相异实根 D．若关于x的不等式在恒成立，则 19．（多选题）已知函数，则以下结论正确的是（    ）． A．函数为增函数 B． C．若在上恒成立，则的最小值为8 D．若关于的方程有三个不同的实根，则 20．（多选题）已知函数，则以下结论正确的是（    ） A．当 B． C．若在上恒成立，则的最小值为6 D．若关于的方程有三个不同的实数根则． 21．（多选题）已知函数，则（    ） A．的值域为 B．在上单调递增 C．对任意恒成立 D．函数有6个零点 22．（多选题）已知函数，则下列说法正确的有（ ） A．当时， B．若不等式至少有3个正整数解，则 C．过点作函数图象的切线有且只有一条 D．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是 23．（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．关于的方程有个不同的解 C．在上单调递减 D．当时，恒成立. 24．（多选题）已知定义在上的函数，下列结论正确的为（    ） A．函数的值域为 B．当时，函数所有输出值中的最大值为4 C．函数在上单调递减 D． 25．（多选题）已知偶函数的定义域为，且，则以下结论正确的是（    ） A．是周期函数 B．任意， C． D．若在恒成立，则的最小值为 26．（多选题）（2025·广东广州·二模）对于函数，则下列结论中正确的是（    ） A．任取，都有恒成立 B． C．对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 D．函数有且仅有个零点 27．（多选题）（2025·高三·山东潍坊·期中）已知函数其中，下列关于函数的判断正确的为（    ） A．当时， B．当时，函数的值域 C．当且时， D．当时，不等式在上恒成立 28．已知函数，则 ；若在上恒成立，则整数的最小值为 ． 29．已知函数，若函数的零点个数为2，则a的范围为 . 30．已知函数，给出下列四个结论. ①若函数有4个零点，则实数k的取值范围为 ②关于x的方程有个不同的解 ③对于实数，不等式恒成立 ④当时，函数的图象与x轴围成的图形的面积为 其中所有正确结论的序号是 ． 31．已知函数，则函数的零点个数是 . 32．（2025·内蒙古呼和浩特·一模）已知，若直线与有个交点，则 . 33．已知函数，若对任意的，都有恒成立，则实数t的最大值为 ． 34．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知函数的定义域为，且，函数在区间内的所有零点的和为16，则实数的取值范围是 . 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题24 函数的伸缩问题 【题型归纳】 题型一：垂直伸长变换 题型二：垂直缩短变换 题型三：复合伸缩问题 题型四：综合问题 【方法技巧总结】 1、水平伸缩：对函数，参数k控制横坐标缩放．当时，图像水平压缩为原图的倍；当时，图像水平拉伸为原图的倍． 2、垂直伸缩：对函数，参数k控制纵坐标缩放．当时，图像纵向拉伸倍；当时，图像纵向压缩k倍． 3、复合伸缩：同时存在水平和垂直伸缩时，需按运算顺序处理．如需先水平缩放m倍，再纵向缩放k倍，两者独立影响图像． 【典型例题】 题型一：垂直伸长变换 【例1】已知定义在上的连续函数，满足，则方程的解的个数为（    ） A．13 B．14 C．20 D．21 【答案】D 【解析】因为 ， 由， 可得， 即有， 作出函数的图象如图所示： 则有7个根，有10个根，有4个根， 所以方程共有个根. 故选：D 【变式1-1】函数的定义域为，满足，且时，，若，恒有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，且时，， 所以当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 所以当时，，解得或， 作出函数的大致图象，如图所示， 由图可知，，恒有，必有， 即的取值范围是， 故选：B 【变式1-2】（2025·山东青岛·模拟预测）函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因，又当时，， 当，，时，， 则， ， 当，，时，， 则， ， 作出函数的大致图象， 对任意，都有， 设的最大值为， 则，且 所以，解得 所以m的最大值为. 故选：A. 题型二：垂直缩短变换 【例2】（2025·广东广州·模拟预测）函数是定义在R上的奇函数，当时，，则函数在上的所有零点之和为（    ） A．－32 B．32 C．16 D．8 【答案】D 【解析】函数是定义在R上的奇函数, . 又函数, 函数是偶函数, 函数的零点都是以相反数的形式成对出现的. 函数在上所有的零点的和为, 函数在上所有的零点的和,即函数在上所有的零点之和. 即方程在上的所有实数解之和. 由时,,故有 函数在上的值域为,当且仅当时,. 又当时,,如图： 函数在上的值域为； 函数在上的值域为； 函数在上的值域为,当且仅当时,, 即方程在上的又一个实数解.即有一个零点； 函数在上的值域为,当且仅当时,, 故在上恒成立,在上无零点, 同理在上无零点, 依此类推,函数在无零点. 综上函数在上的所有零点之和为8, 故选：D. 【变式2-1】（2025·高三·上海·期中）对于函数，有下列四个命题 ①任取，，都有； ②（为正整数），对一切恒成立； ③若关于的方程有且只有两个不同的实根，，则； ④函数有5个零点 上述四个命题中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】对于①，函数的图象如图所示，由图可知，， 任取，，都有， 故①正确； 对于②，当时，，而由解析式可知， 故②不正确； 对于③，函数与函数的图象如图所示， 若关于的方程有且只有两个不同的实根，， 则，由对称性可知，故③正确； 对于④，函数和的图象如图所示， 由图可知两函数图象有个交点，所以函数有个零点， 故④不正确； 所以四个命题中正确的个数为. 故选：B. 【变式2-2】设函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，， 则， 即当时，， 同理当时，； 当时，. 以此类推，当时，都有. 函数和函数在上的图象如下图所示： 由图可知，，，解得， 即对任意，都有，即的取值范围是. 故选：D. 题型三：复合伸缩问题 【例3】（2025·高三·上海·开学考试）定义在区间上的函数满足：①；②当时，，则集合中的最小元素是 A．13 B．21 C．45 D．51 【答案】C 【解析】当时，即，所以，又因为. 所以，. 同理可得当时，，. 当时，，. 因为，所以. 因为. 所以的解的最小值点在区间，即. . 故选C. 【变式3-1】（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若函数恰有个零点，则 B．关于的方程有个不同的解 C．任意实数 ，不等式恒成立 D．函数的图象与直线，及x轴所围成图形的面积为 【答案】ACD 【解析】当时，， 当时，， 当时，即，，且， 当时，即，， 当时，即，，且， 当时，即，， 当时，即，，且， 当时，即，， 当时，即，，且， 依次类推，作出函数的图像， 由可知，若函数恰有个零点， 即与有3个交点，此时当图象故过点， 所以，故A对； 关于的方程有个不同的解，而与的8个交点， 由图知与交点个数是6，故B错； 由，，，，， 任意实数 ，不等式恒成立，即恒成立， 由图知函数在的每一个上顶点的纵坐标为， 且，即恒成立，故C对； 函数的图象与直线，及x轴所围成图形的面积为，故D对； 故选：ACD. 【变式3-2】（广东省冮门市2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试题）已知函数，则（    ） A．128 B．256 C．512 D．1024 【答案】B 【解析】由题意， . 故选：B. 题型四：综合问题 【例4】（多选题）已知函数的定义域为，当时，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则当时， C．若，则的图象与函数的图象恰有3个交点 D．若，，则的图象与直线在内的交点个数是 【答案】ACD 【解析】若，则，故A正确； 若，则当时，，所以，故B错误； 若，当，，则的图象与函数的图象如图所示： 由图可知，的图象与函数的图象恰有3个交点，故C正确； 当时，；当时，； 当时，，…，当时，； 当时，；当时，； 若，则，结合函数图象可知， 直线与的图象在区间，，…，均有两个交点，在上有一个交点， 所以的图象与直线在内的交点个数是，故D正确. 故选：ACD. 【变式4-1】（2025·高三·浙江·开学考试）已知函数，且若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题设函数，由逆推，可有以下六种情况： ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ； ⑥ . 综上，对于A，由情况⑥可知A不正确； 对于B，C，由情况①可知B不正确，C也不正确； 对于D，由上分析知，故D正确. 故选：D. 【变式4-2】已知函数的图象在区间内的最高点对应的坐标为，则集合中元素的个数为 ． 【答案】10 【解析】作出函数在区间上的图象， 如图，根据函数的单调性，此时． 又当时，，所以当时，， 部分函数图象如图，由图象可得，，，…，， ，，，…，，即，即， 解得，即2，3，4，…，10，11， 故集合中的元素个数为． 故答案为：10. 【过关测试】 1．（2025·江西·二模）已知函数，则在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，， 当时，，则， 所以，， 则所求切线方程为，即. 故选：A 2．已知的定义域为，则关于的方程的实数根个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】由，解得：或， 又， 若， 当时，，即，所以，所以； 当时，，而当时，此种情况无解； 若， 当时，或，即或； 当时， 当，则，满足题设； 当，根据对称性及时知，，故此种情况无解； 综上所述：的实数根个数为4个，分别是. 故选：B． 3．（2025·宁夏中卫·二模）设是定义在R上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数，则下列说法正确的个数有（    ） （1）当时， （2） （3）若，则实数的最小值为 （4）若有三个零点，则实数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】因为 是奇函数，是偶函数， 所以 ，解得， 由 当时，，则，所以， 同理：当时，， 以此类推，我们可以得到如下的图象： 对于（1）∶根据上述规律，当时，，故（1）错误； 对于（2）：根据图象， 刚好是相邻两个自然数中间的数， 则 刚好是每一段图象中的极大值，代入函数解析式得 ，故（2）正确； 对于（3）∶根据图象，当时， 由图像可得（3）正确； 对于（4）∶有三个零点， 等价于函数与函数有三个不同的交点，设， 则函数的图象为恒过点A的直线，如图所示. 当函数与，相切的时候，有三个交点， 相切时斜率k小于直线AB的斜率，直线AB的斜率为 故有三个零点， ，故（4）错误． 说法正确的个数为2. 故选：B． 4．（2025·陕西西安·一模）设函数的定义域为，满足，且当时，．则下列结论正确的个数是（    ） ①； ②若对任意，都有，则a的取值范围是； ③若方程恰有3个实数根，则m的取值范围是． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】依题意，，当时，，且在区间上的最大值为1， 当时，，，在区间上的最大值为2， 当时，，，在区间上的最大值为4， 当时，，，在区间上的最大值为8， 显然，①正确； 作出函数的部分图象，如图， 当时，必有，由整理得：，于是得， 因为对任意，都有，因此，所以a的取值范围是，②正确； 方程恰有3个实数根，即直线与函数的图象恰有3个公共点， 显然直线与在区间上的图象有且只有1个公共点， 当直线与在区间上的图象相切时，由消去y整理得： ，则，解得， 而在区间上的最大值为，直线， 当时，，此时该直线与在区间上的图象有两个公共点， 因此直线与函数在时的图象有公共点时，公共点个数大于3，不符合题意， 当直线与在区间上的图象相切时，由消去y整理得： ，则，解得， 当直线与在区间上的图象相切时，由消去y整理得： ，则，解得， 观察图象知，方程恰有3个实数根，则m的取值范围是，③错误. 所以正确结论的个数是2. 故选：C 5．设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数，若对任意的，恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为是奇函数，是偶函数， 所以，解得， 由， 当时，则，所以， 同理：当时，， 以此类推，可以得到的图象如下： 由此可得，当时，， 由，得，解得或， 又因为对任意的，恒成立， 所以，所以实数的最大值为. 故选：B. 6．（2025·高三·湖北·开学考试）定义在上的函数满足，且当时，.若对，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为当时，，所以， 又因为函数满足，所以函数的部分图像如下， 由图可知，若对，都有，则.故A，C，D错误. 故选：B. 7．已知函数，其中，给出以下关于函数的结论： ①②当时，函数值域为③当时方程恰有四个实根④当时，若恒成立，则．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】当时，，是把向右平移2个单位变成后，再把纵坐标变为原来的2倍，得到的图象，如图： ∵，故①正确； 由题知函数在上函数值域为，在上函数值域为，在上函数值域为，在上函数值域为，故当时，函数值域为，故②正确； 当时有无数个实数根，故③错误； 当时，函数的图象与的图象交于点，结合图象，即，故④正确, 故选：C 8．已知函数定义域为，满足，且当时，，若对任意，都恒成立，则的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，首先求出函数在区间上的值域为，再根据条件，判断当时，，并求解时的解析式，和时对应的两根中较小根，即可得到的取值范围.当时，， 可求得，且在上单调增，在上单调减， 根据，可知当，， 当，，且在上单调增，在上单调减， 因为，当时，， ，， 令，解得或， 所以对任意，都恒成立，的取值范围为， 故选：B. 9．（2025·高三·湖北荆州·期末）设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，，而时，所以 又， 所以当时，， 当时，， 做出示意图如下图所示： 要使，则需，而由解得，所以， 故选：D. 10．已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，，所以，当时，，所以，当时，，所以.令，易知，所以，将函数有个零点问题，转化为函数图像，与直线有个交点来求解.画出的图像如下图所示，由图可知，而，故.故选D. 11．（2025·山东济南·一模）定义域为的函数满足，当时，，若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为当时，不等式恒成立，所以， 当时， 当时，，当时， ，因此当时，，选B. 12．（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数有3个零点 B．在区间内，函数的图象与x轴围成的图形的面积为 C．对于实数，不等式恒成立 D．关于x的方程有个不同的解 【答案】ABC 【解析】当时，，当时，， 当时，则，， 当时，则，， 当时，则，， 当时，则，， 依次类推，可得函数的解析式，作出函数的大致图象，如图： 对于A，由，得，令， 由图象知与的图象只有3个交点， 因此函数有3个零点，A正确； 对于B，当时，则，此时函数的图象与x轴围成的图形的面积为， 当时，则，此时函数的图象与x轴围成的图形的面积为， 当时，则，此时函数的图象与x轴围成的图形的面积为，……， 当时，函数的图象与x轴围成的图形的面积为，B正确； 对于C，对于实数，不等式恒成立，即恒成立， 函数的图象在上的最高点分别为， 在上的最高点为，这些点都在曲线上， 因此函数在上的图象总在曲线及下方，即恒成立，C正确； 对于D，当时，，即， 由图象知与的图象只有3个交点， 因此关于x的方程有3个不同的解，而当时，，D错误. 故选：ABC 13．（多选题）已知函数则下列说法正确的是（   ） A．函数有3个零点 B．关于x的方程有个不同的解 C．对于实数，不等式恒成立 D．在区间内，函数的图象与x轴围成的图形的面积为 【答案】ACD 【解析】当时，，当时，， 当时，则，， 当时，则，， 当时，则，， 当时，则，， 依次类推，可得函数的解析式，作出函数的大致图象如图所示， 对于A，由，得， 令，由图象可知与的图象只有3个交点， 所以函数有3个零点，所以A正确， 对于B，当时，，即，由图象可知与的图象只有3个交点， 所以关于x的方程有3个不同的解，而当时，，所以B错误， 对于C，对于实数，不等式恒成立，即恒成立， 由图可知函数的图象的每一个上顶点都在曲线上，所以恒成立，所以C正确， 对于D，当时，则，此时函数的图象与x轴围成的图形的面积为， 当时，则，此时函数的图象与x轴围成的图形的面积为， 当时，则，此时函数的图象与x轴围成的图形的面积为，……， 当时，函数的图象与x轴围成的图形的面积为，所以D正确， 故选：ACD 14．（多选题）函数的定义域为，且满足，当时，，则（    ） A． B．时， C．若对任意的，都有，则的最大值为 D．若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【解析】对于选项A，因为，又，得到，所以选项A正确， 对于选项B，当时，，所以， 又，所以， 得到，所以选项B错误， 对于选项C，当时，， 又，而， 所以时，恒有， 当时，，所以， 又，所以，当时，， 当时，，所以， 又，所以当时，， 当时，，所以， 又，所以当时，， 以此类推，所以的图象如图所示，由，得到或， 由图知，在上关于对称，且， 所以，当时恒成立，所以选项C正确， 对于选项D，令，得到，令， 因为，则, 所以，，， 又函数恰有三个零点，由图知，，所以选项D正确， 故选：ACD. 15．（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．关于x的方程有个不同的解 C．函数与函数恰有两个交点 D．当时，恒成立． 【答案】ACD 【解析】在同一坐标系中画出函数和的图象，如图所示： 计算, A正确； 方程可化为，则时，, 当时， ，解得或， 当时，，此时， 解得， 当时，，此时无交点， 故当方程有3个不同的解，B错误； ， 有图象可知，当时，， 当时，， 化简可得，解得， 结合图象可知与函数恰有两个交点，C正确， 由图象知，在,上单调递减，当,时，可化为， ， 等价于，，即，恒成立， D正确． 故选：ACD． 16．（多选题）（2025·高三·山西·期末）已知函数则下列说法正确的是（    ） A．为增函数 B．方程有两个实根 C．恒成立 D．当时， 【答案】BC 【解析】当时，，则， 当，，,, 可以画出的大致图象如图，则在定义域内不是增函数，故A错误； 利用函数图象可得与有两个交点，故B正确； 在图象中作出，利用函数图象可得在整个定义域内恒成立，故C正确； 由的零点可知，当,,故D错误. 故选：BC 17．（多选题）对于函数．下列结论正确的是（    ） A．任取，都有 B．函数 有2个零点 C．函数在上单调递增 D．若关于的方程有且只有两个不同的实根，则． 【答案】AD 【解析】 根据分段函数的性质可知：时，， 当时，，……可作出函数的部分图象，如上所示， 对于选项A，易知时，， 故任取，都有， 当或时取得等号，故A正确； 对于选项B，的零点即与的交点横坐标， 易知在上单调递增， 而，， ， 利用零点存在性定理及三角函数的单调性结合图象可知， 在和上分别各一个零点， 又也是其一个零点，故B错误； 对于C项，易知，此时在上单调递增，故C错误； 对于D项，由图象可知时满足题意，由三角函数的对称性可知，故D正确. 故选：AD 18．（多选题）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．当时， B．函数在上单调递增 C．方程有4个相异实根 D．若关于x的不等式在恒成立，则 【答案】BC 【解析】A项，，表示当时，向右平移2个单位长度时，y值变为原来的倍，所以当，，A项错误； B项，当时，，增区间为和，当时，增区间为和，同理可得，所以在上单调递增，B项正确； C项，如图所示，与的图象，满足，，两图象共有4个交点，所以方程有4个相异实根，C项正确； D项，当时，， 所以， 当两函数相切时，k有最小值，， 所以，所以，D项错误. 故选：BC. 19．（多选题）已知函数，则以下结论正确的是（    ）． A．函数为增函数 B． C．若在上恒成立，则的最小值为8 D．若关于的方程有三个不同的实根，则 【答案】BCD 【解析】当时，； 当时，； 依次类推，当，时，； 对于A，，，不符合增函数定义，A错误； 对于B，，， 对于，不等式恒成立，B正确； 对于C，当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时， 因为，则，在上恒成立，的最小值为，C正确； 对于D，由得：， 当时，则，方程无解，不合题意； 当时，则或；与有且仅有三个不同交点； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；，解得：；D正确. 故选：BCD. 20．（多选题）已知函数，则以下结论正确的是（    ） A．当 B． C．若在上恒成立，则的最小值为6 D．若关于的方程有三个不同的实数根则． 【答案】AB 【解析】设时，则，所以， 又，所以当时，； 当时，则，所以， 又，所以当时，； 当时，则，所以， 又，所以当时，； 所以由此可知时，；作出函数的部分图象，如下图所示： 则A正确， 由图象可知，，所以，，，故B正确； 在同一坐标系中作出函数和函数的图象，如下图所示： 由图象可知，当时，恒成立，所以的最小值为4，故C错误； 令，则，则方程等价于 ，即，所以，或（舍去）， 在同一坐标系中作出函数，函数和函数的图象，如下图所示： 由图象可知，当时， 即时， 关于的方程有三个不同的实根，故D错误. 故选：AB 21．（多选题）已知函数，则（    ） A．的值域为 B．在上单调递增 C．对任意恒成立 D．函数有6个零点 【答案】BCD 【解析】当时，，利用二次函数的性质可作出该图像； 当时，，可知在上的图像是在上的图像，每间隔的周期，横坐标不变，纵坐标变为原来的一半，由此作出的图象如图所示， 对于AB，由图像易得的值域为，在上单调递增，故A错误，B正确； 对于C，当时，， 则，得或，故或， 即当时，恒成立； 当时，恒成立； 综上：对任意恒成立，故C正确； 对于D，的零点个数等于的图象与图象的交点个数， 的图象如图所示，因为， 所以的图象与的图象有6个交点，故D正确. 故选：BCD. . 22．（多选题）已知函数，则下列说法正确的有（ ） A．当时， B．若不等式至少有3个正整数解，则 C．过点作函数图象的切线有且只有一条 D．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是 【答案】ACD 【解析】对于A：当，∴，，∵，∴，A正确； 对于B：，画出与的图象，根据函数的图象， 要想至少有3个正整数解，要满足，∴，故B错； 对于C：设切点则， ∴，即，设，当时，，∴是单调递增函数，∴最多只有一个根，又， ∴，由得切线方程是，故C正确； 对于D.：由题意.设，则，于是在上是增函数.因为，，所以，即对任意的恒成立，因此只需.设，，所以在上为增函数，所以，所以，即的最大值是，选项D正确； 故选：ACD. 23．（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．关于的方程有个不同的解 C．在上单调递减 D．当时，恒成立. 【答案】ACD 【解析】选项A：.判断正确； 选项B： 画出部分图像如下： 当时，由，可得或 由，可得或；由，可得 即当时，由可得3个不同的解，不是5个. 判断错误； 选项C：当时，， 若即，则 则，为减函数； 当时， 若即，则 则，为减函数； 当时， 若即，则 则，为减函数； 综上，在上单调递减. 判断正确； 选项D：当时，可化为， 同一坐标系内做出与的图像如下： 等价于 即，而恒成立. 判断正确. 故选：ACD 24．（多选题）已知定义在上的函数，下列结论正确的为（    ） A．函数的值域为 B．当时，函数所有输出值中的最大值为4 C．函数在上单调递减 D． 【答案】ABD 【解析】当时，，所以，，当时，，故，，以此类推，我们作出函数的图象，如图，可以总结出在上单调递增，在上单调递减，且在上，当处取得最大值，， 函数的值域为，A正确； 当时，函数所有输出值中的最大值为4，B正确； 函数在上单调递增，在单调递减，故C错误； 因为，所以经过点与，设直线：，从而得到，解得：，所以当时，，D正确. 故选：ABD 25．（多选题）已知偶函数的定义域为，且，则以下结论正确的是（    ） A．是周期函数 B．任意， C． D．若在恒成立，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】是上的偶函数，， 时，. 时，，. 所以时，. 当时，， . 所以在区间上的最大值为，最小值为. 当时，， 所以不是周期函数，A选项错误. 是上的偶函数，且时，， 所以，B选项正确. ,C选项正确. 时，， 时，， ，，， ……以此类推. 依题意在恒成立，则的最小值在区间， 时，， 当时，， 所以当时，，， 当时，，， 画出在区间的图象如下图所示， 令，，所以的最小值为，D选项正确. 故选：BCD 26．（多选题）（2025·广东广州·二模）对于函数，则下列结论中正确的是（    ） A．任取，都有恒成立 B． C．对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 D．函数有且仅有个零点 【答案】BC 【解析】作出的大致图象如下图所示： A．取，所以， 所以，故错误； B．因为， 所以，故正确； C．显然不符合条件， 由图象可知：的最大值点为，， 所以若不等式恒成立，只需，即， 又因为，所以在上递减， 所以，所以，故正确； D．令，当时，，， 又，所以， 所以，所以在上有零点， 又因为，所以是的一个零点， 又因为，且时，，所以， 所以在上有零点，所以至少有三个零点，故错误； 故选：BC. 27．（多选题）（2025·高三·山东潍坊·期中）已知函数其中，下列关于函数的判断正确的为（    ） A．当时， B．当时，函数的值域 C．当且时， D．当时，不等式在上恒成立 【答案】AC 【解析】对于A选项，直接代入计算即可；对于B选项，由题得当时，，进而得当时，，故的值域；对于C选项，结合B选项得当且时，进而得解析式；对于D选项，取特殊值即可得答案.对于A选项，当时，，故A选项正确； 对于B选项，由于当，函数的值域为，所以当时，，由于，所以，因为，所以，所以当时，，综上，当时，函数的值域，故B选项错误； 对于C选项，由B 选项得当时，，故当且时，，故C选项正确； 对于D选项，取，，则，，不满足式，故D选项错误. 故选：AC. 28．已知函数，则 ；若在上恒成立，则整数的最小值为 ． 【答案】 / 【解析】因为，所以， 因为， 所以， 图象如图： 则， 当时，； 当时，或， 当时，， 所以时，恒成立，整数的最小值为． 故答案为：；. 29．已知函数，若函数的零点个数为2，则a的范围为 . 【答案】或 【解析】令， 当时，，； 当时，，， ； 当时，，， ； 当时，，， ； …… 作出函数的部分图象如下， 因为的零点个数为2，所以的图象与的图象的公共点个数为2， 由图可知，或. 故答案为：或. 30．已知函数，给出下列四个结论. ①若函数有4个零点，则实数k的取值范围为 ②关于x的方程有个不同的解 ③对于实数，不等式恒成立 ④当时，函数的图象与x轴围成的图形的面积为 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【解析】当时，； 当 时，； 当，则， ； 当，则， ； 当，则， ； 当，则，； 依次类推，作出函数的图像： 对于①，函数有4个零点，即与有4个交点， 如图，直线的斜率应该在直线m， l的斜率之间， 又，，，故①正确； 对于②，当时，有3个交点，与不符合，故②错误； 对于③，对于实数，不等式恒成立，即恒成立， 由图知函数的每一个上顶点都在曲线上，故恒成立，故③正确； 对于④，当时， 由图象可知：所求图象为高为的三角形， 所以函数的图像与x轴围成的图形的面积为，故④正确； 故答案为：①③④ 31．已知函数，则函数的零点个数是 . 【答案】112 【解析】作出的图象，如图， 令，考虑方程的根，由图象可知有16个根， 分别设为，由图象知， ， 再考虑，分别作出直线， 可知原函数共有零点个. 故答案为：112 32．（2025·内蒙古呼和浩特·一模）已知，若直线与有个交点，则 . 【答案】 【解析】当时，，即，， 当时，，所以可得函数周期为2， 画出函数图象，如图所示： 若直线与有个交点， 根据图象知，直线与第个半圆相切其圆心为 不妨设切点为，连接， 所以在中，， ，故， 所以. 故答案为：. 33．已知函数，若对任意的，都有恒成立，则实数t的最大值为 ． 【答案】 【解析】因为 所以当时，有，此时； 当时，有，此时； 当时，有，此时； 作出函数的部分图象，如图所示： 令，，解得：或. 结合图像可得. 故答案为： 34．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知函数的定义域为，且，函数在区间内的所有零点的和为16，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】函数的零点即为函数的图象与函数的图象的交点的横坐标， 因为， 先利用指数函数与对数函数的性质作出函数在区间上的图象， 又当时，， 即每过两个单位，将的图象向右平移个单位，同时将对应的坐标变为原来的两倍， 再作出函数的图象，如图所示： 由图象可得：，，，，， 则， 因为在区间内的所有零点的和为16， 所以，得，结合图象，可得实数a的取值范围是. 故答案为：. 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$