精品解析：福建省福州高级中学2024-2025学年高二下学期第三学段考试数学试题

福州高级中学2024-2025学年第三学段考试 高二数学试题 命卷教师：章世忠 审卷教师：高岚龙 试卷总分150分 完卷时间120分钟 一、单项选择题：本题共有8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1. 中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类.现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式即得. 【详解】依题意，每个人的选购方式有3种，所以不同的选购方式有种. 故选：A 2. 若，则的值为（ ） A. 2 B. 8 C. 2或8 D. 2或4 【答案】A 【解析】 【分析】利用组合数的性质求出的值. 【详解】由组合数的性质可得，解得， 又，所以或， 解得（舍去）或. 故选：A. 3. 已知函数的导函数为，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出导函数为，进而即可求出. 【详解】因为，所以， 所以，解得 故选：B. 4. 已知2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，则实数a的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式定理将多项式进行展开，利用整除的性质即可得到结论. 【详解】 ， ∵能被11整除， ∴要使能被11整除，则能被11整除， ∵，∴，则，解得， 故选：C. 5. 经过点所作曲线的切线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】C 【解析】 【分析】求导，后根据导数几何意义，转化为：的根的个数，结合根的判别式判定即可. 【详解】因为，所以曲线在点处的切线方程为. 将代入，得. 因为，所以方程有两个不同的根，且根不为0， 所以方程共有3个不同的根， 即经过点所作曲线的切线有3条. 故选：C. 6. 随着某市经济的蓬勃发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式求解概率即可. 【详解】设事件示“自驾”，事件表示“坐公交车”，事件表示“骑共享单车”，事件“表示迟到”， 由题意可知：，，，， 则，， 若小明迟到了，则他自驾去上班的概率是． 故选：B 7. 的展开式中，项的系数为（ ） A. －23 B. 17 C. 20 D. 63 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二项式展开式的通项公式，结合乘法分配律，求得的系数. 【详解】的展开式的通项公式为.则 ①出，则出，该项为：； ②出，则出，该项为：； ③出，则出，该项为：； 综上所述：合并后的项的系数为17. 故选：B 【点睛】本小题考查二项式定理及展开式系数的求解方法等基础知识，考查理解能力，计算能力，分类讨论和应用意识. 8. 已知一个家庭有两个孩子，其中有一个是男孩，且这个男孩出生在星期二，那么另外一个也是男孩的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先设事件，再应用条件概率公式结合对立事件概率公式计算求解. 【详解】设“有一个是男孩，且这个男孩出生在星期二”，“另外一个也是男孩”， ． 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 将四大名著《红楼梦》《西游记》《三国演义》《水浒传》，诗集《唐诗三百首》《徐志摩诗集》和戏曲《中华戏曲》7本书放在一排，则（ ） A. 戏曲书放在正中间位置的不同放法有种 B. 诗集相邻的不同放法有种 C. 四大名著互不相邻的不同放法有种 D. 四大名著不放在两端的不同放法有种 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，利用全排列求出答案；B选项，捆绑法进行求解；C选项，插空法进行求解；D选项，先将除四大名著外的3本书中，挑选2本放在两端，再将剩余的书和位置进行全排列. 【详解】A选项，戏曲书放在正中间，其余6本书和6个位置进行全排列，共有种不同放法，A错误； B选项，将两本诗集进行捆绑，有2种放法，再将捆绑的诗集和剩余的5本书， 进行全排列，此时有种放法，故诗集相邻的不同放法有种，B正确； C选项，先将诗集和戏曲进行全排列，有种方法，且3本书互相之间有4个空， 将4大名著进行插空，有种方法，故共有种放法，C正确； D选项，将除四大名著外的3本书中，挑选2本放在两端，有种放法， 再将剩余5本书和5个位置进行全排列，有种放法， 故四大名著不放在两端的不同放法有种，D错误. 故选：ABC 10. （多选）甲罐中有个红球、个白球和个黑球，乙罐中有个红球、个白球和个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分别以事件、、表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球，再从乙罐中随机取出一个球，以事件表示由乙罐取出的球是红球，下列结论正确的是（ ） A. 事件与事件不相互独立 B. 、、是两两互斥的事件 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用事件独立性的定义可判断A选项的正误；利用互斥事件的定义可判断B选项的正误；利用全概率公式可判断C选项的正误；利用条件概率公式可判断D选项的正误. 【详解】对于A，由题意可知，事件发生与否影响事件的发生，故事件与事件不相互独立，故A正确; 对于B，、、两两不可能同时发生，故B正确； 对于C，，故C不正确； 对于D，已知从甲罐中取出一个红球放入乙罐，这时乙罐中有个球，其中红球有个， 因此，在事件发生的条件下，事件发生的概率为，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知为函数的导函数，若，，则下列结论正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 在上有极大值 D. 在上有极小值 【答案】BD 【解析】 【分析】首先根据题意设，得到，再求出的单调性和极值即可得到答案. 【详解】由，可知，则， 即，设. 由得， 由得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数取得极小值. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的展开式的各项系数之和为，则展开式中有理项共有_____项． 【答案】6 【解析】 【分析】先应用赋值法求出，再应用通项公式计算求解即可. 【详解】令，得，则或（舍去）． ∴的展开式的通项为． 当时，为有理项，故有理项共有6项． 故答案为：6. 13. 某医院的甲、乙、丙、丁、戊5名医生到湖北的A，B，C三个城市支援抗疫，若要求每个城市至少安排1名医生，则A城市恰好只有医生甲去支援的概率为______（用分数表示）． 【答案】 【解析】 【分析】利结合分组分配问题，利用分步乘法原理求出基本事件的个数，再利用组合求出事件包含的基本事件个数，最后利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】分两步，第一步，把5名医生分成三组，有1，1，3和1，2，2两种分法， 当分成1，1，3时，有种情况，当分成1，2，2时，有种情况； 第二步，把这三组分到三个城市．则共有种情况． A城市恰好只有医生甲去支援，即将剩下的4名医生分配到2个城市． 则共有（种），因此所求概率． 故答案为： 14. 已知正实数，满足，则的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】将条件变形为，然后构造函数，，利用导数研究其单调性，则根据得，进而利用基本不等式求解最值即可. 【详解】正实数，，， 令，，当时，， 所以函数在上单调递增， 又，于是， 则，当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为4． 故答案为：4 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在数列中，，． （1）证明：数列是等差数列． （2）若，记数列的前项和，求． 【答案】（1） 在数列中，由，得， 则， 而，即， 所以数列是首项和公差均为1的等差数列． （2） 【解析】 【分析】（1）将变为，利用等差数列定义即可证明. （2）由（1）求出，进而得，然后结合分组求和思想，利用等差数列的求和公式和等比数列的求和公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，则，即， 所以的通项公式是，得， 则 ， 所以． 16. 已知动点在轴的右侧，且点到轴的距离比它到点的距离小1. （1）求动点的轨迹的方程； （2）设斜率为且不过点的直线交于两点，直线的斜率分别为 ，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义易得其标准方程；（2）设出的坐标，代入抛物线的方程，直接利用点差法和斜率公式直接表示出，化简即可. 【详解】（1）依题意知，根据抛物线的定义，动点的轨迹是抛物线(除原点)， 其焦点为，准线为， 设其方程为，则，解得， 所以动点的轨迹C的方程是. （2）设，是直线与的交点， 易知，，所以， 又直线的斜率为 ，所以，即，所以 因此 17. 如图，在四棱锥中，是正三角形，，平面平面，是棱上动点． （1）求证：平面平面； （2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为30°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 因为，所以， 在中，由余弦定理得， 所以，即， 取AD的中点，连结PO，因为是正三角形，所以 又面面ABCD，面面，面， 所以平面，又平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）存在，或，理由如下： 取AB的中点，连结ON，则，所以 以为正交基底建立空间直角坐标系， 则， 设，，则， 又，设平面的一个法向量为， 则，即，若， 取， 由直线AP与平面MBD所成角为，得， 化简得 解得或， 当或时，直线AP与平面所成角为. 【解析】 【分析】（1）由题设证得，取AD的中点，连结PO，应用面面垂直的性质证平面，再由线面垂直的性质、判定及面面垂直的判定证结论； （2）取AB的中点，连结ON，则，构建空间直角坐标系，设，应用向量法，结合线面角大小列方程求，即可得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 某企业使用新技术生产某种产品，该产品在出厂前要经历生产和检测两道工序，生产工序的次品率为．检测工序包括智能自动检测和人工抽查检测．智能自动检测为正品，则进入流水线并由人工抽查检测． （1）现有7件经过生产工序但未经检测工序的产品，其中恰含2件次品，从这7件产品中随机抽取3件，求这3件产品中的次品数的分布列和数学期望； （2）若智能自动检测的准确率为，求一件产品进入人工抽查检测环节的概率． 【答案】（1）的分布列为 数学期望为； （2） 【解析】 【分析】（1）根据超几何分布列出其分布列即可； （2）设“智能自动检测为合格品”，“产品为合格品”，则根据题意可得 ，，，再利用全概率公式计算即可. 【小问1详解】 可能取的值为0，1，2， 且，，， 所以的分布列为 则. 【小问2详解】 记“智能自动检测为合格品”，“产品为合格品”， 则由题意知，，， 则， 所以由全概率公式知 ， 所以一件产品进入人工抽查检测环节的概率为． 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，. 【答案】（1）当时，在上单调递增当时，在上单调递增，在上单调递减. （2） 若有，设，； ∴； 令，，则对任意恒成立， ∴在上单调递减；又，， ∴，使得， 即，则，即； 因此，当时，即，单调递增； 当时，，即，单调递减； 故， ，即 又 . 【解析】 【分析】（1）分类讨论得到导函数的正负，求出函数的单调性；（2）利用隐零点求解函数的极值，最值，证明出不等式. 【小问1详解】 的定义域为，. 当时，，所以在上单调递增. 当时，若，则；若，则. 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上所述：当时，在上单调递增 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 略 【点睛】函数单调性的求解，要对参数进行分类讨论，要结合题目特征，结合定义域，尽可能的对导函数因式分解，寻找导函数的零点，这是分类讨论的标准. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州高级中学2024-2025学年第三学段考试 高二数学试题 命卷教师：章世忠 审卷教师：高岚龙 试卷总分150分 完卷时间120分钟 一、单项选择题：本题共有8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1. 中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类.现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 2. 若，则的值为（ ） A. 2 B. 8 C. 2或8 D. 2或4 3. 已知函数的导函数为，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 4. 已知2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，则实数a的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 5. 经过点所作曲线的切线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 6. 随着某市经济的蓬勃发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 的展开式中，项的系数为（ ） A. －23 B. 17 C. 20 D. 63 8. 已知一个家庭有两个孩子，其中有一个是男孩，且这个男孩出生在星期二，那么另外一个也是男孩的概率是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 将四大名著《红楼梦》《西游记》《三国演义》《水浒传》，诗集《唐诗三百首》《徐志摩诗集》和戏曲《中华戏曲》7本书放在一排，则（ ） A. 戏曲书放在正中间位置的不同放法有种 B. 诗集相邻的不同放法有种 C. 四大名著互不相邻的不同放法有种 D. 四大名著不放在两端的不同放法有种 10. （多选）甲罐中有个红球、个白球和个黑球，乙罐中有个红球、个白球和个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分别以事件、、表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球，再从乙罐中随机取出一个球，以事件表示由乙罐取出的球是红球，下列结论正确的是（ ） A. 事件与事件不相互独立 B. 、、是两两互斥的事件 C. D. 11. 已知为函数的导函数，若，，则下列结论正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 在上有极大值 D. 在上有极小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的展开式的各项系数之和为，则展开式中有理项共有_____项． 13. 某医院的甲、乙、丙、丁、戊5名医生到湖北的A，B，C三个城市支援抗疫，若要求每个城市至少安排1名医生，则A城市恰好只有医生甲去支援的概率为______（用分数表示）． 14. 已知正实数，满足，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在数列中，，． （1）证明：数列是等差数列． （2）若，记数列的前项和，求． 16. 已知动点在轴的右侧，且点到轴的距离比它到点的距离小1. （1）求动点的轨迹的方程； （2）设斜率为且不过点的直线交于两点，直线的斜率分别为 ，求的值. 17. 如图，在四棱锥中，是正三角形，，平面平面，是棱上动点． （1）求证：平面平面； （2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为30°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18. 某企业使用新技术生产某种产品，该产品在出厂前要经历生产和检测两道工序，生产工序的次品率为．检测工序包括智能自动检测和人工抽查检测．智能自动检测为正品，则进入流水线并由人工抽查检测． （1）现有7件经过生产工序但未经检测工序的产品，其中恰含2件次品，从这7件产品中随机抽取3件，求这3件产品中的次品数的分布列和数学期望； （2）若智能自动检测的准确率为，求一件产品进入人工抽查检测环节的概率． 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $