精品解析：广东省清远市211联盟2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题

清远市2024～2025学年第二学期中段三校联考 高二数学科试卷 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效. 4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. A，B，C，D，E五个人站成一排照相留念，不同的排法种数有（ ） A. 240 B. 120 C. 96 D. 60 2. 若，则（ ） A. 256 B. 127 C. 128 D. 129 3. 设函数在处存在导数为2，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 清远市有5个著名景点：A.连州地下河、B.英西峰林走廊、C.黄腾峡漂流、D.南岗千年瑶寨、E.聚龙湾温泉.某游客计划选择其中3个游览，但根据交通安排，若选择C（黄腾峡漂流），则必须同时选择E（聚龙湾温泉）.则该游客不同的选法有（ ） A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种 5. 下表是离散型随机变量的概率分布，则（ ） 1 2 3 4 P A. B. C. D. 6. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 骰子是质地均匀的正方体，各面分别标有数字1，2，3，4，5，6.现在掷一枚骰子两次，记事件“两次点数的最大值为4”，事件“两次点数的最小值为1”，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则x的值可以为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 10. 下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 函数的极小值点和极大值点分别为，，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 参加志愿者活动可以学会团队合作，不但能开阔眼界，还能提升个人沟通技巧和组织能力，从而积累社会经验.在帮助他人的过程中，传递爱心，促进社会和谐.现在某校举行校运会，有4名志愿者前往跳高、检录、立定跳远三个项目执行任务，若每个人只能去其中一个项目，且每个项目至少安排一个志愿者，则不同的安排方法种数是__________.（用数字作答） 13. 已知，则过点且与相切的直线方程为__________. 14. 经过多年的技术积累，我国在车床加工零件方面取得长足进步.某工厂加工的产品按技术指标从高到低可分为优品，良品，合格品和不合格品四个等级.按以往统计数据：100个零件中有40件优品，50件良品，5件合格品和5件不合格品.现该工厂向某地发货1000件产品.对方验货的规则如下：如果抽检的第一件产品是优品或良品，则接收全部产品；如果抽检的第一件产品是合格品，则再检验两件，如果都是优品或良品，则接收整批产品.其余情况拒收整批产品.若用频率代替概率，用随机抽样的方法采样，问本批产品被拒收的概率是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 为提高和展示学生的艺术水平，也为了激发学生的爱国热情，某校开展国庆文艺汇演，共有6个节目，其中有两个舞蹈，三个唱歌，一个朗诵，现在要安排演出次序.（结果用数值作答） （1）若朗诵节目不在排头，也不在排尾，有多少种不同排法？ （2）若三个唱歌节目必须相邻，有多少种不同排法？ （3）求两个舞蹈节目不相邻的概率. 16. 在科研经费不断投入和科技人员的努力下，近年来我国在智能手机的设计、生产、销售等方面取得了迅猛的发展.2021年国家统计局数据显示国内智能手机的产量为12.72亿部，产量占全球出货量的90%以上.某商店计划开展某品牌高端智能手机的销售，将采用正常销售，打折销售，清仓销售三种方式共售卖1000台手机.预计每台手机的利润X分别为：正常销售600元，打折销售300元，清仓销售20元，且随机变量X的分布列为 X a 300 20 P 0.8 b 0.05 （1）求本次销售的总利润的期望值； （2）求. 17. 已经函数，（）. （1）若，求的极大值和极小值； （2）讨论的单调性. 18. 已知的展开式中仅有第6项的二项式系数最大（结果用数值作答）. （1）求的展开式中的系数； （2）令，证明能被7整除； （3）若，求实数. 19. 已经函数，，其中. （1）若，求的增区间； （2）当，时，证明不等式恒成立； （3）若有两个零点，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 清远市2024～2025学年第二学期中段三校联考 高二数学科试卷 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效. 4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. A，B，C，D，E五个人站成一排照相留念，不同的排法种数有（ ） A. 240 B. 120 C. 96 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】应用排列数求不同排法数即可. 【详解】根据题意，只需将5人作全排列，故共有种排法. 故选：B 2. 若，则（ ） A. 256 B. 127 C. 128 D. 129 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用赋值法求解即得. 【详解】令，得， 令，得， 相减，得， 令，得， 所以. 故选：D 3. 设函数在处存在导数为2，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用导数的定义计算得解. 【详解】由导数的定义可知. 故选：A 4. 清远市有5个著名景点：A.连州地下河、B.英西峰林走廊、C.黄腾峡漂流、D.南岗千年瑶寨、E.聚龙湾温泉.某游客计划选择其中3个游览，但根据交通安排，若选择C（黄腾峡漂流），则必须同时选择E（聚龙湾温泉）.则该游客不同的选法有（ ） A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种 【答案】C 【解析】 【分析】通过分类计数原理，分选择C景点和不选C景点两种情况求解即可. 【详解】分两种情况，选C景点的，同时选择E景点，有种选法；不选C景点的，有种选法. 故共有种选法. 故选：C 5. 下表是离散型随机变量的概率分布，则（ ） 1 2 3 4 P A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分布列的性质求出，再由计算可得. 【详解】由题意可得，解得， 所以. 故选：B 6. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用导数的几何意义求切线方程即可. 【详解】因为，所以，所以在点处的切线斜率， 所以在点处的切线方程为，即. 故选：A 7. 骰子是质地均匀的正方体，各面分别标有数字1，2，3，4，5，6.现在掷一枚骰子两次，记事件“两次点数的最大值为4”，事件“两次点数的最小值为1”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据样本空间法，以及条件概率公式，即可求解. 【详解】事件A包含，，，，，，，共7种情况， 其中只有和满足“两次点数的最小值为1”， 故. 故选：C 8. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意在上恒成立，分离参数得，令，利用导数求得其最大值，即可得解. 【详解】依题意，，因为函数在上单调递减， 所以在上恒成立，则，令，则， 令，则，故当时，， 当时，，故在上单调递增，在上单调递减， 故，故，则， 故实数a的取值范围为. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则x的值可以为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】AD 【解析】 【分析】根据组合数的性质列方程求解即可. 【详解】因为，所以或，解得或. 经检验，都满足条件. 故选：AD 10. 下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据导数运算法则，结合每个选项的函数解析式，逐一求解即可. 【详解】对A：，所以A错误； 对B：，所以B错误； 对C： ，所以C错误； 对D：，所以D正确； 故选：ABC. 11. 函数的极小值点和极大值点分别为，，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出导函数，根据极值点的概念及二次函数零点分布列不等式得，，，逐项判断即可. 【详解】， 由题可得，是方程的两根， 又，分别为的极小值点和极大值点，且， 则由二次函数的性质可知，所以，，， 所以，，所以A、B、D正确； 无法判断与0的大小关系，C错误. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 参加志愿者活动可以学会团队合作，不但能开阔眼界，还能提升个人沟通技巧和组织能力，从而积累社会经验.在帮助他人的过程中，传递爱心，促进社会和谐.现在某校举行校运会，有4名志愿者前往跳高、检录、立定跳远三个项目执行任务，若每个人只能去其中一个项目，且每个项目至少安排一个志愿者，则不同的安排方法种数是__________.（用数字作答） 【答案】36 【解析】 【分析】根据跳高、检录、立定跳远三个项目执行任务的志愿者的人数情况即可求解. 【详解】前往跳高、检录、立定跳远三个项目执行任务的志愿者的人数分别为：2、1、1；1、2、1；1、1、2. 故安排方法为. 故答案为：36. 13. 已知，则过点且与相切的直线方程为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】方法1：根据导数的几何意义，可求出切线的斜率，由点斜式写出直线方程；方法2：设切线方程为，与抛物线方程联立，利用求出可得答案. 【详解】方法1：，设切点为，切线的斜率， 得，，两式联立方程解得或5， 时，， 此时切线方程， 时，， 此时切线方程， 即或. 方法2：由题意切线的斜率存在，设为， 切线方程为， 与抛物线方程联立，，整理得 ， 由得或， 切线方程为或， 即或. 故答案为：或. 14. 经过多年的技术积累，我国在车床加工零件方面取得长足进步.某工厂加工的产品按技术指标从高到低可分为优品，良品，合格品和不合格品四个等级.按以往统计数据：100个零件中有40件优品，50件良品，5件合格品和5件不合格品.现该工厂向某地发货1000件产品.对方验货的规则如下：如果抽检的第一件产品是优品或良品，则接收全部产品；如果抽检的第一件产品是合格品，则再检验两件，如果都是优品或良品，则接收整批产品.其余情况拒收整批产品.若用频率代替概率，用随机抽样的方法采样，问本批产品被拒收的概率是______. 【答案】0.0595## 【解析】 【分析】方法1：结合对立事件的概率公式，利用独立事件概率乘法公式求解；方法2：利用互斥事件概率加法公式和独立事件乘法公式求解即可. 【详解】依题意：优品的概率为0.4，良品的概率是0.5，合格品的概率是0.05，不合格品的概率是0.05，且每件产品的等级是独立的. 方法1：间接求，； 方法2：直接求，被拒收的情况包括： 第一种情况第一件不合格， 第二种情况第一件合格、第二件优良、第三件非优良； 第三种情况第一件合格、第二件非优良； . 故答案为：0.0595 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 为提高和展示学生的艺术水平，也为了激发学生的爱国热情，某校开展国庆文艺汇演，共有6个节目，其中有两个舞蹈，三个唱歌，一个朗诵，现在要安排演出次序.（结果用数值作答） （1）若朗诵节目不在排头，也不在排尾，有多少种不同排法？ （2）若三个唱歌节目必须相邻，有多少种不同排法？ （3）求两个舞蹈节目不相邻的概率. 【答案】（1）480 （2）144 （3） 【解析】 【分析】（1）特殊元素（朗诵节目）优先考虑，再排其它的即可； （2）相邻元素用捆绑法解题即可； （3）不相邻元素用插空法求出符合条件的所有排法，再用古典概型求概率即可. 【小问1详解】 朗诵节目不在排头，也不在排尾，则朗读节目有种排法， 然后再排剩余的5个节目，共有种排法， 根据分步乘法计数原理，6个节目共有种排法. 【小问2详解】 三个唱歌节目捆绑共种排法，再和其它三个节目进行排列， 共有种不同排法. 【小问3详解】 先排三个唱歌和一个朗诵，共种排法，两个舞蹈节目不相邻，插入个空有种排法， 所以符合条件的排法共种排法， 6个节目的所有排法有种， 所以两个舞蹈节目不相邻的概率. 16. 在科研经费不断投入和科技人员的努力下，近年来我国在智能手机的设计、生产、销售等方面取得了迅猛的发展.2021年国家统计局数据显示国内智能手机的产量为12.72亿部，产量占全球出货量的90%以上.某商店计划开展某品牌高端智能手机的销售，将采用正常销售，打折销售，清仓销售三种方式共售卖1000台手机.预计每台手机的利润X分别为：正常销售600元，打折销售300元，清仓销售20元，且随机变量X的分布列为 X a 300 20 P 0.8 b 0.05 （1）求本次销售的总利润的期望值； （2）求. 【答案】（1）526000元； （2）24844. 【解析】 【分析】（1）根据分布列的性质及已知求得，，再求总利润的期望值； （2）由方差的求法求方差，结合方差的性质即可得. 【小问1详解】 依题意，， ， 所以总利润的期望值为（元）. 【小问2详解】 . 17. 已经函数，（）. （1）若，求的极大值和极小值； （2）讨论的单调性. 【答案】（1）极大值21，极小值 （2） 当时，的单调递增区间是，，减区间是； 当时，在上单调递增； 当时，的单调递增区间是，，减区间是. 【解析】 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数的极大值和极小值； （2）求得，分、、三种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调区间. 【小问1详解】 若，， ， 令，解得或. 当，时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 所以时，有极大值：； 时，有极小值：. 【小问2详解】 ， ①当，即时， ，，在上单调递增； ，，在上单调递减； ，，在上单调递增； ②当，时，，在上单调递增； ③当，即时， ，，在上单调递增； ，，在上单调递减； ，，在上单调递增； 综上所述： 当时，的单调递增区间是，，减区间是； 当时，在上单调递增； 当时，的单调递增区间是，，减区间是. 18. 已知的展开式中仅有第6项的二项式系数最大（结果用数值作答）. （1）求的展开式中的系数； （2）令，证明能被7整除； （3）若，求实数. 【答案】（1）3360 （2） ， 所以能被7整除. （3）103680 【解析】 【分析】（1）展开式中仅有第6项的二项式系数最大，所以展开式共有11项，或者计算求解即可得出结果； （2）易知，由二项展开式计算可得结果. （3），利用展开式计算即可得出结果. 【小问1详解】 方法1：展开式中仅有第6项的二项式系数最大，所以展开式共有11项，， 方法2：，解得，得. 的通项公式：， 令，得的系数. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， ∴. 令得， . 19. 已经函数，，其中. （1）若，求的增区间； （2）当，时，证明不等式恒成立； （3）若有两个零点，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 当，时，要证明不等式恒成立， 即证明恒成立； 令， ∴， 当，∴，即在上单调递增， ∴， 即（）， 令， ∴， ∵，∴，即在上单调递增； ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴成立， 即当，时，不等式恒成立. （3）. 【解析】 【分析】（1）求导，令，可得的增区间； （2）当，时，要证明不等式恒成立，即证恒成立，即证恒成立，即证恒成立，构造，因为，只需证时单调递增； （3）参变分离，（）有两个零点，即等价于方程有两个解；等价于与的图象有两个交点，求导，判断的单调性及最值，数形结合，判断交点个数. 【小问1详解】 若，，（）； 的定义域为， ， 令，解得， 所以若，的增区间为（或写）. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （）有两个零点，即方程有两个解； 等价于方程有两个解； 等价于与的图象有两个交点； ， 令，解得， 当时，，的图象单调递增； 当时，，的图象单调递减； 当时，有极大值也是最大值，； 时，， 时，， ∴， 即有两个零点时，a的取值范围为. 【点睛】方法点晴: 利用导数研究函数零点问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $