精品解析：天津市滨海新区汉沽第一中学2024-2025学年高一下学期期中数学试题

汉沽一中高一年级2024-2025学年第二学期数学学科 期中教学质量检测试卷 一、选择题（本题共12题，每小题5分，共60分） 1. 复数的虚部是（ ） A. i B. C. 1 D. 2. 若，，，的夹角为，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则实数x的值是（ ） A. B. C. D. 4. 蒙古包是我国蒙古族牧民居住的房子，适于牧业生产和游牧生活．如图所示的蒙古包由下面圆柱部分和上面圆锥部分组合而成，用毛毡覆盖其表面（底面除外）．其中圆柱的高为，底面半径为，圆锥的顶点到底面的距离是，则图中蒙古包所用毛毡的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知等腰三角形，是一个平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（ ） A. B. 1 C. D. 6. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，对于下列四个命题： ①；②； ③；④． 其中正确命题的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 7. 已知向量的夹角为且|，，则在上投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知非零向量，，那么“､的夹角为钝角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 如图所示，在△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则=（ ） A. B. C. D. 10. 在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形或等腰三角形 11. 一个四面体各棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 A. B. C. D. 12. 如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形．已知正八边形的边长为4，O是线段的中点，P为正八边形内的一点（含边界），则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共8题，每小题5分，共40分） 13. 是虚数单位，则的值为__________. 14. 已知两个球的表面积之比为，则这两个球的体积之比为______． 15. 已知向量，，则______. 16. 在中，，，，则_____；若为边上一点，且，则_____. 17. 侧棱长为3，底面边长为正四棱柱的表面积为______；外接球体积为______. 18. 已知某圆锥高，轴截面为等腰直角三角形，则其侧面积______，体积_______. 19. 在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，，则________；为线段BC上的中点，则的值为________． 20. 清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由相同的两个正交的正四面体组合而成（如图1），也可由正方体切割而成（如图2）.在“蒺藜形多面体”中，若正四面体的棱长为2，则该几何体的体积为_________. 三、解答题（本题共4题，共50分） 21. 已知，. （1）设向量，的夹角为，求的值； （2）求向量在向量上的投影向量的坐标； （3）若，求k的值. 22. 在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 23. 如图：在正方体中，为的中点. （1）求三棱锥的体积； （2）求证：平面； （3）若为的中点，求证：平面平面. 24. 在中，角的对边分别为．且满足． （1）求角的大小； （2）若的面积，内切圆的半径为，求； （3）若的平分线交于，且，求的面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汉沽一中高一年级2024-2025学年第二学期数学学科 期中教学质量检测试卷 一、选择题（本题共12题，每小题5分，共60分） 1. 复数的虚部是（ ） A. i B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合复数的定义，即可求解. 【详解】由复数，根据复数的定义，可得复数的虚部为. 故选：C. 2. 若，，，的夹角为，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的定义，即可得出答案. 【详解】由已知可得，. 故选：B. 3. 已知向量，，若，则实数x的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直，则向量的数量积为零求解. 【详解】因为， 所以， 解得， 故选：C. 4. 蒙古包是我国蒙古族牧民居住的房子，适于牧业生产和游牧生活．如图所示的蒙古包由下面圆柱部分和上面圆锥部分组合而成，用毛毡覆盖其表面（底面除外）．其中圆柱的高为，底面半径为，圆锥的顶点到底面的距离是，则图中蒙古包所用毛毡的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到圆锥的母线长，分别求得圆锥和圆柱的侧面积即可. 【详解】解：由题意得：圆锥的高为3m，底面半径为4m， 所以圆锥的母线长为5m， 所以圆锥的侧面积为，而圆柱的侧面积为， 所以蒙古包所用毛毡的面积为， 故选：D 5. 如图，已知等腰三角形，是一个平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法的定义，画出平面图形，求得原三角形的直角边，从而面积可得． 【详解】在直观图中，，而，因此是等腰直角三角形， 利用斜二测画法的定义，画出原图形， 由等腰斜边，得， 因此，， 所以原平面图形的面积是. 故选：D 6. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，对于下列四个命题： ①；②； ③；④． 其中正确命题的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】A 【解析】 【分析】根据线、面位置关系结合线、面平行的判定定理分析判断. 【详解】对于①：因为面面平行的判定定理要求相交，若没有，则可能相交，故①错误； 对于②：因为线面平行的判定定理要求，若没有，则可能，故②错误； 对于③：根据线、面位置关系可知：//，或异面，故③错误； 对于④：根据线、面位置关系可知：//，或异面，故④错误； 故选：A. 7. 已知向量的夹角为且|，，则在上投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义，结合向量坐标运算求解作答. 【详解】依题意，在上投影向量为，其中， 所以在上投影向量的坐标为. 故选：C 8. 已知非零向量，，那么“､的夹角为钝角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用必要条件､充分条件与充要条件的定义结合向量的数量积判断. 【详解】设非零向量的夹角为，若为钝角，则，所以，故充分； 若，则是钝角或平角，即两个向量的夹角是钝角，或两个向量反向，故不必要； 所以“､的夹角为钝角”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 9. 如图所示，在△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算计算可得结果. 【详解】依题意，. 故选：B 10. 在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形或等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】将已知结合二倍角公式，两角和的正弦公式，化简可得，从而可以判断三角形的形状. 【详解】，， ， 化简得，， ，即， 或， ，或，即或， 是直角三角形或等腰三角形. 故选：D. 11. 一个四面体各棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，通过正方体的对角线的长度就是外接球的直径，求出球的表面积． 由于正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，所以正方体的棱长为：1，所以正方体的对角线的长度就是外接球的直径，所以球的半径为，所以球的表面积为：，故选A. 考点：球内接多面体 12. 如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形．已知正八边形的边长为4，O是线段的中点，P为正八边形内的一点（含边界），则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量数量积的几何意义，即投影向量的意义计算即得. 【详解】 如图过点作直线，交于点， 因，又， 则，而即在直线上投影的数量， 要使取最大值，则需使在直线上投影的数量最大， 由图知，当点与点或重合时投影向量的数量最大. 因，由对称性知，， 在中，，因，解得， 则，故的最大值为. 故选：B. 二、填空题（本题共8题，每小题5分，共40分） 13. 是虚数单位，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模． 【详解】． 【点睛】本题考查了复数模的运算，是基础题. 14. 已知两个球的表面积之比为，则这两个球的体积之比为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据球体表面积与体积公式，确定比例关系， 【详解】设两球的半径分别为，， ∵球体表面积公式，， ∴， ∵球体体积公式， ∴. 故答案为： 15. 已知向量，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出，，，再由夹角公式计算可得. 【详解】因为，， 所以，，， 所以. 故答案为： 16. 在中，，，，则_____；若为边上一点，且，则_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】空1使用余弦定理求解即可，空2使用正弦定理求解即可. 【详解】在中，由余弦定理得又则 在中，由正弦定理得：所以 故答案为：，. 17. 侧棱长为3，底面边长为正四棱柱的表面积为______；外接球体积为______. 【答案】 ①. ； ②. . 【解析】 【分析】应用棱柱的表面积公式求正四棱柱的表面积，正四棱柱的结构特征确定外接球的半径，再由球体的体积公式求体积. 【详解】由题设，正四棱柱的表面积为， 由外接球的直径为正四棱柱的体对角线，则， 所以外接球体积为. 故答案为：， 18. 已知某圆锥高，轴截面为等腰直角三角形，则其侧面积______，体积_______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意求出圆锥的底面圆半径和母线，然后根据公式即可求解. 【详解】 如图，为等腰直角三角形，且， 所以底面圆半径，母线长， 所以侧面积，体积. 故答案为：；. 19. 在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，，则________；为线段BC上的中点，则的值为________． 【答案】 ①. ； ②. ． 【解析】 【分析】由题意可知，再结合可得，进而求出，的值，得到的值；,即可根据数量积的运算律求出. 【详解】由题意可知， ， ，，； 则， 故 故答案为：；． 20. 清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由相同的两个正交的正四面体组合而成（如图1），也可由正方体切割而成（如图2）.在“蒺藜形多面体”中，若正四面体的棱长为2，则该几何体的体积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用割补法，结合体积公式求解即可. 【详解】因为，所以，，设AC，BD相交于点O，则O到AB的距离为， 所以蒺藜形多面体体积为正方体体积减去，即. 故答案为：. 三、解答题（本题共4题，共50分） 21. 已知，. （1）设向量，的夹角为，求的值； （2）求向量在向量上的投影向量的坐标； （3）若，求k的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标公式及夹角公式求解即可； （2）根据投影向量的定义求解即可； （3）根据平面向量平行的坐标公式求解即可. 【小问1详解】 由，， 得， 所以； 【小问2详解】 向量在向量上的投影向量的坐标为 ； 【小问3详解】 ， 因为， 所以，解得. 22. 在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理以及解方程组即可求出； （2）由（1）可求出，再根据正弦定理即可解出； （3）先根据二倍角公式求出，再根据两角差的正弦公式即可求出． 【小问1详解】 因为，即，而，代入得，解得：． 【小问2详解】 由（1）可求出，而，所以，又，所以． 【小问3详解】 因为，所以，故，又， 所以，，而，所以， 故． 23. 如图：在正方体中，为的中点. （1）求三棱锥的体积； （2）求证：平面； （3）若为的中点，求证：平面平面. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据锥体的体积公式计算即可； （2）根据线面平行的判定进行证明； （3）根据面面平行的判定进行证明. 【小问1详解】 显然平面，于是. 【小问2详解】 设，连接， 在正方体中，四边形是正方形，是中点， 是的中点，， 平面平面 平面； 【小问3详解】 为的中点，为的中点， ， 四边形为平行四边形，， 又平面平面平面， 由（2）知平面平面平面， 平面平面. 24. 在中，角的对边分别为．且满足． （1）求角的大小； （2）若的面积，内切圆的半径为，求； （3）若的平分线交于，且，求的面积的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用和角公式化简，借助于同角三角函数式和特殊角的函数值即得答案； （2）由等面积法得出，，利用余弦定理得出，三式联立即可求得边； （3）结合题设，分别在，和中，由正弦定理推出边的关系式，再利用基本不等式求得的最小值，继而可得三角形面积最小值． 【小问1详解】 在中，由， 可得，所以，即， 因，则． 【小问2详解】 由（1）知，则，即：， 所以①，②， 在中，由余弦定理得， 即③， 由①②③得：，解得； 【小问3详解】 如图，因平分，由（1）知， 故， 在中，设，则， 在中，，由正弦定理，得，则， 在中，由正弦定理，得，则， 故有（*）． 在中，由正弦定理，得，则， 得，代入（*）式，可得，即． 由基本不等式，得，解得，当且仅当时取“”． 于是．即的面积的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $