精品解析：海南省昌茂花园学校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

海南昌茂花园学校2024-2025学年度第二学期 高二年级期中考试数学试题 本试卷共2页，19题.全卷满分150分，考试用时120分钟 考生注意 1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号填入相应位置内. 2.客观题请用2B铅笔填涂在答题卡上，主观题用黑色的签字笔书写在答题卡上. 3.考试结束时，只交答题卡，试卷请妥善保管. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 从5人中选3人排成一列，不同排法种数为（ ） A. 15 B. 60 C. 120 D. 125 5. 函数的图象在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 6. 已知等比数列}中，，则（   ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 7. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，其中是自然对数的底数.，使得不等式成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 在如图所示的坐标系中，为正方体，则下列结论中正确的是 （ ） A. 直线 的一个方向向量为 B. 直线的一个方向向量为 C. 平面的一个法向量为 D. 平面的一个法向量为 10. 已知函数．则能够使得变成函数的变换为（ ） A. 先横坐标变为原来的，再向左平移 B. 先横坐标变为原来的2倍，再向左平移 C. 先向左平移，再横坐标变为原来的 D. 先向右平移，再横坐标变为原来的 11. 某高中开展一项课外实践活动，参与活动并提交实践报告可以获得学分，且该校对报告的评定分为两个等级：合格，不合格．评定为合格可以获得0.2学分，评定为不合格不能获得学分．若评定为不合格，则下一次评定为合格的概率为，若评定为合格，则下一次评定为合格的概率为．已知小李参加了3次课外实践活动，则（ ） A. “小李第一次评定合格”与“小李第一次评定不合格”是互斥事件 B. 若小李第一次评定为不合格，则小李获得0.4学分的概率为 C. 若小李第一次评定为合格，则小李第三次评定为合格的概率为 D. “小李第一次评定合格”与“小李第三次评定合格”相互独立 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 在的展开式中，常数项为__________. 13. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为________． 14. 函数的定义域为，若满足：①在上是单调函数， ②存在使得在上的值域为,那么函数为“优美函数”.若函数是“优美函数”，则的取值范围是______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.） 15. 已知数列是公差为1的等差数列，且是与6的等差中项. （1）求的通项公式； （2）求的值. 16. 已知函数，其中为非零常数． （1）当时，求的单调区间； （2）若函数的图象在点处的切线斜率为，求的极值． 17. 有甲、乙、丙、丁、戊位同学，求： （1）位同学站成一排，甲、戊相邻有多少种不同的排法？ （2）位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，有多少种不同的排法？ （3）将位同学分配到三个班，每班至少一人，共有多少种不同的分配方法？ 18. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面是的中点. （1）证明：平面； （2）在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，说明理由. 19. 椭圆与圆和圆都外切． （1）求椭圆E的方程； （2）设A，B分别为椭圆E的左右顶点，F为椭圆的右焦点，K为椭圆E上动点（异于A，B），直线与椭圆E交于另一点H．若直线与交于点P，求证：点P在定直线l上； （3）在（2）的条件下，设直线与直线l交于Q点，椭圆E在点K处的切线与l交于R， ①求证：． ②求面积取最小值时K点的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南昌茂花园学校2024-2025学年度第二学期 高二年级期中考试数学试题 本试卷共2页，19题.全卷满分150分，考试用时120分钟 考生注意 1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号填入相应位置内. 2.客观题请用2B铅笔填涂在答题卡上，主观题用黑色的签字笔书写在答题卡上. 3.考试结束时，只交答题卡，试卷请妥善保管. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用交集的运算，即可得到结果. 【详解】因为集合，， 所以， 故选：C. 2. 若，，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数乘法运算，结合几何意义可得. 【详解】因为，所以z在复平面内对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 3. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数量积的运算律求解即可. 【详解】由， 所以. 故选：A. 4. 从5人中选3人排成一列，不同排法种数为（ ） A. 15 B. 60 C. 120 D. 125 【答案】B 【解析】 【分析】根据排列的定义求解即可. 【详解】不同排法种数为：. 故选：B. 5. 函数的图象在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数解析式求得切点，利用导数求得切线斜率，根据点斜式，可得答案. 【详解】由，则， 求导可得，则， 所以切线方程为，化简可得. 故选：B. 6. 已知等比数列}中，，则（   ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列定义计算可得，即可得出结果. 【详解】设等比数列的公比为， 由可得，解得； 所以. 故选：C 7. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理代入计算即可. 【详解】由余弦定理可知， 又因为，所以可得. 故选：A 8. 已知函数，其中是自然对数的底数.，使得不等式成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将原问题转化为不等式在上成立，利用导数分别求出即可. 【详解】因为不等式等价于， 所以使得不等式成立， 等价于，即. 当时，， 所以在上单调递增，故； 当时，， 令，则， 所以在上单调递减，则，即， 所以在上单调递减，得， 所以，即. 故选：B 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 在如图所示的坐标系中，为正方体，则下列结论中正确的是 （ ） A. 直线 的一个方向向量为 B. 直线的一个方向向量为 C. 平面的一个法向量为 D. 平面的一个法向量为 【答案】ABD 【解析】 【分析】写出点的坐标，AB选项，得到，，AB正确；CD选项，根据求平面法向量的方法进行求解. 【详解】设正方体棱长为， 则， A选项，，故选项A正确； B选项，，故选项B正确； C选项，因为平面即为坐标平面，所以与轴平行的向量均为它的法向量，故选项C错误； D选项，．设平面的一个法向量， 则 ，取，得， 所以是平面的一个法向量． 故选项D正确． 故选：ABD． 10. 已知函数．则能够使得变成函数的变换为（ ） A. 先横坐标变为原来的，再向左平移 B. 先横坐标变为原来的2倍，再向左平移 C. 先向左平移，再横坐标变为原来的 D. 先向右平移，再横坐标变为原来的 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正弦型函数的图象变换过程即可得出结果. 【详解】先将的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到的图象；再将的图象向左平移个单位即可得到函数的图象，故选项A正确，选项B错误； 先将的图象向左平移个单位，得到函数的图象；再将的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的即可得到函数的图象，故选项C正确； 先将的图象向右平移个单位，得到函数的图象；再将的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的即可得到函数的图象，故选项D正确. 故选：ACD 11. 某高中开展一项课外实践活动，参与活动并提交实践报告可以获得学分，且该校对报告的评定分为两个等级：合格，不合格．评定为合格可以获得0.2学分，评定为不合格不能获得学分．若评定为不合格，则下一次评定为合格的概率为，若评定为合格，则下一次评定为合格的概率为．已知小李参加了3次课外实践活动，则（ ） A. “小李第一次评定合格”与“小李第一次评定不合格”是互斥事件 B. 若小李第一次评定为不合格，则小李获得0.4学分的概率为 C. 若小李第一次评定为合格，则小李第三次评定为合格的概率为 D. “小李第一次评定合格”与“小李第三次评定合格”相互独立 【答案】AB 【解析】 【分析】A项由互斥事件概念可得；B项由概率乘法公式可得；C项由全概率公式求解即可判断；D项由全概率公式求概率，再结合相互独立事件的等价条件判断. 【详解】A项，事件“小李第一次评定合格”与“小李第一次评定不合格”不可能同时发生，所以互斥，故A正确； B项，若第一次评定为不合格，设事件“第次评定为合格”，. 则事件“小李获得0.4学分”即事件， 由概率乘法公式得， ，故B正确； C项，若第一次评定为合格，设事件“第次评定为合格”，“第次评定为不合格”，. 则由全概率公式得， ，故C错误； D项，由C项知； 若第一次评定为不合格，设事件“第次评定为合格”，“第次评定为不合格”，. 由全概率公式可得 ； 即； 所以，即第一次评定是否合格对第三次评定合格的概率有影响， 故“小李第一次评定合格”与“小李第三次评定合格”不相互独立，故D错误. 故选：AB. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 在的展开式中，常数项为__________. 【答案】672 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式，计算即可得结果. 【详解】由题意得， 令，解得，故常数项为. 故答案为： 13. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据渐近线方程，求得，再求离心率即可. 【详解】根据题意可知，该双曲线的一条渐近线方程为：，故， 则其离心率为. 故答案为：. 14. 函数的定义域为，若满足：①在上是单调函数， ②存在使得在上的值域为,那么函数为“优美函数”.若函数是“优美函数”，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用复合函数法分析可知，函数在定义域上为增函数，则存在使得在上的值域为,进一步分析可知，关于的方程至少有两解，令，，则函数有两个不等的正零点，利用二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】当时，内层函数为减函数，外层函数为增函数， 由复合函数法可知，函数在定义域上为增函数； 当时，内层函数为增函数，外层函数为增函数， 由复合函数法可知，函数在定义域上为增函数. 综上所述，函数在定义域上为增函数， 根据题意，存在存在使得在上的值域为, 则， 所以，关于的方程至少有两解，即，可得， 令，， 由题意可知，函数有两个不等的正零点、， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.） 15. 已知数列是公差为1的等差数列，且是与6的等差中项. （1）求的通项公式； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差中项与等差数列定义，建立方程求得首项，可得答案； （2）利用裂项相消求和，可得答案. 【小问1详解】 由等差数列的公差，且是与6的等差中项 则， 即，解得， 所以等差数列的通项. 【小问2详解】 . 16. 已知函数，其中为非零常数． （1）当时，求的单调区间； （2）若函数的图象在点处的切线斜率为，求的极值． 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2）极大值为，无极小值 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间； （2）求出函数的导函数，根据导数的几何意义可知，求得的值，根据求极值的步骤依次求解即可. 【小问1详解】 当时，定义域为， 又， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减； 即的单调递增区间为，单调递减区间为； 【小问2详解】 因为，所以，解得， 所以，则， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减； 所以在处取得极大值，且极大值为，无极小值． 17. 有甲、乙、丙、丁、戊位同学，求： （1）位同学站成一排，甲、戊相邻有多少种不同的排法？ （2）位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，有多少种不同的排法？ （3）将位同学分配到三个班，每班至少一人，共有多少种不同的分配方法？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）相邻问题用捆绑法； （2）先将甲乙捆绑与戊排列，再用插空法排列丙丁，根据分步乘法计数原理计算即可； （3）分两步，第一步，先将5人分为三组，分两类讨论，第二步再将这三组分配给三个班，根据分类加法和分步乘法计数原理计算即可． 【小问1详解】 因为甲、戊相邻，故把甲、戊捆绑，与其余人全排列， 所以有种不同的排法； 【小问2详解】 首先将甲乙两人捆绑，与戊一起排，有种排法， 此时，共有3个空，丙、丁两人插空排列，共有种排法， 所以共有种不同的排法． 【小问3详解】 分步进行分析： 将位同学分成组， 若分成、、的三组，有种分法， 若分成、、的三组，有种分法， 则一共有种分组方法； 将分好的三组对应三个班，有种情况， 则一共有种不同的分配方法． 18. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面是的中点. （1）证明：平面； （2）在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，说明理由. 【答案】（1） 连接，交于点，连接， 因为底面为矩形，所以点是的中点， 又点是的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2）存在，或，理由如下： 因为底面为矩形，底面， 所以以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 又， 设， 则， 设直线与平面的夹角为， 则， 整理得，所以，解得或， 又， 当时，，当时，，则的长为或. 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，连接，即可证明，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，假设棱上是否存在一点，直线与平面所成角的正弦值为，设且，即可求出，利用向量的夹角公式列出关于的方程求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 椭圆与圆和圆都外切． （1）求椭圆E的方程； （2）设A，B分别为椭圆E的左右顶点，F为椭圆的右焦点，K为椭圆E上动点（异于A，B），直线与椭圆E交于另一点H．若直线与交于点P，求证：点P在定直线l上； （3）在（2）的条件下，设直线与直线l交于Q点，椭圆E在点K处的切线与l交于R， ①求证：． ②求面积取最小值时K点的横坐标． 【答案】（1） （2） 由椭圆E的方程为可知， 由题意知，不垂直于轴，故可设直线， 由焦点在椭圆内，则直线与椭圆恒有两个交点， 设， 联立直线与椭圆方程得， 由韦达定理得， 则（）， 又直线方程为，方程为， 设两直线交点， 则联立方程，解得， 将（）式代入化简得， 故点P在定直线上. （3） ①由题意知椭圆E在点处的切线斜率存在， 可设切线的方程为， 联立直线与椭圆E方程消得， ， 由直线与椭圆相切， 则， 化简得， 由，得代入上式得， 解得，故， 令，得 直线，令得； 直线，令得； 由， 故为线段的中点， ，得证. ② 【解析】 【分析】（1）结合图形可得，进而得椭圆方程； （2）联立直线与椭圆方程，由韦达定理可得关系式，再由直线联立解得点坐标，将关系式代入化简可得点在直线上； （3）①求出切线方程，依次求出坐标，得为中点，进而由向量极化恒等式可证；②利用点的横坐标表达出面积函数关系，利用导数求最值即可得. 【小问1详解】 圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为； 由题意椭圆E与两圆都外切，结合图形可知，， 故椭圆E的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①略 ②由， 则 则 ， 则的面积 . 令，， 则， 由解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 故当时，函数取最小值. 即面积S取最小值时K点的横坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $