精品解析：广东省深圳市龙岗区布吉高级中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

广东省深圳市龙岗区布吉高级中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题 一、单选题（共8个小题，每小题5分，满分40分） 1. 一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，则不同的选法种数是（ ） A. 9 B. 10 C. 20 D. 40 2. 的展开式中的系数为（ ） A. 80 B. -80 C. 40 D. -40 3. 一个教室有五盏灯，一个开关控制一盏灯，每盏灯都能正常照明，那么这个教室能照明的方法有种（　　） A. 24 B. 25 C. 31 D. 32 4. 为提高学生的身体素质，某校开设了游泳、武术和篮球课程，甲、乙、丙、丁4位同学每人从中任选门课程参加，则不同的选法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 5. 有四位朋友于七夕那天乘坐高铁G77从武汉出发（G77只会在长沙、广州、深圳停），分别在每个停的站点至少下一个人，则不同的下车方案有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 81种 D. 256种 6. 某种灯泡的使用寿命为2000小时的概率为0.85，超过2500小时的概率为0.35，若某个灯泡已经使用了2000小时，那么它能使用超过2500小时的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 A. 0.648 B. 0.432 C. 0.36 D. 0.312 8. 设一仓库中有10箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱，3箱，2箱，三厂产品的废品率依次为，，.从这10箱产品中任取一箱，再从这箱中任取一件产品，取得的正品概率为（ ） A. 0.83 B. 0.72 C. 0.80 D. 0.70 二、多选题（共3个小题，每小题6分，满分18分） 9. 下列问题属于排列问题的是（ ） A. 从10个人中选2人分别去种树和扫地 B. 从10个人中选2人去扫地 C. 从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 D. 从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变 B. 设有一个线性回归方程，变量增加1个单位时，平均增加5个单位 C. 设具有相关关系的两个变量的相关系数为，则越接近于，和之间的线性相关程度越强 D. 在一个列联表中，由计算得的值，则的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大 11. 为弘扬我国古代“六艺”文化，某研学旅行夏令营主办单位计划在暑假开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程，若甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程．则（ ） A. 甲乙丙三人选择课程方案有种方法 B. 恰有三门课程没有被三名同学选中的概率为 C. 已知甲不选择课程“御”的条件下，乙丙也不选择“御”的概率为 D. 设三名同学选择课程“礼”的人数为，则 三、填空题（共3个小题，每小题5分，满分15分） 12. 已知变量和的经验回归直线方程为，则时的观测值为6.5，此时残差为______（注：观测值减去预测值称为残差）. 13. 从3名男生和4名女生中选出2人分别担任2项不同的社区活动服务者，要求男、女生各1人，那么不同的安排有________种(用数字做答)； 14. 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为_____． 四、解答题（共5个小题，满分77分） 15. 假设某地区高二学生的身高服从、的正态分布，即均值为170（单位：cm，下同）．在该地区任意抽取一名高二学生，求： （1）这名学生的身高不高于170的概率； （2）这名学生的身高在区间内的概率；（结果精确到0.1%） （3）这名学生的身高不高于180的概率．（结果精确到0.1%） 参考数据：． 16. 已知，计算： （1）展开式二项式系数之和； （2）展开式各项系数之和； （3）； （4）． 17. 一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台．如果从中随机挑选2台． （1）求这2台电脑中至多有1台B品牌电脑的概率； （2）求这2台电脑中A品牌台数X的分布列及均值和方差． 18. 应对严重威胁人类生存与发展的气候变化，其关键在于“控碳”，其必由之路是先实现“碳达峰”，而后实现“碳中和”，年第七十五届联合国大会上，我国向世界郑重承诺：力争在年前实现“碳达峰”，努力争取在年实现“碳中和”．近年来，国家积极发展新能源汽车，某品牌的新能源汽车在某区域销售年月至年月这个月的销售量（单位：百辆）的数据如下表： 月份 年月 年月 年月 年月 年月 月份代码 销售量 （1）依据表中的统计数据，请判断月份代码与该品牌的新能源汽车区域销售量（单位：百辆）是否具有较高的线性相关程度？（参考：若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度较高．） （2）求销售量与月份代码之间的线性回归方程； （3）预测年月份该区域的销售量（单位：百辆）． 参考数据：，，，． 参考公式：一组数据、、、的线性相关系数． 线性回归方程中，，． 19. 淮安西游乐园推出的西游主题毛绒公仔，具有造型逼真可爱、触感柔软等特点，深受学生喜爱．某调查机构在参观西游乐园的游客中随机抽取了200名学生，对是否有购买西游主题毛绒公仔的意愿进行调查，得到以下的列联表： 有购买意愿 没有购买意愿 合计 男 40 女 60 合计 50 （1）完成上述列联表，根据以上数据，根据小概率值的独立性检验，能否认为购买西游主题毛绒公仔与学生的性别有关？ （2）某文创商店为了宣传推广西游主题毛绒公仔产品，设计了一个游戏：在三个外观大小都一样的袋子中，分别放大小相同的1个红球和3个蓝球，2个红球和2个蓝球，以及3个红球和1个蓝球．游客可以从三个袋子中任选一个，再从中任取2个球，若取出2个红球，则可以获赠一套西游主题毛绒公仔．现有3名同学参加该游戏，表示3名同学中获赠一套毛绒公仔的人数，求随机变量的概率分布及数学期望． 附：，其中． 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省深圳市龙岗区布吉高级中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题 一、单选题（共8个小题，每小题5分，满分40分） 1. 一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，则不同的选法种数是（ ） A. 9 B. 10 C. 20 D. 40 【答案】A 【解析】 【分析】利用分类加法计数原理求解. 【详解】利用第一种方法有：种，利用第二种方法有：种方法. 故共有：5+4＝9种完成工作. 故选：A. 【点睛】本题考查分类加法计数原理.属于基础题. 2. 的展开式中的系数为（ ） A. 80 B. -80 C. 40 D. -40 【答案】D 【解析】 【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于3，的幂指数等于2，求出，即可求出展开式中的系数. 【详解】由题意： 令，即 故展开式中的系数为 故选：D. 3. 一个教室有五盏灯，一个开关控制一盏灯，每盏灯都能正常照明，那么这个教室能照明的方法有种（　　） A. 24 B. 25 C. 31 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】每盏灯有2种状态，根据乘法原理共有种状态，排除全部都熄灭的状态，得到答案. 【详解】由题意有这个教室能照明的方法有种， 故选C． 【点睛】本题考查了乘法原理，属于简单题. 4. 为提高学生的身体素质，某校开设了游泳、武术和篮球课程，甲、乙、丙、丁4位同学每人从中任选门课程参加，则不同的选法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理计算即可. 【详解】甲、乙、丙、丁4位同学每人都有种不同的选法， 根据分步乘法计数原理可知，不同的选法共有种． 故选：C． 5. 有四位朋友于七夕那天乘坐高铁G77从武汉出发（G77只会在长沙、广州、深圳停），分别在每个停的站点至少下一个人，则不同的下车方案有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 81种 D. 256种 【答案】B 【解析】 【分析】 先按2+1+1分成三组，再分配到三个站点，即得结果. 【详解】依据题意每个停的站点至少下一个人，先按2+1+1分成三组，有种分法，再分配到三个站点，有种分法，所以一共有种不同的下车方案. 故选：B. 【点睛】本题考查了分组分配问题，考查了排列组合的综合应用，属于基础题. 6. 某种灯泡的使用寿命为2000小时的概率为0.85，超过2500小时的概率为0.35，若某个灯泡已经使用了2000小时，那么它能使用超过2500小时的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据条件概率公式即可求出． 【详解】记灯泡的使用寿命为2000小时为事件，超过2500小时为事件， 则若某个灯泡已经使用了2000小时，那么它能使用超过2500小时的概率为. 故选：B． 7. 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 A. 0.648 B. 0.432 C. 0.36 D. 0.312 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：该同学通过测试的概率为，故选A． 考点：次独立重复试验． 8. 设一仓库中有10箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱，3箱，2箱，三厂产品的废品率依次为，，.从这10箱产品中任取一箱，再从这箱中任取一件产品，取得的正品概率为（ ） A. 0.83 B. 0.72 C. 0.80 D. 0.70 【答案】A 【解析】 【分析】设为事件“取得的产品为正品”，，，分别表示“任取一件产品是甲、乙、丙生产的”，再根据全概率公式计算可得. 【详解】设为事件“取得的产品为正品”，，，分别表示“任取一件产品是甲、乙、丙生产的”， 由题设知，，. ，，， 故×＋×＋×. 故选：A 二、多选题（共3个小题，每小题6分，满分18分） 9. 下列问题属于排列问题的是（ ） A. 从10个人中选2人分别去种树和扫地 B. 从10个人中选2人去扫地 C. 从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 D. 从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算 【答案】AD 【解析】 【分析】 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A，从10个人中选2人分别去种树和扫地，选出的2人有分工的不同，是排列问题； 对于B，从10个人中选2人去扫地，与顺序无关，是组合问题； 对于C，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，是组合问题； 对于D，从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算，顺序不一样，计算结果也不一样，是排列问题． 故选AD. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变 B. 设有一个线性回归方程，变量增加1个单位时，平均增加5个单位 C. 设具有相关关系的两个变量的相关系数为，则越接近于，和之间的线性相关程度越强 D. 在一个列联表中，由计算得的值，则的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大 【答案】AD 【解析】 【分析】利用方差的性质判断A的正误；利用回归直线的性质判断B，相关系数判断C，独立检验判断D． 【详解】将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，满足方差的性质，A正确； 设有一个线性回归方程，变量x增加1个单位时，平均减少5个单位；所以B不正确； 设具有相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则越接近于0，x和y之间的线性相关程度越弱，所以C 不正确； 在一个2×2列联表中，由计算得的值，则的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大，所以D正确； 故选：AD． 【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及相关系数，回归直线方程以及方差的性质独立检验思想的应用，是基础题． 11. 为弘扬我国古代“六艺”文化，某研学旅行夏令营主办单位计划在暑假开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程，若甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程．则（ ） A. 甲乙丙三人选择课程方案有种方法 B. 恰有三门课程没有被三名同学选中的概率为 C. 已知甲不选择课程“御”的条件下，乙丙也不选择“御”的概率为 D. 设三名同学选择课程“礼”的人数为，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】 A选项考查了排列组合的内容；B选项利用排列组合分别算出基本事件总数与满足题意的基本事件个数，代入古典概型公式计算；C选项利用条件概率的公式代入求解；D选项利用二项分布的公式求解. 【详解】甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程，则选择方法有种，故A错误；恰有三门课程没有被三名同学选中，表示三位同学每个人选择了不重复的一门课程，所以概率为，故B正确；已知甲不选择课程“御”的概率为，甲乙丙都不选择“御”的概率为，所以条件概率为，故C正确；三名同学选择课程“礼”的人数为，则服从二项分布，则，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：（1）解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素（或位置）的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素（或位置）为主体，即先满足特殊元素（或位置），再考虑其他元素（或位置）． （2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法． 三、填空题（共3个小题，每小题5分，满分15分） 12. 已知变量和的经验回归直线方程为，则时的观测值为6.5，此时残差为______（注：观测值减去预测值称为残差）. 【答案】 【解析】 【分析】求出预测值，再利用残差的定义求出残差. 【详解】当时，， 所以时的残差为. 故答案为： 13. 从3名男生和4名女生中选出2人分别担任2项不同的社区活动服务者，要求男、女生各1人，那么不同的安排有________种(用数字做答)； 【答案】24 【解析】 【分析】 先选一名男生，有3种方法；再选一名女生，有4种方法，根据分步计数原理求得结果． 【详解】解：先选一名男生，有3种方法；再选一名女生，有4种方法， 根据分步计数原理求得选取男、女生各1名，不同的安排方案种数为 4×3×2＝24， 故答案为： 24． 【点睛】本题主要考查分步计数原理的应用，属于基础题． 14. 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为_____． 【答案】24 【解析】 【详解】试题分析：不相邻问题用插空法：先排三把空椅，产生四个间隔，再在四个间隔中安排3人，共有种坐法 考点：不相邻问题 四、解答题（共5个小题，满分77分） 15. 假设某地区高二学生的身高服从、的正态分布，即均值为170（单位：cm，下同）．在该地区任意抽取一名高二学生，求： （1）这名学生的身高不高于170的概率； （2）这名学生的身高在区间内的概率；（结果精确到0.1%） （3）这名学生的身高不高于180的概率．（结果精确到0.1%） 参考数据：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正态分布的性质求解； （2）由正态分布的性质求解； （3）由正态曲线的对称性和概率加法公式求解. 【小问1详解】 设该学生的身高为，由题意可知． ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 由（2）以及正态曲线的对称性可知， 由概率加法公式可知： ． 16. 已知，计算： （1）展开式二项式系数之和； （2）展开式各项系数之和； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数和公式，计算出二项式系数和. （2）令，求得展开式各项系数之和. （3）利用赋值法，求得所求表达式的值. （4）利用赋值法，求得所求表达式的值. 【详解】（1）二项式展开式二项式系数之和为. （2）令得展开式各项系数之和为①. （3）令得. （4）令得，即，由①得. 【点睛】本小题主要考查二项式展开式的二项式系数和、各项系数和，考查利用赋值法进行计算，属于基础题. 17. 一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台．如果从中随机挑选2台． （1）求这2台电脑中至多有1台B品牌电脑的概率； （2）求这2台电脑中A品牌台数X的分布列及均值和方差． 【答案】（1） （2） 的分布列为： ， . 【解析】 【分析】（1）求出两台电脑全部是品牌的概率，利用对立事件的概率计算； （2）确定随机变量的可能取值，利用超几何分布概率公式求出概率，列出分布列，求出均值和方差. 【小问1详解】 根据题意，这2台电脑全部是品牌的概率为， 所以这2台电脑中至多有1台B品牌电脑的概率为. 【小问2详解】 依题意，的可能取值为， 则，，， 则的分布列为： 所以， . 18. 应对严重威胁人类生存与发展的气候变化，其关键在于“控碳”，其必由之路是先实现“碳达峰”，而后实现“碳中和”，年第七十五届联合国大会上，我国向世界郑重承诺：力争在年前实现“碳达峰”，努力争取在年实现“碳中和”．近年来，国家积极发展新能源汽车，某品牌的新能源汽车在某区域销售年月至年月这个月的销售量（单位：百辆）的数据如下表： 月份 年月 年月 年月 年月 年月 月份代码 销售量 （1）依据表中的统计数据，请判断月份代码与该品牌的新能源汽车区域销售量（单位：百辆）是否具有较高的线性相关程度？（参考：若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度较高．） （2）求销售量与月份代码之间的线性回归方程； （3）预测年月份该区域的销售量（单位：百辆）． 参考数据：，，，． 参考公式：一组数据、、、的线性相关系数． 线性回归方程中，，． 【答案】（1）与具有较高的线性相关程度 （2） （3）预测年月份该区域的销售量约为百辆 【解析】 【分析】（1）计算出的值，结合公式求出相关系数的值，进而可得出结论； （2）利用中的参考数据计算出、的值，即可得出回归直线方程； （3）将代入回归直线方程，可得出结果. 【小问1详解】 解：由表中的数据可得，， ， 所以， 故与具有较高的线性相关程度． 【小问2详解】 解：，， 所以线性回归方程为. 【小问3详解】 解：令可得，估计年月份该区域的销售量约为百辆. 19. 淮安西游乐园推出的西游主题毛绒公仔，具有造型逼真可爱、触感柔软等特点，深受学生喜爱．某调查机构在参观西游乐园的游客中随机抽取了200名学生，对是否有购买西游主题毛绒公仔的意愿进行调查，得到以下的列联表： 有购买意愿 没有购买意愿 合计 男 40 女 60 合计 50 （1）完成上述列联表，根据以上数据，根据小概率值的独立性检验，能否认为购买西游主题毛绒公仔与学生的性别有关？ （2）某文创商店为了宣传推广西游主题毛绒公仔产品，设计了一个游戏：在三个外观大小都一样的袋子中，分别放大小相同的1个红球和3个蓝球，2个红球和2个蓝球，以及3个红球和1个蓝球．游客可以从三个袋子中任选一个，再从中任取2个球，若取出2个红球，则可以获赠一套西游主题毛绒公仔．现有3名同学参加该游戏，表示3名同学中获赠一套毛绒公仔的人数，求随机变量的概率分布及数学期望． 附：，其中． 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表如下： 有购买意愿 没有购买意愿 合计 男 90 40 130 女 60 10 70 合计 150 50 200 没有99%的把握认为购买西游主题毛绒公仔与学生的性别有关； （2）的概率分布为 0 1 2 3 数学期望为.【解析】 【分析】（1）由题可得列联表，进而可得并结合条件即得； （2）先求出一次游戏中取出2个红球的概率，然后利用二项分布概率公式可得概率，进而可得分布列及期望. 【小问1详解】 由题可得列联表如下： 有购买意愿 没有购买意愿 合计 男 90 40 130 女 60 10 70 合计 150 50 200 提出假设：购买西游主题毛绒公仔与学生的性别无关，根据列联表中的数据，可以求得 ， 因为当成立时，的概率大于1%，所以没有99%的把握认为购买西游主题毛绒公仔与学生的性别有关． 【小问2详解】 一次游戏中取出2个红球的概率， 由题可知，1，2，3，则， 所以，， ，， 所以随机变量的概率分布为 0 1 2 3 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $