天津市南开大学附属中学2025-2026学年高一年级下学期5月期中考试数学试题

南开大学附中25-26学年度下学期期中检测 高一数学学科试卷 一、单选题：（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1.设i为虚数单位，若(1+√)幽2，则z=（) A.1 B.V2 C.2 D.2v2 2.在△ABC中，a,b是角A,B的对边，a=2,=V,A=45°，则角B的值为() A.60° B.150° C.30°或150° D.60°或120° 3.设x,yER,向量=(x,1),D=(1,y),亡=(2,4)，且1E，B1它，则 x+y=() A.0 B.1 C.2 D.3 4.一个四边形的斜二侧直观图是一个底角为45°，腰和上底的长均为1的等腰梯形，那么 原四边形的面积是() A.2+V2 B.1+V2 C.2+2 2 D.1+② 2 5.若球的表面积扩大到原来的9倍，那么该球的体积扩大到原来的()倍。 A.9 B.27 C.81 D.729 6.空间中有两个不同的平面，B和两条不同的直线m,n,则下列命题正确的是() A.若a⊥B,m⊥x,m⊥n,则n⊥阝 B.若a⊥B,m⊥a,n⊥B,则m⊥n C.若a⊥B,n⊥B,则n/a D.若nca,n/1B,mcB,m//a,则a//B 7.若某圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆面，其内接正四棱柱的高为 ,则此正 3 四棱柱的体积是（) A.9vG B.v③ C.8v3 8v6 8 8 D. 27 27 8.四边形ABCD是边长为I的正方形，延长CD至E,使得CD一D庐，若点F为线段AE 上的动点，则B京.C的最小值为() A B. C. 8 D.2 9.在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，下列四个命题中正确的个数为（) ①若bcosC+ccosB-=b,则△ABC是等腰三角形； ②若acosA=bcosB.,则△ABC是等腰三角形； ③若a2+bc2>0,则△ABC一定是锐角三角形； ④在△ABC中，A=60°，u=V6,若△ABC有一个解，则b的取值范围是b=2W2或 0<b≤. A.1 B.2 C.3 D.4 10.已知非零向量AB,AC满足( AB AC )BC=0,且 AB AC 1 4BaC2,则ABC 是() A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰（非等边）三角形 D.等边三角形 二、填空题：（本题共5小题，每题3分，共15分) 11.若2=-7-24i,则复数z的虚部为 12.已知=3，a在6上的投影向量为二b,则a-6的值为 13.一圆台的母线长为10，两底面的面积分别为4元和16元，则此圆台的体积为 14.如图，直三棱柱ABC-ABC1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB=AC, 侧面BCC,B是半球底面圆的内接正方形，则直三棱柱ABC-ABC1的体积为 A B B 15.如图，.在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F为线段BD上的一动点，若 2-3x =x正+yDC(x>0,y>0,则4y+i 的最大值为 D 三、解答题（共5道题，16一18每题10分，19题12分，20题13分共55分，解答写出 文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(14分) 已知复数z=(m-3)(m-2)+(m-2)i是纯虚数，其中i为虚数单位，meR. (1)求m的值； (2)求z+z2+z3+z4+…+z2025的值； (3)若复数z2满足z2-z=1,求z2-1的最大值 17.在△ABC,角AB,C所对的边分别为a,b,C,已知 sinA:sinB:sinC=2:l:√2，b=√2， (I)求a的值； (II)求cosC的值； 求m2c-君)的他 18.如图：在正方体ABCD-AB,C,D中AB=2,M为DD的中点. D C A M Bu B (1)求三棱锥M-ABC的体积； (2)求证：BD//平面AMC; (3)若N为CC,的中点，求证：平面AMC//平面BND. 19.已知向量à，i满足|=1，=5，且à与6的夹角为150° (1)求2a-3; (2)若(xa+)1(xa-),求实数x的值； (3)若向量(y+2)ā+b与ya+i平行，求实数y的值. 20.在平行六面体ABCD-ABCD中，AA=AB,AB,⊥BC1. 求证：(1)AB/平面ABC; (2)平面ABBA⊥平面ABC.