精品解析：北京市第十五中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

北京十五中高二数学期中考试试卷 2025.04 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1. 若、、成等差数列，则（ ） A. B. C. D. 2. 一袋中有大小相同的个红球和个白球，若从中不放回地取球次，每次任取个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到白球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，为的导函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 在等比数列中，，若是，的等差中项，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 已知函数在上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 袋中有6个白球，2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取一个球，若每次抽取后都放回，记为取到黑球的个数，则随机变量的方差=（ ） A. B. C. D. 7. 设等差数列的公差为，则“”是“为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. “苏州码子”发源于苏州，在明清至民国时期，作为一种民间的数字符号曾经流行一时，广泛应用于各种商业场合.110多年前，詹天佑主持修建京张铁路，首次将“苏州码子”刻于里程碑上.“苏州码子”计数方式如下：〡1.､〢2.､〣3.､〤4.､〥5.､〦6.､〧7.､〨8.､〩9.､〇0．为了防止混淆，有时要将“〡”“〢”“〣”横过来写.已知某铁路的里程碑所刻数字代表距离始发车站的里程，每隔2公里摆放一个里程碑，若在A点处里程碑上刻着“〣〤”，在B点处里程碑刻着“〩〢”，则从A点到B点里程碑的个数应为（ ） A. B. C. D. 9. 记为数列的前n项和.若，则（ ） A. 有最大项，有最大项 B. 有最大项，有最小项 C. 有最小项，有最大项 D. 有最小项，有最小项 10. 已知数列满足则（ ） A. 当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 B. 当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立 C. 当时，存在正整数，当时， D. 当时，对于任意正整数，存在，使得 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 设函数，则___． 12. 已知随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 P 0.4 p 0.4 则p＝___；D（X）＝___． 13. 已知{}是公比为q的等比数列，其前n项和为．若，则q＝___． 14. 若曲线在处的切线方程为，则___；___． 15. 已知等差数列与等比数列是两个无穷数列，且都不是常数列． 给出下列四个结论： ①数列不是等比数列； ②若与都是递增数列，则数列是递增数列； ③对任意的，、、不是等差数列； ④存在数列，对任意的、、，且，使得、、不能构成等比数列． 其中所有正确结论的序号是 __ ． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知曲线在点处的切线为. （1）求切线的方程； （2）讨论函数的单调性. 17. 已知数列的前项和，其中. （1）求数列的通项公式； （2）求使不等式成立的的最小值； （3）设，求数列的前项和. 18. 某大型连锁超市的市场部为了比较线下、线上这两种模式的销售情况，从某地区众多门店中随机抽取8家门店，对其线下和线上这两种销售模式下的日营业额（单位：万元）进行调查．调查结果如下： 门店1 门店2 门店3 门店4 门店5 门店6 门店7 门店8 线下 日营业额 9 6.5 19 9.5 14.5 16.5 20.5 12.5 线上 日营业额 11.5 9 12 17 19 23 21.5 15 若某门店一种销售模式下的日营业额不低于15万元，则称该门店在这种销售模式下的日营业额达标；否则就称该门店在此种销售模式下的日营业额不达标．若某门店的日营业总额（线上和线下两种销售模式下的日营业额之和）不低于30万元，则称该门店的日营业总额达标；否则就称该门店的日营业总额不达标．（各门店的营业额之间互不影响） （1）从8个样本门店中随机抽取3个，求抽取的3个门店的线下日营业额均达标的概率； （2）若从该地区众多门店中随机抽取3个门店，记随机变量X表示抽到的日营业总额达标的门店个数．以样本门店的日营业总额达标的频率作为一个门店的日营业总额达标的概率，求X的分布列和数学期望； （3）线下日营业额和线上日营业额的样本平均数分别记为和，线下日营业额和线上日营业额的样本方差分别记为和．试判断和的大小，以及和的大小．（结论不要求证明） 19. 已知数列为等差数列，且满足，，数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）证明数列是等比数列，并求的通项公式； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 20. 某学校开展健步走活动，要求学校教职员工上传11月4日至11月10日的步数信息.教师甲、乙这七天的步数情况如图1所示. （1）从11月4日至11月10日中随机选取一天，求这一天甲比乙的步数多的概率； （2）从11月4日至11月10日中随机选取三天，记乙的步数不少于20000的天数为，求的分布列和； （3）根据11月4日至11月10日某一天的数据制作的全校800名教职员工步数的频率分布直方图如图2所示.已知这一天甲与乙的步数在全校800名教职员工中从多到少的排名分别为第501名和第221名，判断这是哪一天的数据.（只需写出结论） 21. 对于项数为的数列，若数列满足，，其中，表示数集中最大的数，则称数列是的数列. （1）若各项均为正整数的数列的数列是，写出所有的数列； （2）证明：若数列中存在使得，则存在使得成立； （3）数列是的数列，数列是的数列，定义其中．求证：为单调递增数列的充要条件是为单调递增数列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京十五中高二数学期中考试试卷 2025.04 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1. 若、、成等差数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列的性质化简可得结果. 【详解】因为、、成等差数列，则，可得. 故选：A. 2. 一袋中有大小相同的个红球和个白球，若从中不放回地取球次，每次任取个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到白球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用古典概型的概率公式求出，，再由条件概率公式求解即可. 【详解】依题意，， 所以. 故选：B 3. 已知函数，为的导函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本初等函数的求导公式结合导数的加法运算法则即可得出答案. 【详解】解：因为， 所以， 所以，. 故选：B. 4. 在等比数列中，，若是，的等差中项，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列定义以及等差中项性质解方程可得，即可求得结果. 【详解】设等比数列的公比为， 由是，的等差中项可得，又， 可得，解得或； 因为，所以不合题意，可知， 因此. 故选：A 5. 已知函数在上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用直线的斜率公式和导数的几何意义结合图象即可判断. 【详解】由图象可知，函数在上的增长越来越快， 故函数图象在点（）的切线的斜率越来越大， 因为，所以. 故选：B. 6. 袋中有6个白球，2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取一个球，若每次抽取后都放回，记为取到黑球的个数，则随机变量的方差=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连续抽取3次，取到黑球的个数服从二项分布，代二项分布方差的计算公式即可 【详解】有放回的取球，每次取到黑球的概率， 则连续抽取3次，取到黑球的个数， 所以 故选：C 7. 设等差数列的公差为，则“”是“为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据数列的性质以及充分条件、必要条件的定义即可解出. 【详解】因为，所以； 当时，，此时显然单调递增， 所以可以推出为递增数列； 当为递增数列时，不妨取，此时为递增数列，但不满足， 所以为递增数列不能推出， 所以“”是“为递增数列”的充分不必要条件， 故选：A. 8. “苏州码子”发源于苏州，在明清至民国时期，作为一种民间的数字符号曾经流行一时，广泛应用于各种商业场合.110多年前，詹天佑主持修建京张铁路，首次将“苏州码子”刻于里程碑上.“苏州码子”计数方式如下：〡1.､〢2.､〣3.､〤4.､〥5.､〦6.､〧7.､〨8.､〩9.､〇0．为了防止混淆，有时要将“〡”“〢”“〣”横过来写.已知某铁路的里程碑所刻数字代表距离始发车站的里程，每隔2公里摆放一个里程碑，若在A点处里程碑上刻着“〣〤”，在B点处里程碑刻着“〩〢”，则从A点到B点里程碑的个数应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】里程碑上刻着数字依次成等差数列，求出两处刻的数字，按等差数列的公式求得项数即可． 【详解】根据题意A点处里程碑上刻着数字34，B点处里程碑刻着数字92，里程碑刻着数字厉等差数列，公差为2，因此里程碑个数为． 故选：B． 9. 记为数列的前n项和.若，则（ ） A. 有最大项，有最大项 B. 有最大项，有最小项 C. 有最小项，有最大项 D. 有最小项，有最小项 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次函数的性质可判断得有最大项，再分析的正负情况可判断得有最大项，从而得解. 【详解】根据题意，， 对于二次函数，，其开口向下，对称轴为， 则当时，取得最大值， 所以当时，有最大值为16，所以有最大项. 又由可解得， 则当时，，当时，，当时，， 所以当或8时，最大， 则有最大项，有最大项. 故选：A. 10. 已知数列满足则（ ） A. 当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 B. 当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立 C. 当时，存在正整数，当时， D. 当时，对于任意正整数，存在，使得 【答案】D 【解析】 【分析】直接构造反例即可说明A和B错误；然后证明引理：当时，对任意的正整数，都存在，使得. 最后由该引理推出C错误，D正确. 【详解】当时，，，所以此时不是递增数列，A错误； 当时，，，，所以此时不是递减数列，B错误； 我们证明以下引理：当时，对任意的正整数，都存在，使得. 若该引理成立，则它有两个直接的推论： ①存在，使得对任意的正整数，都存在，使得； ②当时，对任意的正整数，都存在，使得. 然后由①是C的否定，故可以说明C错误；而②可以直接说明D正确. 最后，我们来证明引理： 当时，对任意确定的正整数： 如果，则； 如果，则或. 此时若，则； 若，则. 无论哪种情况，都有，从而. 这说明或，所以可以选取，使得. 这就说明存在，使得. 这就证明了引理，从而可以推出C错误，D正确. 故选：D. 【点睛】最关键的地方在于引理：当时，对任意的正整数，都存在，使得. 这一引理可以帮助我们判断出较难判断的C和D选项. 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 设函数，则___． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导函数，代入计算可得； 【详解】解：因为，所以，所以； 故答案为： 12. 已知随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 P 0.4 p 0.4 则p＝___；D（X）＝___． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】利用随机变量分布列的性质知，求得；利用期望和方差的公式求得； 【详解】根据随机变量分布列的性质，知，所以， ，； 故答案为：；. 13. 已知{}是公比为q的等比数列，其前n项和为．若，则q＝___． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况，当时，当时，分别代入等比数列前n项和公式计算可得. 【详解】当时，由，得显然不成立； 当时，由，得，或； 故答案为：或. 14. 若曲线在处的切线方程为，则___；___． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】求出函数的导函数，依题意可得，且，解得即可. 【详解】解：因为，所以， 又函数处的切线方程为， 所以，且， 解得，； 故答案为：；. 15. 已知等差数列与等比数列是两个无穷数列，且都不是常数列． 给出下列四个结论： ①数列不是等比数列； ②若与都是递增数列，则数列是递增数列； ③对任意的，、、不是等差数列； ④存在数列，对任意的、、，且，使得、、不能构成等比数列． 其中所有正确结论的序号是 __ ． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】利用反证法可判断①③；利用特例法可判断②；取，结合等比数列的定义可判断④. 【详解】由题意设数列的公差为，首项为， 数列的公比为，首项为， 则，， 对于①：假设是等比数列，则， 所以， 因为数列为等比数列，则，所以， 所以，可得，与题设条件矛盾， 故假设不成立，即数列不是等比数列，①对； 对于②，取，，则， 由，，，此时数列不是递增数列，故②错误； 对于③：假设、、为等差数列，所以， 即，所以，解得与矛盾，故③正确； 对于④：取，则，，， 若、、能构成等比数列，则， 即， 化简整理得矛盾，故④正确. 故选：①③④. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知曲线在点处的切线为. （1）求切线的方程； （2）讨论函数的单调性. 【答案】（1） （2）在上单调递减，在和上单调递增. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再利用直线的点斜式方程即可求得切线方程； （2）由导函数符号解不等式即可判断得出函数的单调性. 【小问1详解】 易知，则其斜率为； 又，所以切线方程为， 即切线的方程为. 【小问2详解】 令， 解得，即可得在上单调递减， 令， 解得或，即可得在和上单调递增； 综上可得，在上单调递减，在和上单调递增. 17. 已知数列的前项和，其中. （1）求数列的通项公式； （2）求使不等式成立的的最小值； （3）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2）10 （3） 【解析】 【分析】（1）利用的关系式即可求得； （2）代入不等式可解得，即的最小值为10； （3）采用分组求和，利用等比和等差数列前项和公式代入计算可得结果. 【小问1详解】 当时，可得， 当时，， 显然符合上式， 数列的通项公式为； 【小问2详解】 因为，所以等价于， 解得或（舍）， 又，所以的最小值为10； 【小问3详解】 由（1）可知， 所以 . 即可得. 18. 某大型连锁超市的市场部为了比较线下、线上这两种模式的销售情况，从某地区众多门店中随机抽取8家门店，对其线下和线上这两种销售模式下的日营业额（单位：万元）进行调查．调查结果如下： 门店1 门店2 门店3 门店4 门店5 门店6 门店7 门店8 线下 日营业额 9 6.5 19 9.5 14.5 16.5 20.5 12.5 线上 日营业额 11.5 9 12 17 19 23 21.5 15 若某门店一种销售模式下的日营业额不低于15万元，则称该门店在这种销售模式下的日营业额达标；否则就称该门店在此种销售模式下的日营业额不达标．若某门店的日营业总额（线上和线下两种销售模式下的日营业额之和）不低于30万元，则称该门店的日营业总额达标；否则就称该门店的日营业总额不达标．（各门店的营业额之间互不影响） （1）从8个样本门店中随机抽取3个，求抽取的3个门店的线下日营业额均达标的概率； （2）若从该地区众多门店中随机抽取3个门店，记随机变量X表示抽到的日营业总额达标的门店个数．以样本门店的日营业总额达标的频率作为一个门店的日营业总额达标的概率，求X的分布列和数学期望； （3）线下日营业额和线上日营业额的样本平均数分别记为和，线下日营业额和线上日营业额的样本方差分别记为和．试判断和的大小，以及和的大小．（结论不要求证明） 【答案】（1）； （2）的分布列为 0 1 2 3 期望为；（3）. 【解析】 【分析】（1）依据题意线下销售达标的有3家，然后简单计算即可. （2）由二项分布的概率公式运算即可得解； （3）根据数据进行计算然后直接判断即可. 【详解】（1）由题可知：线下销售达标的有3家，分别是：门店3，门店6，门店7 所以所求的概率为 （2）由题意，日营业总额达标的概率为， 的所有可能取值为：0，1，2，3， 所以，，，， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以； （3） 所以 所以 所以 19. 已知数列为等差数列，且满足，，数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）证明数列是等比数列，并求的通项公式； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 由可得， 两式相减可得，即可得， ，则为定值， 因此可知数列是以为首项，公比的等比数列， 可得，显然首项也符合上式； 即的通项公式为； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列定义求出其公差即可得通项公式； （2）由数列中与的关系式，利用等比数列定义可证明结论，即可写出等比数列的通项公式； （3）依题意可得恒成立，利用作差法得出其单调性即可得的最大值为，可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 设数列的公差为， 由，可得，解得； 所以， 即数列的通项公式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知； 由可得， 因此可得恒成立， 令，则； 显然可知当时，为递增，当，为递减； 且易知，，因此可知的最大值为， 可得， 即实数的取值范围为. 20. 某学校开展健步走活动，要求学校教职员工上传11月4日至11月10日的步数信息.教师甲、乙这七天的步数情况如图1所示. （1）从11月4日至11月10日中随机选取一天，求这一天甲比乙的步数多的概率； （2）从11月4日至11月10日中随机选取三天，记乙的步数不少于20000的天数为，求的分布列和； （3）根据11月4日至11月10日某一天的数据制作的全校800名教职员工步数的频率分布直方图如图2所示.已知这一天甲与乙的步数在全校800名教职员工中从多到少的排名分别为第501名和第221名，判断这是哪一天的数据.（只需写出结论） 【答案】（1） （2）分布列为 0 1 2 （3）11月6日 【解析】 【分析】（1）根据古典概型即可求得； （2）求出随机变量的所有可能取值，求出对应概率即可得出分布列和期望值； （3）先求出各区间内的人数，从而确定甲乙步数所在的区间，进而得出结论. 【小问1详解】 设“甲比乙的步数多”为事件， 在11月4日至11月10日中，只有11月5日和11月9日这两天甲比乙的步数多， 所以 【小问2详解】 由图可知，7天中乙的步数不少于20000的天数有11月4日和11月10日这两天， 所以的所有可能取值为， 可得，，； 可得分布列为 0 1 2 所以； 【小问3详解】 由频率分布直方图可知，步数在各区间内的人数如下： 内的人数有人； 内的人数有人； 内的人数有人； 内的人数有人； 内的人数有人； 内的人数有人； 因为这一天甲与乙的步数在全校800名教职员工中从多到少的排名分别为第501名和第221名， 所以甲的步数在区间内，乙的步数在区间内， 符合题意的只有11月6日这一天，所这是11月6日的数据. 21. 对于项数为的数列，若数列满足，，其中，表示数集中最大的数，则称数列是的数列. （1）若各项均为正整数的数列的数列是，写出所有的数列； （2）证明：若数列中存在使得，则存在使得成立； （3）数列是的数列，数列是的数列，定义其中．求证：为单调递增数列的充要条件是为单调递增数列． 【答案】（1），，， （2）由题意， 假设不存在使得成立， 根据数列定义可知，， 所以，则， 即， 所以，所以，这与已知矛盾， 故若此数列中存在使得， 则存在使得成立． （3）由题意， 必要性： ，，， 则． 因为为单调递增数列， 所以对所有的，或， 否则． 因此，所有的同号或为，即， 所以为单调递增数列． 充分性： 因为为单调递增数列，，且， 所以只能，所以同号或为， 所以对所有的，或， 所以． 所以，即为单调递增数列． 【解析】 【分析】（1）根据数列的数列相关条件即可得出所有的数列； （2）利用反证法，假设不存在使得成立，得出与假设不成立，即可得出结论； （3）通过证明得出为单调递增，再通过为单调递增数列证明为单调递增数列，即可得出结论. 【小问1详解】 由题意， 各项均为正整数的数列的数列是，写出所有的数列为： ，，， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义，数列的单调性证明，反证法，考查学生的分析证明能力，具有较强的综合性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $