精品解析：江苏省无锡市梅村高级中学2024-2025学年高二下学期期中数学试题

江苏省梅村高级中学2024-2025学年春学期期中质量检测 高二数学 命题：钱佳玲 校对：黄铭超 审核：徐敏亚 注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求. 1、本试卷共4页，包含客观题（单项选择题第1题~第8题，共8题，多项选择题第9~11题，共3题）、非选择题（第12题～第19题，共8题）两部分.本卷满分150分，答题时间为120分钟. 2、试题答案需作答在答题卡，答在试卷上无效. 3、作答选择题时必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效. 一、单选题（每题5分） 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量X满足，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知命题在上单调递增 ，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 有三个极值点 B. 为函数的极大值 C. 有一个极大值 D. 为的极小值 5. 算盘起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国古代的一项伟大的发明．在阿拉伯数字出现前，算盘是世界广为使用的计算工具，下图一展示的是一把算盘的初始状态，自右向左分别表示个位、十位、百位、千位，，上面的一粒珠子（简称上珠）代表5，下面的一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等同于一粒上珠的大小.例如如图二，个位上拨动一粒上珠、两粒下珠，十位上拨动一粒下珠至梁上，代表数字17.现将算盘的个位、十位、百位、千位、万位、十万位分别随机拨动一粒珠子至梁上，则表示的六位数至多含4个5的情况有（ ） A. 57种 B. 58种 C. 59种 D. 60种 6. 函数在区间上的最小值为（ ） A. B. 0 C. D. 7. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中，则此人继续投篮；若未命中，则换对方投篮.已知甲每次投篮的命中率均为0.8，乙每次投篮的命中率均为0.7，甲、乙每次投篮的结果相互独立.抽签确定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5，则第三次投篮的人是甲的概率为（ ） A. 0.35 B. 0.525 C. 0.575 D. 0.595 8. 函数是定义在上的奇函数，其导函数记为，当时，恒成立，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分） 9. 已知随机变量的分布列为，其中是常数，则（ ） A. B. C. D. 10. 若，其中为实数，则（ ） A. B. C. D. 11. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，m（m＞0）为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为（mod m）．若，（mod 10），则b的值可以是（　　） A. 2011 B. 2012 C. 2020 D. 2021 三、填空题（每题5分） 12. 已知函数满足在处导数为__________. 13. 的展开式中的系数为__________. 14. 已知函数若则的最大值为_______． 四、解答题 15. （1）从0，2，4，6中任取3个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？ （2）由数字0，1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字，并且比5000000大的正整数. 16. 在的展开式中，前三项的二项式系数之和等于. （1）求的值； （2）若展开式中的常数项为，试求展开式中系数最大的项. 17. （1）袋内有10个红球，5个白球，从中摸出2个球，记，求的分布列和期望与方差. （2）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约30%的人近视，而该校大约有40%的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为.现从每天玩手机不超过的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为多少？ 18. 设函数，若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为5x-4y-4=0． （Ⅰ）求f（x）的解析式； （Ⅱ）求证：在曲线y=f（x）上任意一点处的切线与直线x=0和y=x所围成的三角形面积为定值，并求出此定值． 19. 已知函数． （1）设x=0是的极值点，求m，并讨论的单调性； （2）当时，证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省梅村高级中学2024-2025学年春学期期中质量检测 高二数学 命题：钱佳玲 校对：黄铭超 审核：徐敏亚 注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求. 1、本试卷共4页，包含客观题（单项选择题第1题~第8题，共8题，多项选择题第9~11题，共3题）、非选择题（第12题～第19题，共8题）两部分.本卷满分150分，答题时间为120分钟. 2、试题答案需作答在答题卡，答在试卷上无效. 3、作答选择题时必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效. 一、单选题（每题5分） 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数公式及导数的运算法则逐项计算即可判断作答. 【详解】对于A，，A不正确；对于B，，B不正确； 对于C，， C不正确；对于D，，D正确. 故选：D 2. 已知随机变量X满足，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用期望、方差的性质求解. 【详解】由，得，则； 由，得，因此. 故选：C 3. 已知命题在上单调递增 ，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先求出命题为真时参数的取值范围，当命题为真，即在上恒成立，参变分离可得，再利用基本不等式计算可得，最后根据充分条件、必要条件的定义判断即可； 【详解】解：若在上单调递增， 则在上恒成立，即在上恒成立. 因为当且仅当，即时取等号， 所以. 因为是的真子集，即由推得出，推不出， 所以是的充分不必要条件； 故选：A. 4. 设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 有三个极值点 B. 为函数的极大值 C. 有一个极大值 D. 为的极小值 【答案】C 【解析】 【分析】根据x的正负以及的正负，判断的正负，得到单调性并可得到极值点. 【详解】解：，并结合其图象，可得到如下情况， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减； ∴在取得极小值，在处取得极大值，只有两个极值点， 故A、B、D错，C正确； 故选: C. 5. 算盘起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国古代的一项伟大的发明．在阿拉伯数字出现前，算盘是世界广为使用的计算工具，下图一展示的是一把算盘的初始状态，自右向左分别表示个位、十位、百位、千位，，上面的一粒珠子（简称上珠）代表5，下面的一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等同于一粒上珠的大小.例如如图二，个位上拨动一粒上珠、两粒下珠，十位上拨动一粒下珠至梁上，代表数字17.现将算盘的个位、十位、百位、千位、万位、十万位分别随机拨动一粒珠子至梁上，则表示的六位数至多含4个5的情况有（ ） A. 57种 B. 58种 C. 59种 D. 60种 【答案】A 【解析】 【分析】根据出现5的个数分类讨论后可求符合条件的所有的总数. 【详解】至多含4个5，有以下5种情况： 不含5，有种；含1个5，有种； 含2个5，有种；含3个5，有种； 含4个5，有种； 所以，所有的可能情况共有种， 故选：A. 6. 函数在区间上的最小值为（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，求出的增减性，求出. 【详解】由题意知， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，， 所以． 故选：A． 7. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中，则此人继续投篮；若未命中，则换对方投篮.已知甲每次投篮的命中率均为0.8，乙每次投篮的命中率均为0.7，甲、乙每次投篮的结果相互独立.抽签确定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5，则第三次投篮的人是甲的概率为（ ） A. 0.35 B. 0.525 C. 0.575 D. 0.595 【答案】C 【解析】 【分析】记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，设，由题意可得，根据数列知识，构造等比数列，最后代入计算即可. 【详解】记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件， 设，依题可知，， 则， 即， 设，解得，则， 又，则，所以是首项为，公比为的等比数列， 即，． 则第次投篮的人是甲的概率为. 当时， 故选：C. 8. 函数是定义在上的奇函数，其导函数记为，当时，恒成立，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 构造函数，则根据题目条件可知在上成立，则在上单调递减，又可证得为偶函数，所以在递增. 根据可得，当或时，；当或时，，利用不等式等价于或求解. 【详解】设，则， ∵当时，恒成立，即， ∴，即在上单调递减. 又函数是奇函数，∴， ∴函数为偶函数，在上单调递增. ∵，∴. ∴当或时，； 当或时，. 不等式等价于或， ∴或. ∴不等式的解集为. 故选：A. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查根据函数的奇偶性与单调性的综合求解不等式问题，难度一般,解答时，构造新函数是解题的关键. 二、多选题（每题6分） 9. 已知随机变量的分布列为，其中是常数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据分布列的性质，列出方程求得，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】根据题意，随机变量的分布列为， 则有，解得， 则， ． 故选：ABC. 10. 若，其中为实数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用赋值法及展开式的通项公式可得答案. 【详解】令可得，A正确. ，其展开式的第三项是，所以，B不正确. 令可得，所以，D不正确. 令可得，与相减可得，C正确. 故选：AC 11. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，m（m＞0）为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为（mod m）．若，（mod 10），则b的值可以是（　　） A. 2011 B. 2012 C. 2020 D. 2021 【答案】AD 【解析】 【分析】对变形为，得到其被10除得的余数为1，即可得到答案. 【详解】， ∴被10除得的余数为1，而2011与2021被10除得的余数是1， 故选：AD． 三、填空题（每题5分） 12. 已知函数满足在处导数为__________. 【答案】# 【解析】 【分析】根据题意先求出的导数，然后将代入导函数，求出的值. 【详解】, ， ， . 故答案为：. 13. 的展开式中的系数为__________. 【答案】30 【解析】 【分析】先将看作一个整体，求出其展开式的通项确定的次数，再确定的次数即可求解. 【详解】由， 其展开式的通项为，，， 令，得的展开式的通项为，，， 令，得， 则的展开式中的系数为. 故答案为：30. 14. 已知函数若则的最大值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设，分别求得，，得到， 令，利用导数求得函数的最值，即可求解. 【详解】由题意，函数 不妨设，即， 所以，即，，则， 令，可得， 令，可得， 所以单调递增，即单调递增，且， 当时，，当时，， 即当时，取得极小值同时也是最小值， 此时， 即的最小值为，所以的最大值为． 故答案为：． 四、解答题 15. （1）从0，2，4，6中任取3个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？ （2）由数字0，1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字，并且比5000000大的正整数. 【答案】（1）1224；（2）1440. 【解析】 【分析】（1）分别得到从0，2，4，6中任取3个数字和从1，3，5中任取2个数字的种数，然后全排列，再减去首位是零种数即可； （2）由比5000000大，则必须是七位数，且首位是5或6求解； 【详解】（1）从0，2，4，6中任取3个数字有种，从1，3，5中任取2个数字有种， 五个数全排列有种，其中首位是零的有种， 所以一共可组成个没有重复数字的五位数； （2）若比5000000大，则有七位数，且首位是5或6， 所以由数字0，1，2，3，4，5，6可以组成个没有重复数字，并且比5000000大的正整数. 16. 在的展开式中，前三项的二项式系数之和等于. （1）求的值； （2）若展开式中的常数项为，试求展开式中系数最大的项. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据展开式中前三项的二项式系数和为，可得出关于的方程，结合可求得的值； （2）求出的通项为根据展开式中的常数项为解得，再列不等式组求解即可. 【小问1详解】 解：由题意可知，展开式中前三项的二项式系数之和为， 整理可得，因为，解得. 【小问2详解】 解：的展开式通项为， 令，可得， 所以，展开式中的常数项为，解得， 由不等式组，解得. 因为，所以，， 因此，展开式中系数最大的项为. 17. （1）袋内有10个红球，5个白球，从中摸出2个球，记，求的分布列和期望与方差. （2）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约30%的人近视，而该校大约有40%的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为.现从每天玩手机不超过的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为多少？ 【答案】（1）的分布列为： 0 1 期望，方差；（2）0.1. 【解析】 【分析】（1）求出的可能值，借助组合计数问题求出各个值对应的概率，列出分布列并求出期望、方差. （2）根据题中给定信息，结合全概率公式列式求解. 【详解】（1）的可能值这0，1， ，， 所以的分布列为： 0 1 数学期望， 方差为. （2）令“玩手机时间超过2h的学生”，“玩手机时间不超过2h的学生”，“任意调查一人，此人近视”， 则，且互斥，，， 依题意，， 解得， 所以从每天玩手机不超过的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为0.1. 18. 设函数，若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为5x-4y-4=0． （Ⅰ）求f（x）的解析式； （Ⅱ）求证：在曲线y=f（x）上任意一点处的切线与直线x=0和y=x所围成的三角形面积为定值，并求出此定值． 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见证明 【解析】 【分析】（Ⅰ）求导函数，利用曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为，建立方程，可求得a＝1，b＝1，从而可得f（x）的解析式； （Ⅱ）设为曲线f（x）上任一点，求出切线方程为，令x＝0，可得，切线方程与直线y＝x联立，求得交点横坐标为x＝2x0，计算曲线f（x）上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积，即可得到结论． 【详解】（Ⅰ）由题意的，解得，； （Ⅱ）设为曲线上任一点， 由知，曲线在点处的切线方程为， 当得，令，得， 所以点处的切线与直线，所围成的三角形的面积为 . 【点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为． 19. 已知函数． （1）设x=0是的极值点，求m，并讨论的单调性； （2）当时，证明. 【答案】（1）在上是减函数；在上是增函数 （2）当，时，，则， 故只需证明当时，. 当时，函数在上单调递增. 又，故在上有唯一实根，且. 当时，； 当时，，从而当时，取得最小值. 由得，则 故. 【解析】 【小问1详解】 依题意，，由是的极值点，得，解得， 则， 当时，，则；当时，，则， 所以是的极值点，，且在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 略 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $