第九章 因式分解（单元复习课件）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（冀教版2024）

章末复习 第九章 因式分解 冀教版七年级数学下册 冀教版七年级数学下册 教学目标 素质目标 技能目标 知识目标 1、系统回顾因式分解的概念、方法和步骤。 2、熟练掌握提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）分解因式。 1.能综合运用因式分解方法解决实际问题 2.提升学生灵活运用因式分解技巧简化计算的能力。 培养学生观察、分析、归纳问题的能力，通过合作探究，增强学生的数学学习兴趣和信心。 重点 1 提公因式法的步骤及公式法（平方差公式、完全平方公式）的应用条件。 难点 2 综合运用多种方法分解较复杂的多项式 知识回顾 本章知识结构 因式分解 因式分解概念 因式分解方法 提公因式法 公式法 知识回顾 本章知识点梳理 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解。 1. 因式分解的定义 因式分解的过程和 　的过程正好______： 前者是把一个多项式化为几个整式的_____， 后者是把几个整式的______化为一个________. 填一填 整式乘法 相反 多项式 乘积 乘积 多项式 几个整式的积 因式分解 整式乘法 2、因式分解与整式乘法关系： 互逆变形 知识回顾 3、因式分解的主要方法： （１）提公因式法： 本章知识点梳理 系数：多项式各项整数系数的 ； 字母：多项式各项　 　的字母； 各字母指数：取次数最　 　的． 公因式的确定 最大公约数 相同 低 逆用乘法对加法的分配律 关键点 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 知识回顾 本章知识点梳理 （２）公式法： 平方差公式： 多项式的特征 (1) 可化为个 整式； (2) 两项符号______； (3) 每一项都是整式的______. 注意事项： (1) 有公因式时，先提出公因式； (2) 进行到每一个多项式都不能再分解为止. 两 相反 平方 即两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积. 知识回顾 本章知识点梳理 完全平方公式： 其中，a2±2ab + b2 叫做完全平方式. 完全平方式的特征： 三项式； 有两项是两个数 (或式) 的_______的形式； 另一项是这两个数 (或式) 的______的_____倍. 平方和 乘积 ±2 注意事项：有公因式时，应先提出_______. 公因式 4、因式分解的一般步骤： 一提：先看多项式各项有无公因式，如有公因式则要优先提取公因式； 二套：再看有几项。 如两项，则考虑用平方差公式；如三项，则考虑用完全平方公式； 四查：最后用整式乘法检验一遍，并看各因式能否再分解，如能分解，应分解到不能再分解为止。 三分：若以上两步都不行，则将考虑将多项式变形，尝试用分组使之能“提”或能“套”。 口诀：一提 二套 三分 四检 知识回顾 本章知识点梳理 知识回顾 注 意 事 项 1.用提公因式法分解因式时，不要丢掉括号内的常数项;当公因式的系数是负数时，提取公因式后，括号内各项要变号. 2.运用整式乘法可以检验因式分解的结果是否正确. 1.整体思想 如果将两个多项式相乘展开后项数太多，而两个多项式中又有相同部分，我们可以考虑将这一部分当成一个整体. 思想方法归纳 知识回顾 例1、因式分解: (x - 2)(x - 4)(x - 6)(x - 8) + 16. 解: (x - 2)(x - 4)(x - 6)(x - 8) + 16 = [(x - 2) (x - 8)][(x - 4)(x - 6)] + 16 = [(x2 -10x) + 16][(x2 - 10x) + 24] + 16 = (x2 - 10x)2 + 40(x2 - 10x) + 16×24 + 16 = (x2 - 10x)2 + 40(x2 - 10x) + 202 = (x2 - 10x + 20)2. 2.转化思想 思想方法归纳 知识回顾 某些多项式从表面上看是无法利用因式分解的一般步骤进行的，需要通过适当的转化，如经过添“-”号、去括号、合并同类项等变形，才能利用因式分解的有关方法进行. 例2、把多项式 6x(x - y)2 + 3(y - x)3 因式分解. 解：6x(x - y)2 + 3(y - x)3 = 6x(x - y)2 - 3(x - y)3 = 3(x - y)2[2x - (x - y)] = 3(x - y)2(x + y). 思想方法归纳 知识回顾 3.换元思想 换元思想就是将较复杂的式子中的某些整体用新的字母代替，从而使计算简单化. 例3、多项式 (x2 + y2) (x2 - 2xy + y2) + x2y2 因式分解. 解：设x2 + y2 = m，xy = n. 则(x2 + y2) (x2 - 2xy + y2) + x2y2 = m(m - 2n) + n2 = m2 - 2mn + n2 = (m-n)2 = (x2 + y2 - xy)2. 考点讲练 考点一 因式分解与整式乘法的关系 例3 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( ) A．a(x－y)＝ax－ay B．x2－1＝(x＋1)(x－1) C．(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3 D．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1 (1)多项式的因式分解的定义包含两个方面的条件， 第一，等式的左边是一个多项式； 第二，等式的右边要化成几个整式的乘积的形式，这里指等式的整个右边化成积的形式； (2)判断过程从左到右要保持恒等变形. B 【解析】 考点讲练 考点二 提公因式法分解因式 例3 因式分解： 6a³(b＋c)－9 a²(b＋c)； （x+2）x﹣x﹣2 (3) (a＋b)(a－b)－a－b. 解： (1) 原式 ＝3 a ²(2a－3)(b＋c). （2）原式=（x+2）x﹣（x+2） =（x+2）（x﹣1） (3) 原式 ＝ (a＋b)(a－b)－（a+b）. =(a＋b)(a－b－1). 方法归纳： 公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式. 考点讲练 考点三 平方差公式分解因式 例4 分解因式： (1)(a＋b)2－4a2； (2)9(m＋n)2－(m－n)2. 解：(1) 原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a) ＝(b－a)(3a＋b). (2) 原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n) ＝(2m＋4n)(4m＋2n) ＝4(m＋2n)(2m＋n)． 考点讲练 考点四 完全平方公式分解因式 例5 分解因式： （1）x²y²－2xy＋1 （2）4a²-3b（4a-3b） （3）x²-1.2x+0.36 解： （1）原式= （xy）² - 2xy + 1=(xy－1)2 （2）原式=4a²-12ab +9b² =（2a）²-12ab+（3b）² =(2a-3b)² （3）原式=x²-1.2x+0.6 ² =（x-0.6）² 考点讲练 考点五 两步(先提后套或二次分解)分解因式 例6 分解因式： (4)－2a3＋12a2－18a; 解： (4)原式＝－2a(a2－6a＋9) ＝－2a(a－3)2. 例7、阅读下列材料并解答问题： 将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：am＋an＋bm＋bn＝(am＋bm)＋(an＋bn)＝m(a＋b)＋n(a＋b)＝(a＋b)(m＋n)． (1)填空：x2－y2－2y－1＝x2－(y2＋2y＋1) ＝ ＝ ； (2)试用上述方法分解因式：a2－2ab－ac＋bc＋b2. 解： (2)原式＝(a2－2ab＋b2)－(ac－bc) ＝(a－b)2－c(a－b) ＝(a－b)(a－b－c)． 考点讲练 考点六 特殊的因式分解法 x2－(y＋1)2 (x＋y＋1)(x－y－1) 例8、阅读：分解因式x2＋2x－3. 解：原式＝x2＋2x＋1－1－3＝(x2＋2x＋1)－4 ＝(x＋1)2－4＝(x＋1＋2)(x＋1－2) ＝(x＋3)(x－1)． 上述因式分解的方法可以称之为配方法．请体会配方法的特点，然后用配方法分解因式： (1)x2－4x＋3; (2)4x2＋12x－7. 考点讲练 考点六 特殊的因式分解法 解： (1) x2－4x＋3 = x2－4x+4-1 =（ x-2 ）²-1 =（ x-2 +1）（ x-2 -1） = （ x-1）（ x-3） (2) 4x2＋12x－7 =（2x）² ＋ 12x+9-16 =（2x+3）²-4² =（ 2x+3 +4）（ 2x+3 -4） =（ 2x+7）（ 2x -1） 例9．计算： (1)(m2＋mn＋n2)2－(m2－mn＋n2)2； 考点七 因式分解及其应用 考点讲练  (2)(x2＋2x＋1)(x2－2x＋1)－(x2＋x＋1)(x2－x＋1)．  解：原式=（m2＋mn＋n2+m2－mn＋n2）（ m2＋mn＋n2-m2+mn-n2 ） =(2m2＋2n2) ( 2mn) =4m3n＋4mn3) 解：原式=（x+1）²（x-1）²-[(x2＋1)²-x²] =（x²-1）²-（x²+1）²+x² =（ x²-1 + x² +1 ）（ x²-1 - x² -1 ）+x² =-4x²+x² =-3x² 例10 、先因式分解，然后计算求值. （1）9x2 + 12xy + 4y2，其中x = , y = ; 解：9x2 + 12xy + 4y2 = (3x)2+12xy + (2y)2 = (3x + 2y)2, 原式= 9. 当x = ，y = 时， （2） ，其中a = , b = 2; 解：原式 = = = ab. 当a= ，b = 2时， 原式 = . 考点七 因式分解及其应用 考点讲练 课堂练习 考点讲练 1、已知x+y=0.2，x+3y=1，求代数式x²+4xy+4y²的值 解：∵x+y=0.2，x+3y=1， ∴2x+4y=1.2， 即x+2y=0.6， ∴x²+4xy+4y² =（x+2y）2=0.36 课堂练习 考点讲练 2、若5 x2 －4 xy ＋y2 － 2x ＋1=0， 求x、y的值。 ∵5 x2 －4 xy ＋y2 － 2x ＋1=0 ∴4x2 －4 xy ＋y2 +x²－ 2x ＋1=0 ∴（x－2y）2 +（x -1）²=0 ∴x－2y=0，x-1=0 ∴x=2，y=1 解： 课堂练习 考点讲练 3、n是整数,说明(n+14)2-n2能被28整除. 相信你能行 证明： (n+14)2-n2 =（n+14+n）（n+14-n） =14（2n+14） =28（n+7） ∵n为整数 ∴n+7是整数 ∴28（n+7）能被28整除 ∴(n+14)2-n2能被28整除 课堂练习 考点讲练 4、若 试求代数式 的值。 ∵a-b=b-c=1 ∴a-c=2 ∴a²+b²+c²-ab-ac-bc =（2a²+2b²+2c²-2ab-2ac-2bc） =[(a-b)²+(a-c)²+(b-c)²] =2 解: 直击中考 考点讲练 1．（2023·四川攀枝花·中考真题）以下因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． B 2．（2023·河北·中考真题）若k为任意整数，则的值总能（     ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 ， ∵ 能被3整除 ∴的值总能被3整除 B 直击中考 考点讲练 3．（2024·山东淄博·中考真题）若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是 ． 4．（2024·内蒙古通辽·中考真题）因式分解 ． 5．（2024·江苏徐州·中考真题）若，，则代数式的值是 ． ． 2 6、（2023·浙江嘉兴·中考真题）观察下面的等式： (1)写出的结果． (2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数） (3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． 解： （1）； （2）； （3） ． 直击中考 考点讲练 $$