精品解析：江苏省无锡市辅仁高级中学2024-2025学年高二下学期期中数学试题

无锡市辅仁高级中学2024—2025学年度第二学期期中考 高二数学试卷 命题人：朱琳 审核人：刘雪莹 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知服从参数为0.4的两点分布，则（ ） A. 0.6 B. 0.4 C. 0.24 D. 0.8 【答案】A 【解析】 【分析】根据两点分布的基本性质即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：A 2. 有七名同学排成一排, 其中甲, 乙两人不能在一起, 丙, 丁两人要排在一起的排法数是 A. 960 B. 720 C. 480 D. 240 【答案】A 【解析】 【分析】 先把丙, 丁两人绑定，与没有要求的另外三人，进行全排列，有5个空，甲, 乙两人插空，由分步计算原理计算出结果． 【详解】第一步，先把丙, 丁两人绑定，有种方法； 第二步，把绑定的二人与无要求的三人全排列，有种方法，这时形成5个空； 第三步，把甲, 乙两人，插入5个空中，有种方法， 由分步计算原理可知：有七名同学排成一排, 其中甲, 乙两人不能在一起, 丙, 丁两人要排在一起的排法数是，故本题选A． 【点睛】本题考查了分步计算原理、排列有关知识．本题涉及到绑定法、插空法． 3. 有编号分别为1，2，3，4的4张电影票，要分给甲、乙、丙3个人，每人至少分得一张，且4张电影票全部分完，则不同分配方法的种数为（ ） A. 24 B. 36 C. 64 D. 72 【答案】B 【解析】 【分析】利用不平均分组分配问题的解法即可得解. 【详解】依题意，4张电影票分成三组，有种分法， 再分配给甲、乙、丙3个人，有种分法， 所以不同分配方法的种数为. 故选：B. 4. 已知函数，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，再利用导数的定义求出极限值. 【详解】函数，求导得， 所以. 故选：B 5. 设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中至多3个红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，摸出的红球个数服从超几何分布，根据超几何分布的概率分布列计算即可. 【详解】从袋中任取4个球，其中红球的个数服从参数为的超几何分布， 故至多有3个红球的概率为. 故选：D. 6. 若曲线在处的切线，也是的切线，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先求出在处的切线方程，设它在的且切点坐标，并求出的值，再代入中，求出的值． 【详解】的导数为，曲线在处的切线斜率为，则曲线在处的切线方程为，的导数为，设切点为，则，解得，，即有，解得． 故选：D． 【点睛】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题． 7. 若随机变量的分布列为 0 1 2 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由随机概率的性质可得，根据随机变量的分布列确定随机变量的分布列，从而可得，联立解得的值，于是可得的值. 【详解】由分布列可得，即①， 又， 则随机变量的分布列为 0 1 4 所以，即②， 联立①②可得：， 则. 故选：A. 8. 已知函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，将问题转化为在上有解，然后分离参数即可求解. 【详解】因为函数在上存在单调递增区间， 所以在上有解，且， 所以，， 令，则， 当时，，则函数单调递减， 当时，，则函数单调递增， 且，所以当时，由最大值， 即. 故选：D 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，则下列描述正确的是（ ） A. 除以5所得的余数是1 B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用赋值法可判断BC，由，再结合二项式定理可判断A，对于两边同时求导，再利用赋值法可判断D． 【详解】对于A，， 故除以5所得的余数是1，故A正确 对于B，令得，，令得，，所以，故B错误； 对于C，由题意可知，， 对于， 令得，，又因为， 所以，故C正确； 对于D，对于两边同时求导可得， ， 令得，， 令得，， 所以，故D错误． 故选：AC． 10. 一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，则下列结论正确的是（ ） A. 从中任取2球，在已知其中一个是红球的条件下，另一个也是红球的概率是 B. 从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为 C. 从中不放回的取球2次，每次任取1球，第二次取到红球的概率为 D. 从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用条件概率公式求出概率判断AD；利用二项分布的方差公式计算判断B；利用全概率公式求出概率判断C得解. 【详解】对于A，设所选的2个球中至少有1个是红球为事件，所选的2个球都是红球为事件， 则所求的概率为，故A错误； 对于B，从中有放回的取球6次，每次任取一球，则每次取到红球的概率为， 则取到红球的次数，因此取到红球次数的方差为，故B正确； 对于C，记第次摸到红球的事件为，第1次摸到白球的事件为， 则， 由全概率公式得第二次取到红球的概率为： ，故C正确； 对于D，从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，此时袋中只有3个红球和2个白球， 因此第二次再次取到红球的概率为，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数，则（ ） A. 函数的增区间为 B. 函数的极小值为 C. 若方程有三个互不相等的实数根，则 D. 函数的图像关于点对称 【答案】BD 【解析】 【分析】求出导函数，由确定单调性，极值，判断ABC，计算后可判断D． 【详解】， 所以或时，，时，， 所以在和上递增，在上递减，A错； 函数的极小值为，B正确； 函数的极大值为，所以当时，有三个互不相等的实根，C错； ，所以的图象关于点对称．D正确． 故选：BD． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. “奥帆之都”青岛，具有现代时尚都市感的同时，更注重里院文化的传承与保护，为建设“建筑可阅读、街道可漫步、文化可传承、城市可记忆”的“最青岛”，市南区举办了“上街里，逛春天，百米长卷绘老城”活动.一位同学在活动中负责用5种不同颜色给如图所示的图标上色，要求相邻两块涂不同的颜色，共有______种不同的涂法? 【答案】180 【解析】 【分析】按照②、④不同色和②、④同色，分两类计数再相加，可得结果. 【详解】当②、④不同色时，有种涂色方案； 当②、④同色时，有种涂色方案， 根据分类加法计数原理可得共有种涂色方案. 故答案为：. 13. 设某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线，生产规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为6块、6块、8块，且甲、乙、丙生产该芯片的次品率依次为.现从这20块芯片中任取1块芯片，若取到的芯片是次品，则该芯片是甲厂生产的概率为____. 【答案】 【解析】 【分析】利用条件概率计算公式即可求得若取到的芯片是次品则该芯片是甲厂生产的概率. 【详解】记芯片分别由甲、乙、丙三条生产线生产为事件， 记取到的芯片是次品为事件， 则， ， ， 故， 则若取到的芯片是次品，则该芯片是甲厂生产的概率为. 故答案为： 14. 已知函数，的导函数为，若存在，使得成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的运算法则对求导，设，由，只需，采用分离参数法可得，只需即可求解. 【详解】由 所以 根据题意，只需 ，则 令，即，即在上单调递增， 令，即或，即在上单调递减， 又，故，所以， 故b实数的取值范围： . 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在的展开式中，______. 给出下列条件：①二项式系数和为64；②各项系数之和为729；③第三项的二项式系数为15.试在这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并且完成下列问题： （1）求的值并求展开式中的常数项； （2）求展开式中的系数. 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分. 【答案】（1），展开式常数项为 （2） 【解析】 【分析】（1）若选①利用二项式系数和公式先求n，结合展开式通项公式可求常数项；若选②利用赋值法先求n，结合展开式通项公式可求常数项；若选③利用二项式定理先求n，结合展开式通项公式可求常数项； （2）利用二项式定理及其展开式通项可求指定项系数. 【小问1详解】 若选①，易知，则，此时的常数项为； 若选②，令，则， 则，此时的常数项为； 若选③，易知，则，此时的常数项为； 【小问2详解】 由上可知不论选①②③，都有， 则问题为求展开式中的系数， 先求展开式中含的项乘以，该项为， 再求展开式中常数项乘以，知该项为， 所以展开式中含的项为，所以其系数为. 16. 某医院计划从急诊科、骨科中选调医生组建一支6人医疗救援队，该院骨科、急诊科各有5名医生报名加入医疗救援队． （1）小张是这次报名的骨科医生，求小张被选入医疗救援队的概率； （2）设被选入医疗救援队的骨科医生人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2） X 1 2 3 4 5 P ． 【解析】 【分析】（1）利用组合数求得总情况数与符合题意的情况数，根据古典概型，可得答案； （2）利用离散型随机变量的计算步骤求得分布列，根据期望的计算公式，可得答案． 【小问1详解】 解：设事件A为“小张被选入医疗救援队”， 则． 【小问2详解】 X的所有取值可能为1，2，3，4，5， ， ， ， ， ， X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 故． 17. 已知函数，. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，证明：当时，恒成立. 【答案】（1） （2）证明如下： 当时，， 当时，要证，即证， 即证， 当时，， 构造函数，其中，则， 即函数在上单调递增， 构造函数，其中，则， 所以，函数在上单调递增， 当时，，即， 因此，当时，，即， 故原不等式得证. 【解析】 【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）将所证不等式变形为，构造函数，，利用导数分析该函数的单调性，可证得，再构造函数，其中，利用导数分析该函数的单调性，结合可证得所证不等式成立. 【小问1详解】 因为，则，所以，， 所以，曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 略 18. 中小学教师资格考试每半年考一次，2025年上半年的考试于3月8日进行.考试分为笔试和面试两项，只有笔试成绩合格时，才可继续参加面试，笔试成绩两年有效，两项成绩均合格方可获得证书.李华同学报名参加今年上半年的考试，若他不放弃每次考试，直到能拿到教师资格证为止.根据以往模拟情况，李华笔试成绩每次合格的概率均为，面试成绩每次合格的概率均为，假设各次考试成绩合格与否均互不影响. （1）求他今年能取得教师资格证书的概率； （2）某培训机构今年共有100人参加培训，若以李华今年取得教师资格证的概率作为每个学员今年成功取得证书的概率.设今年该培训机构能成功取得教师资格证的人数为k的概率为，求取最大值时k的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）将今年能拿到证书的事件分拆成互斥事件的和，再利用相互独立事件、互斥事件的概率公式求解. （2）今年取得教师资格证的人数服从二项分布，再利用二项分布的概率最大问题列式求解. 【小问1详解】 设“笔试第次考试合格”为事件，“面试第次考试合格”为事件，， 则今年能拿到证书的事件为， ， ， 所以他今年能取得教师资格证书的概率为. 【小问2详解】 依题意，今年取得教师资格证的人数， 则，， 由，解得， 当时，，当时，， 所以取最大值时. 19. 已知函数. （1）当时，求函数的最小值； （2）试讨论函数的单调性； （3）当时，不等式恒成立，求整数的最大值. 【答案】（1） （2） 当时，的单调递减区间是，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是. （3） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数判断的单调性和最值； （2）求出原函数的导函数，对进行分类讨论即可得出原函数的单调区间； （3）问题转化为恒成立，令新函数，利用导数求其最小值的范围，即可求得整数的最大值. 【小问1详解】 当时，则， 可知的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知的单调递减区间是，单调递增区间是； 所以函数的最小值为. 【小问2详解】 由题意可知的定义域为，且， 当时，恒成立， 所以的单调递减区间是，无单调递增区间； 当时，令解得， 令，解得；令，解得； 所以的单调递减区间是，单调递增区间是； 综上所述：当时，的单调递减区间是，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是. 【小问3详解】 当时，不等式恒成立， 即，整理可得， 原题意等价于对任意恒成立， 令， 则， 令，则， 所以在区间上单调递增， 因为，， 所以在区间内存在唯一零点， 即，所以， 当时，，即； 当时，，即； 可知在区间上单调递减，在区间上单调递增； 所以， 因为，则，即， 且为整数，则，所以整数的最大值是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 无锡市辅仁高级中学2024—2025学年度第二学期期中考 高二数学试卷 命题人：朱琳 审核人：刘雪莹 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知服从参数为0.4的两点分布，则（ ） A. 0.6 B. 0.4 C. 0.24 D. 0.8 2. 有七名同学排成一排, 其中甲, 乙两人不能在一起, 丙, 丁两人要排在一起的排法数是 A. 960 B. 720 C. 480 D. 240 3. 有编号分别为1，2，3，4的4张电影票，要分给甲、乙、丙3个人，每人至少分得一张，且4张电影票全部分完，则不同分配方法的种数为（ ） A. 24 B. 36 C. 64 D. 72 4. 已知函数，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 5. 设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中至多3个红球的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 若曲线在处的切线，也是的切线，则 A. B. C. D. 7. 若随机变量的分布列为 0 1 2 若，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，则下列描述正确的是（ ） A. 除以5所得的余数是1 B. C. D. 10. 一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，则下列结论正确的是（ ） A. 从中任取2球，在已知其中一个是红球的条件下，另一个也是红球的概率是 B. 从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为 C. 从中不放回的取球2次，每次任取1球，第二次取到红球的概率为 D. 从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为 11. 已知函数，则（ ） A. 函数的增区间为 B. 函数的极小值为 C. 若方程有三个互不相等的实数根，则 D. 函数的图像关于点对称 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. “奥帆之都”青岛，具有现代时尚都市感的同时，更注重里院文化的传承与保护，为建设“建筑可阅读、街道可漫步、文化可传承、城市可记忆”的“最青岛”，市南区举办了“上街里，逛春天，百米长卷绘老城”活动.一位同学在活动中负责用5种不同颜色给如图所示的图标上色，要求相邻两块涂不同的颜色，共有______种不同的涂法? 13. 设某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线，生产规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为6块、6块、8块，且甲、乙、丙生产该芯片的次品率依次为.现从这20块芯片中任取1块芯片，若取到的芯片是次品，则该芯片是甲厂生产的概率为____. 14. 已知函数，的导函数为，若存在，使得成立，则实数的取值范围是_____. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在的展开式中，______. 给出下列条件：①二项式系数和为64；②各项系数之和为729；③第三项的二项式系数为15.试在这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并且完成下列问题： （1）求的值并求展开式中的常数项； （2）求展开式中的系数. 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分. 16. 某医院计划从急诊科、骨科中选调医生组建一支6人医疗救援队，该院骨科、急诊科各有5名医生报名加入医疗救援队． （1）小张是这次报名的骨科医生，求小张被选入医疗救援队的概率； （2）设被选入医疗救援队的骨科医生人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望． 17. 已知函数，. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，证明：当时，恒成立. 18. 中小学教师资格考试每半年考一次，2025年上半年的考试于3月8日进行.考试分为笔试和面试两项，只有笔试成绩合格时，才可继续参加面试，笔试成绩两年有效，两项成绩均合格方可获得证书.李华同学报名参加今年上半年的考试，若他不放弃每次考试，直到能拿到教师资格证为止.根据以往模拟情况，李华笔试成绩每次合格的概率均为，面试成绩每次合格的概率均为，假设各次考试成绩合格与否均互不影响. （1）求他今年能取得教师资格证书的概率； （2）某培训机构今年共有100人参加培训，若以李华今年取得教师资格证的概率作为每个学员今年成功取得证书的概率.设今年该培训机构能成功取得教师资格证的人数为k的概率为，求取最大值时k的值. 19. 已知函数. （1）当时，求函数的最小值； （2）试讨论函数的单调性； （3）当时，不等式恒成立，求整数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $