精品解析：四川省成都市金牛区成都七中万达集团学校2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题

成都七中万达学校2024-2025学年度下期高2023级半期考试 数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式计算求解. 【详解】因为函数， 则. 故选：D. 2. 若数列是等差数列，是（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质结合必要不充分条件定义判断即可. 【详解】数列是等差数列，，则； 当，数列是等差数列，则，不一定满足； 则是的必要不充分条件. 故选：B. 3. 记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式利用条件，列出关于与的方程组，通过解方程组求数列的公差. 【详解】设等差数列的公差为， 则，， 联立，解得. 故选：C. 4. 已知一个等比数列的前项、前项、前项的和分别为、、，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列片段和的性质可得结论. 【详解】设等比数列的公比为，则， ， ， 所以，. 故选：D. 5. 已知F是双曲线一个焦点，且点F到的两条渐近线的距离之积等于，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】取焦点，再利用点到直线距离的公式列式求解. 【详解】双曲线的渐近线为，由对称性不妨设， 依题意，，即， 所以的离心率. 故选：C 6. 函数，则（ ） A. . B. . C. . D. 以上情况都有可能. 【答案】D 【解析】 【分析】通过求导确定函数的单调区间，找到极值点.根据和是否位于极值点的两侧或同一侧，判断与的大小关系.由于和的位置不同会导致结果不同，因此需判断是否存在多种可能性.导数的符号由决定，从而确定函数在时递增，时递减，即可求解. 【详解】函数，求导得：， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，函数取得极大值， 分类讨论和的位置， 若: 函数在递增，故，选项B正确. 若: 函数在递减，故，选项A正确. 若: （递增段）（递减段）. 但与的大小取决于和的具体位置： 若接近1且较远（如与)，则. 若远离1且较近（如与），则. 若与到1的距离一样近（如与），则.选项C正确. 由于和的位置不同会导致与的大小关系不同，因此以上情况都有可能发生. 故选：. 7. 已知，且满足，则（ ） A. 29 B. 31 C. 59 D. 61 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知递推公式分奇偶计算通项公式即可求解. 【详解】因为，且满足， 当为偶数时，，所以， 当为奇数时，，所以奇数项是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以， 所以. 故选：B. 8. 若过点可以作曲线的两条切线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设切点为，可得切线为，所以，设，则与图象有两个交点，讨论时由单调性可知不符合题意，当时，由导数判断的单调性以及最值，数形结合即可求解. 【详解】设切点， 由可得，则切线方程为， 因为点在切线上，所以，所以， 若过点可以作曲线的两条切线，则有两解， 设，可得， 当时，恒成立，此时在上单调递增， 至多一解，所以不符合题意， 当时，由可得；由可得； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当趋近于时，趋近于； 当趋近于时，趋近于； 所以若与图象有两个交点，可得即， 所以若过点可以作曲线的两条切线，则， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象是中心对称图形 B. 有两个零点 C. 过点只能做一条直线与相切 D. 在上最大值为2，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据三次函数对称中心求法可得关于成中心对称，即A正确，再利用导函数求得其单调性画出图象可知B错误，利用导数的几何意义设出切点坐标解方程可知过点能做两条切线，即C错误，结合其图象可求得当在上最大值为2时，即D正确. 【详解】对于A，易知，则， 令，可知，又， 所以函数的图象关于成中心对称，即A正确； 对于B，令，解得或， 因此当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增； 因此在处取得极小值，在处取得极小大值； 画出函数图象如下图所示： 由图易知有三个零点，即B错误； 对于C，设过点与相切的切点坐标为； 易知切线斜率为， 此时切线方程为，即； 将点代入切线可得， 即，解得或； 因此过点能做两条直线与相切，即C错误； 对于D，由B选项分析可知在上的最大值为2， 又，因此当时，在上最大值为2，即D正确. 故选：AD 10. 已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹可以是（    ） A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线 【答案】AD 【解析】 【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程. 【详解】由题意得，即， 对其进行整理变形： ， ， ， ， 所以或， 其中为双曲线，为直线. 故选：AD. 11. 已知数列满足，前项和为，下列说法正确的是（ ） A. B. 的解有3个 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知可得，可判断A，求得数列的通项公式，再逐项计算可判断BCD. 【详解】由，可得， 所以， 显然，两边同除以， 可得，所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列，故A正确； 所以，所以，解得， 由，可得，所以， 解得或，又，所以，故的解有3个，故B正确； ， ， 当或时，的最大项为，故C错误； 当时， ， 所以，故D正确. 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数列成等比数列，其公比为q，前n项和为Sn．若，，则_______． 【答案】或1 【解析】 【分析】列出关于等比数列的公比为q方程，再解方程求出q. 【详解】等比数列的公比为q，由，得， 整理得，解得或， 所以或. 故答案为：或1 13. 已知函数有两个不同的极值点，则a的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，结合二次函数的性质求出的范围即可. 【详解】因为函数，所以， 令，由题意得在上2个解， 故，解得：； 故答案为：. 14. “已知数列，其中第一项是.接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，以此类推，求满足如下条件的最小整数且该数列的前项和为2的整数幂，”那么_______ 【答案】 【解析】 【分析】将数列按规律分组，结合等差数列等比数列的求和公式计算即可得到答案. 【详解】对数列进行分组如下： 第一组：，1个数；第二组：，2个数； 第三组：，3个数；； 第组：，个数； 第组：，个数. 设该数列的第项在第组， 该数列前组的项数和为：， 第组的和为：， ∴该数列前组的各项和为：， 若该数列的前项和为2的整数幂，只需将消去即可， 当时，，，不满足， 当时，，，不满足， 当时，，，不满足， 当时，，，满足， ∴满足条件的最小整数为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，，. （1）证明：平面ABCD. （2）若，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）通过证明平面，可得，结合可完成证明； （2）如图建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，由空间向量知识可得答案. 【小问1详解】 证明：因为底面为正方形，所以. 又因为，，平面，所以平面PBD； 因为平面，所以. 因为，与相交，平面. 所以平面. 【小问2详解】 解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则，，，，则，，. 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以平面的一个法向量为. ， 易知二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为. 16. 已过抛物线C：的焦点为，且抛物线的焦点到准线的距离为2． （1）求抛物线的方程 （2）过点的直线与抛物线交于两点，且为的中点，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线中的几何意义得解； （2）利用点差法求解. 【小问1详解】 因为抛物线的焦点到准线的距离为2，故， 所以． 【小问2详解】 设，，如下图： 则， 由，得， 若，则A、B关于x轴对称，为AB中点不符合题意； 若，则， 所以直线的方程为，即． 17. 已知函数． （1）若，求函数的单调区间； （2）求在上的最大值为0，求a的值． 【答案】（1）增区间为，减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，令可得的增区间，令可得的减区间； （2）对分类讨论，求出，，时函数的最大值，令最大值为0，即可求解. 【小问1详解】 函数的定义域为，则．因为，所以， 由，可得，由，可得． 此时，函数的增区间为，减区间为． 【小问2详解】 ， 当时，在上，所以函数在上单调递减， 此时，，令，则，不合题意. 当时，由得，由得，所以函数在上单调递增，在上单调递减， 此时，，令，则. 当时，在上，所以函数在上单调递增，此时，，令，则，不合题意. 综上所述：. 18. 已知函数和 （1）若，证明： （2）若，试判断和的公切线条数 【答案】（1）证明见解析 （2）条 【解析】 【分析】（1）利用放缩法求证，再结合等号成立的条件不同即可证得； （2）先分别设切点并求出切线方程，列出关于的方程组，再消元得出，通过构造函数，研究其零点个数即可判断公切线条数. 【小问1详解】 令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则，即，等号成立时； 令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则，即，等号成立时； 则当时，， 但因等号成立条件不同，故当时，，即成立. 【小问2详解】 设曲线的切点为，因，则切线斜率为， 故切线方程为，即； 设曲线的切点为，因，则切线斜率为， 则切线方程为，即； 由题意得，得， 则，即， 设，则， 设，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 因，， 则由零点存在性定理可知，使得，即， 又时，，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 因，， 则由零点存在性定理可知，在和上分别存在一个零点， 则方程存在两个根， 所以和存在两条公切线. 19. 已知数列满足：，正项数列满足：，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列前项的和； （3）记为数列的前项积，证明： 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据得到，时，，经检验，也满足上式，故，累加可得，经检验，也满足上式，又因为是正项数列，故； （2）分组求和，结合错位相减法得到当为偶数时，，当为奇数时：，得到答案； （3）计算出，利用放缩证明出不等式左边，利用证明出不等式右边 【小问1详解】 ， 当时，，即， ， 等式两边同除以得①， 当时，②， 两式相减有：， ， 经检验，也满足上式，故. 因为， 则当时，， 累加可得：， 且， . 经检验，也满足上式，又因为正项数列，故. 【小问2详解】 ， ， 令，则， 两式相减可以得到：， . 令， 当为偶数时：； 当为奇数时：； 故当为偶数时，， 当为奇数时：， . 【小问3详解】 因为，所以， 证明不等式左边： ， 证明不等式右边： ，得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都七中万达学校2024-2025学年度下期高2023级半期考试 数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2. 若数列是等差数列，是的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 3. 记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（ ） A 1 B. 2 C. 4 D. 8 4. 已知一个等比数列的前项、前项、前项的和分别为、、，则下列式子正确的是（ ） A. B. C D. 5. 已知F是双曲线的一个焦点，且点F到的两条渐近线的距离之积等于，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 6. 函数，则（ ） A. . B. . C. . D. 以上情况都有可能. 7. 已知，且满足，则（ ） A. 29 B. 31 C. 59 D. 61 8. 若过点可以作曲线的两条切线，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象是中心对称图形 B. 有两个零点 C. 过点只能做一条直线与相切 D. 在上最大值为2，则 10. 已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹可以是（    ） A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线 11. 已知数列满足，前项和为，下列说法正确是（ ） A. B. 的解有3个 C. D. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数列成等比数列，其公比q，前n项和为Sn．若，，则_______． 13. 已知函数有两个不同的极值点，则a的取值范围为________． 14. “已知数列，其中第一项是.接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，以此类推，求满足如下条件的最小整数且该数列的前项和为2的整数幂，”那么_______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，，. （1）证明：平面ABCD. （2）若，求二面角的余弦值. 16. 已过抛物线C：的焦点为，且抛物线的焦点到准线的距离为2． （1）求抛物线的方程 （2）过点的直线与抛物线交于两点，且为的中点，求直线的方程． 17 已知函数． （1）若，求函数的单调区间； （2）求在上的最大值为0，求a的值． 18. 已知函数和 （1）若，证明： （2）若，试判断和的公切线条数 19. 已知数列满足：，正项数列满足：，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项的和； （3）记为数列的前项积，证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $