广东省佛山市H7联盟2024-2025学年高二下学期5月联考数学试题

高二数学参考答案 1.B不同的取法有3十2+2=7种. 1 2.A1'()= '(9)2 ,所以74工3 4 BA由题可得a2一7ag=2,a4=-1…,所以a,是周期为3的数列，则a2s=aisX9三a =2 4.C因为f'(x)=2cos2x-f'(1),所以f'(1)=2cos2-f'(1),解得f(1)=cos2. 5.D设等差数列{an}的公差为d,则a2十a8=2a5=10,得as=5,所以a3a7=(a5一2d)(as十 2d)=a号-4d2=25-4d2=-11,又d>0,所以d=3. 6.B若用四种颜色，则A,C同色或B,D同色，则涂色方案有2A=48种： 若用三种颜色，则A,C同色且B,D同色，则涂色方案有A=24种， 综上，不同的涂色方案有48十24一72种， 7.D由图可知当x∈（一∞，1）U(4,+∞)时，(x)<0,当x∈(1,4)时，'(x)>0,所以 (x)f'(x)>0的解集为(1,4)U(7,+o∞). 8.A若个位上的数字是0，则这样的四位偶数有A=60个：若个位上的数字不是0，则这样的 四位偶数有2×4×A?=96个.故四位数是偶数的有156个. 下面考虑这个四位数既满足是偶数，又满足个位、十位和百位上的数字之和为偶数的情况：若 个位、十位和百位上的数字都是偶数，则这样的四位数有3A一18个：若个位、十位和百位上 的数字是1个偶数和2个奇数，则当这个偶数是0时，这样的四位数有3CA一18个，当这个 偶数不是0时，这样的四位数有2C号C2A=24个.综上，满足这两个条件的四位数有60个 故所求的概率为器-。 ,BC由离散型随机变量的性质可得号十9十2=1，解得9=合，故A错误，B正确。 由期望公式可得EGX)=2×号+4x名+7X号-4，故C正确 E(2-3X)=2-3E(X)=-10,D错误. 10.ACDf'(x)=3.x2+2ax+b,则f(1)=3+2a+b=0,f(1)=1+a+b+2=0,解得a=0, b=一3，则a一b=3,A正确：'(x)=3x2一3，则∫(x)在（一o∞，一1）和(1，十∞)上单调递 增，在(-1,1)上单调递减，当0<x<1时，0<x2<x<1,则f(x2)>f(x),B错误：当x>1 时，x2>x>1,则f(x2)>∫(x),C正确：设切点为(m,m一3n十2)，则切线方程为y一(m -3m十2)=(3n2-3)(.x-m),又点(0,2)在切线上，所以2-(m3-3m十2)= 【高二数学·参考答案第1页（共5页）】 (3m2一3)（一m),解得m=0,所以过点(0,2）且与曲线y=f(x)相切的直线有且只有一条， D正确. 1 2 11.ABD由题可知am+1= 2 2 2 4am,又a2= 2-,所以a是等比数列A正确a=a:·()厂=（号）》”=a1=1 2 1 2a4=1一2，a1-aa1 2,B正确.a,十a-1=1-2点，则S2w=n- 1-) 1- 。-专1一》.放8。一吉不是等比数列C品限由短可知一 2n为奇数 易知当n为奇数时，a,)单调递增且a,≥7：当n为偶数时，a,}单调递 2,n为偶数. 减，且am≤.若(am一入)(a+1一A)<0恒成立，则当n为奇数时，a+1<入<am,所以<入 <名：当m为偶数时，a,<A<a,1,所以<冬综上d的取值范围为}，），D正确。 12.一12(2x2-y)的展开式中x2y5的系数为C%×2×(-1)i=-12. 13.1260方法一：先从甲、乙、丙三人中选一人，这个人既不分数学书，又不分英语书，有CC =105种分配方法，再将数学书和英语书分给剩下两人一人一本，最后把其余4本书平均分 给这两个人，有A×CC×A-12种分配方法.综上，不同的分配方法种数是105×12 1260. 方法二：各选两本书与数学书、英语书组成一组，然后再分配给三人，则不同的分配方法种数 是C号C号A-1260. 14.(-∞，2]由题意得f'(x)=1+一2mC-+2(1-m)c+1 (e'+1)2 (e+1)2 因为f(x)在R上单调递增，所以f'(x)≥0在R上恒成立，即e2+2(1一m)e+1≥0在R 上恒成立.令1=e∈(0，十o∞)，即12十2(1一m)1+1≥0在(0，十∞)上恒成立，所以2m-2 ≤1+在(0，十∞)上恒成立.因为当>0时，1+≥2（当且仅当1=1时，等号成立），所以 2m一2≤2，解得m≤2，所以m的取值范围为（一∞，2]. 15.(1)解：由题可知(x)=3x2十，…1分 则f(1)=3十a=0,解得a=-3.…3分 【高二数学·参考答案第2页（共5页）】 又f(1)=1,所以点(1,1)在切线y=b上，故b=1.…5分 (2)证明：由1)知f(x)=x3-3hx,定义域为(0，十o0),f'(x)=3x-3_3r-3 …7分 当0<x<1时，(x)<0,则∫(x)在(0,1)上单调递减；…9分 当x>1时，'(x)>0,则f(x)在(1，十o∞)上单调递增.…10分 所以f(x)mm=f(1)=13-31n1=1>0,故f(x)>0.…13分 16.解：(1)设等差数列{a,}的公差为d. 由Sm十S+1=n2+2n+1=(n+1)2,可得Sm+1十Sm+2=(n+2)2, 两式相减可得am+1十a+2=2列十3，…2分 所以2d=(aw+2十an叶3）-(an+1十am+2)=2,即d=1.…4分 当n=1时，S1十S2=2a1十a2=31十d=4,解得a1=1,…5分 所以an=1+(n一1)×1=n,故{an)的通项公式为am=n. 8分 (2)hn=3=3-1,则abn=n×3”-1. …9分 则T=1×3°+2×3+十n×3”-1,① ①×3得3Tm=1×3+2×3+…+n×3”,② ①-②得-2T,=1+3+32+…+3"-1-n×3” …12分 -1-3 1-3 n大3”-3”1 2 -n×3", 故T=②1-1)×3”+1 4 …15分 说明：若第(2)问用裂项相消法做的，等同给分， 17.(1)解：(mx一1)(x一1)1十2x12的展开式中x2的系数为mC9十2，…3分 所以mC%十2=0，解得m=一2.…4分 (2)解：令x=1,得a0十a1十a2十…十a0十a11=2,…6分 令x=-1,得(2-1)×(-1-1)1+2=a0-a1十a2-a3+…+a0-am=-2046,… …8分 两式相减得a1十a,十as十a,十a,十a1-2牛2046-1024.…9分 2 (3)证明：ao+2a1+4a2十+210a10十21a11=-5×11+2×22=213-5,…10分 213-5=(3-1)3-5=(C9a×318-C3×32+…+C8×3-C19)-5=3×(C13×312-Ca× 3川十…十C)一6，…13分 所以a。十2a1十4a2十…十20a10十211a11能被3整除.…15分 说明：第(3)问中，若直接算出28-5=8192-5=8187,8187÷3=2729，得出a0+2a1+ 4a2十…十2"a11能被3整除，等同给分 18解：1)呷答对遥目的概率为×号+号×是-号 …4分 【高二数学·参考答案第3页（共5页）】 (2乙答对感目的概率为号×号+号×号号 3 6分 记“第i次答题的人是甲”为事件A,,“第i次答题的人是乙”为事件B, P(B2)=P(A B2)+P(B B2)=P(A)P(B2A)+P(B)P(B2B) -×1-)+×号是 …10分 (3)设P(A:)=p:,依题可知，P(B,)=1一p:, 则P(A+1)=P(A,A+1)+P(B:A,+1)=P(A,)P(A+A)+P(B,)P(A+1|B,), 即p1-号p,+(1-)X1-p,)=若p,+2 ……13分 设p十A=君(p:十A.解得X-号则p1-号-( …15分 又p1=号p一号一0所以p,一号}是首项为公比为行的等比数列，…16分 即p,一 19.(1)解：易知f(x)=x3十x一2在R上单调递增，且∫(1)=0，则x=1是∫(x)唯一的零点. …2分 因为f(x)=x3十x一2是[0，m]上的“好函数”，且f'(x)=3x2十1， 所以f(.x)<∫'(1)在[0，m]上恒成立，即f(x)<4.…3分 因为f(x)=x3+x一2在R上单调递增，且∫(1)=0<4，f(2)=8>4,m>0 所以整数m=1.…5分 ②(I)解：因为/()+上-且x心>0，所以了(x)的零点个数等价于函数 h(x)=e2一ax在(0，十o∞)上的零点个数.…6分 当a≤0时，h(x)>0,h(x)没有零点.…7分 当a>0时，h'(x)=e-a,令h'(.x)=0,则x=lna, 所以当x<lna时，h'(x)<0,h(x)单调递减，当x>lna时，h'(x)>0,h(x)单调递增 又h(x)≥h(lna)=a(1-lna),所以当0<a<e时，h(x)>0,此时h(x)没有零点： 当a=e时，h(x)>≥h(1)=0,此时h(x)有一个零点；…8分 当a>e时，h(lna)<0,又h(0)=1>0,h(1)=e-a<0,h(a)=e"-a2>0, 所以结合h(x)的单调性可知，h(x)在(0,1)和(lna,a)上各恰有一个零点， 即f'(x)在(0,1)上存在一个零点x1,在(na,a)上存在一个零点x2. 综上，当a<e时，f'(x)没有零点：当a=e时，f'(x)有一个零点：当a>e时，f'(x)有两个 零点.…10分 (i)证明：①若a≤e,由(i)可知，h(x)在(0,1)上没有零点，且f(x)>0, 则f(x)在0,1D上单调递增，fx)K1)=名-10.且x,≥1. 【高二数学·参考答案第4页（共5页）】 因为fx)=+1nx,-1=0,所以f()=-&+1=nx+1-1. 设函数()=nx+子一1则()=号，当0<<1时.k(x)0,k)单调递减， 当x>1时，k'(x)>0,k(x)单调递增，故f(x)=k(x6)≥k(1)=0. 故当a≤e时，f(x)<0≤(x0).…13分 ②若a>c,由(1)可知，f(x)在(0,1)上存在一个零点x1, 即f(x)在(0,1)上存在唯一的极大值点x1,故当0<x<1时，f(x)≤f(x1). 由(1)可知x2>1,且fx)=4+lnxg-1=1nx十1-1=kx2)>ka)=0, g 则当x≥x1时，f(x)>0. 又因为fe)二一a-10,且f(x)在0)上单调递增) 所以f(x)存在唯一的零点xo,且满足e<xa<x1<1. 设函数g(x)=fx)+f)=lnx+-1=k 则9(x)=f(xo)+f'(xo)=f'(xo)=k(xa),(x1)=f(x1)十f'(x1)=f(x1)=k(x1). 由上可知，k(x)在(0,1)上单调递减，且0<x。<x1<1, 则k(x1)=f(x1)<k(xo)=f'(xe),此时f(x)≤f(x1)<'(xo). 综上，由①②可知，当0<x<1时，f(x)<f'(xo),故f(x)是(0,1)上的“好函数”.… …17分 【高二数学·参考答案第5页（共5页）】高二数学 注意事项: 1.答题前,考生务必将自已的姓名、考生号、考场号,座位号填写在答题卡上 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容:人教A版选择性必修第二册第四章至选择性必修第三 册第七章第三节。 一、选择题;本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.三个不同的盒子中分别装有3张不同的白色卡牌、2张不同的黑色卡牌、2张不同的绿色 牌,某人从这三个盒子中任意取出1张卡牌,则不同的取法有 B.7种 C.10种 A.3种 D.12种 2.质点M按规律l一3十2做直线运动(位移单位:m,时间单位:s),则质点M在t一9s时 瞬时速度是其在t一4s时的瞬时速度的 B# A2 C D 3.已知数列(c.)满足a2.-1-á.- 2-a.-1,且a,--1,则a2025= } C一1 A.2 D1 4.已知函数f(x)一sin2x-f'(1)x,则f'(1)一 B2 A.-cos2 C.cos2 D. 2cos2 5.在公差大于0的等差数列(a.)中,az十a;-10,a3a,三一11,则该数列的公差为 A C.2 D.3 6.现需要给一个四校锥P-ABCD的五个顶点涂色,有四种不同的颜色可供选择,要求相邻顶 (在同一条校上的两个顶点)不能涂同一种颜色,则不同的涂色方案种数为 B.72 C.96 A.48 D.144 【高二数学 第1页(共4页)】 7.函数/(x)的大致图象如图所示,设f(x)的导函数为f'(x),则f(x)f'(x)>0的解集为 A.(1,4) B.(-o,4U(7,+co) C(-0,1)U(4,7) D.(1,4)U(7,+co) 8.从0.1,2,3,4,5中任选4个不同的数字组成一个四位数,若这个四位数是偶数,则个位、十位 和百位上的数字之和为偶数的概率为 C2 7 D 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分 9.已知离散型随机变量X的分布列如下表所示,则 P _ 2 A._ C.E(X)-4 D.E(2-3X)-10 10.已知函数f(x)一x+ax*+bx十2在x三1处取得极值0,则下列说法正确的是 A.a-b-3 B.当0x<1时,f(x*)<f(x) C.当x>1时,/(x)>f(x) D.过点(0,2)且与曲线y=/(x)相切的直线有且只有一条 则下列结论正确的是 A.数列(a)是等比数列 B.a+1-a2-,= 22 C.数列s-是等比数列 D.若(a.-)(a...-)x)<o恒成立,则入的取值范围为(,) 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12.(2x?一y)*的展开式中x2y的系数为△(用数字作答) 【高二数学 第2页(共4页)】 13.将9本不同的书(包括1本数学书和1本英语书)平均分给甲、乙、丙三人,其中数学书和英 语书不能分给同一个人,则不同的分配方法种数是△.(用数字作答) 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 已知函数/(x)=x*十alnx,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=b (1求a,b的值; (2)证明:f(x)>0 16.(15分) 已知S.是等差数列{a.)的前n项和,且S.十S.t,=n”十2n+1. (1)求(a.)的通项公式; (2)若b.-3"',求数列(a.b.)的前n项和T.. 17.(15分) 已知(mr-1)(x-1)l+2x1“-a。+ar+ax?+..+ao10+a1l (1求的值; (2)求a,+a:+as+az+a。+au的值 (3)证明:aa+2a,+4a+...+2^&n+2lu能被3整除 【高二数学 第3页(共4页)】 18.(17分) 甲、乙两人参加某答题挑战赛,规则如下:每次由其中一人答题,若答对了,则此人继续答题. 若未答对,则换对方答题,每次答题系统都会随机地给出一道文学题或科学题,给出文学题 对文学题与科学题的概率均为,且各轮答题正确与否相互独立.由抽签确定第1次答题的 (1)已知第1次甲答题,求甲答对题目的概率 (2)求第2次答题的人是乙的概率 (3)求第i次答题的人是甲的概率 封 过线 选内 不 19.(17分) 己知f(x)是函数f(x)的导函数,x。是f(x)的零点,若在xED上,f(x)<f(x。)恒成 要 立,则称/(x)是D上的“好函数” (1)若函数f(x)一x十x-2是[0,m]上的“好函数”,求整数n的值 答 (1)讨论/(x)的零点个数; (lI)已知x。是f(x)的零点,证明:f(x)是(0,1)上的“好函数” 【高二数学 第4页(共4页)】