2024年广东省揭阳市惠来县周田中学中考数学一模试卷

2024年广东省揭阳市惠来县周田中学中考数学一模试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）王老师给全班同学留了一个特色寒假作业，画一张有关兔子的图画，以下四个图形是开学后收上来的图画中的一部分，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，节约一粒米的帐：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为（　　） A．0.324×108 B．32.4×106 C．3.24×107 D．3.24×108 3．（3分）一辆汽车第一小时行了52.1千米，第二小时行了60千米，第三小时行了62.5千米，请你估一估：这辆车平均每小时行了多少千米？该结果正确的取值范围应（　　） A．在50～52.1之间 B．在60～62.5之间 C．在52.1～60之间 D．在62.5～70之间 4．（3分）如图，一把直角三角板的顶点A，B在⊙O上，边BC，AC与⊙O交于点D，E，连结DE，已知∠B＝60°，则∠AED的度数为（　　） A．120° B．110° C．100° D．90° 5．（3分）关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（　　） A．m＞﹣5 B．m＜﹣5 C．m＞﹣5且m≠﹣3 D．m≠﹣3 6．（3分）如图是成都市某周内日最高气温的折线统计图，关于这7天的日最高气温最高气温的说法正确的是（　　） A．最大值与最小值的差是8℃ B．众数是28℃ C．中位数是24℃ D．平均数是26℃ 7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧交AB于M、AC于N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于D，下列四个结论：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的中垂线上；④S△ACD：S△ACB＝1：3．其中正确的有几个？（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（3分）如图是两个完全相同的等腰直角三角形，如图①中的正方形面积与图②中的正方形面积之比为（　　） A．1：1 B．3：4 C．6：5 D．9：8 9．（3分）如图，点C是线段AB上一点（AC＞BC），分别以AC，BC为直角边在AB同侧作等腰Rt△ACD和等腰Rt△BCE，连结AE，BD．记S△ACD＝S1，S△BCE＝S2，S△ADE＝S3，S△BDE＝S4，若S1﹣S2＝20，则S3+S4＝（　　） A．10 B．15 C．20 D．40 10．（3分）如图，正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y（k为常数，且k≠0）的图象相交于A（﹣2，m）和B两点，则不等式ax的解集为（　　） A．x＜﹣2或x＞2 B．﹣2＜x＜2 C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．x＜﹣2或0＜x＜2 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）已知（x﹣5）x＝1，则x＝　 　 ． 12．（3分）如图，已知圆锥底面圆的半径为2cm，母线长为6cm，一只蚂蚁从点A出发沿圆锥侧面一周（回到原来的位置A）所爬行的最短路径为 　 　 cm． 13．（3分）学校组织知识竞赛，共20道题，记分规则为：若答对，每题得5分；若答错或不答，每题倒扣3分，景同学的参赛目标是超过83分，则她至少要答对 　 　 道题． 14．（3分）若“*”是一种新的运算符号，并且规定a*b＝a×b﹣a÷b，则（﹣4）*2＝　 　 ． 15．（3分）如图，正方形ABCD的边长为16，线段CE绕着点C逆时针方向旋转，且CE＝6，连接BE，以BE为边作正方形BEFG，M为AB边上的点，且，当线段FM的长最小时，tan∠ECB＝　 　 ． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（8分）计算：． 17．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠BAC交AC于点D，且∠DBC＝∠A． （1）尺规作图：过点C作CH⊥AB，垂足为点H（要求：保留作图痕迹，不写作法）； （2）求∠A的度数． 18．（8分）某中学为了解初三同学的体育中考准备情况，随机抽取该年级某班学生进行体育模拟测试（满分30分），根据测试成绩（单位：分）绘制成两幅不完整的统计图（如图1和图2），已知图2中得28分的人数所对圆心角为90°，回答下列问题： （1）条形统计图有一部分污损了，求得分27分的人数；直接写出所调查学生测试成绩中位数和众数． （2）一同学因病错过考试，补测后与之前成绩汇总，发现中位数变大了，求该名同学的补测成绩． （3）已知体育测试的选考项目有：①足球运球绕杆：②篮球运球绕杆；③排球正面双手垫球，求小明和小亮选择同一项目的概率． 19．（9分）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，AE⊥OC于点D，交BC于F，与过点B的直线交于点E，且BE＝EF． （1）求证：BE是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为10，OD＝6，求BE的长． 20．（9分）2024年南国书香节已在广州琶洲顺利举行．某学校在活动期间购买甲、乙两种图书．已知乙图书比甲图书每本价格多10元，用5000元购买的甲图书和用6000元购买的乙图书数量相同． （1）求出甲、乙两种图书每本的价格分别是多少； （2）若计划购买甲、乙两种图书共50本，购书总费用不超过2860元，则最少购进甲图书多少本？ 21．（9分）我国无人机已广泛的应用在人们的生产和生活中．如图所示，某中学数学课外活动小组利用无人机测量沅江某一段江面的宽度，先在沅江两岸边上各选定一点A、B，且AB所在直线与江岸所在直线垂直，再在A点放飞无人机到一定高度后，然后在AB上方从A向B以30m/s的速度水平飞行．在M点处测得A点的俯角为72°，B点的俯角为30°，20s后在N点处测得B点的俯角为60°，求此段沅江江面的宽度．（结果精确到1米）（参考数据：，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08） 22．（12分）综合应用 【问题感知】 （1）如图①，在等边△ABC中，AB＝4，点M、N分别在边AC、BC上，若N是BC中点，则线段MN长度的最小值为 　 　 ． 【问题呈现】 若图①中“N是BC中点”改为“AM＝CN”，再求线段MN长度的最小值． 【问题解决】 （2）如图②，若把等边△ABC中“N是BC中点”改为“AM＝CN”，如何求线段MN的最小值． 解决方法：小明将通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述问题：过点C、M分别作MN、BC的平行线，并交于点P，作射线AP．则∠CAP为 　 　 度，线段MN长度的最小值为 　 　 ． 【应用迁移】 （3）如图③．某房屋在维修时需使用钢丝绳进行加固处理，小明根据问题画出了示意图④，MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳．四边形BCDE是矩形，AB＝AC＝CD＝2米，∠ACB＝30°，若点M在AC上，点N在DE上，AM＝DN．求钢丝绳MN的最小值． 23．（12分）在菱形ABCD中，点E为射线BC（不与B点重合）上一动点，连接AE，点F为AE中点，连接BF，将△ABF沿BF翻折得到△GBF，连接GE． （1）如图1，连接AG，GE与AG的位置关系是　 　 ；GE与BF的位置关系是　 　 ； （2）如图2，若∠D＝60°，当点E运动到BC中点时，求的值； （3）已知AB＝6，∠D＝60°，若∠AEG＝60°，则CE的长为　 　 ． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C A C B D D C D 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：C． 2．解：∵3240万＝32400000， ∴3240万用科学记数法表示为3.24×107． 故选：C． 3．解：这辆车平均每小时大约行了58.2（千米）， 即该结果正确的取值范围应在52.1～60之间． 故选：C． 4．解：∵四边形ABDE是圆内接四边形， ∴∠AED＝180°﹣∠B＝120°， 故选：A． 5．解：， 方程两边同乘x﹣1，得 3x+m＝5（x﹣1）， 解得， ∵x≠1， ∴， ∴m≠﹣3， ∵方程的解是正数， ∴， ∴m＞﹣5， ∴m＞﹣5且m≠﹣3， 故选：C． 6．解：由图可得， 最大值与最小值的差是：30﹣20＝10℃，故选项A错误， 众数是28℃，故选项B正确， 这组数按照从小到大排列是：20、22、24、26、28、28、30，故中位数是26℃，故选项C错误， 平均数是：25℃，故选项D错误， 故选：B． 7．解：∵以A为圆心，任意长为半径画弧交AB于M、AC于N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于D， ∴AD是∠BAC的平分线， 故①正确，符合题意； ∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAC＝∠DAB＝30°， ∴∠ADC＝90°﹣∠DAC＝90°﹣30°＝60°， 故②正确，符合题意； ∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∠DAB＝30°， ∴AD＝DB， ∴点D在AB的中垂线上， 故③正确，符合题意； ∵∠CAD＝30°， ∴， ∵AD＝DB， ∴， ∴，即CB＝3CD， ∵S△ACDCD•AC，S△ACBCB•AC＝3CD•AC， ∴S△ACD：S△ACB＝1：3， 故④正确，符合题意； 故正确的有①②③④，共4个． 故选：D． 8．解：如图所示：在图②中，过点R作RS⊥PQ于S，交MT于H， 在图①中，Rt△ABC为等腰直角三角形， ∴AC＝BC，∠C＝90°，∠A＝∠B＝45°， ∵四边形CDEF为正方形， ∴设CD＝DE＝EF＝FC＝a，∠CDE＝90°， ∴S正方形CDEF＝a2， ∵∠ADE＝90°﹣∠CDE＝90°， ∴△ADE为等腰直角三角形， ∴AD＝DE＝a， ∴AC＝BC＝2a， ∴S△ABCAC•BC＝2a2， ∴S△ABC＝2S正方形CDEF； 在图2中，Rt△PQR为等腰直角三角形， ∴PR＝QR，∠R＝90°，∠P＝∠Q＝45°， ∵RS⊥PQ， ∴∠PQS＝∠QRS＝45°， ∵四边形MNKT为正方形， ∴MN＝NK＝KT＝TM，∠MNK＝∠TMN＝90°，RT∥PQ， ∴RS⊥MT， ∴△RHM为等腰直角三角形， ∴设RH＝MH＝b， 同理：RH＝TH＝b， ∴MN＝NK＝KT＝TM＝2b， ∴S正方形MNKT＝（2b）2＝4b2， ∵∠MNP＝180°﹣∠MNK＝90°， ∴△MNP为等腰直角三角形， ∴PN＝MN＝2b， 同理：KQ＝KT＝2b， ∴PQ＝PN+NK+KQ＝6b， ∴RSPQ＝3b， ∴S△PQRPQ•RS＝9b2， ∴， ∴S△PQRS正方形MNKT， ∵图①和图②中是两个完全相同的等腰直角三角形， ∴S△ABC＝S△PQR， ∴2S正方形CDEFS正方形MNKT， ∴S正方形CDEF：S正方形MNKT＝9：8． 故选：D． 9．解：依题意得：△ACD和△BCE都是直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°， ∴设AC＝CD＝a，BC＝CE＝b， ∴DE＝CD﹣CE＝a﹣b， ∴S1a2，S2b2，S3a（a﹣b）（a2﹣ab），S4b（a﹣b）（ab﹣b2）， ∵S1﹣S2＝20， ∴a2b2＝20， ∴（a2﹣b2）＝20， ∴S3+S4（a2﹣ab+ab﹣b2）（a2﹣b2）＝20． 故选：C． 10．解：∵正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y（k为常数，且k≠0）的图象相交于A（﹣2，m）和B两点， ∴B（2，﹣m）， ∴不等式ax的解集为x＜﹣2或0＜x＜2， 故选：D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．解：当x＝0且x﹣5≠0时，解得x＝0； 当x﹣5＝﹣1且x为偶数时，解得x＝4； 当x﹣5＝1时，解得x＝6． 综上，x＝0或4或6． 故答案为：0或4或6． 12．解：圆锥的侧面展开如图： 设∠ASB＝n°， 即：2π•2， 得：n＝120， ∴AB＝6， 故答案为：6． 13．解：设景同学答对了x道题，则答错或不答（20﹣x）道题， 根据题意得：5x﹣3（20﹣x）＞83， 解得：x， 又∵x为整数， ∴x的最小值为18， ∴她至少要答对18道题． 故答案为：18． 14．解：∵a*b＝a×b﹣a÷b， ∴（﹣4）*2 ＝（﹣4）×2﹣（﹣4）÷2 ＝﹣8+2 ＝﹣6， 故答案为：﹣6． 15．解：如图，连接BF，BD，过点M作MN⊥BD于N，连接DM， ∵四边形ABCD，四边形BEFG都是正方形， ∴BDBC＝16，BF＝2BE，∠DBC＝∠ABD＝∠FBE＝45°， ∴∠DBF＝∠CBE，2， ∴△BEC∽△BFD， ∴，∠ECB＝∠FDB， ∴DF＝2EC＝6， 在△MFD中，MF≥DM﹣DF， ∴当点F在MD上时，MF有最小值， ∵M为AB边上的点，且， ∴MB＝4， ∵∠ABD＝45°，MN⊥BD， ∴MN＝BNBM＝2， ∴DN＝14， ∴tan∠ECB＝tan∠MDB， 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．解： ＝1+2﹣4+2 ＝1+2﹣4+1 ＝0． 17．解：（1）过点C作CH⊥AB，垂足为点H，如图： （2）∵AB＝AC， ∴设∠ABC＝∠ACB＝2α， ∵BD平分∠BAC交AC于点D， ∴∠DBC∠ABC＝α， ∵∠DBC＝∠A， ∴∠A＝α， 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝5α＝180°， ∴α＝36°， ∴∠A的度数为36°． 18．解：（1）∵样本容量为：1040（人）， ∴得分27分的人数为：40﹣（2+10+12+8）＝8（人）； ∵中位数是数据有小到大排列第20，第21个数据的平均数，而第20，第21个数据分别为28分，29分， ∴中位数为（28+29）÷2＝28.5（分）； ∵29分有12人，是人数最多的分数， ∴众数为：29分， 答：得分27分的人数为8人；所调查学生测试成绩中位数为28.5分，众数为29分； （2）补测成绩与原来成绩合并后，将合并后的成绩按照从小到大的顺序排列，排在第21名的成绩为中位数， ∵成绩的中位数变大了， ∴第21名的成绩大于28.5分， ∴这名同学补测成绩为29分或30分； （3）画树状图如下： 一共有9种等可能的情况，其中小明和小亮选择同一项目有3种可能的情况， ∴P（小明和小亮选择同一项目）． 19．（1）证明：∵BE＝EF， ∴∠EFB＝∠EBF， ∵∠CFD＝∠EFB， ∴∠EBF＝∠CFD， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC， ∵AE⊥OC， ∴∠OCB+∠CFD＝90°， ∴∠OBC+∠EBF＝90°，即∠EBA＝90°， ∵AB是直径， ∴BE是⊙O的切线； （2）解：∵⊙O的半径为10， ∴OA＝10，AB＝20， ∵AE⊥OC，OD＝6， ∴AD8， ∵∠ADO＝∠EBA＝90°，∠DAO＝∠BAE， ∴△DAO∽△BAE， ∴，即， ∴BE＝15． 20．解：（1）设甲图书每本的价格为x元，则乙图书每本的价格是（x+10）元， 由题意得：， 解得：x＝50， 经检验，x＝50是所列方程的解，且符合题意， ∴x+10＝50+10＝60， 答：甲图书每本的价格为50元，乙图书每本的价格为60元； （2）设购买甲图书m本，则购买乙图书（50﹣m）本， 由题意得：50m+60（50﹣m）≤2860， 解得：m≥14， 答：最少购进甲图书14本． 21．解：如图：连接AB，过点M作MC⊥AB，垂足为C，过点N作ND⊥AB，垂足为D， 由题意得：MC＝ND，MN＝CD＝20×30＝600（m），MN∥AB， ∴∠EMA＝∠MAC＝72°，∠FNB＝∠NBD＝60°， ∵∠FNB是△MNB的一个外角， ∴∠NBM＝∠FNB﹣∠NMB＝30°， ∴∠NBM＝∠NMB＝30°， ∴MN＝NB＝600m， 在Rt△NBD中，ND＝BN•sin60°＝600300（m）， BD＝NB•cos60°＝600300（m）， ∴MC＝ND＝300m， 在Rt△AMC中，AC168.5（m）， ∴AB＝AC+CD+BD＝168.5+600+300≈1069（m）， ∴此段沅江江面的宽度约为1069m． 22．解：【问题感知】（1）∵△ABC是等边三角形， ∴BC＝AB＝4，∠C＝60°， ∵N是BC中点， ∴CN＝2， 当NM⊥AC时，线段MN的值最小， ∴线段MN的最小值＝CN•sin60°＝2； 故答案为：； 【问题解决】 （2）解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∵CP∥MN，MP∥NC， ∴四边形CPMN是平行四边形， ∴MP＝NC， 又∵AM＝CN， ∴AM＝MP． ∴∠CAP＝∠MPA， ∵∠PMC＝∠ACB＝60°， ∴∠CAP＝∠MPA＝30°； ∵四边形CPMN是平行四边形， ∴MN＝PC，当PC⊥AP最小时，MN也有最小值，此时PCAC＝2， ∴MN最小值是2． 故答案为：30，2； 【方法应用】（3）如图过M、D作ED、MN的平行线， 则四边形MNDP是平行四边形， ∴MN＝DP，∠PMC＝∠ACB＝30°， ∴∠PAM＝∠APM＝15°， 当DP⊥AP时，DP最小， ∵∠ACD＝120°， ∴∠CAD＝30°， ∴∠PAD＝∠CAD+∠PAM＝45°， 在△ACD中，ADAC＝2米， ∴DP＝AD•sin45°米， 故钢丝绳MN长度的最小值为米． 23．解：（1）连接AG，延长BF交AG于K． 由折叠的性质可知BF垂直平分AG， ∴K是AG中点， ∵F是AE中点， ∴FK是△AEG的中位线， ∴FK∥GE，即GE∥BF， ∵BF⊥AG， ∴GE⊥AG， 故答案为：GE⊥AG，GE∥BF， （2）延长BF交AG于K． 设BE＝a，则AB＝2a， ∴，， ∴， 由（1）可知，GE⊥AG，GE∥BF， ∴∠AKF＝90°＝∠AEB， 又∵∠AFK＝∠BFE， ∴∠FAK＝∠FBE， ∵， ∴， 设FK＝3x，AK＝2x， 在Rt△AFK中，， 解得， 由题意，FK为△AEG的中位线， ∴； （3）1°当点E在BC上时，延长BF交AG于K． ∵∠AGE＝90°，∠AEG＝60°， ∴∠EAG＝30°， 在Rt△AEG中，设EG＝2x，则AE＝4x， ∴EF＝2x，AG＝2x，FKx， ∴AK， ∵BF∥EG， ∴∠BFE＝∠EFG＝60°， ∵∠D＝60°， ∴∠ABE＝60°＝∠BFE， ∵∠BEF＝∠AEB， ∴△BFE∽△ABE， ∴，即， ∴EB＝2x，FB＝3， 在Rt△ABK中，BK2+AK2＝AB2， ∴（3x）2+（x）2＝62， 整理得：2x2+3x﹣9＝0， 解得x（负值舍去）， ∴BE＝2x＝3， ∴CE＝AB﹣BE＝6﹣（3）＝9﹣3； 2°当点E在BC延长线上时， 同理可得△AFB∽△ABE， 设EG＝2x，则AE＝4x， ∴AF＝EF2x， ∴，即， 解得x ∴AE＝4x＝6， 过A作AH⊥BC于点H，则BH，AH， ∴EH3， ∴CE＝BE﹣BC＝BH+EH﹣BC＝3+36＝33； 综上，CE的长为或3； 故答案为：或3． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$