精品解析：河南省安鹤新联盟2024-2025学年高二下学期5月联考数学试卷

2026届高二下学期5月联考数学试题卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 以为渐近线的双曲线可以是（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，则（ ） A. 1 B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 某实验室的6名成员分别参加物理、化学、生物学科的学术研讨会，要求每个学科都有人参会，每人只能选择一科参会，物理学科至少2人参会，则不同的参会方案共有（ ） A. 630种 B. 360种 C. 240种 D. 180种 6. 某次跳水比赛甲、乙、丙、丁、戊5名跳水运动员进入跳水比赛决赛，现采用抽签法决定决赛跳水顺序，在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运动员丙第一个出场”的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，函数，在上没有零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 记数列的前项和为，若，则的值不可能为（ ） A. 96 B. 98 C. 100 D. 102 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 测量重力加速度大小实验中所测g的值服从正态分布，则越大时，测得的g在间的概率越大 C. 某次考试中有三道题，小黄同学做对每道题的概率均为，则他做对的题数的期望为2 D. 已知某10个数据的平均值为7，方差为1.1，则加入一个数据7后方差变为1 10. 在三棱锥中，已知为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 长度的取值范围是 B. 直线与平面所成的角为 C. 若，则，所成的角为 D. 若，则三棱锥外接球的表面积为 11. 已知函数，则（ ） A. B. 对任意实数 C. D. 若直线与函数和的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知实数满足，且，则__________. 13. 在的二项展开式中，常数项为________．（用数字作答） 14. 已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点（在第一象限），以为直径的圆与抛物线的准线相切于点.若为坐标原点，则的面积为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 游泳是一种高效的锻炼方法，坚持游泳可以增强体质，提高免疫力．某游泳馆为了了解是否喜欢游泳与性别有关联，随机在某小区调查了200人，得到的数据如表所示： 性别 游泳 合计 喜欢 不喜欢 男 80 40 120 女 32 48 80 合计 112 88 200 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢游泳与性别有关联？ （2）为分析喜欢游泳的原因，在喜欢游泳的人中采用分层抽样的方法随机抽取7人，再从这7人中随机抽取3人进行调查，记随机变量X为这3人中女性的人数，求X的分布列与数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知是等差数列的前n项和，且，. （1）求； （2）若数列满足，求数列前n项和，并证明. 17. 如图，在圆锥中，平面是轴截面，为底面圆周上一点（与不重合），为的中点． （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面的夹角的大小． 18. 已知函数. （1）当时，求的单调区间与极值； （2）若恒成立，求的值； （3）求证：. 19. 已知椭圆的长轴长为，左、右焦点分别为，直线与交于P，Q两点，且满足（为坐标原点），当变化时，面积的最大值为． （1）求的方程； （2）证明：； （3）过点和线段PQ的中点作一条直线与交于R，S两点，求四边形PRQS面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高二下学期5月联考数学试题卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由一元二次不等式与一元一次不等式，求得集合，利用交集，可得答案. 【详解】由题意可得， 则. 故选：C. 2. 以为渐近线的双曲线可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用渐近线的求法，直接求出各个选项的渐近线方程，即可求解. 【详解】对于A，由得渐近线方程为，故A错误； 对于B，由得渐近线方程为，故B正确； 对于C，由得渐近线方程为，故C错误； 对于D，由得渐近线方程为，故D错误. 故选：B. 3. 已知平面向量，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用数量积的坐标运算即可求得. 【详解】. 故选：D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由同角三角函数的商式与正弦函数的和角公式，根据方程思想，利用正弦函数的差角公式，可得答案. 【详解】由，得，即， 由，得，故， 则. 故选：B. 5. 某实验室的6名成员分别参加物理、化学、生物学科的学术研讨会，要求每个学科都有人参会，每人只能选择一科参会，物理学科至少2人参会，则不同的参会方案共有（ ） A. 630种 B. 360种 C. 240种 D. 180种 【答案】B 【解析】 【分析】分物理学科2人参会，3人参会和4人参会进行求解. 【详解】根据题意，物理学科2人参会，则化学和生物分别有1人和3人，各2人或3人和1人参会， 有种， 物理学科3人参会，则化学和生物分别有1人和2人，或2人和1人参会， 有种， 物理学科4人参会，则化学和生物分别有1人参会， 有种， 所以共有种不同的参会方案. 故选：B 6. 某次跳水比赛甲、乙、丙、丁、戊5名跳水运动员进入跳水比赛决赛，现采用抽签法决定决赛跳水顺序，在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运动员丙第一个出场”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先甲最后一个出场或甲在中间出场分类讨论求出方法数，再求出此时运动员丙第一个出场的方法数，然后由概率公式计算． 【详解】“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”可分为甲最后一个出场或甲在中间出场， 方法数为， 在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运动员丙第一个出场”， 即“运动员丙第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”，方法数为， 因此所求概率为． 故选：A． 7. 已知，函数，在上没有零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分别讨论以及的情况，结合零点的定义代入计算，即可得到结果. 【详解】当时，，若无解，则或； 当时，，若无解，则. 综上，实数的取值范围是. 故选：B. 8. 记数列的前项和为，若，则的值不可能为（ ） A. 96 B. 98 C. 100 D. 102 【答案】D 【解析】 【分析】根据和的关系分析及特例求解判断即可. 【详解】当时，，设， 当时，，则， 即，所以， 时取等，故D错误； 若，，且，，， 此时； 若，，且，，， 此时. 故A，B，C正确. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 测量重力加速度大小实验中所测g的值服从正态分布，则越大时，测得的g在间的概率越大 C. 某次考试中有三道题，小黄同学做对每道题的概率均为，则他做对的题数的期望为2 D. 已知某10个数据的平均值为7，方差为1.1，则加入一个数据7后方差变为1 【答案】CD 【解析】 【分析】利用二项分布的方差计算公式及方差的性质计算判断A；利用正态分布的性质及意义判断B；利用二项分布的数学期望公式计算可判断C；利用方差的公式计算可判断D. 【详解】对于A，，，故A错误； 对于B，当为定值时，正态密度曲线的峰值与成反比，越大，峰值越低，测得的g越分散，即在间的概率越低，故B错误； 对于C，做对的题数X服从二项分布，故，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：CD. 10. 在三棱锥中，已知为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 长度的取值范围是 B. 直线与平面所成的角为 C. 若，则，所成的角为 D. 若，则三棱锥外接球的表面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，由题可得，可得得解；对B，由题可得平面，由线面角定义求解判断；对C，由勾股定理可得，得平面，进而得，得解；对D，取的中点为F，由对称性得外接球的球心必在的延长线上，由，分别由勾股定理建立方程求得外接球的半径，得解. 【详解】对于A，因为，为的中点， 所以，所以，所以，故A错误； 对于B，由题，易得，又平面，所以平面， 所以与平面所成的角为，故B正确； 对于C，因为，所以，所以， 又因为平面，所以平面，所以，故C错误； 对于D，如图，取的中点为F，连接，则， 由图形的对称性得，三棱锥外接球的球心必在的延长线上， 设，由，分别由勾股定理得， 所以，所以外接球的半径为， 所以外接球的表面积为，故D正确． 故选：BD. 11. 已知函数，则（ ） A. B. 对任意实数 C. D. 若直线与函数和的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】代入化简即可求解ABC，根据函数的单调性可大致判断函数和的图象，且为偶函数，结合图象可判断，且，再解不等式即可判断D. 【详解】对A，，故A正确； 对B，，而，故B错误； 对C，，故C正确； 对D，，令，得， 当时，单调递增；当时，单调递减. 所以在处取得极小值1， 当时，；当时，. 恒成立，所以在上单调递增， 当；当. 所以函数的大致图象如图所示， 不妨设，由为偶函数可得， 直线与和的图象有三个交点，显然， 令，整理得， 解得或（舍去）， 所以，即， 又因为，所以，故D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知实数满足，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由对数式的定义，利用对数的运算律与换底公式，可得答案. 【详解】由可知， 所以，即，所以. 故答案为：. 13. 在的二项展开式中，常数项为________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理求其通项，即可计算其常数项. 【详解】通项为， 故当时，常数项为. 故答案为： 14. 已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点（在第一象限），以为直径的圆与抛物线的准线相切于点.若为坐标原点，则的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求得，由条件推得轴，由推出，得到这些的方程，与抛物线方程联立，利用弦长公式求得，即得的面积. 【详解】 依题意，得，则抛物线的方程为. 由题意可知与抛物线的准线垂直， 在中，，则， 则直线的方程为. 由消去并化简整理得： 易得，则， 又原点到直线的距离为， 故. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 游泳是一种高效的锻炼方法，坚持游泳可以增强体质，提高免疫力．某游泳馆为了了解是否喜欢游泳与性别有关联，随机在某小区调查了200人，得到的数据如表所示： 性别 游泳 合计 喜欢 不喜欢 男 80 40 120 女 32 48 80 合计 112 88 200 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢游泳与性别有关联？ （2）为分析喜欢游泳的原因，在喜欢游泳的人中采用分层抽样的方法随机抽取7人，再从这7人中随机抽取3人进行调查，记随机变量X为这3人中女性的人数，求X的分布列与数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）认为是否喜欢游泳与性别有关联 （2）X的分布列为： X 0 1 2 P 【解析】 【分析】（1）根据列联表中的数据，计算得到，结合附表，即可得到答案. （2）根据题意，求得抽取的男大学生有5人，女大学生有2人，得到的所有可能取值，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解. 【小问1详解】 零假设为：是否喜欢游泳与性别无关联． 根据列联表中的数据，计算得到， 所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为是否喜欢游泳与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001． 【小问2详解】 由题意可知抽取的男性有人，女性有人， 随机变量X的所有可能取值为0，1，2， 且，，. 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 所以． 16. 已知是等差数列的前n项和，且，. （1）求； （2）若数列满足，求数列前n项和，并证明. 【答案】（1） （2） ， 所以 ， 因为，所以. 【解析】 【分析】（1）设出公差，利用等差数列通项公式和求和公式列方程组求得，即可求出. （2）利用裂项相消法求得，然后数列的有界性证明即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d，则由题意得： ，即，解得， 故，故. 【小问2详解】 略 17. 如图，在圆锥中，平面是轴截面，为底面圆周上一点（与不重合），为的中点． （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面的夹角的大小． 【答案】（1） 在圆锥中，平面，平面,所以， 因为为的中点，，所以， 因为，平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面，可得，结合，即可根据线面垂直的判定定理求证， （2）建立空间直角坐标系，求解两个平面法向量，，利用向量的夹角求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面内，过作交于点，分别以直线为轴建立空间直角坐标系，如图． 因为，所以， 由（1）知平面的一个法向量为． 又，所以． 设平面的法向量为， 则取，则． 所以， 所以平面与平面的夹角为． 18. 已知函数. （1）当时，求的单调区间与极值； （2）若恒成立，求的值； （3）求证：. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；极小值0，无极大值 （2） （3） 先证，设，则， 所以在区间上单调递减，所以，即. 所以，再证. 由（2）可知，当时等号成立， 令，则， 即， 所以， 累加可得， 所以. 【解析】 【分析】（1）求导，根据函数的单调性可得极值； （2）分情况讨论函数的单调性与最值情况，可得参数值； （3）利用放缩法，由，可知若证，即证，再根据，可得证. 【小问1详解】 当时，， 则， 当时，单调递减，当时，单调递增，所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 在处取得极小值0，无极大值. 【小问2详解】 由题意得， ①当时，，所以在上单调递增， 所以当时，，与矛盾； ②当时，当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以， 因为恒成立，所以. 记， 当时，单调递增，当时，单调递减，所以，所以. 又，所以，所以. 【小问3详解】 略 19. 已知椭圆的长轴长为，左、右焦点分别为，直线与交于P，Q两点，且满足（为坐标原点），当变化时，面积的最大值为． （1）求的方程； （2）证明：； （3）过点和线段PQ的中点作一条直线与交于R，S两点，求四边形PRQS面积的取值范围． 【答案】（1） （2） 设， 由消去得， 则， ， 因为，所以， 化简得，此时成立，证毕． （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，解方程组即可得解. （2）设，联立直线与椭圆方程，韦达定理，利用数量积的坐标运算化简得，即可得证. （3）设，则，利用面积分割法得，然后利用向量的线性坐标公式得点的坐标，代入椭圆方程得，然后利用二次函数性质求解最值. 【小问1详解】 设的半焦距为． 依题意得，所以，解得， 所以的方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设PQ的中点为，因为直线RS经过点和点， 所以不妨设，则． ． 由，得点的坐标为， 又， 所以代入的方程得， 化简得，则． 所以， 即四边形PRQS面积的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $