精品解析：湖南省邵阳市第二中学2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题

2025年高二下学期数学期中试卷 全卷满分150分，考试时间120分钟；命题人：陈霞林；审题人：李印彬 一､单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知全集，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用并集、补集的定义求解. 【详解】由，得，而， 所以. 故选：D 2. 若向量，，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平面向量共线的坐标表示可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为向量，，且，则，解得. 故选：A. 3. 某省中学生足球赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组进行的比赛场数为（ ） A. 15 B. 18 C. 30 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理进行计算即可. 【详解】可以先从这6支队中选1支为主队，然后从剩下的5支队中选1支为客队. 按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为. 故选：C. 4. 的展开式中的系数是（ ） A. 40 B. C. 20 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式展开的通项公式求解． 【详解】展开式的通项公式为， 令，则， 所以展开式中的系数是. 故选：A． 5. 下列说法中，不正确的是（ ） A. 在1，3，6，7，9，10，12，15这组数据中，第50百分位数为8 B. 分类变量A与B的统计量越大，说明“A与B有关系”的可信度越大 C. 根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的经验回归方程为，若，，，则 D. 两个模型中，残差平方和越大的模型拟合的效果越好 【答案】D 【解析】 【分析】求数据第50百分位数，判断A的真假；根据的意义，判断B的真假；根据线性回归方程必过求判断C的真假；根据残差平方和的意义判断D的真假. 【详解】对A：因为，所以这组数据的第50百分位数为：，故A选项内容正确； 对B：根据统计量的意义可知，B选项内容正确； 对C：根据线性回归方程必过得：，故C选项内容正确； 对D：因为残差平方和越小，模型拟合的效果越好，故D选项内容错误. 故选：D 6. 已知椭圆的右顶点与抛物线的焦点重合，则C的离心率为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线的性质得到椭圆的基本量，再求解离心率即可. 【详解】由题意得的焦点为，则，而， 得到，即方程为，得到离心率，故D正确. 故选：D 7. 已知，为和的等差中项，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件得到，从而有，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】由题知，得到， 所以， 当且仅当，即时，取等号. 故选：D. 8. 已知的图像关于点对称，且对，都有成立，当时，，则（ ） A. -2 B. 2 C. 0 D. -8 【答案】A 【解析】 【分析】判断出的对称性，由此判断出的周期，从而计算出. 【详解】的图像关于点对称，所以关于原点对称，为奇函数. 由于，所以， 所以是周期为的周期函数. 所以. 故选：A 二､多选题（每小题6分，部分选对得部分分，有错选得0分，全对得6分，共18分） 9. 关于复数，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点在第四象限 D. 的虚部是实部的倍 【答案】AB 【解析】 【分析】利用共轭复数的定义可判断A选项；利用复数的模长公式可判断B选项；利用复数的几何意义可判断C选项；利用复数的概念可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，则，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，复数在复平面内对应的点，位于第二象限，C错； 对于D选项，复数的实部是，虚部是，则的虚部是实部的倍，D错. 故选：AB. 10. 下列命题为真命题的有（ ） A. 命题“”的否定是“” B. 若是定义在R上的奇函数，则必有 C. 若是第二象限的角，则有 D. 不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据命题的否定即可求解A，根据奇函数的性质即可求解B，根据正弦的二倍角公式即可求解C，根据二次函数零点的分布即可求解D. 【详解】对于A， 命题“”的否定是“”，故A正确， 对于B，若是定义在R上的奇函数，则，令，则有，B正确， 对于C, 若是第二象限的角，则 故，由于的正负无法确定，故C错误， 对于D，不等式在上恒成立，记 则，解得，故实数的取值范围是，D正确， 故选：ABD 11. 已知双曲线的左､右焦点分别为为双曲线右支上的动点，则（ ） A. 若到渐近线的距离为1，则 B. 当点异于顶点时，的内切圆的圆心总在定直线上 C. 若，则点的纵坐标为 D. 过点作双曲线的切线交渐近线于两点，若，则曲线的渐近线方程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据焦点到渐近线的距离为，根据求解即可判断A；根据圆的性质及双曲线的定义即可得的内切圆的圆心的横坐标为即可判断B；设，结合点P在双曲线上，根据数量积的坐标运算求解判断C；设，求出切线方程，进而求出点的坐标，根据面积求出，即可求解渐近线方程判断D. 【详解】选项A：因到渐近线的距离为1，故，故，故A正确； 选项B： 如图，的内切圆的圆心为，分别与切于点， 则， 由双曲线的定义可得，故， 故，即， 又，故，故， 故的内切圆的圆心总在定直线上，故B正确； 选项C： 设，则， 因，故，故， 代入可得得，得，故C错误； 选项D： 不妨设是双曲线右支在第一象限的一点，，得， 所以，则在的切线斜率， 所以在点处的切线方程为， 又由，可得切线方程为，所以与x轴交点坐标为 不妨设是切线与渐近线在第一象限的交点， 是切线与渐近线在第四象限的交点，双曲线的渐近线方程是， 联立，解得， 联立，解得， 所以， 解得，所以渐近线方程为； 当点坐标为时，切线方程为，双曲线的渐近线方程为， 联立得，联立得， 故，得，此时渐近线方程为； 同理，是双曲线右支在第四象限的一点时，渐近线方程为； 综上，渐近线方程为，故D正确， 故选：ABD. 三､填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设出直线的方程，利用待定系数法求出方程. 【详解】由直线与直线平行，设直线的方程为， 由直线经过点，得，解得， 所以直线的方程为. 故答案为： 13. 已知点是角的终边上一点，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】应用诱导公式及终边上的点求函数值即可. 【详解】. 故答案为： 14. 由正三棱锥得的三棱台的高为，，．若三棱台的各顶点都在球的球面上，则球的表面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知三棱台的球心在直线上，设三棱台的外接球的半径为，根据几何关系可得出关于的方程，求出的值，结合球体表面积公式可求得结果. 【详解】设三棱台的上底面的外接圆的圆心为，下底面的外接圆的圆心为， 因为是边长为的等边三角形，故，可得， 同理可得， 设三棱台的外接球的半径为，易知三棱台的球心在直线上， 在中，， 在中，， 又三棱台的高为， 因为，所以， 故球心在的延长线上，则，解得， 因此，球的表面积为. 故答案为：. 四､解答题 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化即可得解； （2）根据余弦定理求出边长，然后利用面积公式求面积即可得解. 【小问1详解】 由正弦定理得. 因为，所以，，. 因为在中，，所以，. 【小问2详解】 由，及余弦定理. 得，解得或（舍） 所以，. 16. 某初级中学为了响应国家提倡的素质教育，积极组织学生参加体育锻炼，并定期进行成绩测试.在某次测试中，该校随机抽取了初二年级名男生的立定跳远成绩和米短跑成绩，在立定跳远成绩大于等于的名男生中，米短跑成绩小于等于的有人，在立定跳远成绩小于的男生中，米短跑成绩大于的有人. 单位：人 立定跳远成绩 米短跑成绩 合计 小于等于 大于 大于等于 小于 合计 （1）完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析立定跳远成绩是否与米短跑成绩有关； （2）“立定跳远成绩小于”且“米短跑成绩小于等于”的人数为，已知这人中有人喜爱运动，若从中任取人进行调研，设表示取出的喜爱运动的人数，求的分布列和数学期望. 下面附临界值表及参考公式： 【答案】（1）表格见解析，有关 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据题意补充完整列联表，然后求出卡方，结合参考表格下结论即可； （2）由（1）可得，分析得到的取值，然后求出取值对应的概率，得到变量的分布列，即可求出期望. 小问1详解】 列联表如图. 单位：人 立定跳远成绩 米短跑成绩 合计 小于等于 大于 大于等于 小于 合计 零假设为：立定跳远成绩与米短跑成绩无关， 计算得， 根据小概率的独立性检验，推断不成立， 即认为立定跳远成绩与米短跑成绩有关，此推断犯错误的概率不大于. 【小问2详解】 由（1）可知的可能取值为， 则， ， ， 其分布列为： 所以数学期望为. 17. 如图，长方体底面是边长为2的正方形，高为4，为线段的中点，为线段的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. （3）求直线到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与直线的方向向量，即可得证； （2）求出平面的法向量，再由空间向量法计算可得； （3）首先证明平面，则直线到平面的距离即为点到平面的距离，再由空间向量法计算可得. 【小问1详解】 如图建立空间直角坐标系，则，，，， 又为线段的中点，所以， 所以，又平面的法向量可以为， 所以，即，又平面，所以平面. 【小问2详解】 由（1）可得，所以，， 设平面的法向量为，则，取， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角正弦值为； 【小问3详解】 因为，平面，平面， 所以平面， 所以直线到平面的距离即为点到平面的距离， 又， 所以点到平面的距离， 即直线到平面的距离为. 18. 已知函数，其中为常数. （1）当时，求在处的切线方程 （2）当时，，证明： （3）当时，试讨论的单调性； 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）答案见解析. 【解析】 分析】（1）应用导数几何意义求切线方程； （2）问题化为证明恒成立，构造函数并利用导数证明恒成立即可； （3）对函数求导，讨论、、研究的单调性. 【小问1详解】 由题设，则， 所以，，故在处的切线方程为. 【小问2详解】 由， 所以，要证，即证恒成立， 令且，则， 当时，，故在上单调递增， 当时，，故在上单调递减， 所以，即，故，得证. 【小问3详解】 由题设且， 当， 时，，即在上单调递增， 时，，即在上单调递减， 时，，即在上单调递增， 当，则恒成立，即在上单调递增， 当， 时，，即在上单调递增， 时，，即在上单调递减， 时，，即在上单调递增. 19. 已知数列，，，，且，，若是一个非零常数列，则称是一阶等差数列；若是一个非零常数列，则称是二阶等差数列. （1）若，，，试写出二阶等差数列的前4项，并求； （2）若，且满足， （i）判断是否为二阶等差数列，并证明你的结论； （ii）记数列的前n项和为，若不等式时于恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）1，4，9，16；，； （2）（i）不是，证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）由二阶等差数列的定义，计算可得数列的前4项，由数列恒等式和等差数列的求和公式，可得； （2）（i）由数列的递推式推得，由等比数列的通项公式求得，，，由二阶等差数列的定义，可得结论；（ii）由等比数列的求和公式可得，由数列的单调性和不等式恒成立思想，可得所求取值范围． 【小问1详解】 若，，， 则，即， 由，可得， 则，可得，，解得， 由， 可得， 上式对也成立，即有，； 【小问2详解】 （i）若，且满足，可得， 即，即有， 可得数列是首项和公比均为3的等比数列，即有，即， 可得，，不为非零常数，故不为二阶等差数列； （ii）数列的前n项和， 不等式，即，即为对恒成立． 设，， 当时，，当时，可得，即有， 可得数列中最小项为， 则，即有，则实数的取值范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高二下学期数学期中试卷 全卷满分150分，考试时间120分钟；命题人：陈霞林；审题人：李印彬 一､单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知全集，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若向量，，且，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 某省中学生足球赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组进行的比赛场数为（ ） A. 15 B. 18 C. 30 D. 36 4. 的展开式中的系数是（ ） A. 40 B. C. 20 D. 5. 下列说法中，不正确的是（ ） A. 在1，3，6，7，9，10，12，15这组数据中，第50百分位数为8 B. 分类变量A与B的统计量越大，说明“A与B有关系”的可信度越大 C. 根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的经验回归方程为，若，，，则 D. 两个模型中，残差平方和越大的模型拟合的效果越好 6. 已知椭圆的右顶点与抛物线的焦点重合，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，为和的等差中项，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知的图像关于点对称，且对，都有成立，当时，，则（ ） A. -2 B. 2 C. 0 D. -8 二､多选题（每小题6分，部分选对得部分分，有错选得0分，全对得6分，共18分） 9. 关于复数，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点在第四象限 D. 的虚部是实部的倍 10. 下列命题为真命题的有（ ） A. 命题“”的否定是“” B. 若是定义在R上奇函数，则必有 C. 若是第二象限的角，则有 D. 不等式在上恒成立，则实数取值范围是 11. 已知双曲线的左､右焦点分别为为双曲线右支上的动点，则（ ） A. 若到渐近线的距离为1，则 B. 当点异于顶点时，的内切圆的圆心总在定直线上 C. 若，则点的纵坐标为 D. 过点作双曲线的切线交渐近线于两点，若，则曲线的渐近线方程为 三､填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知直线经过点，且与直线平行，则直线方程为_______． 13. 已知点是角的终边上一点，则______． 14. 由正三棱锥得的三棱台的高为，，．若三棱台的各顶点都在球的球面上，则球的表面积为____． 四､解答题 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 16. 某初级中学为了响应国家提倡的素质教育，积极组织学生参加体育锻炼，并定期进行成绩测试.在某次测试中，该校随机抽取了初二年级名男生的立定跳远成绩和米短跑成绩，在立定跳远成绩大于等于的名男生中，米短跑成绩小于等于的有人，在立定跳远成绩小于的男生中，米短跑成绩大于的有人. 单位：人 立定跳远成绩 米短跑成绩 合计 小于等于 大于 大于等于 小于 合计 （1）完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析立定跳远成绩是否与米短跑成绩有关； （2）“立定跳远成绩小于”且“米短跑成绩小于等于”的人数为，已知这人中有人喜爱运动，若从中任取人进行调研，设表示取出的喜爱运动的人数，求的分布列和数学期望. 下面附临界值表及参考公式： 17. 如图，长方体底面是边长为2正方形，高为4，为线段的中点，为线段的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. （3）求直线到平面的距离. 18. 已知函数，其中为常数. （1）当时，求在处的切线方程 （2）当时，，证明： （3）当时，试讨论的单调性； 19. 已知数列，，，，且，，若是一个非零常数列，则称是一阶等差数列；若是一个非零常数列，则称是二阶等差数列. （1）若，，，试写出二阶等差数列的前4项，并求； （2）若，且满足， （i）判断是否为二阶等差数列，并证明你结论； （ii）记数列的前n项和为，若不等式时于恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$