精品解析：2025年四川省成都市青白江区中考“二诊”数学试卷

青白江区初2022级模拟考试试卷数学 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分，共150分；监测时间120分钟． 2．在作答前，务必将自己的姓名、监测号填写在试卷和答题卡规定的地方．监测结束，监测员将答题卡收回． 3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是一个正方体表面展开图，则原正方体中与“育”字所在的面相对的面上标的字是（ ） （ ） A. 坚 B. 持 C. 并 D. 举 3. 2025年2月13日，举行了四川省第一季度重大项目现场推进活动，青白江区总投资超21.9亿元11个项目集中亮相，涵盖交通基础设施、新能源、智能制造等领域，全面吹响一季度“开局冲刺”号角．将数据21.9亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 巴中市今年3月1日至7日每天的最高气温（单位：℃）依次为：17，19，15，15，14，12，13，关于这组数据下列说法不正确的是（ ） A. 中位数是15 B. 众数是15 C. 平均数是15 D. 方差是5 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题是假命题的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 有三个角是直角的四边形是矩形 C. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 D. 四边相等的四边形是矩形 7. 我国古代数学问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度，如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺．绳长、井深各几尺？若设绳长尺，井深尺，则符合题意的方程组是（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象与x轴交于M，N两点，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的对称轴为直线 B. 抛物线的顶点坐标为 C. M，N两点之间的距离为7 D. 当时，y的值随x值的增大而增大 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 因式分解______． 10. 若点，都在反比例函数的图象上，且，则______．（填“>”“<”或“=”） 11. 如图，在平面直角坐标系中，其中点，，，将的顶点A平移至点的位置后，那么点C的对应点的坐标是______． 12. 已知关于x的方程的解是，则m的值是________． 13. 如图，在平行四边形中，，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交于点；交于点N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，连接并延长交线段于点F，由作图的结果可得的周长为_________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. （1）计算：； （2）解不等式组：． 15. 为进一步弘扬爱国精神，引导青少年听党话，跟党走，发扬红色传统，温州道德馆举办了“党的故事我来讲”主题活动，计划开展四项活动：：党史演讲比赛，：党史手抄报比赛，：党史知识竞赛，：红色歌咏比赛．宣传部对学生最喜欢的一项活动进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图，图两幅不完整的统计图．请结合图中信息解答下列问题： （1）本次共调查了___________名学生；图中___________；并将图1的条形统计图补充完整； （2）已知在被调查的最喜欢“党史知识竞赛”项目的个学生中只有名女生，现从这名学生中任意抽取名学生参加该项目比赛，请用画树状图或列表的方法，求出恰好抽到一名男生一名女生的概率． 16. 青白江区弥牟镇狮子村11组，在一片充满生机与活力的麦田旁，“朱家湾飞行营地”格外醒目，这里是无人机和航模技术的乐园．如图，一架无人机静止悬浮在空中P处，小明在山坡A处测得无人机的仰角为，小亮在水平地面C处测得无人机的仰角为，已知山坡的坡比，A处到地面的距离为10米，水平地面长为30米． （1）求山坡的长； （2）求此时无人机离地面的高度的长（精确到0.1）（参考数据：，，）． 17. 如图，是的直径，点为上一点，连结，，作的角平分线交于点，交于点，连结交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 18. 如图1，已知点为双曲线上一点，且，直线分别交x、y轴及双曲线于点A、B、C． （1）求双曲线的解析式； （2）如图2，连接OC． ①若，在双曲线上找一点D，使得面积是的面积的3倍，请求出此时点D的坐标； ②当t的值变化时，的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 若，则_____． 20. 已知关于x的方程的两个实数根为，，若，则m的值为_____． 21. 有5张正面分别有数字，，0，1，3的卡片，它们除数字不同外全部相同，将它们背面朝上，洗匀后从中随机的抽取一张．记卡片上的数字为a，则使函数经过第二、四象限，且关于x的不等式组有实数解的概率是____． 22. 如图，以点O为圆心，作半径为r圆，将圆周六等分，六等分点依次为，，，，，．再分别以，，为圆心，为r半径作弧，，，这三段弧所围成的图形称为“玫瑰三叶形”．若“玫瑰三叶形”的周长为，则它的面积为_____． 23. 由两个大小相同等边三角形拼成如图所示的四边形，其中，点E、F、G、H分别是边、、、的中点，在直线上方有一个动点P，且满足四边形的面积是的面积的6倍，则周长的最小值为_____． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，答案写在答题卡上） 24. 随着科技的飞速发展，新能源汽车将我们带入一个新的出行时代，新能源汽车无疑将成为交通领域的主角．某电车生产车间现有、两个工种的工人，其中工种有300人，工种有200人，且同类工种工人月工资相同．已知6个种工人的月工资与5个种工人的月工资相同，该生产车间每月共付工资总额540万元． （1）、两个工种工人的月工资分别为多少万元； （2）由于市场部订单数量增多，该生产车间计划再招聘、两个工种工人共60人．其中，再招聘的工种工人不超过再招聘的工种工人的，且最终车间所有工种工人的数量与车间所有工种工人的数量之差不高于80人．那么该车间有几种招聘方案，哪种方案可使每月付给这60个工人工资总额最少，最少为多少？ 25. 在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于A，B两点，对称轴是直线，连接，． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，若点M为直线上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交于点N，过点M作x轴的平行线，交直线于点Q，求的最大值； （3）如图2，点E是抛物线上一点，点D在x轴上，若平面内以点A、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，求出点E的坐标． 26. 【问题情境】在中，，，点D是边上一动点（不与B、C重合），连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，．点F是中点，连接并延长交的延长线于点G． 【探究发现】 （1）如图1，若，判断线段与的数量关系，并说明理由； 【探究猜想】 （2）如图2，若． ①判断线段与之间的数量关系，并说明理由； ②若，求的长度． 【探究拓广】 （3）如图3，若，在上取一点M，使得，连接并延长交的延长线于点N，请求出的值（用含n的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 青白江区初2022级模拟考试试卷数学 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分，共150分；监测时间120分钟． 2．在作答前，务必将自己的姓名、监测号填写在试卷和答题卡规定的地方．监测结束，监测员将答题卡收回． 3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了倒数的定义，根据“乘积为1的两个数互为倒数”，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 的倒数是． 故选：C． 2. 如图是一个正方体表面展开图，则原正方体中与“育”字所在的面相对的面上标的字是（ ） （ ） A. 坚 B. 持 C. 并 D. 举 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键． 根据正方体的表面展开图找相对面的方法：一线隔一个，即可得出答案． 【详解】解：原正方体中与“育”字所在的面相对的面上标的字是持， 故选：B． 3. 2025年2月13日，举行了四川省第一季度重大项目现场推进活动，青白江区总投资超21.9亿元的11个项目集中亮相，涵盖交通基础设施、新能源、智能制造等领域，全面吹响一季度“开局冲刺”号角．将数据21.9亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：21.9亿， 故选：A． 4. 巴中市今年3月1日至7日每天的最高气温（单位：℃）依次为：17，19，15，15，14，12，13，关于这组数据下列说法不正确的是（ ） A. 中位数是15 B. 众数是15 C. 平均数是15 D. 方差是5 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查众数，平均数，中位数，方差的概念，属于基础题． 由众数，平均数，中位数，方差的概念求解可得结论． 【详解】解：整理得：12，13，14，15，15，17，19， 中位数：15； 众数：15； 平均数：， 方差：； 故选：D． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂相除、完全平方公式、平方差公式，根据幂的乘方和同底数幂相除的运算法则以及完全平方公式和平方差公式逐项分析即可得解． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算正确，符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 6. 下列命题是假命题的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 有三个角是直角的四边形是矩形 C. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 D. 四边相等的四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了真假命题、矩形和菱形的判定；根据矩形的判定和菱形的判定方法逐项判断即可. 【详解】解：A.对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，故本选项不符合题意； B.有三个角是直角的四边形是矩形，是真命题，故本选项不符合题意； C.有一个角是直角的平行四边形是矩形，是真命题，故本选项不符合题意； D.四边相等的四边形是菱形，原命题是假命题，故本选项符合题意； 故选：D. 7. 我国古代数学问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度，如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺．绳长、井深各几尺？若设绳长尺，井深尺，则符合题意的方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．根据题意正确的列方程组是解题的关键． 由将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺可得，由将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺可得，然后列方程组即可． 【详解】解：由题意知，符合题意的方程组为， 故选：A． 8. 二次函数的图象与x轴交于M，N两点，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的对称轴为直线 B. 抛物线的顶点坐标为 C. M，N两点之间的距离为7 D. 当时，y的值随x值的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数与坐标轴的交点问题，根据二次函数的解析式可得抛物线的对称轴为直线，抛物线的顶点坐标为，即可判断A、B，从而可得当时，y的值随x值的增大而增大，即可判断D，求出二次函数与轴的交点的横坐标即可判断C，从而得解． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于M，N两点， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线的顶点坐标为，故A错误，不符合题意；B正确，符合题意； ∴当时，y的值随x值的增大而增大，故D错误，不符合题意； 令，则， 解得：或， ∴M，N两点之间的距离为，故C错误，不符合题意； 故选：B． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 因式分解______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟知完全平方公式是解题的关键； 利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：； 故答案：． 10. 若点，都在反比例函数的图象上，且，则______．（填“>”“<”或“=”） 【答案】＜ 【解析】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据函数解析式可得反比例函数图象经过第一、三象限，再由可得． 【详解】解：∵反比例函数解析式为，， ∴反比例函数图象经过第一、三象限， ∵， ∴， 故答案为：． 11. 如图，在平面直角坐标系中，其中点，，，将的顶点A平移至点的位置后，那么点C的对应点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，由题意可得平移的方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，再根据点的坐标的平移规律计算即可得解． 【详解】解：∵将的顶点A平移至点的位置， ∴平移的方式为：向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∴平移后点C的对应点的坐标是，即， 故答案为：． 12. 已知关于x的方程的解是，则m的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解、解分式方程，根据题意可得出关于的分式方程，解方程即可得解． 【详解】解：∵关于x的方程的解是， ∴， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 故， 故答案为：． 13. 如图，在平行四边形中，，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交于点；交于点N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，连接并延长交线段于点F，由作图的结果可得的周长为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】首先根据平行四边形的性质和角平分线的概念得到，过点B作交于点H，然后根据含角直角三角形的性质得到，利用勾股定理求出，进而得到，即可求出的周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 根据作图可得，平分， ∴， ∴， 如图所示，过点B作交于点H， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，尺规作角平分线，含角直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形三线合一性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及0指数、特殊角的三角函数值、负整数指数等知识，也考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握上述基本知识是解题的关键． （1）先计算0指数、代入特殊角的三角函数值、计算负整数指数、化简绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）先求出每个不等式的解集，再找出其解集的公共部分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：解不等式①，得， 解不等式②，，解得：， ∴不等式组的解集为． 15. 为进一步弘扬爱国精神，引导青少年听党话，跟党走，发扬红色传统，温州道德馆举办了“党的故事我来讲”主题活动，计划开展四项活动：：党史演讲比赛，：党史手抄报比赛，：党史知识竞赛，：红色歌咏比赛．宣传部对学生最喜欢的一项活动进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图，图两幅不完整的统计图．请结合图中信息解答下列问题： （1）本次共调查了___________名学生；图中___________；并将图1的条形统计图补充完整； （2）已知在被调查的最喜欢“党史知识竞赛”项目的个学生中只有名女生，现从这名学生中任意抽取名学生参加该项目比赛，请用画树状图或列表的方法，求出恰好抽到一名男生一名女生的概率． 【答案】（1）；，条形图见解析 （2）中出恰好抽到一名男生一名女生的概率为． 【解析】 【分析】本题考查概率的知识，解题的关键是掌握条形统计图，扇形统计图，概率的应用，根据统计图，得到相关信息，进行解答，即可． （1）用组的人数除以其所占百分比即可求出调查的总人数；用减去各活动的占比； （2）根据题意，画树状图，列出所有可能等结果，进行解答，即可． 【小问1详解】 解：总人数为：（人）， ∴； 条形图如下： 故答案为：；． 【小问2详解】 解：树状图如下： 共种等结果，每种结果出现的可能性相同，其中出恰好抽到一名男生一名女生的概率为：． 答：其中出恰好抽到一名男生一名女生的概率为． 16. 青白江区弥牟镇狮子村11组，在一片充满生机与活力的麦田旁，“朱家湾飞行营地”格外醒目，这里是无人机和航模技术的乐园．如图，一架无人机静止悬浮在空中P处，小明在山坡A处测得无人机的仰角为，小亮在水平地面C处测得无人机的仰角为，已知山坡的坡比，A处到地面的距离为10米，水平地面长为30米． （1）求山坡的长； （2）求此时无人机离地面的高度的长（精确到0.1）（参考数据：，，）． 【答案】（1）山坡的长为米 （2）此时无人机离地面的高度的长米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）作交的延长线于，由题意可得米，由山坡的坡比求出米，再由勾股定理计算即可得解； （2）作交于，四边形为矩形，由矩形的性质可得米，，证明为等腰直角三角形，得出，设米，则米，米，解直角三角形得出，即可得解． 【小问1详解】 解：如图，作交的延长线于， 由题意可得：米， ∵山坡的坡比， ∴， ∴米， ∴米， ∴山坡的长为米； 【小问2详解】 解：如图：作交于， 则， ∴四边形为矩形， ∴米，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设米，则米，米， ∵， ∴， ∴米，即此时无人机离地面的高度的长米． 17. 如图，是的直径，点为上一点，连结，，作的角平分线交于点，交于点，连结交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用角平分线的定义得到，根据等边对等角得出，推得，根据平行线的判定方法得到结论； （2）先根据圆周角定理得到，再根据平行线的性质得 ，根据垂径定理得到，结合锐角三角函数的定义可求出，求得，，根据勾股定理求出，即可得出，根据锐角三角函数的定义可求出，根据相似三角形的判定和性质即可求出的长． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 又∵，， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 【点睛】本题考查了角平分线的定义，相似三角形的判定和性质，等边对等角，平行线的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，勾股定理等．熟练掌握圆的相关定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 18. 如图1，已知点为双曲线上一点，且，直线分别交x、y轴及双曲线于点A、B、C． （1）求双曲线的解析式； （2）如图2，连接OC． ①若，在双曲线上找一点D，使得的面积是的面积的3倍，请求出此时点D的坐标； ②当t的值变化时，的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由． 【答案】（1）双曲线的解析式 （2）①；②的值不发生变化，为18 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质求得，，再利用待定系数法求解即可； （2）①求出点，，即可求出的面积，设点D的坐标为，，根据的面积是的面积的3倍，求出m的值，即可解答． ②过C作轴于H，证得是等腰直角三角形，进而可得是等腰直角三角形，设，则，可得，再根据题意可得，即可得证． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得， 将代入，得 ，解得， ∴双曲线的解析式． 【小问2详解】 ①当时，， 令，得， ∴，即， 联立得：， 解得：或， ∴点C的坐标为， ∴， 设点D的坐标为，，则 ， ∵的面积是的面积的3倍， ∴，解得， 即， ∴． ②的值不发生变化，理由如下： 过C作轴于H，如图：在中，令得，令得， ∴， ∴， 即 ∴等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴， 由反比例函数可知，， ∴，即， ∴， ∴ 即的值不发生变化，为18． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 若，则_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，灵活应用整体思想是解题的关键；将已知的等式变形为，然后整体代入所求式子求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：3． 20. 已知关于x方程的两个实数根为，，若，则m的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及根的情况是解题的关键，由于，是方程的两个实数根，可得，，代入可得，进而得到，，代入原式验证后，即可得到答案． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，， 当时，原方程为， ∴，不符合题意舍去， 当时，原方程为， ∴，符合题意舍去， 综上所述：， 故答案为：． 21. 有5张正面分别有数字，，0，1，3的卡片，它们除数字不同外全部相同，将它们背面朝上，洗匀后从中随机的抽取一张．记卡片上的数字为a，则使函数经过第二、四象限，且关于x的不等式组有实数解的概率是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质、根据不等式组的解的情况求参数、根据概率公式求概率，先由一次函数的性质求出，再由不等式组的解的情况求出，从而得出符合条件的的值为，0，1，最后根据概率公式计算即可得解． 【详解】解：∵函数经过第二、四象限， ∴， ∴， ， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∵关于x的不等式组有实数解， ∴， ∴， ∴， ∴符合条件的的值为，0，1， ∴使函数经过第二、四象限，且关于x的不等式组有实数解的概率是， 故答案为：． 22. 如图，以点O为圆心，作半径为r的圆，将圆周六等分，六等分点依次为，，，，，．再分别以，，为圆心，为r半径作弧，，，这三段弧所围成的图形称为“玫瑰三叶形”．若“玫瑰三叶形”的周长为，则它的面积为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、弧长公式、扇形面积公式，连接、、、、，由题意可得，，，从而可得、均为等边三角形，，求出的长为，结合题意可得，作于，则，求出，由图形可得，“玫瑰三叶形”的面积可以看成个全等的弓形组成，故“玫瑰三叶形”的面积为，计算即可得解． 【详解】解：如图，连接、、、、， ， 由题意可得：，，， ∴、均为等边三角形，， ∴的长为， ∵“玫瑰三叶形”的周长为， ∴， ∴， 作于，则， ∴， 由图形可得，“玫瑰三叶形”的面积可以看成个全等的弓形组成， ∴“玫瑰三叶形”的面积为， 故答案为：． 23. 由两个大小相同的等边三角形拼成如图所示的四边形，其中，点E、F、G、H分别是边、、、的中点，在直线上方有一个动点P，且满足四边形的面积是的面积的6倍，则周长的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于，作于，由题意可得四边形为菱形，，求出，， ，由三角形中位线定理可得，，，，证明四边形为矩形，求出，结合题意可得，求出点在到的距离是的直线上运动，由题意可得点到直线的距离为，作点关于直线的对称点为，连接交直线于，由轴对称的性质可得，由两点之间，线段最短可得，，此时的值最小，作于，则，，求出的最小值为，即可得解． 【详解】解：如图，连接交于，作于， ∵、是两个大小相同的等边三角形， ∴，， ∴四边形为菱形，， ∴，，， ∴， ∵点E、F、G、H分别是边、、、的中点， ∴是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∴四边形为平行四边形，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵四边形的面积是的面积的6倍， ∴， ∴，即， ∴， ∴点在到的距离是的直线上运动， 由题意可得点到直线的距离为， 作点关于直线的对称点为，连接交直线于， 由轴对称的性质可得：， ∴由两点之间，线段最短可得，，此时的值最小， 作于，则，， ∴，即的最小值为， ∴周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、菱形的性质、轴对称的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，答案写在答题卡上） 24. 随着科技的飞速发展，新能源汽车将我们带入一个新的出行时代，新能源汽车无疑将成为交通领域的主角．某电车生产车间现有、两个工种的工人，其中工种有300人，工种有200人，且同类工种工人月工资相同．已知6个种工人的月工资与5个种工人的月工资相同，该生产车间每月共付工资总额540万元． （1）、两个工种工人的月工资分别为多少万元； （2）由于市场部订单数量增多，该生产车间计划再招聘、两个工种工人共60人．其中，再招聘的工种工人不超过再招聘的工种工人的，且最终车间所有工种工人的数量与车间所有工种工人的数量之差不高于80人．那么该车间有几种招聘方案，哪种方案可使每月付给这60个工人工资总额最少，最少为多少？ 【答案】（1）A工种工人的月工资为1万元，B工种工人的月工资为1.2万元 （2）三种招聘方案：①招聘工种工人人，工种工人人；②招聘工种工人人，工种工人人；③招聘工种工人人，工种工人人；方案③可使每月付给这60个工人的工资总额最少，最少为68万元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用（其他问题），一元一次不等式组的其他应用等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程或不等式组是解题的关键． （1）设工种工人的月工资为万元，则工种工人的月工资为万元，根据题意列方程求解即可； （2）设再招聘工种工人人，则再招聘工种工人人，根据题意列不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：设工种工人的月工资为万元，则工种工人的月工资为万元， 根据题意可列方程：， 解得：， 则， 、两个工种工人月工资分别为1万元、1.2万元； 【小问2详解】 解：设再招聘工种工人人，则再招聘工种工人人， 根据题意可列不等式组： ， 解得：， 为整数， 的值为、、， 该车间共有三种招聘方案： ①招聘工种工人人，工种工人人； ②招聘工种工人人，工种工人人； ③招聘工种工人人，工种工人人； 工种工人的月工资比工种工人的月工资低， 招聘工种工人越多，每月付给这个工人的工资总额越少， 招聘工种工人人，工种工人人时，每月付给这个工人的工资总额最少，最少为万元， 答：该车间共有三种招聘方案：①招聘工种工人人，工种工人人；②招聘工种工人人，工种工人人；③招聘工种工人人，工种工人人；方案③可使每月付给这个工人的工资总额最少，最少为68万元． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于A，B两点，对称轴是直线，连接，． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，若点M为直线上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交于点N，过点M作x轴的平行线，交直线于点Q，求的最大值； （3）如图2，点E是抛物线上一点，点D在x轴上，若平面内以点A、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，求出点E的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式为；设，则，，求出，得出，，表示出，再由二次函数的性质求解即可； （3）由题意可设，，分三种情况：当为对角线时；当为边时，平行四边形为时；当为边时，平行四边形为时；分别利用平行四边形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与y轴交于点，对称轴是直线， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：在中，令，则， 解得：，， ∴，， 设直线的解析式为， 将，代入直线解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为； 设，则，， 在中，当时，， 解得，即， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，为； 【小问3详解】 解：由题意可设，， ∵平面内以点A、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，， ∴当为对角线时，由平行四边形的性质可得， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时点的坐标为； 当为边时，平行四边形为时，由平行四边形的性质可得， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时点的坐标为； 当为边时，平行四边形为时，由平行四边形的性质可得， 解得：或， 此时点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、求一次函数的解析式、二次函数综合—线段周长问题、二次函数综合—特殊的四边形，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 26. 【问题情境】在中，，，点D是边上一动点（不与B、C重合），连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，．点F是中点，连接并延长交的延长线于点G． 【探究发现】 （1）如图1，若，判断线段与的数量关系，并说明理由； 【探究猜想】 （2）如图2，若． ①判断线段与之间的数量关系，并说明理由； ②若，求的长度． 【探究拓广】 （3）如图3，若，在上取一点M，使得，连接并延长交的延长线于点N，请求出的值（用含n的式子表示）． 【答案】（1） （2）①；②3 （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质求得，轩的性质与勾股定理求得，再由直角三角形性质得出结论； （2）①过点A作于M，过点F作于N，设，则，，从而求得，，，，继而求得，即可求解； ②由勾股定理求得，从而右求得，，再证明，得到，，从而证得，则，得到，得出，从而求得，，再证明，得，即，即可求解． （3）过点A作于G，过点M作于P，设，则，，继而可求得，再证明，得，从而求得，，继而求得，然后证明，得，即， 求得，即可求解． 【详解】解：（1）． 理由：∵，，， ∴，， ∵线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴ ∵点F是中点， ∴ （2）①． 理由：过点A作于M，过点F作于N，如图2， ∵，， ∴ ， 又∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵点F是中点， ∴， ∴ ∴； ②∵，，， ∴， ∵ ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴，， ∵，， ∴ ∴ ∴，即， ∴． （3）过点A作于G，过点M作于P，如图3， 设， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（2）知：， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，此题综合性较强，属中考压轴题目． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$