精品解析：云南省昆明市五华区2024-2025学年下学期学业质量监测九年级数学试题卷

五华区2024−2025学年下学期学业质量监测 九年级数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共6页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，将答题卡交回，试题卷自己收好，以便讲评． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）． 【详解】解：A．是无理数，故符合题意； B．是分数，属于有理数，故不符合题意； C．是整数，属于有理数，故不符合题意； D．是小数，属于有理数，故不符合题意． 故选：A． 2. 中国国家大剧院位于人民大会堂西侧，西长安街以南，由主体建筑及南北两侧的水下长廊、人工湖、绿地等组成，其中人工湖面积约．将35500用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：将35500用科学记数法表示应为， 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法与除法，积的乘方．根据合并同类项，同底数幂的乘法与除法，积的乘方逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、与不能合并，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 4. 二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0列不等式计算即可得到x的取值范围，然后在数轴上表示即可得解． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 在数轴上表示如下： 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，理解二次根式有意义的条件是解题关键． 5. “月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的一种建筑材料，拟用于未来建造月球基地．据介绍，“月壤砖”呈榫卯结构，密度与普通砖块相当，抗压强度却是普通砖的三倍以上．如图是一种“月壤砖”及其主视图，左视图与俯视图，则它的三种视图中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的判断，三视图；理解轴对称图形与中心对称图形的概念是解题的关键；根据这两种图形的概念进行判断即可． 【详解】解：主视图是轴对称图形，但不是中心对称图形，符合题意；而左视图与俯视图既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； 故选：A 6. 已知，则它的余角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个角的余角，掌握余角的概念是解题的关键；根据余角的概念：和为90度的两个角互为余角，进行求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 7. 如图，用一条足够长的矩形纸条，打一个结，然后轻轻拉紧、压平、连线，就可以得到如图所示的正五边形，其中的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正多边形的内角和及内角，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．根据正多边形的内角和以及正多边形每个内角都相等，求解即可． 【详解】解：∵多边形为正五边形， ∴； 故选：B． 8. 密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．英语字母表中字母的顺序：，将这26个英文字母依次对应自然数1，2，3，…，26． 密文 密文与明文之间的关系 明文 7 18 38 19 30 17 50 当密文中的数字为奇数时，明文对应的序号为； 当密文中的数字为偶数时，明文对应的序号为 ？ 将密文破译成用英文字母表示的明文，则明文对应的学科是（ ） A. 语文 B. 历史 C. 英语 D. 物理 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律．根据题中所给密文与明文之间的对应关系即可解决问题． 【详解】解：由题知， 当“密文”为7时，， 所以“密文”数字7对应的“明文”为“h”； 同理可得，“密文”数字18对应的“明文”为“i”； “密文”数字38对应的“明文”为“s”； “密文”数字19对应的“明文”为“t”； “密文”数字30对应的“明文”为“o”； “密文”数字17对应的“明文”为“r”； “密文”数字50对应的“明文”为“y”； 所以“明文”为即历史． 故选：B． 9. 如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（ ） A. 7 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可证明，根据的周长，即可求出答案． 【详解】解：由作图知，垂直平分， ， 的周长， ，， 的周长， 故选：C． 10. 如图，点、、在边长为1的正方形网格格点上，则下列结论不正确的是（ ） A. 是直角三角形 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查解直角三角形．根据勾股定理得出，，的长，进而利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，然后结合解直角三角函数的性质进而解答即可． 【详解】解：由勾股定理得：，，， ， ∴是直角三角形，， ∴，，， 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C． 11. 为了解去年半程马拉松的比赛情况，数学兴趣小组对参赛选手进行随机抽样调查．根据调查数据绘制了如下所示不完整的统计图表．则下列说法正确的是（ ） 组别 参赛者成绩 频数 4 12 12 7 A. 抽样数据的样本容量是60 B. E组数据对应的扇形统计图的圆心角度数为 C. 抽样数据的中位数落在组 D. 抽样数据的平均值是96 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图与频数分布表，从图表中获取信息是关键；根据图表中C的百分比及频数，可求得抽取的总人数，从而可判定A；由E的频数及样本数，求得其百分比，即可求得扇形统计图的圆心角，从而可判定B；根据中位数的意义可判定C；利用平均数的方法求出平均数即可判定D，最后获利问题的答案． 【详解】解：抽取的总人数为：，即样本容量为50，故选项A错误； ，故选项B错误； 由于，故中位数落在C组，故选项C正确； ， 平均数为：，故选项D错误； 故选：C． 12. 如图，中，，，，若把直角三角形绕边所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面积公式．根据题意可得圆锥的底圆半径为2，母线长为，然后用公式求解即可． 【详解】解：由题意得，圆锥的底圆半径，母线长， ∴圆锥表面积为， 故选：D． 13. 如图，是等边三角形，点的坐标是，若反比例函数图象的一支经过点，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质及k的几何意义．作轴于，根据等边三角形的性质求出的面积，即可得到k值． 【详解】解：作轴于， ∵点的坐标是， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵，且反比例函数图象在第二象限， ∴， 故选：A． 14. 如图，四边形内接于，的半径为，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质得到，由圆周角定理得到，根据弧长的公式即可得到结论． 【详解】解：四边形内接于，， ， ， 的长． 故选：． 【点睛】本题考查的是弧长的计算，圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 15. 如图1，在中，，．点从点开始沿向点匀速运动，到点停止．过点作交于点，连接．设，与的函数图像如图2所示，则函数图像最低点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长到E，使，连接，连接交于点F；先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是平行四边形，然后证明四边形是矩形，从而当E，M，C三点共线时，最小；由图2当时，，则可求得的长，进而求得的长，即可求得结果． 【详解】解：如图，延长到E，使，连接，连接交于点F， ∵，， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，； 当E，M，C三点共线时，最小，即当点M与点F重合时，最小，最小值为线段的长； 由图2知，当时，，此时M与A重合，N与D重合， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∴； ∴， 即当时，最小值为； 即函数图像最低点坐标为； 故选：B． 【点睛】本题考查了动点问题函数图象，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，两点间线段最短，勾股定理等知识，构造辅助线转化为的最小值是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 甲，乙两名跳远运动员10次测试成绩（单位：m）的平均数是，；方差是．如果要从这两名运动员中选一名成绩较稳定的参加比赛，那么应选___________．（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查利用方差做决策，方差越大，数据的波动性越大，方差越小，数据的波动性越小．根据方差的大小判断即可． 【详解】解：由题意知，，， 因此甲的成绩比乙的成绩稳定，应选甲去参加比赛， 故答案为：甲． 17. 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 18. 如图，正方形的对角线相交于点，点是的中点，点在上，连接．若，则的值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意得点F是线段的中点，从而是中位线，则有，从而得，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 即点F是线段的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质，三角形中位线定理，等腰三角形的判定，利用三角形中位线定理是解题的关键． 19. 求两个正整数的最大公约数是常见的数学问题，中国古代数学专著《九章算术》中记载了求两个正整数最大公约数的一种方法−−“更相减损术”．原文意思是，要求两个正整数的最大公约数，先用较大的数减去较小的数，得到差，然后用减数与差中的较大数减去较小数，以此类推，当减数与差相等时，此时的差（或减数）即为这两个正整数的最大公约数． 例如：求168与72的最大公约数，运算步骤如下： 第一步：； 第二步：； 第三步：； 第四步：． 经过上述四步运算，求得168和72的最大公约数是24． 若两个正整数经过“更相减损术”的三步运算，所求得的最大公约数为，且这两个数中的一个大于另一个的3倍，则这两个正整数中较大的数是___________．（用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，理解题意是解题的关键；设设两个正整数中较小的数为y，则较大的数为x，则，按照“更相减损术”进行三步运算，即可得到x与y的关系，从而求得较大数． 【详解】解：设两个正整数中较小的数为y，较大的数为x，则， 根据题意得：， 第一步：，此时剩和y， 第二步：，此时剩和y， 第三步：当时，，此时， 解得：， 当时，，此时， 解得：，不符合题意； ∴较大的数为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算： 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及二次根式的化简，负整数与零指数幂，特殊角三角函数值，实数的绝对值等知识，掌握这些基础知识是解题的关键；根据这些知识计算即可． 【详解】解：原式 ． 21. 如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：． 【答案】证明：， ， ， 和均为直角三角形． 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有，，，，． 利用证明，即可． 【详解】略 22. “一池翠湖水，半部昆明史．”位于昆明市五华区繁华街区旁的翠湖，被作家汪曾祺称作“昆明的眼睛”．他在《翠湖心影》中写道：“没有翠湖，昆明就不成其为昆明．”翠湖周边分布着“云南陆军讲武堂旧址”“朱德旧居纪念馆”“翠湖公园”“国立西南联合大学旧址”等众多景点．记“云南陆军讲武堂旧址”为、“朱德旧居纪念馆”为、“翠湖公园”为、“国立西南联合大学旧址”为． （1）从这四个景点中随机选择一个景点游览，则这个景点是“云南陆军讲武堂旧址”的概率是___________； （2）从这四个景点中随机选择两个景点游览，求这两个景点中有“翠湖公园”的概率．（请用列表法或画树状图法中的一种方法） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率、简单概率公式等知识． （1）根据简单概率公式求解即可； （2）列表，列举出所有等可能的结果及满足题意的结果，由简单概率公式求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：从这四个景点中随机选择一个景点游览，则这个景点是“云南陆军讲武堂旧址”的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： — — — — 由表可知，共有12种等可能的结果，其中这两个景点中有“翠湖公园”的结果有6种， 这两个景点中有“翠湖公园”的概率是． 23. 学校开展“生活中的数学问题”学习活动，某小组选择“汽车轮胎换位问题”为研究方向． 【问题背景】随着人们生活水平的提高，很多家庭都购置了小汽车．大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度比后轮严重．如果前轮报废，换上新轮胎，而后轮继续使用原来的轮胎，那么汽车行驶的安全性和乘坐的舒适性都将大打折扣；如果同时更换前后轮的轮胎，用车成本又会提高．为了解决这个问题，一般的汽车使用手册上都有定期给前后轮的轮胎换位的建议． 【数据信息】 1、汽车前轮轮胎一般应在汽车行驶达到6万公里时报废，而后轮轮胎应在汽车行驶达到8万公里时报废． 2、轮胎的磨损量等于汽车行驶的单位路程的磨损量乘以汽车行驶的路程． 【问题解决】 （1）若每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则安装在前轮的轮胎每行驶1万公里的磨损量为___________； （2）如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎，那么应在汽车行驶里程达到多少万公里时，交换前、后轮轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废？（同时报废：两对轮胎的总磨损量均为1） 【答案】（1） （2）万公里 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意，找到等量关系并列出方程是解题的关键． （1）根据前轮在汽车行驶达到6万公里时报废，即可求得前轮在行驶1万公里时的磨损量； （2）前轮的磨损量为，后轮的磨损量为，设行驶x万公里时，前后轮交换后两对轮胎同时报废，前轮剩余的磨损量为，后轮剩余的磨损量为，根据两轮胎同时报废的时间相同，即可列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：由于前轮在汽车行驶达到6万公里时报废，则前轮在行驶1万公里时的磨损量为； 故答案为：． 【小问2详解】 解：设行驶x万公里时，前后轮交换后两对轮胎同时报废，前轮剩余的磨损量为，后轮剩余的磨损量为， 根据交换后两对轮胎报废的时间相同得：， 解得：（万公里）； 答：应在汽车行驶里程达到万公里时，交换前、后轮轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废． 24. 如图，把一张矩形纸片沿对角线向上折叠，顶点落到点处，交于点．过点作交于点，连接交于点． （1）求证：四边形是菱形 （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴； 由折叠的性质得， ∴， ∴， ∵，即，， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴四边形是菱形； （2）20 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得，由折叠的性质得，则得，即，再由，即可证明四边形是平行四边形，从而得它是菱形； （2）在中利用勾股定理建立方程求得，再在中利用勾股定理求得菱形的边长，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴； 设菱形的边长为x，则，， 在中，由勾股定理得：， 即，解得：， 即， 则菱形的面积为：． 25. 某校计划购买两种书架，已知购买1个种书架比购买1个种书架的价格高，用18000元购买种书架的数量比用9000元购买种书架的数量多6个． （1）每个种书架、每个种书架的价格分别是多少元？ （2）该校计划购买、两种书架共20个，且种书架数量不少于种书架数量的．设购买种书架个，为使购买书架总费用（单位：元）最低，应购买种书架和种书架各多少个？购买书架的总费用最低为多少元？ 【答案】（1）每个种书架、每个种书架的价格分别是1200元、1000元 （2）A书架购买8个，B书架购买12个，购买书架的总费用最低为21600元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用及一次函数的应用，理解题意，根据数量关系列出方程、不等式与函数式是解题的关键． （1）设每个种书架的价格为x元，则每个种书架的价格为元，根据等量关系：用18000元购买种书架的数量比用9000元购买种书架的数量多6个，列出分式方程，再求解并检验即可； （2）由题意购买B种书架个，由不等关系可求得a的范围；根据费用列出W关于a的一次函数关系，即可求得最小值． 【小问1详解】 解：设每个种书架的价格为x元，则每个种书架的价格为元， 由题意得：， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， 则每个种书架的价格为（元）； 答：每个种书架、每个种书架的价格分别是1200元、1000元； 【小问2详解】 解：由题意购买B种书架个， 则， 解得：； 而，其中， 当时，W随a的增大而增大， 当时，W取得最小值21600； 此时； 答：A书架购买8个，B书架购买12个，购买书架的总费用最低为21600元． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标是，并且经过点． （1）求抛物线表示的二次函数的解析式； （2）已知点在抛物线上，，且与均为整数，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求二次函数的解析式，等知识，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为顶点式，把点的坐标代入即可求解； （2）由点A在抛物线上，得；变形为，根据与均为整数，得，即可求得点A的坐标． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 把点的坐标代入得：， 解得： ， ∴； 【小问2详解】 解：∵点A在抛物线上， ∴， 即； ∵ ； 由于K，m都为整数，则， ∴或， 此时； 综上，点A的坐标为或． 27. 如图1，在锐角内找一点，过点作于点，以为直径作，过点作于点，延长交于点，连接． （1）若，则___________； （2）如图2，若，点在的延长线上，求证：是的切线； （3）如图3，连接，若于点，且，求的值． 【答案】（1） （2） 证明：如图，过作于E ， ， ， ； 由（1）， 平分； ， ， 是的切线； （3） 【解析】 【分析】（1）根据是的直径得，由可得，进而由，即可得出结果； （2）连接，证明平分即可；过作于E，由角平分线性质可，即可得出结论； （3）过点作于点，过点作于点，可得四边形是矩形；设，，由，得出，，，再证明，得，即，解得，在利用勾股定理求出，，由面积法可得，由此求出比值即可． 【小问1详解】 证明：是的直径， ，即； ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作于点，过点作于点， 则，， 设，， 由（1）得，， ∴四边形是矩形， ∴； ∵，，， ∴， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是切线的判定和性质、勾股定理的应用、角平分线的判定、相似三角形的性质和判定，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、灵活运用相似三角形 转化线段关系是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 五华区2024−2025学年下学期学业质量监测 九年级数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共6页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，将答题卡交回，试题卷自己收好，以便讲评． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 2. 中国国家大剧院位于人民大会堂西侧，西长安街以南，由主体建筑及南北两侧的水下长廊、人工湖、绿地等组成，其中人工湖面积约．将35500用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 5. “月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的一种建筑材料，拟用于未来建造月球基地．据介绍，“月壤砖”呈榫卯结构，密度与普通砖块相当，抗压强度却是普通砖的三倍以上．如图是一种“月壤砖”及其主视图，左视图与俯视图，则它的三种视图中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 以上都不对 6. 已知，则它的余角为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，用一条足够长的矩形纸条，打一个结，然后轻轻拉紧、压平、连线，就可以得到如图所示的正五边形，其中的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．英语字母表中字母的顺序：，将这26个英文字母依次对应自然数1，2，3，…，26． 密文 密文与明文之间的关系 明文 7 18 38 19 30 17 50 当密文中的数字为奇数时，明文对应的序号为； 当密文中的数字为偶数时，明文对应的序号为 ？ 将密文破译成用英文字母表示的明文，则明文对应的学科是（ ） A. 语文 B. 历史 C. 英语 D. 物理 9. 如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（ ） A. 7 B. 8 C. 10 D. 12 10. 如图，点、、在边长为1的正方形网格格点上，则下列结论不正确的是（ ） A. 是直角三角形 B. C. D. 11. 为了解去年半程马拉松的比赛情况，数学兴趣小组对参赛选手进行随机抽样调查．根据调查数据绘制了如下所示不完整的统计图表．则下列说法正确的是（ ） 组别 参赛者成绩 频数 4 12 12 7 A. 抽样数据的样本容量是60 B. E组数据对应的扇形统计图的圆心角度数为 C. 抽样数据的中位数落在组 D. 抽样数据的平均值是96 12. 如图，中，，，，若把直角三角形绕边所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积等于（ ） A. B. C. D. 13. 如图，是等边三角形，点的坐标是，若反比例函数图象的一支经过点，则的值是（ ） A. B. C. D. 14. 如图，四边形内接于，的半径为，，则的长是（ ） A. B. C. D. 15. 如图1，在中，，．点从点开始沿向点匀速运动，到点停止．过点作交于点，连接．设，与的函数图像如图2所示，则函数图像最低点坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 甲，乙两名跳远运动员10次测试成绩（单位：m）的平均数是，；方差是．如果要从这两名运动员中选一名成绩较稳定的参加比赛，那么应选___________．（填“甲”或“乙”） 17. 分解因式：___________． 18. 如图，正方形的对角线相交于点，点是的中点，点在上，连接．若，则的值为___________． 19. 求两个正整数的最大公约数是常见的数学问题，中国古代数学专著《九章算术》中记载了求两个正整数最大公约数的一种方法−−“更相减损术”．原文意思是，要求两个正整数的最大公约数，先用较大的数减去较小的数，得到差，然后用减数与差中的较大数减去较小数，以此类推，当减数与差相等时，此时的差（或减数）即为这两个正整数的最大公约数． 例如：求168与72的最大公约数，运算步骤如下： 第一步：； 第二步：； 第三步：； 第四步：． 经过上述四步运算，求得168和72的最大公约数是24． 若两个正整数经过“更相减损术”的三步运算，所求得的最大公约数为，且这两个数中的一个大于另一个的3倍，则这两个正整数中较大的数是___________．（用含的代数式表示） 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算： 21. 如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：． 22. “一池翠湖水，半部昆明史．”位于昆明市五华区繁华街区旁的翠湖，被作家汪曾祺称作“昆明的眼睛”．他在《翠湖心影》中写道：“没有翠湖，昆明就不成其为昆明．”翠湖周边分布着“云南陆军讲武堂旧址”“朱德旧居纪念馆”“翠湖公园”“国立西南联合大学旧址”等众多景点．记“云南陆军讲武堂旧址”为、“朱德旧居纪念馆”为、“翠湖公园”为、“国立西南联合大学旧址”为． （1）从这四个景点中随机选择一个景点游览，则这个景点是“云南陆军讲武堂旧址”的概率是___________； （2）从这四个景点中随机选择两个景点游览，求这两个景点中有“翠湖公园”的概率．（请用列表法或画树状图法中的一种方法） 23. 学校开展“生活中的数学问题”学习活动，某小组选择“汽车轮胎换位问题”为研究方向． 【问题背景】随着人们生活水平的提高，很多家庭都购置了小汽车．大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度比后轮严重．如果前轮报废，换上新轮胎，而后轮继续使用原来的轮胎，那么汽车行驶的安全性和乘坐的舒适性都将大打折扣；如果同时更换前后轮的轮胎，用车成本又会提高．为了解决这个问题，一般的汽车使用手册上都有定期给前后轮的轮胎换位的建议． 【数据信息】 1、汽车前轮轮胎一般应在汽车行驶达到6万公里时报废，而后轮轮胎应在汽车行驶达到8万公里时报废． 2、轮胎的磨损量等于汽车行驶的单位路程的磨损量乘以汽车行驶的路程． 【问题解决】 （1）若每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则安装在前轮的轮胎每行驶1万公里的磨损量为___________； （2）如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎，那么应在汽车行驶里程达到多少万公里时，交换前、后轮轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废？（同时报废：两对轮胎的总磨损量均为1） 24. 如图，把一张矩形纸片沿对角线向上折叠，顶点落到点处，交于点．过点作交于点，连接交于点． （1）求证：四边形是菱形 （2）若，求四边形的面积． 25. 某校计划购买两种书架，已知购买1个种书架比购买1个种书架的价格高，用18000元购买种书架的数量比用9000元购买种书架的数量多6个． （1）每个种书架、每个种书架的价格分别是多少元？ （2）该校计划购买、两种书架共20个，且种书架数量不少于种书架数量的．设购买种书架个，为使购买书架总费用（单位：元）最低，应购买种书架和种书架各多少个？购买书架的总费用最低为多少元？ 26. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标是，并且经过点． （1）求抛物线表示的二次函数的解析式； （2）已知点在抛物线上，，且与均为整数，求点的坐标． 27. 如图1，在锐角内找一点，过点作于点，以为直径作，过点作于点，延长交于点，连接． （1）若，则___________； （2）如图2，若，点在的延长线上，求证：是的切线； （3）如图3，连接，若于点，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $