精品解析：上海市高桥中学2024-2025学年高二下学期期中数学试卷

高桥中学2024-2025学年第二学期高二年级数学期中 2025.4 一、填空题（本大题满分36分） 1. 已知，，则________． 2. 平面经过点，且的法向量，则到平面的距离为______． 3. 棱长为2的正方体外接球的表面积是________． 4. 已知事件、互斥，且事件发生的概率，事件发生的概率，则事件、至少有一个发生的概率为________． 5. 在5名男生和4名女生中选出3人，至少有一名男生的概率为______. 6. 设袋中有大小质地相同的8个红球，2个白球，现从袋中任取4个球，若表示摸出的红球个数，则________．（用小数作答） 7. 已知随机变量的分布为，，2，3，则________． 8. 7个人站成一排，若甲和乙不能相邻排列，则不同的排法有__________种． 9. 若；则__________． 10. 若，则________． 11. 某车队有7辆车，现要调出4辆按一定顺序出去执行任务．要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出有_______种不同的调度方法（填数字）． 12. 如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，，且，则异面直线与的夹角为__________． 二、选择题（本大题满分12分） 13. 设x，，向量，，，且，，则（ ） A. B. C. 2 D. 8 14. 若，，则是事件A与事件B相互独立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 盒中有个红球，个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 16. 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是（ ）． A. B. C. D. 三、解答题（本大题满分52分，8+8+10+12+14） 17. 已知在的展开式中， （1）求常数项； （2）求二项式系数最大的项． 18. 班级迎新晚会有3个唱歌节目、2个相声节目和1个魔术节目，要求排出一个节目单. （1）魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？ （2）3个唱歌节目要排在一起，有多少种排法? 19. 如图所示，在三棱柱中，平面，，，是的中点． （1）求异面直线与所成的角的大小； （2）若为的中点，求二面角的正切值． 20. 陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成（如图）.已知一木制陀螺模型内接于一表面积为的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上. （1）若圆柱的高为，求该陀螺的体积及表面积； （2）规定陀螺圆锥的顶点S到圆柱中离它远的底面距离为陀螺的高，要使陀螺的圆柱的侧面积最大.此时陀螺的高是多少呢？ 21. 为迎接“五一小长假”的到来，某商场开展一项促销活动，凡在商场消费金额满200元的顾客可以免费抽奖一次，抽奖规则如下：在不透明箱子中装有除颜色外其他都相同的10个小球，其中，红球2个，白球3个，黄球5个，顾客从箱子中依次不放回地摸出2个球，根据摸出球的颜色情况分别进行兑奖.将顾客摸出的2个球的颜色分成以下四种情况：：1个红球1个白球，：2个红球，：2个白球，：至少一个黄球.若四种情况按发生的概率从小到大的顺序分别对应一等奖，二等奖，三等奖，不中奖. （1）求顾客在某次抽奖中，第二个球摸到为红球的概率 （2）求顾客分别获一､二､三等奖时对应的概率； （3）若三名顾客每人抽奖一次，且彼此是否中奖相互独立.记中奖的人数为，求的分布列和期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高桥中学2024-2025学年第二学期高二年级数学期中 2025.4 一、填空题（本大题满分36分） 1. 已知，，则________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式即可求解. 【详解】， 故答案为： 2. 平面经过点，且的法向量，则到平面的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出，则点到平面的距离. 【详解】因为平面经过点，所以， 又平面的法向量， 所以点到平面的距离. 故答案为： 3. 棱长为2的正方体外接球的表面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】直接求出正方体的对角线的长度，就是它的外接球的直径，求出半径即可求出球的体积， 【详解】由题意得正方体的对角线的长度，就是它的外接球的直径， 所以球的直径为：，半径为， 球的表面积为：. 故答案为：. 4. 已知事件、互斥，且事件发生的概率，事件发生的概率，则事件、至少有一个发生的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用互斥事件的概率加法公式可求得结果. 【详解】因为事件、互斥，且事件发生的概率，事件发生的概率， 则事件、至少有一个发生的概率为. 故答案为：. 5. 在5名男生和4名女生中选出3人，至少有一名男生的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】先计算全是女生的概率，再直接由对立事件概率性质得到至少有一名男生的概率. 【详解】选出的3人都是女生的概率. 所以至少有一名男生的概率为. 故答案为：. 6. 设袋中有大小质地相同的8个红球，2个白球，现从袋中任取4个球，若表示摸出的红球个数，则________．（用小数作答） 【答案】3.2 【解析】 【分析】根据超几何的期望公式即可求解. 【详解】由于服从超几何分布，且，故, 故答案为：3.2 7. 已知随机变量的分布为，，2，3，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的分布列，利用期望、方差的定义求解. 【详解】依题意，， 所以. 故答案为： 8. 7个人站成一排，若甲和乙不能相邻排列，则不同的排法有__________种． 【答案】3600 【解析】 【分析】不相邻问题用“插空法”即可. 【详解】先将除了甲和乙外的5人全排列，有种排法， 这5人排成一排，形成6个空，让甲乙去“插空”有种方法， 故7人站成一排，甲和乙不能相邻有种不同的排法. 故答案为：3600. 9. 若；则__________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据排列数的计算公式，将原式化简，解对应方程，即可得出结果. 【详解】因为，， 所以， 所以，解得. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查排列数的计算，熟记公式即可，属于基础题型. 10. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】令可得，令可得，再由平方差公式计算可得. 【详解】因为， 令可得， 令可得， 所以 . 故答案为： 11. 某车队有7辆车，现要调出4辆按一定顺序出去执行任务．要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出有_______种不同的调度方法（填数字）． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意，选出满足题意的四辆车，确定对应的组合数，再根据题意进行排列，即可得出结果. 【详解】从某车队调出4辆车，甲、乙两车必须参加，则有种选法； 将选出的4辆车，按照“甲车要先于乙车开出”的要求进行排序，则有种排法； 因此，满足题意的，调度方法有：种. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查排列组合的应用，属于常考题型. 12. 如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，，且，则异面直线与的夹角为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将用不共面的向量表示出来，从而得到，然后由公式计算夹角余弦值即可. 【详解】四棱柱的底面为平行四边形， ，， ，而， 则， ，因此， 所以异面直线与的夹角的余弦值为. 故答案为： 二、选择题（本大题满分12分） 13. 设x，，向量，，，且，，则（ ） A. B. C. 2 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量垂直、平行的坐标运算即可求解. 【详解】因为，所以，解得， 由可知，，解得，所以. 故选：B. 14. 若，，则是事件A与事件B相互独立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出，再利用相互独立事件的定义，结合充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由，得，因此，即事件A与事件B相互独立， 反之亦然，所以是事件A与事件B相互独立的充要条件. 故选：C 15. 盒中有个红球，个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设事件“第一次抽出的红球”为A，事件“第二次抽出的是红球”为B，则，再利用全概率公式求解. 【详解】解：设事件“第一次抽出的红球”为A，事件“第二次抽出的是红球”为B， 则， 由全概率公式得， 由题意得， ， 所以， 故选：B 16. 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆锥侧面展开图可得圆锥的半径和高，由三角形面积公式即可求解内切球半径，进而由球的体积公式求出答案. 【详解】由题意得，扇形的弧长， 所以该圆锥的底面圆的半径， 所以该圆锥的高． 设该圆锥内的球的最大半径为R，圆锥的轴截面如图所示： 则依题意得， 所以， 所以该球的体积V的最大值是． 故选：D 三、解答题（本大题满分52分，8+8+10+12+14） 17. 已知在的展开式中， （1）求常数项； （2）求二项式系数最大的项． 【答案】（1）-84 （2）和 【解析】 【分析】（1）根据二项式展开式的通项特征，即可求解， （2）根据二项式系数的单调性，即可求解. 【小问1详解】 ， 令，∴常数项 【小问2详解】 ， ∴二项式系数最大的项和 18. 班级迎新晚会有3个唱歌节目、2个相声节目和1个魔术节目，要求排出一个节目单. （1）魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？ （2）3个唱歌节目要排在一起，有多少种排法? 【答案】（1）600； （2）. 【解析】 【分析】（1）先从3个唱歌节目和2个相声节目中选1个放在最后，再将其余5个节目全排列，根据分步乘法计数原理即可求解； （2）先将3个歌唱节目捆绑在一起，再与其余3个节目全排列，根据分步乘法计数原理即可求解. 【小问1详解】 魔术节目不排在最后一个节目， 则先从3个唱歌节目和2个相声节目中选1个放在最后，有5种排法； 其余5个节目任意排，有种排法， 所以魔术节目不排在最后一个节目，有种排法. 【小问2详解】 将3个歌唱节目捆绑在一起，看成1个节目有种， 与其余3个节目一起排共种， 则3个唱歌节目要排在一起，有种排法． 19. 如图所示，在三棱柱中，平面，，，是的中点． （1）求异面直线与所成的角的大小； （2）若为的中点，求二面角的正切值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，利用公式，即可求解； （2）首先分别求平面和平面的法向量，再利用二面角的向量法，即可求解. 【小问1详解】 以点为原点，以向量分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 设， ，，，， ，， 设异面直线与所成的角为， 则,所以, 异面直线与所成的角为； 【小问2详解】 ，，，， ，，， 设平面的法向量为， ，令，则，， 所以平面的法向量为， 平面的法向量为， 设平面二面角的平面角为，由图可知为锐角， 则，， ， 二面角的正切值是． 20. 陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成（如图）.已知一木制陀螺模型内接于一表面积为的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上. （1）若圆柱的高为，求该陀螺的体积及表面积； （2）规定陀螺圆锥的顶点S到圆柱中离它远的底面距离为陀螺的高，要使陀螺的圆柱的侧面积最大.此时陀螺的高是多少呢？ 【答案】（1）陀螺体积、表面积分别为，； （2）(). 【解析】 【分析】（1）根据题意求得外接球半径，进而可求得底面半径，再应用圆锥、圆柱体积、表面积公式求结果； （2）令圆柱的高为，有陀螺的高为，应用圆柱体体积公式、基本不等式求侧面积最大值，确定取值条件，即可得结果. 【小问1详解】 令陀螺外接球半径为，则，可得， 由题意，圆柱的矩形轴截面对角线长为，又圆柱的高为， 所以圆柱底面直径，则底面半径， 综上，圆锥的高为，母线长为， 所以陀螺的体积为， 陀螺表面积为. 【小问2详解】 令圆柱的高为，由（1）知陀螺外接球半径， 所以圆柱底面直径为，圆锥的高为， 所以陀螺的高为， 由圆柱体侧面积， 当且仅当时取等号， 所以陀螺的高是()时，圆柱体侧面积最大. 21. 为迎接“五一小长假”的到来，某商场开展一项促销活动，凡在商场消费金额满200元的顾客可以免费抽奖一次，抽奖规则如下：在不透明箱子中装有除颜色外其他都相同的10个小球，其中，红球2个，白球3个，黄球5个，顾客从箱子中依次不放回地摸出2个球，根据摸出球的颜色情况分别进行兑奖.将顾客摸出的2个球的颜色分成以下四种情况：：1个红球1个白球，：2个红球，：2个白球，：至少一个黄球.若四种情况按发生的概率从小到大的顺序分别对应一等奖，二等奖，三等奖，不中奖. （1）求顾客在某次抽奖中，第二个球摸到为红球的概率 （2）求顾客分别获一､二､三等奖时对应的概率； （3）若三名顾客每人抽奖一次，且彼此是否中奖相互独立.记中奖的人数为，求的分布列和期望. 【答案】（1） （2）顾客分别获一､二､三等奖的概率分别为、、 （3）分布列为： 1 2 3 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得； （2）根据古典概型的概率公式及组合数公式计算可得； （3）由（2）可知，顾客抽奖一次获奖的概率为，则，利用二项分布的概率公式求出分布列与数学期望. 【小问1详解】 设顾客第次摸到红球为， 则； 【小问2详解】 由题意知，，， ，， 因此，顾客分别获一､二､三等奖的概率分别为、、； 【小问3详解】 由（2）可知，顾客抽奖一次获奖的概率为， 则， 所以，， ，， 则分布列为： 1 2 3 数学期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $