精品解析：山西省大同市大同若干校2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

山西省2024—2025学年第二学期期中教学质量监测 八年级数学（人教版） 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列长度的线段不能构成直角三角形的是（ ） A. 6，8，10 B. 5，12，13 C. ，，3 D. 1.5，2，3 4. 如图，在中，，且为垂足．如果，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，线段为等腰的底边，矩形的对角线与相交于点O，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，在边长均为1的小正方形组成的网格中，点O，A，C都在格点上，以点O为圆心，的长为半径画弧，交网格线于点B，则线段的长为（ ） A. B. ` C. D. 8. 已知，，，下列结果计算正确的是（ ） A. 12 B. 8 C. D. 9. 如图，在中，，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E，再分别以点A，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，连接并延长交于点G，连接．若四边形的周长为，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在边长为6的等边三角形中，为边上的中线，点E为上一动点，点F在上，连接，．若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将正确答案填在答题卡中的横线上） 11. 计算：________． 12. 如图，的对角线交于点O，只需添加一个条件即可证明是菱形，这个条件可以是_______（写出一个即可）． 13. 如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形。其中阴影部分面积是______． 14. 若一个直角三角形和一个圆的面积相等，且该直角三角形的两条直角边长分别为和，则该圆的半径为_______． 15. 如图，正方形的边长为12，点E，F分别在边，上，且，连接，和，与相交于点O，点H为的中点，连接，则的长为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E，F分别是OC，OD的中点．求证：四边形AFBE是平行四边形． 18. 我们发现可以在正方形网格中构造图形解决一些数学问题． 例如：如图1，在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），构造，点A，B，C都在格点上，比较与的大小． 解：由勾股定理，得，，． 在中，，． 请仿照上述方法，在图2中构造图形，比较与的大小． 19. 如图，王师傅家的院子里有一块矩形空地，他准备在空地中间修建一个矩形水池，其余地方种植蔬菜．已知矩形空地的长为，宽为，矩形水池的长为，宽为． （1）求矩形空地的周长；（结果化为最简二次根式） （2）求种植蔬菜的面积． 20. 如图，菱形的对角线，交于点A，过点B作，过点D作，，交于点C． （1）求证：四边形是矩形． （2）当时，求证：四边形是正方形． 21. 项目化学习 为了方便同学们更好地放置自己的物品，太原市某校新购进一批课桌便携式挂钩，数学活动实践小组以“测量课桌挂钩顶端到地面的距离”为主题展开项目化学习，他们利用课余时间完成实践探究，并形成如下课题报告． 项目主题 测量课桌 顶端到地面的距离 调查方式 测量，查看说明书 测量图示及说明 已知地面为水平面，桌面，，为课桌的高度，挂钩顶端D到地面的距离为． 元素 数据 请根据测量数据，求课桌挂钩顶端D到地面的距离． 22. 阅读下面材料，完成相应的任务． 四边形的中位线 我们学习过三角形的中位线，类似的，把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线． 如图1，在四边形中，点M，N分别是，的中点，则就是四边形的中位线．求四边形的中位线的长度，可以通过找中点，将其转化为三角形的中位线解决． 例：如图2，在四边形中，点E，F分别是，的中点．若，，，，求的长． 解：如图2，取的中点P，连接，． 点E、F分别是，的中点， ，，，．（依据） …… 任务： （1）上述材料中的依据是指：_______． （2）将材料中的解题过程补充完整． （3）如图3，在四边形中，点E，F分别是，的中点，，，，延长，交于点M，延长交于点N．求证：． 23. 综合与探究 在菱形中，过点A作射线交于点E，作，交射线于点G，在射线上截取，连接． 特例探究： （1）如图1，当时，请直接写出的度数； 操作探究： （2）如图2，当是等边三角形时，求的度数； 拓展探究： （3）如图3，当时，请直接写出，和之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省2024—2025学年第二学期期中教学质量监测 八年级数学（人教版） 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．据此列出不等式求解即可． 【详解】解：若二次根式有意义，则， 解得：， 故选：A． 2. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式性质及同类二次根式定义，熟记同类二次根式的定义是解决问题的关键． 先利用二次根式性质对各选项中的二次根式进行化简，再根据同类二次根式定义判断即可得到答案． 【详解】解：，，， 与是同类二次根式，可以合并． 故选：C． 3. 下列长度的线段不能构成直角三角形的是（ ） A. 6，8，10 B. 5，12，13 C. ，，3 D. 1.5，2，3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，即可解答． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，不符合题意； B、，能构成直角三角形，不符合题意； C、，能构成直角三角形，不符合题意； D、，不能构成直角三角形，符合题意． 故选：D． 4. 如图，在中，，且为垂足．如果，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质等知识，根据平行四边形的性质得到，进一步由直角三角形两锐角互余求出的度数． 【详解】在中，， ∴， ∵，且为垂足． ∴ ∴， 故选：C． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除，熟练掌握运算法则是解题关键．根据二次根式的加减乘除法法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不可合并，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项错误，不符合题意； D、，则此项正确，符合题意； 故选：D． 6. 如图，线段为等腰的底边，矩形的对角线与相交于点O，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先根据矩形对角线相等且互相平分求出的长，再根据等腰三角形底边的定义得出即可求解． 【详解】解：矩形的对角线与相交于点O，， ， 线段为等腰的底边， ． 7. 如图，在边长均为1的小正方形组成的网格中，点O，A，C都在格点上，以点O为圆心，的长为半径画弧，交网格线于点B，则线段的长为（ ） A. B. ` C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 首先得到，根据勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】如图所示， 由题意得， ∴ ∴． 故选：A． 8. 已知，，，下列结果计算正确的是（ ） A. 12 B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值．利用完全平方公式分解得到，代入数据即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选：A． 9. 如图，在中，，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E，再分别以点A，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，连接并延长交于点G，连接．若四边形的周长为，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，设和交于点H，证明出四边形是菱形，得到，求出，然后求出，勾股定理求出，然后根据菱形的性质求解即可． 【详解】如图所示，设和交于点H 由作图得，是的平分线 ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴ ∴ 由作图得，， ∴ ∴四边形是菱形 ∴ ∵四边形的周长为 ∴ ∵在中，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴四边形的面积为． 故选：D． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，菱形的性质和判定，勾股定理，含角直角三角形的性质，尺规作角平分线等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 10. 如图，在边长为6的等边三角形中，为边上的中线，点E为上一动点，点F在上，连接，．若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质．连接，，作，由题意可得，，则，得到当共线时，最小，最小值为，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，，作，如下图： 在等边中，是边上的中线， ∴垂直平分， ∴， 则， 当共线时，，此时最小， 在等边中，， ∴，， ， ∴， 故选：B． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将正确答案填在答题卡中的横线上） 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减运算，先将化简为，然后与进行合并同类二次根式即可． 【详解】解：． 故答案为： 12. 如图，的对角线交于点O，只需添加一个条件即可证明是菱形，这个条件可以是_______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，掌握菱形的判定定理是解题的关键．根据菱形的判定定理即可得出结论． 【详解】这个条件可以是，依据是对角线互相垂直的平行四边形是菱形．还可以添加的条件有 或 或 或 ，依据是一组邻边相等的平行四边形是菱形． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形。其中阴影部分面积是______． 【答案】25 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理在几何图形中的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． 【详解】解：如图， 在，，， 则， ∵四边形为正方形， ∴， 在中，， ∴阴影部分面积是25， 故答案为：25． 14. 若一个直角三角形和一个圆的面积相等，且该直角三角形的两条直角边长分别为和，则该圆的半径为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘法运算、求算术平方根，先根据圆的面积公式和直角三角形的面积公式列方程求解即可． 【详解】解：设圆的半径为r， 根据题意，得，即， 解得（负值舍去）， 故答案为：． 15. 如图，正方形的边长为12，点E，F分别在边，上，且，连接，和，与相交于点O，点H为的中点，连接，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考点涉及正方形的性质、三角形全等的证明、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知识点，难度适中，熟练掌握相关性质定理是解题关键．利用正方形的性质证出，所以，进而证得是直角三角形，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半可知，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点H为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟知运算法则及完全平方公式的运用是正确解答此题的关键． （1）先将各二次根式化为最简二次根式，再合并即可； （2）先分母有理化，用完全平方公式计算，再算加减即可． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 原式 ． 17. 如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E，F分别是OC，OD的中点．求证：四边形AFBE是平行四边形． 【答案】 证明：∵AC∥DB， ∴∠CAB＝∠DBA， 又∵AO＝BO，∠AOC＝∠BOD， ∴△AOC≌△BOD(ASA)， ∴CO＝DO， ∵E，F分别为OC，OD的中点， ∴OE＝OF， ∴四边形AFBE 是平行四边形． 【解析】 【分析】此题已知AO=BO，要证四边形AFBE是平行四边形，根据全等三角形，只需证OE=OF即可． 【详解】略 18. 我们发现可以在正方形网格中构造图形解决一些数学问题． 例如：如图1，在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），构造，点A，B，C都在格点上，比较与的大小． 解：由勾股定理，得，，． 在中，，． 请仿照上述方法，在图2中构造图形，比较与的大小． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及三角形的三边关系等知识，熟练掌握勾股定理和三角形的三边关系是解题的关键．画出图形，再由勾股定理求出、、的长，然后由三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】解：如图，构造，点D，E，F都在格点上． 由勾股定理，得，，． 在中，， ． 19. 如图，王师傅家的院子里有一块矩形空地，他准备在空地中间修建一个矩形水池，其余地方种植蔬菜．已知矩形空地的长为，宽为，矩形水池的长为，宽为． （1）求矩形空地的周长；（结果化为最简二次根式） （2）求种植蔬菜的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，理解题意，正确列式是解答的关键． （1）根据矩形的周长公式，结合二次根式的性质化简求解即可； （2）先由矩形空地的面积减去矩形水池的面积得到种植蔬菜的面积即可求解． 【小问1详解】 解∶ ， 答：矩形空地的周长为； 【小问2详解】 解∶ ， 答：种植蔬菜的面积为． 20. 如图，菱形的对角线，交于点A，过点B作，过点D作，，交于点C． （1）求证：四边形是矩形． （2）当时，求证：四边形是正方形． 【答案】（1） 证明：，， 四边形是平行四边形． 四边形是菱形， 四边形是矩形． （2） 证明四边形是菱形，， 四边形是正方形． ，，． ． 由（1）知四边形是矩形， 四边形是正方形． 【解析】 【分析】本题主要考查了利用菱形的性质，证明四边形是矩形，证明四边形是正方形． （1）根据，，判定四边形是平行四边形，根据菱形的性质可得，从而证得四边形是矩形； （2）当，可证明四边形是正方形，得到，据此可证明四边形是正方形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 项目化学习 为了方便同学们更好地放置自己的物品，太原市某校新购进一批课桌便携式挂钩，数学活动实践小组以“测量课桌挂钩顶端到地面的距离”为主题展开项目化学习，他们利用课余时间完成实践探究，并形成如下课题报告． 项目主题 测量课桌 顶端到地面的距离 调查方式 测量，查看说明书 测量图示及说明 已知地面为水平面，桌面，，为课桌的高度，挂钩顶端D到地面的距离为． 元素 数据 请根据测量数据，求课桌挂钩顶端D到地面的距离． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，等腰三角形的判定与性质，直角三角形两个锐角互余，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先连接交于点H．结合，，得，整理得，．再运用勾股定理分别列式计算得，，即可作答． 【详解】解：如图，连接交于点H，并延长交于点． ，， ． ， ． ， ，． ． 在中， ． 在中，由勾股定理，得，即， 解得． ． ∵ ∴四边形是矩形， ∴， 同理证明四边形是矩形， ∴， ． 答：课桌挂钩顶端D到地面的距离为． 22. 阅读下面材料，完成相应的任务． 四边形的中位线 我们学习过三角形的中位线，类似的，把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线． 如图1，在四边形中，点M，N分别是，的中点，则就是四边形的中位线．求四边形的中位线的长度，可以通过找中点，将其转化为三角形的中位线解决． 例：如图2，在四边形中，点E，F分别是，的中点．若，，，，求的长． 解：如图2，取的中点P，连接，． 点E、F分别是，的中点， ，，，．（依据） …… 任务： （1）上述材料中的依据是指：_______． （2）将材料中的解题过程补充完整． （3）如图3，在四边形中，点E，F分别是，的中点，，，，延长，交于点M，延长交于点N．求证：． 【答案】（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半（或三角形的中位线定理） （2） 解：如图2，取的中点P，连接，． 点E、F分别是，的中点， ，，，．（三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半） ，． ． ． 在中，由勾股定理，得． （3） 证明：如图，连接，取的中点H，连接，． 点E，F分别是，的中点， ，，，． ，． ，，， 是直角三角形，且． ． ． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理及逆定理等知识；熟练运用相关性质定理是正确解答此题的关键． （1）根据三角形的中位线定理即可解答； （2）由三角形中位线定理得，，，，根据平行线的性质可得出，进而可得．再由勾股定理即可得． （3）连接，取的中点H，连接，．根据三角形中位线定理得，，，．进而可得，．用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且．即可得结论． 【小问1详解】 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半（或三角形的中位线定理） 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 综合与探究 在菱形中，过点A作射线交于点E，作，交射线于点G，在射线上截取，连接． 特例探究： （1）如图1，当时，请直接写出的度数； 操作探究： （2）如图2，当是等边三角形时，求的度数； 拓展探究： （3）如图3，当时，请直接写出，和之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质可得，证明，推出，再根据时，菱形是正方形，可得，推出，易求，进而求出；即可得出结果； （2）同理（1）得，由是等边三角形，可得，再根据菱形的性质可得； （3）过点B作于点H，同理（1）得，则，同理（2）得，求出，易得，利用勾股定理求出，进而得到，再根据，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴菱形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）同理（1）得， ∵是等边三角形， ∴， ∵菱形， ∴； （3），理由如下： 如图，过点B作于点H， 同理（1）得， ∴是等腰三角形， ∴， 同理（2）得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质，正方形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $