专题21 三次函数问题（7大题型）-2025年新高考数学函数与导数压轴小题专题突破

专题21 三次函数问题 【题型归纳】 题型一：定义域与值域问题 题型二：零点问题 题型三：对称问题 题型四：根与系数的关系 题型五：等极值线问题 题型六：图像问题 题型七：切线条数问题 【方法技巧总结】 1、基本性质 设三次函数为：(、、、且)，其基本性质有： 性质1：①定义域为．②值域为，函数在整个定义域上没有最大值、最小值．③单调性和图像： 图像 性质2：三次方程的实根个数 由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来解决，故以三次函数为例来研究根的情况，设三次函数 其导函数为二次函数:， 判别式为：△=，设的两根为、，结合函数草图易得： (1) 若，则恰有一个实根； (2) 若,且，则恰有一个实根； (3) 若,且，则有两个不相等的实根； (4) 若,且，则有三个不相等的实根. 说明:(1)(2)含有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，即在R上为单调函数（或两极值同号），所以（或，且）; (5)有两个相异实根的充要条件是曲线与轴有两个公共点且其中之一为切点，所以，且; (6)有三个不相等的实根的充要条件是曲线与轴有三个公共点，即有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以且. 性质3：对称性 （1）三次函数是中心对称曲线，且对称中心是；； （2）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2、常用技巧 （1）其导函数为 对称轴为，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴，可见，图象的对称中心在导函数的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点； （2）是可导函数，若的图象关于点对称，则图象关于直线 对称. （3）若图象关于直线对称，则图象关于点对称. （4）已知三次函数的对称中心横坐标为，若存在两个极值点，，则有. 【典型例题】 题型一：定义域与值域问题 【例1】已知三次函数的定义域和值域都为，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【变式1-1】对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，若函数的极大值与极小值之和为，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知三次函数的定义域和值域都为，则（   ） A． B．0 C．1 D． 题型二：零点问题 【例2】已知三次函数有三个零点，，，且在点处切线的斜率为，则 . 【变式2-1】已知三次函数有两个零点，若方程有四个实数根，则实数a的范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知，，，若三次函数有三个零点，，，且满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（多选题）已知三次函数有三个不同的零点，函数也有三个零点，则（    ） A． B．若成等差数列，则 C． D． 题型三：对称问题 【例3】对于三次函数给出定义: 设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面探究结果，计算（    ） A．1010 B．2020 C．2023 D．2024 【变式3-1】已知任意三次函数的图象必存在唯一的对称中心，若函数，且为曲线的对称中心，则必有其中函数若实数，满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．设，数列的通项公式为，则（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 题型四：根与系数的关系 【例4】（2025·江苏盐城·三模）韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如：设一元三次方程的3个实数根为，，，则，，.已知函数，直线与的图象相切于点，且交的图象于另一点，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知函数有两个零点，，则可设，由可知，，这就是一元二次方程根与系数的关系，也称韦达定理．多项式运算可以更好地理解“韦达定理”，类似地，若为方程的3个实数根，设，则为的系数，为的系数，为常数项，于是有，，实际上任意实系数次方程都有类似结论．设方程的四个实数根为，则 ， ． 【变式4-2】一元二次方程的两个根分别为，，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：，，设一元三次方程的三个非零实数根分别为，，，以下命题：①；②；③；④.正确命题的序号是 . 题型五：等极值线问题 【例5】（多选题）对于一元三次函数图象上任一点，若在点处的切线与的图象交于另一点，则称为的“伴随割点”，关于“伴随割点”，下列说法正确的有（    ） A．函数图象上所有点都有“伴随割点” B．若点的“伴随割点”为点，则 C．若的图象上存在一点与其“伴随割点”关于原点对称，则 D．若的图象与轴的交点分别为，，，它们的“伴随割点”存在且分别为，，，则，，三点共线 题型六：图像问题 【例6】（2025·贵州黔南·一模）三次函数的图象如图所示.下列说法正确的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式6-1】下列在同一坐标系中的图象，可以作出三次函数及其导函数的图象为（ ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知三次函数的图象如图，则不正确的是（   ） A． B． C．的解集为 D．若，则 题型七：切线条数问题 【例7】下列关于三次函数叙述正确的是（    ） ①函数的图象一定是中心对称图形； ②函数可能只有一个极值点； ③当时，在处的切线与函数的图象有且仅有两个交点； ④当时，则过点的切线可能有一条或者三条． A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【变式7-1】（2025·江西新余·模拟预测）过轴上一点可以作函数图像的3条切线，则的取值范围是：（    ）. A． B． C． D． 【变式7-2】（2025·高三·江苏泰州·期中）已知函数，其中实数，则下列结论错误的是（    ） A．必有两个极值点 B．有且仅有3个零点时，的范围是 C．当时，点是曲线的对称中心 D．当时，过点可以作曲线的3条切线 【变式7-3】过点可作3条直线与函数的图象相切，则（    ） A． B． C． D． 【过关测试】 1．已知三次函数的零点从小到大依次为m，0，2，其图象在处的切线l经过点，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·全国·模拟预测）对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，若，请你根据这一发现计算：（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 3．（2025·全国·模拟预测）已知三次函数的极小值点为，极大值点为，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（2025·高三·广东东莞·期末）如图，某公园需要修建一段围绕绿地的弯曲绿道（图中虚线）与两条直道（图中实线）平滑连续（相切），已知环绕绿地的弯曲绿道为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 5．给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称，为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心．若函数，则（    ） A．8082 B． C．8084 D． 6．已知三次函数，且，，，则（    ） A．2023 B．2027 C．2031 D．2035 7．已知三次函数的导函数为，若方程有四个实数根，则实数a的范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知三次函数在上单调递增，则最小值为（    ） A． B． C． D． 9．三次函数的图象在点处的切线与轴平行，则在区间上的最小值是（    ） A． B． C． D． 10．若过点可作3条直线与曲线相切，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（2025·江西九江·一模）已知函数（），点位于曲线的下方，且过点可以作3条直线与曲线相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（2025·广东汕头·二模）已知函数，若过点存在3条直线与曲线相切，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（多选题）（2025·广东东莞·模拟预测）三次函数叙述正确的是（   ） A．函数可能只有一个极值点 B．当时，函数的图象关于点中心对称 C．当时，过点的切线有一条 D．当时，在点处的切线与函数的图象有且仅有两个交点 14．（多选题）已知三次函数，则（    ） A．当时，函数为单调递增函数 B．当时，函数的图象关于对称 C．存在，使得函数图象关于直线对称 D．函数有三个零点的一个充分条件是 15．（多选题）已知三次函数，则（   ） A．函数一定有两个极值点 B．当时， C．当时，的极小值为0 D．在区间上的值域为 16．任意一个三次多项式函数的图象都有且仅有一个中心对称点为，其中是的根，是的导数.若函数图象的中心对称点为，存在，使得成立，则的取值范围为 . 17．已知三次函数，若，则 . 18．（2025·全国·模拟预测）已知三次函数有三个零点，则的值是 .（是的导函数） 19．设函数是的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数的图像都有对称中心，其中满足.已知三次函数，若，则 ；若，分别满足方程，则 . 20．设三次函数，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线重合，则 ． 21．若，关于的一元二次方程的两个根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：若，设关于的一元三次方程的三个非零实数根分别为，则 . 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21 三次函数问题 【题型归纳】 题型一：定义域与值域问题 题型二：零点问题 题型三：对称问题 题型四：根与系数的关系 题型五：等极值线问题 题型六：图像问题 题型七：切线条数问题 【方法技巧总结】 1、基本性质 设三次函数为：(、、、且)，其基本性质有： 性质1：①定义域为．②值域为，函数在整个定义域上没有最大值、最小值．③单调性和图像： 图像 性质2：三次方程的实根个数 由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来解决，故以三次函数为例来研究根的情况，设三次函数 其导函数为二次函数:， 判别式为：△=，设的两根为、，结合函数草图易得： (1) 若，则恰有一个实根； (2) 若,且，则恰有一个实根； (3) 若,且，则有两个不相等的实根； (4) 若,且，则有三个不相等的实根. 说明:(1)(2)含有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，即在R上为单调函数（或两极值同号），所以（或，且）; (5)有两个相异实根的充要条件是曲线与轴有两个公共点且其中之一为切点，所以，且; (6)有三个不相等的实根的充要条件是曲线与轴有三个公共点，即有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以且. 性质3：对称性 （1）三次函数是中心对称曲线，且对称中心是；； （2）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2、常用技巧 （1）其导函数为 对称轴为，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴，可见，图象的对称中心在导函数的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点； （2）是可导函数，若的图象关于点对称，则图象关于直线 对称. （3）若图象关于直线对称，则图象关于点对称. （4）已知三次函数的对称中心横坐标为，若存在两个极值点，，则有. 【典型例题】 题型一：定义域与值域问题 【例1】已知三次函数的定义域和值域都为，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【解析】由题意可知，且， 若，则，可知在内单调递减， 可得，不合题意； 故，则， 因为， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则在内的最小值为，解得， 此时在内的最大值为， 且，可得，即，解得. 故选：D. 【变式1-1】对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，若函数的极大值与极小值之和为，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，得，， 即函数的对称中心为， 函数存在极大值与极小值，设极值点为，， ，即或．， ， 当和时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. ，，故的值域为． 故选：D 【变式1-2】已知三次函数的定义域和值域都为，则（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【解析】因为， 三次函数的定义域和值域都为，所以，所以， 所以， 当时，不合题意； 当时，， 单调递减； 单调递增； 所以， 所以，即得. 故选：D. 题型二：零点问题 【例2】已知三次函数有三个零点，，，且在点处切线的斜率为，则 . 【答案】0 【解析】令，其中，，，互不相等. 则. . 故答案为：0. 【变式2-1】已知三次函数有两个零点，若方程有四个实数根，则实数a的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，则得或 三次函数有两个零点，且程有四个实数根， 所以只需或共有四个根即可， 所以或. 又方程有四个实数根，则或共有四个根. 在,上单调递增，在单调递减. 当时，，要满足条件，作出函数的大致图像.(如图①) 则，即，解得. 当，得，要满足条件，作出函数的大致图像.(如图②) 则，即，解得. 综上所述，当时，方程有四个实数根. 故选：C 【变式2-2】已知，，，若三次函数有三个零点，，，且满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵， ，即， 得，代入得， ∵， ，解得， 设三次函数的零点式为， 比较系数得，， 故 故选：D. 【变式2-3】（多选题）已知三次函数有三个不同的零点，函数也有三个零点，则（    ） A． B．若成等差数列，则 C． D． 【答案】ABD 【解析】由可得， 要使有三个不同的零点， 则有两个不相等的实数根，故， 即，A正确， 由于为二次函数，关于对称，因此 ， 故关于对称， 因此成等差数列，故是的对称中心，则，故B正确， 当时，作出的图象，则的图象与的图象交点如图所示， 由于，故，故C错误， 对于D，根据， 展开可得， 故， 同理可得的三个实数根为， 则， 故， 因此， 故， 即得，故D正确， 故选：ABD 题型三：对称问题 【例3】对于三次函数给出定义: 设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面探究结果，计算（    ） A．1010 B．2020 C．2023 D．2024 【答案】B 【解析】因为， 所以，， 令，即，解得， 又， 由题中给出的结论，可知函数的对称中心为， 所以， 即， 故， 所以. 故选：B 【变式3-1】已知任意三次函数的图象必存在唯一的对称中心，若函数，且为曲线的对称中心，则必有其中函数若实数，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则， 令 ， 解得， 又． 函数的图象关于点成中心对称． 因为， 所以， 又， 所以函数在上单调递增， 所以. 故选：A． 【变式3-2】设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．设，数列的通项公式为，则（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【解析】由，得 ， 由 可得：， 因为 所以的图象关于点对称， 所以， 因为， 所以， 所以，，， 所以， 故选：C 题型四：根与系数的关系 【例4】（2025·江苏盐城·三模）韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如：设一元三次方程的3个实数根为，，，则，，.已知函数，直线与的图象相切于点，且交的图象于另一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， ， 又直线过点， ， 化简得， 即， ， ， 故选：D 【变式4-1】已知函数有两个零点，，则可设，由可知，，这就是一元二次方程根与系数的关系，也称韦达定理．多项式运算可以更好地理解“韦达定理”，类似地，若为方程的3个实数根，设，则为的系数，为的系数，为常数项，于是有，，实际上任意实系数次方程都有类似结论．设方程的四个实数根为，则 ， ． 【答案】 【解析】设 ，， 由， 可得， 所以，即，，，，， 所以，， ，． 故答案为：； 【变式4-2】一元二次方程的两个根分别为，，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：，，设一元三次方程的三个非零实数根分别为，，，以下命题：①；②；③；④.正确命题的序号是 . 【答案】①②④ 【解析】设，再展开利用待定系数法求解.， ， 所以 所以，，正确； 错误. 故答案为：①②④ 题型五：等极值线问题 【例5】（多选题）对于一元三次函数图象上任一点，若在点处的切线与的图象交于另一点，则称为的“伴随割点”，关于“伴随割点”，下列说法正确的有（    ） A．函数图象上所有点都有“伴随割点” B．若点的“伴随割点”为点，则 C．若的图象上存在一点与其“伴随割点”关于原点对称，则 D．若的图象与轴的交点分别为，，，它们的“伴随割点”存在且分别为，，，则，，三点共线 【答案】BCD 【解析】对于A， ， 又 ， 所以， 故点是一元三次函数的对称中心， 设是曲线上任意一点， 则曲线在点处的切线斜率为， 则切线方程为， 即 与联立，消去得 ， 整理得一元三次方程， 则切线与曲线有唯一的公共点，等价于一元三次方程有三个相等实数根， 又等价于，所以点在曲线上， 且该点处的切线与的图象无其他交点，故A错误； 对于B，因为，故在处的切线为 ， 联立与切线方程并整理得， 由于“伴随割点”的横坐标， 因此，故B正确； 对于C，设点的“伴随割点”为点，且两者关于原点对称， 则，又根据B选项得， 于是， ，故C正确； 对于D，由于，，是的图象与轴的交点， 可设， 根据系数的对应关系知， 又由，，分别为，，的“伴随割点”， 结合选项B可知， ，三式相加得， 所以， 于是设 ， 则的图象为一条直线，又有， 即点均在的图象上，三点共线，故D正确. 故选：BCD. 题型六：图像问题 【例6】（2025·贵州黔南·一模）三次函数的图象如图所示.下列说法正确的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【解析】函数，求导得， 观察函数图象，得函数有异号两个极值点，且， 函数在上单调递增，在上单调递减，，排除A； 由，得则，，得，排除C； 由不等式的解集为，得，即，排除B； 又是方程的二根，，则，选项D符合题意. 故选：D 【变式6-1】下列在同一坐标系中的图象，可以作出三次函数及其导函数的图象为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，则，则的图象为抛物线， 对于A选项，如下图所示： 当或时，，则函数在区间、上均为减函数， 不合乎题意，A错； 对于B选项，由图可知，，，则函数在上为增函数， 不合乎题意，B错； 对于C选项，由图可知，，，则函数在上为增函数， 合乎题意，C对； 对于D选项，如下图所示： 当或时，，则函数在区间、上均为减函数， 不合乎题意，D错. 故选：C. 【变式6-2】已知三次函数的图象如图，则不正确的是（   ） A． B． C．的解集为 D．若，则 【答案】D 【解析】因为函数为三次函数，可设，. 由图可知：；. 所以设，. 所以，由，. 所以，， 又当时，. 对A: ,，因为，所以，故A正确； 对B：因为，而， 所以成立，故B正确； 对C：， 因为，所以或， 所以：不等式的解集为，故C正确； 对D：因为， 由， 所以，所以，所以，即.故D错误. 故选：D. 题型七：切线条数问题 【例7】下列关于三次函数叙述正确的是（    ） ①函数的图象一定是中心对称图形； ②函数可能只有一个极值点； ③当时，在处的切线与函数的图象有且仅有两个交点； ④当时，则过点的切线可能有一条或者三条． A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】A 【解析】根据对称中心的性质，导数与单调性，导数的几何意义求解后判断．①的对称轴为的轴对称图形，所以必定是中心对称图形，且对称中心为，所以①正确：（或者可用证明） ②由于函数的图象是中心对称图形，如果存在极大值，那么一定存在极小值，故②错误； ③设切点为，，斜率， 切线为，所以 ，化简得：，∴或者，所以当时，即时，切线与有唯一的交点，当时，切线与有两个不同的交点，所以③正确； ④过点的切线的切点不一定是，设切点为，则切线方程为，因为在切线上，所以，将，，代入化简可得：，∴或者，所以当时，即时，切线只有一条，当时，切线有两条，所以④错误； 故选：A 【变式7-1】（2025·江西新余·模拟预测）过轴上一点可以作函数图像的3条切线，则的取值范围是：（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 设切点为，则切线方程， 而过，将代入方程得到， 令，， 令，，此时单调递减， 令，，此时单调递增， 故有极小值，有极大值， 则得到，故A正确. 故选：A. 【变式7-2】（2025·高三·江苏泰州·期中）已知函数，其中实数，则下列结论错误的是（    ） A．必有两个极值点 B．有且仅有3个零点时，的范围是 C．当时，点是曲线的对称中心 D．当时，过点可以作曲线的3条切线 【答案】B 【解析】对于A，， 令，解得：或， 因为，所以令，得或， 令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值, 所以A正确； 对于B，要使有且仅有3个零点， 只需即，所以， 所以的范围是，故B不正确； 对于C，当时，， ， ，所以点是曲线的对称中心，所以C正确； 对于D，，设切点为， 所以在点处的切线方程为：， 又因为切线过点，所以， 解得：，令， 所以过点可以作曲线的切线条数转化为与图象的交点个数. , 令，解得：或， 因为，所以令，得或， 令，得， 则在上单调递增，在上单调递减， ，如下图所示， 当时，与图象有3个交点，即过点可以作曲线的3条切线，故正确， 故选：B 【变式7-3】过点可作3条直线与函数的图象相切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设过点的直线与函数的图象切于点， ，则函数在点处的切线斜率， 切线方程为， 由切线过点，所以有，整理得， 设，则问题转化为有3个零点， 因为，由得或， 若，恒成立，在上单调递增，不合题意. 当时，解得或，解得， 此时在和上单调递增，在上单调递减， 为函数极大值，为函数极小值； 当时，解得或，解得， 此时在和上单调递增，在上单调递减， 为函数极大值，为函数极小值； 有3个零点，则与异号， 即，所以， 得，所以. 故选：A 【过关测试】 1．已知三次函数的零点从小到大依次为m，0，2，其图象在处的切线l经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可设， 则， 可得， 即切点坐标为，切线斜率， 则切线方程为， 代入点得， 且，得，解得. 故选：B. 2．（2025·全国·模拟预测）对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，若，请你根据这一发现计算：（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【解析】由题意可知，所以，令，则， 所以，由题意可知函数的对称中心为， 所以，即， 所以， 所以 ， 所以. 故选：C 3．（2025·全国·模拟预测）已知三次函数的极小值点为，极大值点为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，得，关于x的一元二次方程的两根为b，2b， 又极小值点为，极大值点为，所以，即， 由韦达定理得到，所以，，得到． 故选：A． 4．（2025·高三·广东东莞·期末）如图，某公园需要修建一段围绕绿地的弯曲绿道（图中虚线）与两条直道（图中实线）平滑连续（相切），已知环绕绿地的弯曲绿道为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意设三次函数的解析式为，即， ， ∴，解得， ∴， 故选：A． 5．给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称，为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心．若函数，则（    ） A．8082 B． C．8084 D． 【答案】A 【解析】，令得，，即函数的图像的对称中心为，则， 故 故选：A 6．已知三次函数，且，，，则（    ） A．2023 B．2027 C．2031 D．2035 【答案】D 【解析】设，则，所以，所以，所以. 故选：D. 7．已知三次函数的导函数为，若方程有四个实数根，则实数a的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 由得或，又， 所以在上单调递增，在单调递减，在上单调递增， 的极大值为，的极小值为； 又有四个实数根，故方程，或方程共有四个实数根， 或或， 解得：. 故选：A 8．已知三次函数在上单调递增，则最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在上单调递增，恒成立， ，，，， ， 令，设， 则， ，，（当且仅当，即时取等号）， ，即的最小值为. 故选：. 9．三次函数的图象在点处的切线与轴平行，则在区间上的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，， 由题意得，解得，，，令，得或. 当时，；当时，. 所以，函数在区间上的最小值为. 故选：D. 10．若过点可作3条直线与曲线相切，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设过点P的直线与曲线相切于点，则=， 其中表示直线的斜率，即，整理，得. 过点P可作3条直线与曲线相切等价于方程有3个不同的实数根. 设，则.由，得或，易知和是的两个极值点. 方程有3个不同的实数根，即有3个不同的零点， 所以，即，解得. 故选:B． 11．（2025·江西九江·一模）已知函数（），点位于曲线的下方，且过点可以作3条直线与曲线相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，设切点为，则切线斜率为， 切线方程为，由于切线过点， ，整理得. 构造函数， 有三个不同的零点， ， 易知，，即， 即， 又因为点在曲线下方，，即， 解得， 故选：D. 12．（2025·广东汕头·二模）已知函数，若过点存在3条直线与曲线相切，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设切点， 因为， 则，， 所以切线方程为， 因为切线过点， 所以， 即， 令， 则， 令，得或， 当或时，，当时，， 所以当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值， 因为存在3条直线与曲线相切， 所以方程有三个不同根，则， 故选：D 13．（多选题）（2025·广东东莞·模拟预测）三次函数叙述正确的是（   ） A．函数可能只有一个极值点 B．当时，函数的图象关于点中心对称 C．当时，过点的切线有一条 D．当时，在点处的切线与函数的图象有且仅有两个交点 【答案】BCD 【解析】对于A选项：，令， 即， 当时，方程有两个不同根，有两个极值点； 当时，无极值点，故A错误； 对于B选项：当时，， 因为是奇函数，关于点对称， 所以函数的图象关于点中心对称，故B正确； 对于C选项：设切点，则切线方程为， 因为过点，所以， 即， 整理得，所以，或， 由于，则两根相等，即只有一个切点，即只有一条切线，故C正确； 对于D选项：在点处的切线为， 联立方程组，化简得， 所以，或，由于，则方程组有两组不同解， 即有两个不同交点，故D正确. 故选：BCD. 14．（多选题）已知三次函数，则（    ） A．当时，函数为单调递增函数 B．当时，函数的图象关于对称 C．存在，使得函数图象关于直线对称 D．函数有三个零点的一个充分条件是 【答案】BD 【解析】对于A，由于当时，有，但此时由可知并不单调递增，故A错误； 对于B，当时，有，故 . 所以. 这表明的图象关于对称，故B正确； 对于C，假设存在使得的图象关于对称，则恒成立. 此即. 整理得，即，此即. 故对任意实数均有. 从而对任意均有，但当时，该式显然不成立，矛盾. 所以不存在使得的图象关于对称，故C错误； 对于D，当时，直接计算可得，，，. 而，故根据零点存在定理，可知存在零点，且在和上分别有一个零点. 所以一定有三个零点，故D正确. 故选：BD. 15．（多选题）已知三次函数，则（   ） A．函数一定有两个极值点 B．当时， C．当时，的极小值为0 D．在区间上的值域为 【答案】BCD 【解析】对于A，当时，，该函数在上为增函数，无极值点，故A 错误； 对于B，， 而，故，故，所以， 故B正确； 对于C，， 若，则，此时当或时，， 当时，，故在处取极小值； 若，则，此时当或时，， 当时，，故在处取极小值； 故C正确； 对于D，当，时， 则当或时，，当时，， 故在为减函数，在上为增函数， 取，则， 考虑方程在上是否有解， 设，则， ， 由零点存在定理可得在上存在零点，设该零点为，则, 则在上的值域为， 故D成立， 故选：BCD. 16．任意一个三次多项式函数的图象都有且仅有一个中心对称点为，其中是的根，是的导数.若函数图象的中心对称点为，存在，使得成立，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】，，， 又的图象的对称中心点， 所以，解得，所以， 不等式为， 因为，所以， 令，则， 当时，，递减，时，，递增， 所以，所以， 从而，当且仅当，即时等号成立， 所以，所以的最小值是， 所以． 故答案为：． 17．已知三次函数，若，则 . 【答案】 【解析】由题意得，， 令，则， 令，解得，又， 故的对称中心为. 故当时，. 故答案为： 18．（2025·全国·模拟预测）已知三次函数有三个零点，则的值是 .（是的导函数） 【答案】0 【解析】依题意，设，其中互不相等， 则， 故，， ， 所以 . 故答案为：0. 19．设函数是的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数的图像都有对称中心，其中满足.已知三次函数，若，则 ；若，分别满足方程，则 . 【答案】 2 【解析】由题，，，由可得，的图像的对称中心为，即， ，所以和关于对称，故； 令，同理可求的对称中心，，，由可得，对称中心为，即， ，故， 由，故单调递增，即是一一对应的函数，故和关于对称，故， 故答案为：；2 20．设三次函数，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线重合，则 ． 【答案】 【解析】由题知：，∴， 在处的切线为，即， ∵，， ∴在处的切线方程为： 又因为两条切线重合，∴，∴， 又∵， ∴，∴解得 ∴，， ∴. 故答案为：. 21．若，关于的一元二次方程的两个根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：若，设关于的一元三次方程的三个非零实数根分别为，则 . 【答案】 【解析】由题意可得： ， 由待定系数法可得： 则， 所以， 故答案为：. 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$