精品解析：山东省济南市高新区2024—2025学年下学期八年级期中考试数学卷

济南高新区2024－2025学年第二学期八年级学业质量抽测 数 学 试 题 本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷共2页，满分为40分；第Ⅱ卷共4页，满分为110分．本试题共6页，满分为150分．考试时间为120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的考点、姓名、准考证号、座号填写在答题卡上和试卷规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第I卷（选择题 共48分） 注意事项：第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 校园开放月活动，学生们精心设计了许多优美的图案，下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，解题的关键是掌握相应的概念，中心对称图形关于点对称，轴对称图形关于线对称，进行判断． 【详解】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形； B．不是轴对称图形，是中心对称图形； C．是轴对称图形，不是中心对称图形； D．是轴对称图形，不是中心对称图形； 故选：A． 2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义．因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，据此对各项进行判断即可． 【详解】解：A、是单项式乘多项式的运算，不符合题意； B、右边结果不是积的形式，不符合题意； C、是多项式与多项式的乘法运算，不符合题意； D、属于因式分解，符合题意． 故选：D． 3. 若，则下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质进行求解判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，故该选项错误； B、∵， ∴，故该选项错误； C、∵， ∴，故该选项错误； D、∵， ∴，故该选项正确； 故选：D． 4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式．解不等式求出的范围，再在数轴上表示即可． 【详解】解：解得在数轴上表示如下： 故选：B． 5. 若把分式的x、y同时扩大10倍，则分式的值（　　） A. 扩大10倍 B. 缩小10倍 C. 不变 D. 缩小5倍 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的性质即可进行解答． 【详解】解：把的x、y同时扩大10倍为， 故分式的值不变， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的性质进行约分化简是解题的关键． 6. 将点A沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度后得到的点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】坐标系中点的平移遵循：上加下减，左减右加的规律，据此解答即可． 【详解】解：∵点A沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度后得到点， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴的坐标为． 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标系中点的平移，掌握点平移的规律是解题关键． 7. 若能用完全平方公式因式分解，则k的值为（ ） A. B. C. 26或 D. 或22 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式分解因式，根据题意可得，列式计算即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴或26． 故选：C 8. 已知关于x的方程有增根，则a的值为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. ﹣5 【答案】D 【解析】 【分析】首先最简公分母为0，求出增根，化分式方程为整式方程，把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 【详解】解：∵方程有增根， ∴x﹣5＝0， ∴x＝5， ， 去分母得：x＝3（x﹣5）﹣a， x＝3x﹣15﹣a， 把x＝5代入整式方程解得a＝﹣5， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，熟知分式方程的增根是使分式方程最简公分母为的未知数的值是解本题的关键． 9. 如图，直线与的交点的横坐标为，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次不等式的结合，通过观察函数图像来确定不等式的解集．需要理解当两个一次函数图像相交时，交点的横坐标是两个函数值相等的x值，以及如何根据图像判断不等式的解集．观察函数图象得到当时，函数的图象都在的图象上方，所以不等式的解集为． 【详解】解：由图可知，当时，， 即不等式的解集为． 故选：B 10. 如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连结，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理．①根据旋转的性质，可得，结合，即可判断；③根据旋转的性质，可证，得到，即可判断；④由，，在中，应用勾股定理，即可判断；②与不一定相等，即可判断， 【详解】解：由旋转的性质可得：， ，， ， ，故①正确； ， ，即：平分，故③正确； ， ， 在中，，即：，故④正确； 与不一定相等，故②不正确， 综上所述，①③④正确， 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 注意事项： 1.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 2.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 11. 分解因式：x2－25=_________________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：因为x2﹣25=x2﹣52，所以直接应用平方差公式即可：． 12. 若分式的值为0，则x的值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据分式的值为0时分母≠0，且分子＝0两个条件求出x的值即可． 【详解】由x2-9=0，得 x=±3． 又∵x+3≠0， ∴x≠-3， 因此x=3． 故答案为3． 【点睛】本题考查了分式值为0时求字母的值．分式值为0时分子=0，分母≠0，两个条件缺一不可，掌握以上知识是解题的关键． 13. 已知，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键，根据合比性质进行计算． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到的方向平移到的位置，若，，平移距离为4，则阴影部分面积为_________． 【答案】34 【解析】 【分析】本题考查平移性质、全等三角形的性质、梯形面积公式，熟练掌握平移性质，得到是解答的关键． 根据平移性质得到阴影部分面积等于梯形的面积，然后利用梯形面积公式求解即可． 【详解】解：由平移性质得，，，， ∴，，， ∴ ． 故答案为：34． 15. a、b、c、d规定符号表示运算，已知，则x的整数解为___________ 【答案】##3 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，解题的关键是根据定义列出式子，进一步列出不等式组进行求解． 【详解】解：， ， 解得：， 则x的整数解为， 故答案为：． 16. 如图，在中，，为边上的中线，且，点P是上一动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，则长度的最小值为__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质等知识，得到点Q的运动路线是解答的关键．先求得，证明，推出，得到点在射线上，当时，长度取得最小值，据此求解即可． 【详解】解：取的中点，连接、， ∵，为边上的中线， ∴，， ∴， ∵点是斜边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点在射线上，且， 当时，长度取得最小值， ∵，， ∴，又， ∴，， ∴长度的最小值为， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提取公因式，再采用完全平方公式即可作答； （2）利用平方差公式即可作答． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 【点睛】本题主要考查了利用公式法和提取公因式法进行因式分解的知识，熟练掌握完全平方公式和平方差公式，是解答本题的关键． 18. 解不等式组，并把它们的解集表示在数轴上． 【答案】， 在数轴上表示如下： 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后画数轴表示即可． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 数轴略， 所以不等式组的解集为：． 19. 先化简，再求值：，在0，1，2四个数中，选一个合适的数代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先根据分式的混合计算法则化简分式，再根据分式有意义的条件确定x的值，最后代值计算即可． 【详解】解： • ， ∵， ∴当时，原式． 20. 解方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据解分式方程的方程解方程即可，注意一定要检验； （2）根据解分式方程的方程解方程即可，注意一定要检验． 【小问1详解】 解： 经检验，是原分式方程的解； 【小问2详解】 解： 经检验，是原分式方程的解． 【点睛】本题考查解分式方程，正确解方程是解题的关键，注意一定要检验． 21. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中，每个正方形的顶点称为格点．已知的顶点均在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系，点A、B的坐标分别是，． （1）将向下平移3个单位长度得到，画出平移后的图形； （2）将绕点O逆时针旋转后得到，画出旋转后的图形； （3）画出关于原点O对称的图形，并写出点，，的坐标． 【答案】（1） 如图所示，即为所求. （2） 如图所示，即为所求. （3） 如图所示，即为所求. ，. 【解析】 【分析】（1）将A、O、B三个点分别向下平移3个单位，得到点，再顺次连接即可得到； （2）将A点和B点分别绕O点沿逆时针方向旋转得到点和点，再顺次连接点即可得到； （3）先做出A点和B点关于原点的对称点，再顺次连接即可得到. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中的平移、旋转、中心对称的作图.解题的关键是掌握平移变换与旋转变换的定义与性质，找到变换以后的对应点. 22. 如图，在中，，点D、E分别在上，且，连接，将线段绕点C按顺时针方向旋转后得到，连接． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1） 证明：由旋转的性质得，， ∴， ∵， ∴， ∴ 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，旋转前后对应边相等，此类题目难点在于利用同角的余角相等求出相等的角． （1）根据旋转的性质可得，然后根据同角的余角相等求出，再利用“边角边”证明即可； （2）根据两直线平行，同旁内角互补求出，再根据全等三角形对应角相等可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 某文教店老板到批发市场选购两种品牌的绘图工具套装，每套品牌套装进价比品牌每套套装进价多元，已知用元购进种套装的数量和用元购进种套装的数量相同． （1）求两种品牌套装每套进价分别为多少元？ （2）若品牌套装每套售价为元，品牌套装每套售价为元，店老板决定，购进品牌的数量比购进品牌的数量的倍还多套，两种工具套装全部售出后，要使总的获利超过元，则最少购进品牌工具套装多少套？ 【答案】（1）品牌套装每套进价为元，则品牌套装进价为元 （2）套 【解析】 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键。 （1）设品牌套装每套进价为元，则B品牌套装进价为元，列方程求解即可； （2）设购进品牌套装套，则购进品牌套装套，根据题意列不等式求解即可。 【小问1详解】 解：设品牌套装每套进价为元，则B品牌套装进价为元 由题意得 解得 经检验，是分式方程的解 答：品牌套装每套进价为元，则品牌套装进价为元 【小问2详解】 解：设购进品牌套装套，则购进品牌套装套， 由题意得： 解得 为正整数， 答：最少购进品牌工具套装套． 24. 已知一次函数，． （1）若求x的取值范围； （2）若关于x的一元一次不等式组的解集为，求的值； （3）若，对于任意的，都有，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，根据不等式组的解集求参数等等，正确根据题意建立不等式和不等式组是解题的关键： （1）根据题意可得不等式，解不等式即可得到答案； （2）根据题意可得不等式组，分别求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组的解集求出a、b的值即可得到答案； （3）求出不等式的解集，再根据对于任意的，都有进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵，且， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于x的一元一次不等式组的解集为， ∴， ∴ ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴当时，有， ∴， ∵对于任意的，都有， ∴， ∴． 25. 阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得．又因为，所以关于x的方程的解为． （1）理解应用：方程的解为：_______，________； （2）知识迁移：若关于x的方程的解为，求的值； （3）拓展提升：若关于x的方程的解为，求的值 【答案】（1）5， （2）43 （3）32 【解析】 【分析】（1）根据材料中的方法求解即可； （2）由题意可得，再由完全平方公式可得； （3）方程变形为，则方程的解为或，则有，整理得，再将所求代数式化为，进而即可求解． 【小问1详解】 解：∵的解为， ∴的解为或， 故答案为：5，； 【小问2详解】 解：∵方程， ∴根据题意设，， ∴； 【小问3详解】 解：∵方程 ∴ ∴， 设，方程变形为， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴或， ∴，， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题考查了分式方程的解，完全平方公式，理解题意，灵活求分式方程的解，并结合完全平方公式对代数式求值是解题的关键． 26. 已知是等边三角形． （1）将绕点A逆时针旋转角，得到，和所在直线相交于点O． ①如图a，当时，与是否全等？_____（填“是”或“否”），_____度； ②当旋转到如图b所在位置时，求的度数； （2）如图，在和上分别截取点和，使，，连接，将绕点逆时针旋转角，得到，和所在直线相交于点，请利用图探索的度数，说明理由． 【答案】（1）①是，；② （2）当时，；当时，点与点重合；当时， 【解析】 【分析】（1）①根据旋转变换的性质以及等边三角形的性质可得，，然后利用“边角边”证明与全等；根据三角形的内角和等于求出与的度数，再根据旋转角为求出的度数，然后利用四边形的内角和公式求解即可； ②先利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，再利用四边形的内角和等于推出，再根据等边三角形的每一个角都是得到，从而得解； （2）先求出，证明是等边三角形，再根据旋转变换的性质可得，，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，再利用三角形的内角和定理求出的度数，然后分、和三种情况求解． 【小问1详解】 解：①是由绕点旋转得到，是等边三角形， ，， 在与中， ， ； ， ， 又， 在四边形中，； ②由已知得：和是全等的等边三角形， ， 是由绕点旋转得到的， ， 同理可得，， ， ， ， ， ， ， 又， ； 【小问2详解】 解：如图，，，且是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形， 根据旋转变换的性质可得，， 在和中， ， ， ， ， 当时，； 当时，点与点重合，无， ∵， ∴， 连接， 在中，， ∵， ∴ 解得，则， ∴，即B、D、E三点共线， ∴无； 当时，． 【点睛】本题以等边三角形旋转为载体，核心依托“”全等证明传递角的等量关系，结合四边形或三角形内角和推导目标角度；第2问先进行推导得到等边，再通过全等推导出，最后分类讨论旋转角的范围，得出的不同情况，充分体现了旋转不变性、分类讨论与数形结合的几何解题思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南高新区2024－2025学年第二学期八年级学业质量抽测 数 学 试 题 本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷共2页，满分为40分；第Ⅱ卷共4页，满分为110分．本试题共6页，满分为150分．考试时间为120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的考点、姓名、准考证号、座号填写在答题卡上和试卷规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第I卷（选择题 共48分） 注意事项：第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 校园开放月活动，学生们精心设计了许多优美的图案，下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（     ） A. B. C. D. 3. 若，则下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若把分式的x、y同时扩大10倍，则分式的值（　　） A. 扩大10倍 B. 缩小10倍 C. 不变 D. 缩小5倍 6. 将点A沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度后得到的点的坐标为（　　） A. B. C. D. 7. 若能用完全平方公式因式分解，则k的值为（ ） A. B. C. 26或 D. 或22 8. 已知关于x的方程有增根，则a的值为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. ﹣5 9. 如图，直线与的交点的横坐标为，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连结，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①③④ 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 注意事项： 1.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 2.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 11. 分解因式：x2－25=_________________. 12. 若分式的值为0，则x的值为__________． 13. 已知，则的值为_____． 14. 如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到的方向平移到的位置，若，，平移距离为4，则阴影部分面积为_________． 15. a、b、c、d规定符号表示运算，已知，则x的整数解为___________ 16. 如图，在中，，为边上的中线，且，点P是上一动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，则长度的最小值为__． 三、解答题：（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 分解因式： （1）； （2）． 18. 解不等式组，并把它们的解集表示在数轴上． 19. 先化简，再求值：，在0，1，2四个数中，选一个合适的数代入求值． 20. 解方程 （1） （2） 21. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中，每个正方形的顶点称为格点．已知的顶点均在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系，点A、B的坐标分别是，． （1）将向下平移3个单位长度得到，画出平移后的图形； （2）将绕点O逆时针旋转后得到，画出旋转后的图形； （3）画出关于原点O对称的图形，并写出点，，的坐标． 22. 如图，在中，，点D、E分别在上，且，连接，将线段绕点C按顺时针方向旋转后得到，连接． （1）求证：； （2）若，求证：． 23. 某文教店老板到批发市场选购两种品牌的绘图工具套装，每套品牌套装进价比品牌每套套装进价多元，已知用元购进种套装的数量和用元购进种套装的数量相同． （1）求两种品牌套装每套进价分别为多少元？ （2）若品牌套装每套售价为元，品牌套装每套售价为元，店老板决定，购进品牌的数量比购进品牌的数量的倍还多套，两种工具套装全部售出后，要使总的获利超过元，则最少购进品牌工具套装多少套？ 24. 已知一次函数，． （1）若求x的取值范围； （2）若关于x的一元一次不等式组的解集为，求的值； （3）若，对于任意的，都有，求m的取值范围． 25. 阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得．又因为，所以关于x的方程的解为． （1）理解应用：方程的解为：_______，________； （2）知识迁移：若关于x的方程的解为，求的值； （3）拓展提升：若关于x的方程的解为，求的值 26. 已知是等边三角形． （1）将绕点A逆时针旋转角，得到，和所在直线相交于点O． ①如图a，当时，与是否全等？_____（填“是”或“否”），_____度； ②当旋转到如图b所在位置时，求的度数； （2）如图，在和上分别截取点和，使，，连接，将绕点逆时针旋转角，得到，和所在直线相交于点，请利用图探索的度数，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $