专题22 切线条数、公切线、切线重合与垂直问题（5大题型）-2025年新高考数学函数与导数压轴小题专题突破

专题22 切线条数、公切线、切线重合与垂直问题 【题型归纳】 题型一：公切线问题 题型二：切线条数问题 题型三：切线重合问题 题型四：切线平行问题 题型五：切线垂直问题 【方法技巧总结】 1、应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面： （1）已知切点求斜率，即求该点处的导数； （2）已知斜率求切点，即解方程； （3）已知切线过某点（不是切点）求切点，设出切点利用求解． 【典型例题】 题型一：公切线问题 【例1】若直线同时是曲线和曲线的切线，则斜率的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式1-1】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知直线是函数图象的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型二：切线条数问题 【例2】已知函数是奇函数，过点作函数的图象的切线，若，则直线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2-1】已知函数，若过可做两条直线与函数的图象相切，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·全国·模拟预测）已知过点的直线与函数的图象有三个交点，则该直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型三：切线重合问题 【例3】（多选题）（2025·辽宁本溪·模拟预测）若函数在其图象上两个不同点处的切线完全重合，则称直线为曲线的“自公切线”，为“自公切线函数”，则（    ） A．函数是“自公切线函数” B．函数.是“自公切线函数” C．曲线.的“自公切线”方程为y=1 D．曲线的“自公切线”方程为 【变式3-1】（2025·高三·吉林白城·期中）已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线重合，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知函数的图象上存在不同的两点、，使得曲线在这两点处的切线重合，则点的横坐标的取值范围可能是（    ） A．， B． C．， D． 题型四：切线平行问题 【例4】（2025·江西新余·模拟预测）已知函数，若对于，总使的图像上与处的切线平行，则的取值范围是：（   ）． A． B． C． D． 【变式4-1】已知函数，曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线平行，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（多选题）（2025·山西·一模）已知函数，过点作平行于轴的直线交曲线于点，曲线在点处的切线交轴于点.则（   ） A．当时，切线的方程为 B．当时，的面积为 C．点的坐标为 D．面积的最小值为 题型五：切线垂直问题 【例5】已知函数，若的图象上存在两点，，使得的图象在，处的切线互相垂直，且过点只能作1条切线与的图象相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·山东·模拟预测）已知函数，曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线垂直，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】若曲线在与处的切线互相垂直，且交点在直线上，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【过关测试】 1．（2025·安徽合肥·模拟预测）过且倾斜角为的直线与曲线交于，两点，分别过，作曲线的两条切线，，若，，交于，直线的倾斜角为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·宁夏石嘴山·三模）已知函数，若曲线与有两条公切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏盐城·三模）过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·河南·模拟预测）与曲线和圆都相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 5．已知抛物线，过点作的两条切线，切点分别为，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为（   ） A．8 B．9 C．32 D．36 7．（2025·江苏徐州·模拟预测）若曲线与，恰有2条公切线，则（   ） A． B． C． D． 8．（2025·高三·云南昆明·期中）已知函数和两点，，设曲线过原点的切线为，且，则所在的大致区间为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·海南·模拟预测）若函数与的图象有且只有一条公切线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 10．已知函数，，若曲线，存在公切线，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 11．（2025·福建泉州·模拟预测）若曲线与恰有两条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．（2025·广东茂名·一模）曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（2025·浙江金华·三模）若存在直线与曲线，都相切，则a的范围为（    ） A． B． C． D． 14．（2025·全国·模拟预测）已知函数，若直线是曲线与曲线的公切线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 15．（2025·四川眉山·三模）若关于的不等式恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 16．经过曲线与的公共点，且与曲线和的公切线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 17．（多选题）（2025·山东滨州·二模）已知直线与曲线相交于两点，曲线在点处的切线与在点处的切线相交于点，则（   ） A． B． C． D． 18．（多选题）（2025·湖北武汉·二模）已知曲线，为曲线C上任一点，则下列说法中正确的有（   ） A．曲线C与直线恰有四个公共点 B．曲线C与直线相切 C．是关于的函数 D．是关于的函数 19．（多选题）若存在点P，使得过点P可作曲线的两条切线，切点为A和B，且是锐角，则可能为（   ） A． B． C． D． 20．（2025·甘肃白银·三模）已知直线与曲线相切，则 ． 21．（2025·四川绵阳·三模）在坐标平面中，已知过点恰能作曲线的2条切线，则由所有点构成的集合为 . 22．（2025·河南·二模）已知函数，若，使得有三个零点，则a的取值范围为 ，在这三个零点处的切线斜率的倒数之和为 ． 23．（2025·安徽蚌埠·二模）柯西不等式（Cauchy-SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.已知，直线与曲线相切，则的最小值为 . 24．已知过点可作两条直线与曲线相切，则实数 ． 25．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 26．（2025·浙江·模拟预测）设函数，若曲线在点处的切线与抛物线有且仅有一个公共点，则的值为 . 27．（2025·江西景德镇·三模）若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则 ． 28．一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为 ． 29．（2025·广东江门·二模）若曲线与曲线存在公切线，则a的最大值 ． 30．（2025·高三·北京·期中）已知函数.给出下列四个结论： ①过点存在条直线与曲线相切； ②过点存在条直线与曲线相切； ③过点存在条直线与曲线相切； ④过点存在条直线与曲线相切时，的取值范围是. 其中，正确结论的序号是 . 31．（2025·高三·广西·期中）已知函数，过点可作2条与曲线相切的直线，则实数的取值范围是 . 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题22 切线条数、公切线、切线重合与垂直问题 【题型归纳】 题型一：公切线问题 题型二：切线条数问题 题型三：切线重合问题 题型四：切线平行问题 题型五：切线垂直问题 【方法技巧总结】 1、应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面： （1）已知切点求斜率，即求该点处的导数； （2）已知斜率求切点，即解方程； （3）已知切线过某点（不是切点）求切点，设出切点利用求解． 【典型例题】 题型一：公切线问题 【例1】若直线同时是曲线和曲线的切线，则斜率的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】设直线与曲线、曲线相切的切点分别为， 求导得，，则，且， 由，两边取对数整理得：，代入，可得， 令，求导得， 则当时，，当，， 故函数在上单调递减，在上单调递增，， 所以斜率的最小值为. 故选：C 【变式1-1】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，设直线与曲线的切点为， 与曲线的切点为， 而的导数为，的导数为， 所以两曲线的切线分别为， 两条切线对应相同，可得，解得， 所以切线方程为，即， 则. 故选：C. 【变式1-2】已知直线是函数图象的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设切点为． 因为，所以， 则，即. 设，则， 由，得，则在上单调递增， 由，得，则在上单调递减， 故，即. 故选：A 题型二：切线条数问题 【例2】已知函数是奇函数，过点作函数的图象的切线，若，则直线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】因为函数为奇函数，且定义域为，所以对任意，恒有. 即， 所以， 所以. 因为，所以. 设，则. 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以的最小值为. 即恒成立，所以在上单调递增. 又，，所以在处的切线方程为. 点在直线上， 故上只有点满足. 又因为，所以，故点一定不在上，且一定为过的一条切线. 设切点为，，，则切线的斜率为， 故切线方程为：， 因为点在切线上，所以， 整理得：. 由，且，可得恒成立. 故，， 令，， 则， 令，则在上恒成立， 故在，上单调递增， 又，所以当时，；当时，. 又当时，；当时，， 故恒成立，所以，在，上单调递增. 再设，则， 当时，，所以在上单调递增，；所以当时，； 当时，，所以在上单调递增，所以； 所以当时，. 故，只有1个根. 即除外，过点作的切线有且只有1条. 所以点作的切线共有2条. 故选：C 【变式2-1】已知函数，若过可做两条直线与函数的图象相切，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设过点的直线与函数的图象相切时的切点为，则， 因为， 所以切线方程为，又在切线上， 所以，整理得， 则过点的直线与函数的图象相切的切线条数即为直线与 曲线的图象的公共点的个数， 因为，令，得， 所以，当时，单调递减； 当时，单调递增；当时，单调递减， 因为，当时，所以，函数的图象大致如图： 所以当时，图像有两个交点，切线有两条. 故选：B. 【变式2-2】（2025·全国·模拟预测）已知过点的直线与函数的图象有三个交点，则该直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】问题转化为方程有三个不等的实数根． 方法一：分离参数 因为，所以方程 有三个不等的实根等价于方程有两个不等的实根． 令， 则． 令，则，即单调递增． 又，所以当时，单调递减，且； 当时，单调递增， 且． 又因为当时，；当时，；当时，， 所以实数k的取值范围是． 故选：C． 方法二：分离函数 令，则，所以． 令，则，解得， 令，得；令，得； 所以在上单调递减，在上单调递增，有极小值； 而且， 所以方程有一解． ①当时，过一、三象限，两图象有两个交点，不合题意； ②当时，过原点O作的切线， 设切点，则， 所以． 又，得， 所以， 所以． 故选：C． 题型三：切线重合问题 【例3】（多选题）（2025·辽宁本溪·模拟预测）若函数在其图象上两个不同点处的切线完全重合，则称直线为曲线的“自公切线”，为“自公切线函数”，则（    ） A．函数是“自公切线函数” B．函数.是“自公切线函数” C．曲线.的“自公切线”方程为y=1 D．曲线的“自公切线”方程为 【答案】BCD 【解析】对于A，若为“自公切线函数”，则在某区间内不单调， 由，得，因在上单调递增， 故不是“自公切线函数”，故A错误； 对于B，因为，所以， 当时，， 则在点处的切线方程为，即， 所以是“自公切线函数”，故B正确； 对于C，当时，，则， 当时，，则，所以，， 所以曲线在点和点处的切线方程均为， 即曲线的“自公切线”方程为，故C正确； 对于D，因为，所以， 则，所以为上的偶函数， 令，则，当时，，当时，， 所以即在上单调递减，在上单调递增， 所以必存在，且，使得，且， 不妨设两切点分别为， 因为，则，所以为奇函数， 又，所以切点关于原点对称，且切线的斜率， 又，，所以， 整理得，解得或，取，则， 故曲线的“自公切线”方程为，故D正确. 故选：BCD. 【变式3-1】（2025·高三·吉林白城·期中）已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线重合，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，的导数为， 当时，的导数为， 设，为该函数图象上的两点，且， 当，或时，，故， 当时，函数在点处的切线方程为； 当时，函数在点处的切线方程为． 两直线重合的充要条件是①，②， 由①及，得， 由①②，令，则， 且，记， 则其导数为，易知在恒成立， 则函数在为减函数， ∴，. ∴实数a的取值范围是． 故选：B． 【变式3-2】已知函数的图象上存在不同的两点、，使得曲线在这两点处的切线重合，则点的横坐标的取值范围可能是（    ） A．， B． C．， D． 【答案】A 【解析】解法一： 当时，的导数为； 当时，的导数为， 设，为该函数图象上的两点，且， 当，或时，，故， 当时，函数在点处的切线方程为；当时，函数在点处的切线方程为． 两直线重合的充要条件是①，②， 由得，由①②可得， 设，由，，可得，可能； 由，B不正确； 由①可得，由②可得，即有，则C，D不正确． 解法二： 如图，易知曲线位于分段的两个区间，且两段属于一凹一凸模型，故可以类比两圆相离时的内公切线，两区间一定属于同一单调区间，时，属于单调增区间，故当时，的单调增区间为，根据图像，可以位于此区间，另一个点B所在区间，不好把握. 故选：A． 题型四：切线平行问题 【例4】（2025·江西新余·模拟预测）已知函数，若对于，总使的图像上与处的切线平行，则的取值范围是：（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，， 令，，当时，，单调递增； 当，，单调递减，故， 由题意，使， 因为时，单调递增，所以只需， 故选：B． 【变式4-1】已知函数，曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线平行，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 令，得， 设，则， 时，；时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， ，当， 由题意，有两个不同的解， 即与的图像有两个不同的交点， ，解得，所以实数的取值范围是. 故选：D 【变式4-2】（多选题）（2025·山西·一模）已知函数，过点作平行于轴的直线交曲线于点，曲线在点处的切线交轴于点.则（   ） A．当时，切线的方程为 B．当时，的面积为 C．点的坐标为 D．面积的最小值为 【答案】BCD 【解析】由已知得，， 过点的切线方程为，当时，， 则，故正确； 当时，，则， 以为切点的切线方程为，即，故错误； 此时，的面积，故正确； 因为，，， 所以，，所以， 令，所以， 令，即，解得， 当时，，所以函数在内单调递减， 当时，，所以函数在内单调递增， 所以当时，函数有最小值，最小值为，故正确. 故选：. 题型五：切线垂直问题 【例5】已知函数，若的图象上存在两点，，使得的图象在，处的切线互相垂直，且过点只能作1条切线与的图象相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，，因为，所以， 由题有有解， 又，所以，即， 设过点的直线与相切于点， 则有，整理得到， 令，则， 由，得到或，由，得到， 即的单调递增区间为，，递减区间为， 又当时，，当时，， 当时，，当时，， 的图象如图，又过点只能作1条切线与的图象相切， 所以或，又，所以或， 故选：C. 【变式5-1】（2025·山东·模拟预测）已知函数，曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线垂直，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以. 令，整理得，由题意得此方程有两个不同的解； 设，则函数的图象与直线有两个交点； 易知， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，其图象如下图所示： 又当时，，当时，， 当趋近于时，趋近于0，所以，解得， 即实数的取值范围是， 故选：A. 【变式5-2】若曲线在与处的切线互相垂直，且交点在直线上，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因，故,易知切线的斜率存在． 因曲线在与处的切线互相垂直， 则．因, 不妨设，， 则，， 此时,． 如图，设，，， 则是以为直角顶点的等腰直角三角形（切线的斜率为1，切线的斜率为）． 由图知，， 易得． 取，得．经检验,当时,无法使的值取到,和. 故选:C． 【过关测试】 1．（2025·安徽合肥·模拟预测）过且倾斜角为的直线与曲线交于，两点，分别过，作曲线的两条切线，，若，，交于，直线的倾斜角为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，设，，， 由于曲线，则， 所以在点的切线方程为， 同理在点的切线方程为， 由于点是两切线的交点，所以， 则为，且过， 且，设，， ， 当且仅当时“”成立， 故选：C. 2．（2025·宁夏石嘴山·三模）已知函数，若曲线与有两条公切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设公切线与曲线、曲线相切的切点分别为， 而，依题意，，则，因，则， 消去得，令函数， 由曲线与有两条公切线，得函数有两个不同的正零点， ，当时，；当时，， 函数在上递减，在上递增，， 而当从大于0的方向趋近于0时，，当时，， 则当且仅当，即时，函数有两个不同零点， 所以的取值范围是. 故选：C 3．（2025·江苏盐城·三模）过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 设过点的切线切曲线于点， 则切线方程为，又其过点， 所以，所以根据题意可得该关于的方程有3解， 即方程有3解， 所以与有3个交点， 设，则， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以的极小值为，的极大值为， 且时，；时，， 所以要使与有3个交点，则需． 故选：A 4．（2025·河南·模拟预测）与曲线和圆都相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【解析】设直线与曲线相切于点， 则的方程为，即． 圆C：，因为与圆相切，所以， 所以， 令，则， 令，得或， 进一步得到在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又当时，，所以在区间上分别有1个零点， 所以这样的切线有3条． 故选：C. 5．已知抛物线，过点作的两条切线，切点分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得切线斜率存在，设过点的的切线方程为， 即，与联立，消去得， 故，即， 设，为的两个根，由韦达定理得，， 设直线，的斜率分别为，，，， 因为，所以，则，故，， 则，，得到，， ，由两点间距离公式得， ， ， ， ，故B正确. 故选：B. 6．已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为（   ） A．8 B．9 C．32 D．36 【答案】D 【解析】由函数，若对任意的，不等式恒成立， 作出两个二次函数图象和动直线， 利用数形结合分析： 二次函数与直线交于点，与直线交于点， 二次函数与直线交于点，与直线交于点， 要使得取得最大值，则斜率取最小，轴截距取最大， 此时直线过点A作函数的切线，不妨设切点为， 则求导可得，所以过切点的切线方程为：， 当切线过点时，有，解得或， 因为，所以此时满足题意，故切线方程为：， 此时，故， 故选：D. 7．（2025·江苏徐州·模拟预测）若曲线与，恰有2条公切线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设在曲线上的切点为， 由，可得过点的切线斜率为， 此时切线方程为，即， 设切线与曲线相交于点，， 则， 消去，可得， 依题意，直线与函数的图象有两个不同的交点， 令， 解得或， 令，解得， 则函数在，上单调递增，在上单调递减， 故，且恒成立，当且仅当时等号成立，当时，， 要使直线与函数的图象有两个不同的交点， 则需，解得． 故选：B． 8．（2025·高三·云南昆明·期中）已知函数和两点，，设曲线过原点的切线为，且，则所在的大致区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知：的定义域为，且， 设切点坐标为，则切线的斜率， 则切线的方程为， 若切线过原点，则，解得， 可在切线的， 若，且直线的斜率， 则，即，整理可得， 构建，则， 可知为的非零零点， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则分别在、内至多一个零点 且， 又因为，所以所在的大致区间为. 故选：C. 9．（2025·海南·模拟预测）若函数与的图象有且只有一条公切线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【解析】设公切线与函数,的图象分别切于点， 因为，所以， 所以公切线方程为， 即， 因为，所以， 所以公切线方程为， 即， 因为函数与的图象有且只有一条公切线， 所以，由 得, 代入， 则， 整理得， 令，则， 当时，，则函数单调递增， 当时，，则函数单调递减， 所以时，， 则当时， 函数与的图象有且只有一条公切线， 即，解得. 故选：B. 10．已知函数，，若曲线，存在公切线，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，，不符合题意； 设的图像与公切线的切点为，， 由，则切线斜率， 切线方程为，即， 又切线与， 联立， 可得， 即， 可得， 设，， ，， 又函数在上单调递减，且， 即有当时，，即，单调递增； 当时，，即，单调递减； 所以， 即，的最大值为， 故选：A. 11．（2025·福建泉州·模拟预测）若曲线与恰有两条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设曲线切点为，的切点为， 则曲线在点处的切线方程为，即， 同理，在点处的切线方程为， 根据与有两条公切线， 则，所以，化简可得 具有两个交点， 转化为有两个解，构造函数，则， 当，，单调递增；当，，单调递减， 故在时有极大值即为最大值，故， 当时，，当时，， 故的取值范围为， 故选：A 12．（2025·广东茂名·一模）曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】两个函数求导分别为， 设，图象上的切点分别为，， 则过这两点处的切线方程分别为，， 则，，所以， 设，，， 令，所以， 所以在上单调递增，且， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以，. 故选：B. 13．（2025·浙江金华·三模）若存在直线与曲线，都相切，则a的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设直线与相切于点，因为， 所以切线方程，即， 设直线与相切于点， 因为，所以切线方程，即， ， 所以有解， 令，， 所以函数在，上单调递减，在，上单调递增， 因为，，所以，所以， 的范围为. 故选：A. 14．（2025·全国·模拟预测）已知函数，若直线是曲线与曲线的公切线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设与曲线相切于点，与相切于点， 由，可得的斜率，所以①， 又由，可得，所以，即②， 又因为③， 将②③代入①中，可得，由③易知，,则④， 将④代入③，可得，则， 令，则，当时，单调递减； 当时，单调递增．所以，当且仅当时取等号， 故，可得，所以， 所以的方程为，即． 故选：B． 15．（2025·四川眉山·三模）若关于的不等式恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，，不等式化为， 设，则， 当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以在处取得极大值，也即最大值，又时，， 由题知不等式恒成立，所以的图象恒在的图象 的上方，显然不符题意；当时，为直线的横截距， 其最大值为的横截距，再令，可得，且当直线与 在点处相切时，横截距取得最大值， 此时，切线方程为，所以取得最大值为. 故选：C. 16．经过曲线与的公共点，且与曲线和的公切线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，消去整理得， 令，则，所以在上单调递增， 又， 所以方程组的解为， 即曲线与的公共点的坐标为， 设与和分别相切于，， 而，， ，， ，解得， ，即公切线的斜率为， 故与垂直的直线的斜率为， 所以所求直线方程为，整理得． 故选：B． 17．（多选题）（2025·山东滨州·二模）已知直线与曲线相交于两点，曲线在点处的切线与在点处的切线相交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A，令，则， 故时，，单调递增； 时，，单调递减， 所以，且时， 因为直线与曲线相交于两点， 所以与图象有2个交点，如图： 所以，故A正确； 对于B，，不妨设，可得， 在点处的切线程分别为， 则得， 即， 因为，所以，即是变化的，故B错误； 对于C，因为，所以， 因为为两切线的交点， 所以，即 ，所以， 所以 ， 所以，故C正确； 对于D，因为，所以， 又因为，， 所以， ， 所以， 得，即， 因为①，所以， 所以，故D正确. 其中不等式①的证明如下：不妨令， 由得，即，令， 则即证， 构造函数，， 所以在上单调递减，所以， 所以不等式成立，即①成立. 故选：ACD 18．（多选题）（2025·湖北武汉·二模）已知曲线，为曲线C上任一点，则下列说法中正确的有（   ） A．曲线C与直线恰有四个公共点 B．曲线C与直线相切 C．是关于的函数 D．是关于的函数 【答案】BD 【解析】对于A，由消元法可得，所以， 当或时，或，故此时无解， 下面考虑上方程的解的个数， 设，其中， 设且，则的解为，， 而， 故当或时，，当时，， 故在，上为减函数，在上为增函数， 而，且， ，而，故， 故，， 故在有3个不同的实数根，故A错误； 对于B，由可得，故， 对两边求关于的导数， 则， 故当时，有， 当， ，而直线的斜率为2， 故曲线与直线相切，故B正确. 对于C，取，考虑即方程的解的个数， 设，则， ， ，， 故至少有两个零点，故有两个不同的解， 故不是关于的函数，故C错误； 对于D，，则， 故为的减函数，且当时，，当时，， 故对任意，方程即有唯一解， 故是关于的函数，故D正确； 故选：BD. 19．（多选题）若存在点P，使得过点P可作曲线的两条切线，切点为A和B，且是锐角，则可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】若过点可作曲线的两条切线， 设切点，不妨设， 则函数在处的切线方程为， 在处的切线方程为，则两切线交点为， 所以有，且， 即，， 由，， 则可得 . A项，，则， 所以， 由函数有两条渐近线，轴与直线， 两渐近线夹角为，如图1可知，，又不共线， 则可能为锐角. 例如：当时， 此时，不共线， 则为锐角，故A正确； B项，，则， 所以， 如图可知，，则， 故，又不共线，所以恒为钝角，故B错误； C项，，则， 所以，其中， 若，且，则， 如图所示，不共线，可以取到锐角，故C正确； D项，，则， 故，， 故曲线在处的切线为，在处的切线为， 此时两切线夹角为. ， 结合图可知，，则， 故，所以，故D错误； 故选：AC. 20．（2025·甘肃白银·三模）已知直线与曲线相切，则 ． 【答案】 【解析】直线变形为， 所以直线恒过点，设切点为， 因为，所以，故切线方程为． 因为切线恒过点，所以， 解得，所以切线方程为， 即，得，所以． 故答案为：． 21．（2025·四川绵阳·三模）在坐标平面中，已知过点恰能作曲线的2条切线，则由所有点构成的集合为 . 【答案】 【解析】由，，则， 设切点为，则， 则， 因为过点恰能作曲线的2条切线， 所以方程有2个解， 则函数，与函数有2个交点， 由， 当时，，， 因为，所以函数为偶函数， 当时，单调递增， 且时，，时，， 画出函数的大致图象， 此时满足函数，与函数有2个交点； 若，令，得或；令，得， 则函数在和上单调递增，在上单调递减， 且，画出函数的大致图象， 要使函数，与函数有2个交点， 则； 若，令，得；令，得或， 则函数在和上单调递减，在上单调递增， 且，画出函数的大致图象， 要使函数，与函数有2个交点， 则. 综上所述，所有点构成的集合为. 故答案为：. 22．（2025·河南·二模）已知函数，若，使得有三个零点，则a的取值范围为 ，在这三个零点处的切线斜率的倒数之和为 ． 【答案】 0 【解析】因为有三个零点，且， 所以有两个不相等的实数根， 所以，解得， 故a的取值范围为． 由题得， 所以， 同理，， 故 ． 故答案为：，0． 23．（2025·安徽蚌埠·二模）柯西不等式（Cauchy-SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.已知，直线与曲线相切，则的最小值为 . 【答案】10 【解析】由，所以，设切点为，则，故， 又，所以，所以， 所以， 当且仅当， 即时等号成立，所以的最小值为10. 故答案为：10 24．已知过点可作两条直线与曲线相切，则实数 ． 【答案】1或 【解析】设切点，由，则点处的切线方程为． 将点代入上式，得，即． 设，则． 令，解得或1． 当或时，，单调递减；当时，，单调递增. 所以当时，取极小值；当时，取极大值． 所以当过点可作两条直线与曲线相切时，或． 故答案为：1或 25．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 【答案】2 【解析】设上点处的切线和在点处的切线相同， ，， 故，故， 上点处的切线方程为， 显然在切线上，故， 即，即， 解得， 故. 故答案为：2 26．（2025·浙江·模拟预测）设函数，若曲线在点处的切线与抛物线有且仅有一个公共点，则的值为 . 【答案】1 【解析】由题设，则，且， 所以曲线在点处的切线为， 联立抛物线，得，则， 由切线与抛物线有一个公共点，则， 所以且，则， 令，则，即， 若且，则， 若，则在上恒成立， 所以在上单调递增，且， 在上，单调递减，在上，单调递增，且， 综上，. 故答案为：1 27．（2025·江西景德镇·三模）若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则 ． 【答案】 【解析】，∴曲线在点处的切线斜率， ∴切线方程为， 或， ，即， ，易知，， . 故答案为：. 28．一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为 ． 【答案】-2 【解析】因为，，所以，， 则在点处的切线方程为，即； 在点处的切线方程为：，即， 由已知，由得，故， 故，解得， 所以，因此． 故答案为：． 29．（2025·广东江门·二模）若曲线与曲线存在公切线，则a的最大值 ． 【答案】 【解析】设公切线与曲线切与点，与曲线切与点， 由，得；由得. 则， 所以，所以，即. 设，则. 由；由. 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 所以函数. 即的最大值为. 故答案为： 30．（2025·高三·北京·期中）已知函数.给出下列四个结论： ①过点存在条直线与曲线相切； ②过点存在条直线与曲线相切； ③过点存在条直线与曲线相切； ④过点存在条直线与曲线相切时，的取值范围是. 其中，正确结论的序号是 . 【答案】①②③ 【解析】对于④，设过点的直线与曲线相切于点， 对于函数，则， 则，且切线斜率为， 所以切线方程为， 因此，整理得：， 设，则“过点存在条直线与曲线相切” 等价于“有个不同零点”， ，列表如下： 要使得函数有三个零点，则，解得，故④错； 设切点坐标为，则切线方程为， 对于①，则有，即，该方程只有一解， 所以，过点存在条直线与曲线相切，①对； 对于②，则有， 整理得，即，解得或， 所以，过点存在条直线与曲线相切，②对； 对于③，则有， 即， 令，则，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，过点存在条直线与曲线相切，③对. 故答案为：①②③. 31．（2025·高三·广西·期中）已知函数，过点可作2条与曲线相切的直线，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】，设切点为， 则切线方程为， 将点代入切线方程得，，化简得， 设，则， 令，解得，令，解得或， 在，上单调递减，在上单调递增，且， 作出函数的大致图象如下图所示， 由图象可知，要使直线与的图象有两个交点，则， 故答案为：． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$