河南省TOP二十名校2025届高三猜题大联考数学试题

2025届高三年级T0P二十名校猜题大联考·数学 参考答案、提示及评分细则 1.C因为A={xy=√9-x}={x|-3≤x≤3}，故A∩N={0,1,2,3.故选C. a·b 2,A由题意可得cos(a,b)三a,6一52=品故选A 3D由日>>0可得0<a<6,由2>2必可得a>6,所以由日>方>0推不出公>，即充分性不成立： 由2>2也推不出。>方>0，即必要性不成立所以甲是乙的慨不充分也不必要条件，故选D 4.B由题意可知基本事件的总数为n=C=286,能组成“勾股平方数组”的有(3,4,5)，(6,8,10)，(5,12， 13),共3个，故所求概率为26故选B 5D由正弦定理可知底面三角形外接圆半径为}×品D-2,则正三棱柱ABC-A,BG的外接球0 的半径为，2+(-√/层，故球0的体积为V-号x×(√)'=28三故选D 27 6.B设{an}的公比为q,当g=1时，可得Sn一an+1=n-1十1=n,{S。一an+1}不是等比数列，当q≠1时， 可得5.-a,+1=号-g1+1=9亡g·,因为S-a,十1是等比数列，所以号=0，所以 q=2.故选B. tan 0 =一8，即 .C由2tana=an20,得tana怎m0①，由tan(a)=二8，得n0%= ama(8an0叶1)=n9-8,所以na=平s3@,由①②得评s8-n品化简得ar0= -8,所以tan0=-2.故选C. 8.B设P(),z>0,则双曲线C在点P处的切线方程为-6y=1,在 -y=1中令y=0,得x=号，故B(货，0）故0B1=云，又0== tox a2 √a+,故|BFl=g+√a+1,其中|F,P川=√(x+c)+6= √(+a+7)+6,又-6=1，故1FPl=√(+va+)+落-1= a+1)zi+2√a+1x+a2= a" 于西+a=+a,因为oN/E,P,所以别 a 0 B,即 OB 2 a+1@十a a+√a+1 ,整理得(a-2)(a2+√a+1x)=0,显然a2+√a2+Ix>0, a 所以a-2=0,解得a=2.故选B. 9.AC当n=1时，a4一a1a=1,因为a1=2,所以a4=2,故A正确：当n=2时，a2-a:a=1,所以号 2a=1,即a=-1,当n=3时，a一aa4=1,所以-1十a4=1,即a4=2,故B错误；数列{a.}是周期为3 的周期数列，所以a2%=a5xg=as=-1,故C正确：S2s=675X(a十a:十a)=675×(2+2-1）- 225,故D错误故选AC 10.AC由方程组在复平面上的几何意义可知，问题等价于以(25,20)为圆心，5为半径的圆与点 (4十k,0)与(k,3)所连线段的垂直平分线相切，易求得垂直平分线为1：8x一6y一8k一7=0，相切即圆心 【高三年级大联考·数学参考答案第1页（共4页）】 25-X-676C 到直线距离等于半径，由点到直线距离公式有8X25-6X208k-71=5,即173一8k1=50,解得 √/82+6 号或故选AC 1.山ABD对于A,g(x-受）=sim(x-受)sin(2z-)=sin(受-xsin(r-2x)=osin2x=f(x),故f(a） 的图象可看作g(x)的图象向右平移5个单位长度得到的，左右平移不影响值域，故A正确：对于B,f(x)十 g(x)=(sin x+cos x)sin 2x=(sin z+cos x)[(sin x++cos x)2-1]=(sin x+cos x)3-(sin x+cos x); f(x)-g(x)=(cos x-sin x)sin 2x=(cos x-sin x)[1-(cos x-sin x)2]=(cos x-sin x)-(cos x- sin=(sinx-cosx3-(sinx-cosx),f(x+8）-g(z+受）-[sin(r+）-cos(x+受)] [sin(z+受）-cos(r+)】]=(sinx+cosx)3-(sinx+cosx)=f(x)+g(x),故fx)+g(x)的图象 可看作f(x)一g(x)的图象向左平移个单位长度得到的，左右平移不影响值域，故B正确；对于C, [f(1)]'g(2)=cos21sin32sin4,[f(2)]g(1)=sin1sin2cos22sin24,由1∈(0，z）,2∈(2，x,4∈ (x,）可知sim1>0,cos1>0,sin2>0,os2<0,sin4<0,所以[f(1)]'g(2)<0,[f(2)]Pg(1)>0, [f(1)]2g(2)<[f(2)]g(1),故C错误；对于D,f(1)[g(2)]2=cos1sin32sin4,f(2)[g(1)]2 sin21sin22cos 2sin 4,f(1)[g(2)]2-f(2)[g (1)]2=sin22sin 4 (cos 1sin 2sin 4-sin21cos 2)= sin22sin 4(4sin 1cos21sin 2cos 2 -sin21cos 2)=sin 1cos 2sin22sin 4(4cos21sin 2 -sin 1)= sin1cos2sin22sin4(8cos31sin1-sin1)=sin21cos2sin22sin4(8cos'1-1),而1∈(0，号)，故8cos1>8 ×(侵)》°=1，故f1)[g(2)]P-2)[g1]>0,故D正确.故选ABD 12.号设椭圆C+芳-1的半焦距为6，由题意可得v后不-2，整理得2a-=8,因此- =号，所以C的离心率为e=号 3 13.(1,1)设f(x)=一x3+3x2-1,函数f(x)的对称中心为(a,b),则f(a十x)+f(a-x)=2b,两边求 导得f(a十x)一f(a一x)=0,即f(a十x)=f(a一x),所以函数f(x)的图象关于直线x=a对称， 因为f(x)=一3.x2十6x,故函数f(x)的图象关于直线x=1对称，则a=1,因为f(1十x)十f(1一x) =-(1十x)3+3(1+x)2-1-(1一x)3+3(1一x)2一1=2，所以曲线y=一x3+3x2-1的对称中心 为(1,1). 14.76由题意可知x的取值可从6,7,8,9,11,12,13,14,15,16,17,18中选取(x=5时，2,3,4,5成等差数 列，x=10时，10,20,30,40成等差数列，不合题意)，y的取值可从7,8,9,11,12,13,14,15,16,17,18,19 中选取(y=10时，10,20,30,40成等差数列，不合题意)，且需满足x<y,当x=6时，y的取法有12种； 当x=7时，y的取法有11种；当x=8时，y的取法有10种；当x=9时，y的取法有9种；当x=11时，y 的取法有8种，依次类推，当x=18时，y的取法有1种，此时(x,y)的取法有12十11十…十2十1= 12(1?+)=78(种)，其中当x=6y=8时，2,4,6,8成等差数列，不合题意；当x=8,)y=14时，2,8,14， 2 20成等差数列，不合题意.综上所述，满足题意的(x,y)有78一2=76（个）. 15.解：(1)因为抛物线C的方程为y2=4x,所以抛物线C的准线方程为x=一1.…3分 (2)因为M(t,2)在C的准线上，所以t=一1，即M(-1,2),…4分 易得F的坐标为1,0)，此时号气=-1， 6分 因为MF⊥l,所以ke·k=一1，解得k=1,…8分 所以1的方程为y=x一1，设A(x1,y),B(x2,y2),…10分 联立Y=4,消去y并整理得2一6x十1=0，由韦达定理得十4=6， y=x-1, 12分 所以|AB|=x1+x2+2=8. …13分 【高三年级大联考·数学参考答案第2页（共4页）】 25-X-676C 16.(1)证明：由余弦定理，得cosA=号=+c2-a2bc一a2 a …3分 2bc 2bc 26c' 故≥1-，即>≥1 bc …4分 由正弦定理可得台c, 6分 又A=号，故是·nsnC2l,即in Bsin C<子 …8分 (2)解：设D为BC的中点，则有AD=号(A店+AC. ……9分 两边平方有A:=}A+2A·|AC·cosA+|AC),即1A=}+e2+be)=3. …12分 故12=？+2+bc≥2bc+bc=3bc,即b≤4，当且仅当b=c=2时等号成立，故bc的最大值为4.…15分 17.(1)证明：因为平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,AB⊥AD,ABC平面ABCD, 可得AB⊥平面PAD,…1分 又AP,PDC平面PAD,故AB⊥AP,AB⊥PD,又AB∥CD,所以PD⊥CD.…2分 由PA=PD=AD=CD=2,AB=1,得PB=√PA+AB=√5，BD=√AD+AB=√5，BC= √AD十(CD-AB)7=√5，PC=√PD十CD=2√2.…3分 如图1，取PC中点M,连接BM,DM,有PC⊥BM,PC⊥DM, 又DM=PC=E,BM=√PB-(2PC)'=3,所以BD=BM+Dr,故BM1DM.…4分 因为BM⊥DM,BM⊥PC,PC∩DM=M,PCC平面PCD,DMC平面PCD,所以BM⊥平面PCD, 又BMC平面PBC,故平面PBC⊥平面PCD.…6分 图1 图2 (2)解：取AD中点O,以O为原点，OD为y轴，过O且平行于AB的直线为x轴，过O且垂直于平面 ABCD的直线为之轴建立如图所示的空间直角坐标系，…7分 因为PA=PD,O为AD的中点，所以OP=√PD-OD=√3，P在平面xOz内. 可设∠POx=0,0∈(0，π)，可得P(W3cos0,0,w3sin0),C(2,1,0),B(1,-1,0),D(0,1,0), BC-(1,2,0),PB=(1-V3cos0,-1,-√3sin0), 因为BC⊥PB,所以BC·PB=O, 即1-5cs0X1-1X2-5sin0X0=0,解得cos0=g,得P(-1,0n2),…】 0分 PB=(2,-1,-2),PC=(3,1,-2),Pi=(1,1,-2), 设平面PBC与平面PCD的法向量分别为n1=(1,y,≈1)，n2=(x2,y2,2),…11分 由题意可得 m1·PB=0,n∫2x1-y-√2a=0, 即 nm1·P心=0,3x1+y-2x=0, 可取n1=(2√2，一√2,5)，同理可得n2=(0,一√2，一1)，…13分 设平面PBC与平面PCD的夹角为0，故cos0=|cos(n1,n2〉|= -3/105 √35×√335 …14分 故平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值为O西 35 …15分 【高三年级大联考·数学参考答案第3页（共4页）】 25-X-676C 18.(1)解：红蓝、蓝黄、黄红三对里，每对中两种颜色均有n个点，则当3m个点中任意三点都不共线时，连接 线段条数取最大值32.… …4分 (2)()解：端点颜色的所有可能情况为红蓝、蓝黄、黄红、红红、蓝蓝、黄黄，端点颜色相同的线段有3C= 3n(,1D条，端点颜色不同的线段有C3n·1=3m条，线段总条数为C3,=3m(③？-1) 2 2 ,…6分 则PX=1)=号P(X=2)=3 2n …8分 X的分布列为： 1 2 n-1 2n 10分 3n-1 3n- 数学期望E(X)-别引 11分 ()证明：共有三种可能，当三个同色点构成三角形时，赋值和为3，有3C=”0m一1)m一2种可能， 2 …12分 当两个同色点和一个异色点构成三角形时，赋值和为5，有CC2C%C0=3n2(n一1)种可能，…13分 当三个异色点构成三角形时，赋值和为6，有n3种可能， 从3m个点中任取三个点，共有C以，=n(3m-1)(3m一2种可能，… 14分 2 3.nn=1）n-2+5.3m2(m-1)+6·m 则En= 2 .45n2-39m+6 n(3n-1)(3n-2） (3n-1)(3m-2)’… 15分 2 E-5=8a8-5=品 因为n∈N',所以3n-1>0,Em-5>0,即Em>5. 17分 19证明：当6=0a=-时，f)=1一（+1)，… …1分 则fa)a--20, 2分 因此f(x)在R上单调递减。。 …3分 而p<q时，Hx∈A,有f(x)>f(p)>f(q),则x∈Ag,故Ap二Ag.…4分 （2证明：fx)+f-x)=fe+ax+1)+b加+十eta(一x+10-d-2a+1,…6分 取s=2a十1，下证A,与Ba+1-,均互为对偶集，… …7分 Hx∈A,f(x)>t,则2a十1一f(x)>t,即f(一x)<2a十1-t,…8分 由定义知一x∈B2a+1-.同理可知，x∈Ba+1-,一x∈A. 9分 故当s=2a十1时，A,与B,-,均互为对偶集.… 10分 (3)解：由A=(0,十o∞)可知f(x)>号的充分必要条件为x∈(0，十o∞)，… 11分 若f(0)<2,又f(1)>2,由于f(x)的图象在[0,1]上连续不断， 故3∈(0,1)，使得f()=2,则与A:=(0,十∞)矛盾， …12分 若f0)>2,则x=0满足f(x)>7,与A4=(0,十∞)矛盾.因此f(0)=号，所以a=0.…13分 若0则（君1++6（广+ 一1<0，不符合题意，舍去.…14分 若6>0，则f(x)= 1+c)+3hx2>0在R上恒成立， 15分 此时f(x)在(0，十∞)上单调递增，又f0)=号，故此时f(x)>2的解集为(0，+∞)，符合题意 16分 综上：b的取值范围为[0，十0∞).…17分 【高三年级大联考·数学参考答案第4页（共4页）】 25-X-676C绝密★启用前 2025届高三年级TOP二十名校猜题大联考 数 学 全卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1,答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题日的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。 4.本卷命题范围：高考范围。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知集合A=(xy=√9-x},则A∩N= A{-2,-1,0,1,2} B.{-3,-2,-1,0,1,2,3} C.{0,1,2,3} D.(1,2,3y 2.已知平面向量a=(1,3),b=(一2,1)，则cos(a,b》= A号 B 5 c 3设甲}>>0，乙：2>2，则甲是乙的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4,若把满足a2+b=c2(a<b<c)的正整数组(a,b,c)称为“勾股平方数组”，则在不大于l3的 正整数中随机选取3个不同的数，能组成“勾股平方数组”的概率为 A话 B嘉 c品 0端 5.棱长均为2的正三棱柱ABC-A1B1C的各个顶点都在球O的球面上，则球O的体积为 A.14/21x B.2321x 27 54 经 D.2821x 27 【高三年级大联考·数学第1页（共4页）】 25-X-676C 6.已知首项为1的等比数列{a}的前n项和为S,若{S。一a,十1)也为等比数列，则(a)的公 比为 A.1 B.2 C.3 D.4 7.已知2tana=tan28,tan(a-f)=-8,则tanf= A.3 B.2 C.-2 D.-3 8过双曲线C:言-y=1(a>0)右支上的点P作C的切线，F,R分别为C的左，右焦点，N 为切线l上的一点，且ON∥FP(O为坐标原点).若ION|=2,则a= A.2 B.2 C.3 D.4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.记Sn为数列{am}的前n项和，且a1=2,an一aam+1=1,则 Aa4=分 B.a4=3 C.a2o2s=-1 D.S2s=2023 2 |25+20i-z=5, 10.已知关于复数z的方程组 (∈R)有且仅有一个复数解，则k的值 |z-4-k|=|x-3i-k1 可能是 A号 Bis c 11.已知函数fx)=cos xsin2x,g(x)=sin xsin2x,则 A.f(x)与g(x)的值域相同 B.f(x)十g(x)与f(x)一g(x)的值域相同 C.[f1)]2g(2)>[f(2)]2g(1) D.f(1)[g(2)]>f(2)[g(1)]2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12已知精圆C:号+苦=1(Q>6>0)的左顶点与上顶点之间的距离为焦距的，区倍，则C的离 心率为 13.曲线y=一x3+3x2一1的对称中心的坐标为 14.现有各项均为正整数的递增数列2,3,4，x,y,20,30,40,若从中任取4项构成的递增数列 都不是等差数列，则有序数对(x,y)的个数为 【高三年级大联考·数学第2页（共4页）】 25-X-676C 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点. (1)求C的准线方程； (2)设M(t,2)为C准线上一点，且MF⊥l,求|AB|. 16.(本小题满分15分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A= (1)证明：sin Bsin C<, (2)若BC边上的中线长为√3，求bc的最大值， 17.(本小题满分15分) 如图，四棱锥P-ABCD中，PA=PD=AD=CD=2,AB=1,AB∥CD且AB⊥AD (1I)当平面PAD⊥平面ABCD时，证明：平面PBC⊥平面PCD; (2)若BC⊥PB,求平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值. 【高三年级大联考·数学第3页（共4页）】 25-X-676C 18.(本小题满分17分) 已知平面内有n个红点，n个蓝点、n个黄点(n∈N'),这3n个点中任意两点都不重合. (1)在颜色不同的任意两点之间连接一条线段，颜色相同的两点之间不连接线段，直接写出 连接线段条数的最大值； (2)若3个点中任意三点都不共线，在所有互异的点之间连线，端点颜色相同的线段赋值 1,端，点颜色不同的线段赋值2. ()记每条线段的赋值为随机变量X,在所有线段中任取一条线段，按两个端点的颜色 进行分类（端点无序），求X的分布列及数学期望； ()从3个点中任取三个点构成三角形，记构成的三角形三边的赋值之和的数学期望 为En,证明：En>5. 19.(本小题满分17分)》 若集合M,N满足：Hx∈M,一x∈N,且Hx∈N,一x∈M,则称M,N互为对偶集.已知函 数fe)=e+a(x+i)+bxa,beR),定义A=lfe>小，B=zfx (1)当6=0，a=-}时，证明：Vp<g,ArD EAr (2)证明：存在s∈R,使得无论t取何值，A,与B,-,均互为对偶集； (3)若A:=(0,十∞)，求b的取值范围，