精品解析：江苏省西安交通大学苏州附属中学(园三)2024-2025学年高一下学期期中数学试题

苏州西交大附中（园三）2024—2025学年度第二学期期中 高一数学 2025.4 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一顶是符合题目要求的. 1. 已知向量，满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知中，为的中点，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，为锐角，若，，则（ ） A. B. C. 或 D. 5. 在中，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 6. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法不正确的是（ ） A. ， B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的图象关于对称 D. 函数在上单调递增 7. 函数，若在上有且只有个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在三角形ABC中，已知，，D是BC的中点，三角形ABC的面积为6，则AD的长为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题：每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 中，D为BC的中点，则 B. 向量，可以作为平面向量的一组基底 C. 若非零向量与满足，则为等腰三角形 D. 已知点，，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标可以为 10. 在中，，，分别为角，，的对边，下列叙述正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 已知，，则 C. 若，则 D. 若，则为锐角三角形 11. 如图，一个半径为米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为米.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：米）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：秒）之间的关系为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点 D. 盛水筒在转动一圈的过程中，在水中的时间为秒 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，角所对的边分别为，，，，若三角形有两解，则实数的取值范围是___________. 13. 把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数是奇函数，则的值为______________，若函数在区间上存在最大值2，则实数的取值范围为_______________. 14. 记的三个内角，且，，若是的外心，是角的平分线，在线段上，则______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，满足：，，. （1）求与的夹角的余弦值； （2）若，求实数的值. 16. 已知在中，角的对边分别为，且. （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 17. 如图，一个直角走廊的宽分别为a，b，一铁棒与廊壁成角，该铁棒欲通过该直角走廊，求： （1）铁棒长度L（用含的表达式表示）； （2）当时，能够通过这个直角走廊的铁棒的长度的最大值． 18. 在中，已知角的对边分别为为边上一点. （1）若，求； （2）若平分，求的取值范围. 19. 已知函数. （1）设，为偶函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围； （2）已知函数的图象过点，设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏州西交大附中（园三）2024—2025学年度第二学期期中 高一数学 2025.4 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一顶是符合题目要求的. 1. 已知向量，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的模长公式直接计算即可. 【详解】由已知得， 故， 所以， 故选：C. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用换元法结合二倍角公式求解即可. 【详解】令，而， 故选：A. 3. 已知中，为的中点，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合已知利用数量积的运算律得，则有，进而结合几何性质利用投影向量的概念求解即可. 【详解】由两边平方得，即，所以. 因为为中点，所以在向量上的投影向量为. 故选：C 4. 在中，为锐角，若，，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同角三角函数间的基本关系分别求出及的值，然后利用诱导公式及三角形内角和定理得到，利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出的值． 【详解】中，，， 为锐角，结合为锐角， ，， 则 ． 故选：A． 5. 在中，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理将化简为，从而可求解. 【详解】由，得， 由余弦定理得，化简得， 当时，即，则为直角三角形； 当时，得，则为等腰三角形； 综上：为等腰或直角三角形，故D正确. 故选：D. 6. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法不正确的是（ ） A. ， B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的图象关于对称 D. 函数在上单调递增 【答案】B 【解析】 【分析】由图象求出的解析式，再利用正弦函数性质逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】对于A，由题意，，则， 则， 又在上，则，即， 所以，则， 又，所以，所以，即，，故A正确； 对于B，因为， 所以不是图象的对称轴，故B错误； 对于C，因为， 所以的图象关于点对称，故C正确； 对于D，当时，， 所以在上单调递增，故D正确. 故选：B. 7. 函数，若在上有且只有个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由得，由可求出的取值范围，根据函数在上的零点个数，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】令，得，由于，所以. 又因为在上有且只有个零点，所以， 解得，因此，正实数的取值范围是. 故选：B. 8. 在三角形ABC中，已知，，D是BC的中点，三角形ABC的面积为6，则AD的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由可得，从而得，，所以，再利用余弦的二倍角公式可求出，由同角三角函数的关系求出，再由三角形ABC的面积为6，可求出，然后在中利用余弦定理可求得答案 【详解】如图，设的内角的对边分别为， 因为，所以， 即，所以, 所以，即， 因为，所以，所以 因为，所以， 因为， 所以 , 因为， 所以, 因为三角形ABC的面积为6， 所以，得， 因为，所以， 因为D是BC的中点，所以, 在中，由余弦定理得 ， 因为， 所以， 故选：A 二､多选题：本题共3小题：每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 中，D为BC的中点，则 B. 向量，可以作为平面向量的一组基底 C. 若非零向量与满足，则为等腰三角形 D. 已知点，，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标可以为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据平面向量的运算即可判断；对于B，根据平面向量的基本定理即可判断；对于C，根据平面向量的运算及三角形性质即可判断；对于D，根据平面向量的运算即可判断. 【详解】对于A，在中，因为D为BC的中点，所以， 所以， 故选项A正确； 对于B，因为向量，，所以， 可知与共线，不能作为平面向量的一组基底，故选项B错误； 对于C，因为和分别表示与向量和同向的单位向量， 所以以和为邻边的平行四边形是菱形， 根据平行四边形法则可知在的平分线上， 又因为，所以的平分线垂直于，所以， 即为等腰三角形，故选项C正确； 对于D，若点P是线段AB的三等分点，则或， 因为，，所以， 所以或， 即点P的坐标可以为或，故选项D错误. 故选：AC. 10. 在中，，，分别为角，，的对边，下列叙述正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 已知，，则 C. 若，则 D. 若，则为锐角三角形 【答案】BC 【解析】 【分析】利用正弦定理化边为角，化简判断三角形的形状，判断A，由条件，结合正弦定理求，由此判断B；根据正弦定理，结合边角关系判断C；由正弦定理可得边的比例，再由余弦定理求最大角，由此判断D. 【详解】设的外接圆的半径为， 由正弦定理可得， 因为，所以， 所以， 所以，又，， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形，A错误； ，B正确； 因为，所以， 所以，故，C正确； 因为，由正弦定理可得， 设，则， 因为中最大边为，最大角为角，且，又， 所以角为钝角，D错误； 故选：BC. 11. 如图，一个半径为米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为米.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：米）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：秒）之间的关系为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点 D. 盛水筒在转动一圈的过程中，在水中的时间为秒 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据的最大值为，最小值为可求得的值，可得选项A正确；根据时可得选项B正确；令求出的值可得选项C错误；由求出的范围可得选项D正确. 【详解】由题意得，的最大值为，最小值为， ∴，解得，选项A正确. 设函数的最小正周期为，由筒车按逆时针方向每分钟转圈可得，故， ∴， ∵时，，∴， ∵，∴，选项B正确. 由B得，， 令，得，故， ∴，故， 令得，，故盛水筒出水后至少经过秒可到达最低点，选项C错误. 由，得，得， ∴， 解得， ∴盛水筒在转动一圈的过程中，在水中的时间为秒，选项D正确. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，角所对的边分别为，，，，若三角形有两解，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理整理可得，构建，可知在内有2个零点，结合二次函数零点分布运算求解. 【详解】由余弦定理可得，即， 整理可得， 构建，可知在内有2个零点， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 13. 把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数是奇函数，则的值为______________，若函数在区间上存在最大值2，则实数的取值范围为_______________. 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】应用辅助角公式得，结合图象平移及正弦型函数的奇偶性有，即可求参数，再由正弦型函数的区间最值有，即可得范围. 【详解】由题设， 所以为奇函数，则， 所以，又，故， 所以，若，则， 又函数在区间上存在最大值2，则. 故答案为：5， 14. 记的三个内角，且，，若是的外心，是角的平分线，在线段上，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由角平分线结合等面积法可得，再运用外心性质（垂径定理）和向量加法把要求的向量分解为共线向量和垂直向量即可求解. 【详解】是角的平分线，在线段上，且，，， ，设的高为，由等面积法得， ， 过点作垂线分别交于，由外心性质得分别为的中点， . 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键之一是首先利用角平分线的性质得到，再利用外心的性质将部分数量积转化为0计算即可. 四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，满足：，，. （1）求与的夹角的余弦值； （2）若，求实数的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）对展开可得，再由向量夹角的余弦值公式即可求解； （2）由向量垂直性质可得，化简后解方程即可求解实数的值. 【小问1详解】 由题可得， 因为，，代入可得， ，所以与的夹角的余弦值. 【小问2详解】 因为，所以， 化简可得， 将，，代入可得，解得或. 16. 已知在中，角的对边分别为，且. （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由两角和与差的余弦公式和正弦定理再结合同角三角函数基本关系计算可得； （2）由正弦定理和同角三角函数关系得到，再由锐角三角形可得，从而得到，最后由三角形的面积公式求出结果即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 即. 由正弦定理，得， 易知，所以，所以. 因为，所以. 【小问2详解】 由题设及（1）可知，的面积， . 为锐角三角形， ，解得， ， 又， . 17. 如图，一个直角走廊的宽分别为a，b，一铁棒与廊壁成角，该铁棒欲通过该直角走廊，求： （1）铁棒长度L（用含的表达式表示）； （2）当时，能够通过这个直角走廊的铁棒的长度的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据示意图及三角函数定义，即可得长度L的表达式； （2）根据（1）表达式，化简可得，令，根据范围，可得t的范围，根据二次函数性质，可得L的最小值，即可得答案. 【小问1详解】 作出示意图，铁棒，， 在中，， 在中，， 所以 【小问2详解】 当时， 令，因为，， 所以，， 所以，且在上单调递增， 所以当时，即时，L的最小值为， 所以能够通过这个直角走廊的铁棒的长度的最大值为. 18. 在中，已知角的对边分别为为边上一点. （1）若，求； （2）若平分，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理及化弦为切得，由结合余弦定理得，由正弦定理及两角和差的正弦定理化简得，进而求得，从而利用二倍角的正切公式求得，即可得解. （2）根据面积分割法得，再根据余弦定理及基本不等式求得，进而，根据函数单调性求解范围即可. 【小问1详解】 由，即. 又，由余弦定理， 可得. 即，展开， 即，所以，所以或（舍去）， 结合，则，所以， 因为，，解得，所以. 【小问2详解】 因为平分，所以. 由，可得， 即， 由余弦定理， 则.根据基本不等式， 设，解得， 又（三角形三边关系），， 令，函数在上单调递增，所以. 19. 已知函数. （1）设，为偶函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围； （2）已知函数的图象过点，设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由函数为偶函数得，结合已知即可得，再应用三角恒等变换化简并确定区间值域，由不等式能成立有，即可求范围； （2）根据已知得，将问题化为，结合三角函数、二次函数的性质求最值，进而列不等式求参数范围. 【小问1详解】 由为偶函数，则，，又，则， 所以，则 ， 存在，使不等式成立，则， 所以在上能成立，而， 所以； 【小问2详解】 由题设，且，则， 所以， 而，则，所以， 对任意的，总存在，使成立， 所以，即， 令，则，故， 当，则在上单调递增，此时，可得； 当，则在上单调递减，此时，可得； 当，则在上单调递增，在上单调递减，此时，可得； 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $