第13讲 等边三角形与线段垂直平分线（新教材）（4个知识清单+4类热点题型讲练+分层练习）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（沪教版2024）

第13讲 等边三角形与线段垂直平分线 目 录 题型归纳...........................................................................................................................................................................................1 题型01等边三角形的性质.............................................................................................................................................................2 题型02等边三角形的判定.............................................................................................................................................................8 题型03等边三角形的判定和性质................................................................................................................................................13 题型04 线段垂直平分线..............................................................................................................................................................18 分层练习.........................................................................................................................................................................................20 夯实基础.........................................................................................................................................................................................20 能力提升.........................................................................................................................................................................................42 知识点1．等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 知识点2．等边三角形的判定 （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 知识点3．等边三角形的判定与性质 （1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用． （2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等． （3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定． 知识点4．线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　 　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　 　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 题型01等边三角形的性质 1．（2022七年级下·上海·专题练习）如图，△ABC、△DEF和△GMN都是等边三角形，且点E、M在线段AC上，点G在线段EF上，那么∠1+∠2+∠3等于（　　） A．90° B．120° C．150° D．180° 2．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，，点、、在射线上，点、、在射线上，且、、为等边三角形，若，则的周长为 ． 3．（23-24七年级下·上海长宁·期末）在锐角三角形中，点D、E分别在边上，连接，将沿翻折后，点A落在边上的点P，当和都为等腰三角形时，我们把线段称为的完美翻折线，P为完美点． (1)如图1，在等边三角形中，边的中点P是它的完美点，已知其完美翻折线的长为4，那么等边三角形的周长＝ ． (2)如图2，已知为的完美翻折线，P为完美点，当恰为等腰三角形的顶角时，求此时的度数． (3)如图3，已知为的完美翻折线，P为完美点，当恰为等腰三角形的顶角时，请判断点P到边的距离是否相等？并说明你的判断理由． 题型02等边三角形的判定 4． 在中，， ， 则是（     ） A．锐角且不等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 5．（23-24七年级下·上海·阶段练习）在中，，要使是等边三角形需添加一个条件，这个条件可以是 ．（只需写出一种情况） 6．（23-24七年级下·上海奉贤·期末）已知在中，，，点是平面内一点，连接、、，． (1)如图1，点在的内部． ①当，求的度数； ②当平分，判断的形状，并说明理由； (2)如果直线与直线相交于点，如果是以为腰的等腰三角形，求的度数（直接写出答案）． 题型03等边三角形的判定和性质 7．（22-23七年级下·上海·期末）如图，已知等腰三角形中，，腰上存在一点，连接，将三角形沿着折叠后，点的对应点为点，若此时点恰好落在底边的高所在的直线上，则的度数的取值范围为（    ） A．； B．； C．； D． 8．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如图，已知，点P在的内部，点与点P关于对称，点与点P关于对称，连接，如的周长是18，那么 ． 9．（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，是等边三角形，D是三角形外一动点，满足．若点D不在的垂直平分线上时，试说明：． 题型04 线段垂直平分线 10．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．两个全等的图形成轴对称 B．三角形有三条对称轴 C．角的对称轴是它的角平分线 D．线段的两个端点关于它的垂直平分线对称 11．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线l是线段的垂直平分线，交于点O，P为直线l上一点，则下列说法：①点O是线段的中点；②直线l是线段的对称轴；③线段是的垂线，其中正确的有 ． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知线段，作线段的垂直平分线． 夯实基础 一、单选题 1．在下列结论中： （1）有一个外角是的等腰三角形是等边三角形 （2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形 （3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形 （4）三个外角都相等的三角形是等边三角形 其中正确的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．下列条件中，不能说明△ABC为等边三角形的是（　　） A．∠A＝∠B＝60° B．∠B+∠C＝120° C．∠B＝60°，AB＝AC D．∠A＝60°，AB＝AC 3．如图，已知，点为边上一点，，点为线段的中点，以点为圆心，线段长为半径作弧，交于点，连接，则的长是（    ） A．5 B． C． D． 4．如图，AB//CD，△ACE为等边三角形，∠DCE＝45°，则∠EAB等于（　　） A．40° B．30° C．20° D．15° 5．如图，，点D在它内部，，E，F分别是上的两个动点．则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．已知在中，，且，则 ． 7．在中，，，，则的周长是 ． 8．如图，是的中线，，把沿直线折叠后，点C落在的位置上，那么 ． 9．如图，在中，AB=2.2，BC=3.6，∠B=60°，将绕点A按逆时针方向旋转得到，若点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为 ． 10．如图，已知是边长为的等边三角形，点F为的中点，动点D、E同时从A、B两点出发，分别沿匀速运动，其中点D运动的速度是，点E运动的速度是，一个点到达端点时，停止运动．设运动时间为，当t为 s时，． 11．如图，已知是等边三角形，且边长为3，点分别在边上，将沿所在的直线折叠．若点C落在点处，分别交边于点，则阴影部分图形的周长等于 ． 12．如图，在中，，为内一点，，分别为，上的动点，连接，，，且，则的周长的最小值为 ． 13．如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形，如果剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的周长为 m． 14．如图，等边三角形绕其三条角平分线的交点至少旋转 ，可与其自身重合． 15．通过教材“13.4最短路径问题”的学习，我们体会到轴对称变换的作用．请你用轴对称的有关知识解决下面的问题：如图，为的中点，，，，，则的最大值是 ．    三、解答题 16．写出定理“三个角都相等的三角形是等边三角形”的逆定理，并给予证明． 17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△CAP和△CBQ都是等边三角形，BQ和CP交于点H，求证：BQ⊥CP． 18．已知，如图，，，，求证：为等边三角形．    19．如图，是等边三角形，延长到点，使．是边的中点，连接并延长交于点．求证：．    20．如图，在等边三角形中，是中线，延长至，使，求证：． 21．如图，在中，，，点、在上，且． (1)求的度数； (2)若点为线段的中点，求证：是等边三角形． 22．如图1，是边长为的等边三角形，边在射线上，且，点D从O点出发，沿方向以的速度运动，当D不与点A重合时，将绕点C逆时针方向旋转得到，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)如图2，当时，的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由； (3)如图3，当点D在射线上运动时，是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 能力提升 一、单选题 23．如图，中，，，，垂足为Q，延长MN至G，取，若的周长为12，，则周长是（    ） A．8＋2m B．8＋m C．6＋2m D．6＋m 24．如图，是边长为2的等边三角形，点D、E分别在边、上，将沿直线折叠，使点B落在点处，、分别交边于点F、G．则阴影部分图形的周长等于（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题 25．如图，平分，点为射线上一点，，点分别为边上的动点，则周长的最小值为 ． 26．如图，已知：，点、、……在射线上，点、、……在射线上，、、……均为等边三角形，若，则的边长为 ． 三、解答题 27．如图，在等边三角形中，是中线，延长至，使，求证：． 28．如图，在等边三角形中，点D在边上，按逆时针方向旋转后得． (1)旋转中心是哪一点？ (2)旋转了多少度？ (3)如果M是边的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 等边三角形与线段垂直平分线 目 录 题型归纳...........................................................................................................................................................................................1 题型01等边三角形的性质.............................................................................................................................................................2 题型02等边三角形的判定.............................................................................................................................................................8 题型03等边三角形的判定和性质................................................................................................................................................13 题型04 线段垂直平分线..............................................................................................................................................................18 分层练习.........................................................................................................................................................................................20 夯实基础.........................................................................................................................................................................................20 能力提升.........................................................................................................................................................................................42 知识点1．等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 知识点2．等边三角形的判定 （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 知识点3．等边三角形的判定与性质 （1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用． （2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等． （3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定． 知识点4．线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　 　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　 　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 题型01等边三角形的性质 1．（2022七年级下·上海·专题练习）如图，△ABC、△DEF和△GMN都是等边三角形，且点E、M在线段AC上，点G在线段EF上，那么∠1+∠2+∠3等于（　　） A．90° B．120° C．150° D．180° 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边三角形的性质 【分析】由等边三角形的性质和平角的定义以及三角形内角和定理即可得出结果． 【详解】解：∵△ABC、△DEF和△GMN都是等边三角形， ∴∠GMN＝∠MGN＝∠DEF＝60°， ∵∠1+∠GMN+∠GME＝180°，∠2+∠MGN+∠EGM＝180°，∠3+∠DEF+∠MEG＝180°， ∴∠1+∠GMN+∠GME+∠2+∠MGN+∠EGM+∠3+∠DEF+∠MEG＝3×180°， ∵∠GME+∠EGM+∠MEG＝180°， ∴∠1+∠2+∠3＝3×180°﹣180°﹣3×60°＝180°； 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形内角和定理、平角的定义；熟练掌握等边三角形的性质和三角形内角和定理是解决问题的关键． 2．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，，点、、在射线上，点、、在射线上，且、、为等边三角形，若，则的周长为 ． 【答案】96 【知识点】等边三角形的性质 【分析】本题通过求解三角形的周长，考查了等边三角形的性质．利用等边三角形的性质和几何关系，证得为的中点，为的中点，，从而求得各等边三角形的边长，进而求得△周长． 【详解】解：，， ， ， ． 为的中点． 同理可证，为的中点，为的中点， ，，， ， 的周长为． 故答案为：96． 3．（23-24七年级下·上海长宁·期末）在锐角三角形中，点D、E分别在边上，连接，将沿翻折后，点A落在边上的点P，当和都为等腰三角形时，我们把线段称为的完美翻折线，P为完美点． (1)如图1，在等边三角形中，边的中点P是它的完美点，已知其完美翻折线的长为4，那么等边三角形的周长＝ ． (2)如图2，已知为的完美翻折线，P为完美点，当恰为等腰三角形的顶角时，求此时的度数． (3)如图3，已知为的完美翻折线，P为完美点，当恰为等腰三角形的顶角时，请判断点P到边的距离是否相等？并说明你的判断理由． 【答案】(1)24 (2) (3)点P到边的距离相等，理由见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查了三角形的折叠问题，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，角平分线的性质定理，解题的关键是掌握相关内容，根据三角形的内角和定理和外角定理构造等量关系求解． （1）根据翻折的性质可得，根据等边三角形的性质可得，则，是等边三角形，得是等边三角形，进一步得出，从而可得答案； （2）连接，设，根据三角形的外角定理和等腰三角形的性质可得，，最后根据即可求解； （3）连接，过P作于点H，于点N，设，根据可得，则为的平分线，． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵P为的完美点， ∴，和是等腰三角形， ∵ ∴和是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴等边三角形的周长为， 故答案为：24． （2）连接，设， ∵为的完美翻折线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵和是等腰三角形，且都为顶角 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． （3）解：连接，过P作于点H，于点N， ∵为的完美翻折线， ∴，和是等腰三角形， 设， ∴， ∴， ∵为顶角， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，为的平分线， ∴， 所以，点P到边的距离相等． 题型02等边三角形的判定 4． 在中，， ， 则是（     ） A．锐角且不等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边三角形的判定 【分析】本题考查了三角形的内角和定理的应用，三角形的三个内角的和等于；熟练掌握三角形内角和定理是解题关键． 根据三角形内角和定理求出和的度数，判断的形状即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 故选：D． 5．（23-24七年级下·上海·阶段练习）在中，，要使是等边三角形需添加一个条件，这个条件可以是 ．（只需写出一种情况） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】等边三角形的判定 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定条件是解题关键．由等边三角形的定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形；判定定理2：有一个角是的等腰三角形是等边三角形．据此即可获得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴是等腰三角形， 要使是等边三角形，只需添加、的夹角即可． 故答案为：（答案不唯一）． 6．（23-24七年级下·上海奉贤·期末）已知在中，，，点是平面内一点，连接、、，． (1)如图1，点在的内部． ①当，求的度数； ②当平分，判断的形状，并说明理由； (2)如果直线与直线相交于点，如果是以为腰的等腰三角形，求的度数（直接写出答案）． 【答案】(1)①；②为等边三角形，见解析 (2)的度数为或． 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定 【分析】（1）①根据，得，则，进而得，再根据，得，进而得，然后根据，得，由此可得的度数； ②根据平分，设，则，根据得，根据得，则，，再根据三角形内角和定理得，则，进而得，，，由此可判定的形状； （2）分两种情况讨论如下：①当直线与线段交于点时，设，则，，再根据得，再根据三角形内角和定理得，则，②当直线与的延长线交于点时，设，则，再求出，得，根据得，再根据三角形内角和定理得，则，综上所述即可得出的度数． 【详解】（1）解：①在中，，， ， ， 又， ， ，， ， 在中，，， ； ②为等边三角形，理由如下： 如图1所示： 平分， 设，则， 在中，， ， 在中，， ， 在中，，， ， ，， 在中，， ， ，，， 为等边三角形； （2）解：的度数为或，理由如下： 直线与直线相交于点，且是以为腰的等腰三角形， 有以下两种情况： ①当直线与线段交于点时，如图2①所示： 设， 是以为腰的等腰三角形，即， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 即， ②当直线与的延长线交于点时，如图2②所示： 设， ， ， 是以为腰的等腰三角形，即， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 综上所述：的度数为或． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 题型03等边三角形的判定和性质 7．（22-23七年级下·上海·期末）如图，已知等腰三角形中，，腰上存在一点，连接，将三角形沿着折叠后，点的对应点为点，若此时点恰好落在底边的高所在的直线上，则的度数的取值范围为（    ） A．； B．； C．； D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边三角形的判定和性质、折叠问题 【分析】题目主要考查折叠问题及等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，理解题意，得出为等边三角形是解题关键． 根据题意，分两种情况：当点A与点重合时，当点A与点F重合时，分别利用等边三角形的判定和性质，结合图形求解即可． 【详解】解：如图所示： 当点A与点重合时， ∵三角形沿着折叠后，点的对应点为点，若此时点恰好落在底边的高所在的直线上， ∴， ∵等腰三角形，， ∴垂直平分， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点A与点重合时，， ∴； 当点A与点F重合时，如图所示： ∵三角形沿着折叠后，点的对应点为点，若此时点恰好落在底边的高所在的直线上， ∴， ∵等腰三角形，， ∴垂直平分， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点A与点F重合时，， 综上可得： 故选：C． 8．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如图，已知，点P在的内部，点与点P关于对称，点与点P关于对称，连接，如的周长是18，那么 ． 【答案】6 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】根据题意，得点与点P关于对称，点与点P关于对称，得到，，结合，得到，得到是等边三角形，结合的周长是18，解答即可． 本题考查了对称，等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形判定和性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得点与点P关于对称，点与点P关于对称， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵的周长是18， ∴， ∴． 故答案为：6． 9．（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，是等边三角形，D是三角形外一动点，满足．若点D不在的垂直平分线上时，试说明：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造等边三角形成为解题的关键． 如图，在上截取．易得是等边三角形可得，再证是等边三角形，即；进而证明可得，最后根据线段的和差及等量代换即可解答． 【详解】解：如图，在上截取． ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴，即． 在和中， ∴， ∴， ∴． 题型04 线段垂直平分线 10．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．两个全等的图形成轴对称 B．三角形有三条对称轴 C．角的对称轴是它的角平分线 D．线段的两个端点关于它的垂直平分线对称 【答案】D 【知识点】全等三角形的性质、等边三角形的性质、轴对称图形的识别、求对称轴条数 【分析】根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形的一部分，沿着一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．两个全等的图形不一定成轴对称，故不正确； B．等边三角形有三条对称轴，故不正确； C．角的对称轴是它的角平分线所在的直线，故不正确； D．线段的两个端点关于它的垂直平分线对称，正确； 故选D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，等边三角形，全等三角形的性质等知识，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键． 11．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线l是线段的垂直平分线，交于点O，P为直线l上一点，则下列说法：①点O是线段的中点；②直线l是线段的对称轴；③线段是的垂线，其中正确的有 ． 【答案】①②/②① 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．根据垂直平分线的性质进行判断即可． 【详解】解：直线是的垂直平分线， 点为的中点，故①正确， 直线是的垂直平分线， 直线l是线段的对称轴，故②正确， 直线是的垂直平分线， 直线是的垂线，故③不正确 故答案为：①②． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知线段，作线段的垂直平分线． 【答案】见解析 【知识点】作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查尺规基本作图-作线段的垂直平分线，熟练掌握尺规基本作图-作线段的垂直平分线是解题的关键． 利用尺规基本作图-作线段的垂直平分线的方法，作出直线即可． 【详解】解：作法：（1）分别以点A，点为圆心，取大于长为半径，作两段相交的弧，交点记为，． （2）作直线，与交于点． ∴直线即为所求． 夯实基础 一、单选题 1．在下列结论中： （1）有一个外角是的等腰三角形是等边三角形 （2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形 （3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形 （4）三个外角都相等的三角形是等边三角形 其中正确的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质和定义，可得：有一个角为的等腰三角形是等边三角形；三个内角都相等的三角形为等边三角形；再由中线的性质和三角形内角和的定义可解答本题． 【详解】解：（1）：因为外角和与其对应的内角的和是，已知有一个外角是，即是有一个内角是，有一个内角为的等腰三角形是等边三角形．该结论正确． （2）：两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．该结论错误． （3）：等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的，“有一边”可能是底边，故不能保证该三角形是等边三角形．该结论错误． （4）：三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确； 故选：C． 【点睛】本题考查等边三角形的判定，解题的关键是灵活运用的等边三角形的判定方法解决问题． 2．下列条件中，不能说明△ABC为等边三角形的是（　　） A．∠A＝∠B＝60° B．∠B+∠C＝120° C．∠B＝60°，AB＝AC D．∠A＝60°，AB＝AC 【答案】B 【分析】根据等边三角形的判定定理可得出答案． 【详解】A．∵∠A＝∠B＝60°， ∴∠C＝60°， ∴∠A＝∠B＝∠C， ∴△ABC是等边三角形． 故A选项不符合题意； B．∵∠B+∠C＝120°， ∴∠A＝60°， ∴△ABC不一定是等边三角形， 故B选项符合题意； C．∵∠B＝60°，AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形． 故C选项不符合题意； D．∵∠A＝60°，AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形． 故D选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定，三角形内角和定理，能熟记等边三角形的判定定理是解此题的关键． 3．如图，已知，点为边上一点，，点为线段的中点，以点为圆心，线段长为半径作弧，交于点，连接，则的长是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同圆半径相等可得为等腰三角形，又因为，可得为等边三角形，即可求得BE的长． 【详解】连接OE，如图所示： ∵，点为线段的中点， ∴， ∵以点为圆心，线段长为半径作弧，交于点， ∴， ∴, ∴为等边三角形， 即， 故选：A． 【点睛】本题考查了同圆半径相等，一个角为的等腰三角形，解题的关键是判断出为等边三角形． 4．如图，AB//CD，△ACE为等边三角形，∠DCE＝45°，则∠EAB等于（　　） A．40° B．30° C．20° D．15° 【答案】D 【分析】先根据等边三角形的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据角的和差计算即可． 【详解】解：为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 解得． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、平行线的性质等知识点，掌握等边三角形的性质是解答本题的关键． 5．如图，，点D在它内部，，E，F分别是上的两个动点．则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，等边三角形的性质与判定，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接，，此时的周长最小，最小值为，证明是等边三角形，即可求解；确定的周长最小的情形是解题的关键． 【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接，，，如图所示：      由对称性可知，，，， ∴， 当点、、、四点共线时的周长最小，最小值为， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴周长的最小值为， 故选：B． 二、填空题 6．已知在中，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，证明是等边三角形是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：． 7．在中，，，，则的周长是 ． 【答案】12 【分析】根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形判断出是等边三角形，然后根据等边三角形的性质解答． 【详解】解：，， 是等边三角形， ， 的周长． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，判断出是等边三角形是解题的关键． 8．如图，是的中线，，把沿直线折叠后，点C落在的位置上，那么 ． 【答案】5 【分析】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定与性质．熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 由题意知，，由折叠的性质可知，，，证明是等边三角形，根据，求解即可． 【详解】解：∵是的中线，， ∴， 由折叠的性质可知，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：5． 9．如图，在中，AB=2.2，BC=3.6，∠B=60°，将绕点A按逆时针方向旋转得到，若点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为 ． 【答案】1.4// 【分析】由将绕点按顺时针旋转一定角度得到，当点B的对应点D恰好落在边上，可得，又由，可证得是等边三角形，继而可得，则可求得答案． 【详解】解：由旋转的性质可得：， ， 是等边三角形， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用． 10．如图，已知是边长为的等边三角形，点F为的中点，动点D、E同时从A、B两点出发，分别沿匀速运动，其中点D运动的速度是，点E运动的速度是，一个点到达端点时，停止运动．设运动时间为，当t为 s时，． 【答案】/ 【分析】根据题意可得，再由等边三角形的性质可得，进而得到，再由全等三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：由题意得：t秒时，， 在等边中，， ∵点F为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的性质是解题的关键． 11．如图，已知是等边三角形，且边长为3，点分别在边上，将沿所在的直线折叠．若点C落在点处，分别交边于点，则阴影部分图形的周长等于 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，折叠的性质，利用折叠的性质可得，，利用等量代换和等式的性质解答即可，由折叠的性质得，是解题的关键． 【详解】解：利用折叠的性质可得：，． 阴影部分图形的周长 ， 是边长为3的等边三角形， ， ， 阴影部分图形的周长等于9， 故答案为：9． 12．如图，在中，，为内一点，，分别为，上的动点，连接，，，且，则的周长的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，如图，作点分别关于，的对称点，，连接，交，于点，，连接，．此时，的周长最小，最小值为线段的长．证明是等边三角形，从而可得结论． 【详解】解：如图，作点分别关于，的对称点，，连接，交，于点，， 连接，． 此时，的周长最小，最小值为线段的长． ∵， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长的最小值为2． 13．如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形，如果剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的周长为 m． 【答案】 【分析】连接，，，证明是等边三角形，从而求得的长，然后利用弧长公式计算出的长度，即是该圆锥底面圆的周长． 【详解】如图，连接，，， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴ 的长为： ， 即该圆锥的底面圆的周长为 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了弧长公式以及扇形弧长与底面圆周长相等的知识点，解题的关键要掌握扇形弧长与底面圆周长相等． 14．如图，等边三角形绕其三条角平分线的交点至少旋转 ，可与其自身重合． 【答案】 【分析】本题考查了旋转对称图形的知识，把一个平面图形绕着平面上一个定点旋转一定角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，熟练掌握旋转角的求解是解题的关键．等边三角形可以被经过中心的射线平分成个全等的部分，则旋转的角度即可确定． 【详解】解：， 故答案为：． 15．通过教材“13.4最短路径问题”的学习，我们体会到轴对称变换的作用．请你用轴对称的有关知识解决下面的问题：如图，为的中点，，，，，则的最大值是 ．    【答案】9.5 【分析】作A关于的对称点M，B关于的对称点N，连接，，，，，利用轴对称的性质得出，，，，，，则可求出，，进而证明是等边三角形，求出，由知，当D，M，N，E共线时，最大，然后代入数值即可求出最大值． 【详解】解：作A关于的对称点M，B关于的对称点N，连接，，，，，     ， 则，，，，，， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点，，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 又，当D，M，N，E共线时，， ∴的最大值为9.5． 故答案为：9.5． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适的辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 三、解答题 16．写出定理“三个角都相等的三角形是等边三角形”的逆定理，并给予证明． 【答案】等边三角形的三个角都相等，见解析 【分析】本题考查了逆命题，等边三角形的性质等知识．熟练掌握逆命题，等边三角形的性质是解题的关键． 先写出逆命题，然后根据等边三角形的性质证明即可． 【详解】解：逆定理为“等边三角形的三个角都相等”． 已知：是等边三角形． 求证：． 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴． 17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△CAP和△CBQ都是等边三角形，BQ和CP交于点H，求证：BQ⊥CP． 【答案】见解析 【分析】由等边三角形的性质可得出∠CAP=∠CBQ=60°，求出∠BCP=30°，由三角形内角和定理得出∠BHC=90°，则可得出结论． 【详解】证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，垂直的定义，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 18．已知，如图，，，，求证：为等边三角形．    【答案】见解析 【分析】根据平行线的性质和可得，得到，再由可得，即可证明． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定，平行线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等边三角形的判定方法． 19．如图，是等边三角形，延长到点，使．是边的中点，连接并延长交于点．求证：．    【答案】证明见解析 【分析】根据等边三角形的性质可得，，结合，是边的中点可得，即可得，再利用三角形外角的性质可求解，即可求得，进而可证明结论． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴，． ∵为的中点， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，中点的定义，等边对等角，三角形外角的性质，三角形内角和定理，垂直的定义．掌握等边三角形的性质解题的关键． 20．如图，在等边三角形中，是中线，延长至，使，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质； 根据等边三角形的性质求出，，然后根据三角形外角的性质和等边对等角求出，得到，再根据等角对等边得出结论． 【详解】证明：∵在等边三角形中，是中线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 21．如图，在中，，，点、在上，且． (1)求的度数； (2)若点为线段的中点，求证：是等边三角形． 【答案】(1)90 (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等边三角形的判定，熟练掌握等腰三角形和等边三角形的判定和性质是解题关键． （1）由等腰三角形的性质可求，，再由三角形外角的性质即可求解； （2）三角形外角的性质可得，由题意及各角之间的等量代换得出即可得到证明． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ， ， 即； （2）证明：由（1）知，， ， ， ， 点为线段的中点， ， ， 又， ， ， ， 是等边三角形． 22．如图1，是边长为的等边三角形，边在射线上，且，点D从O点出发，沿方向以的速度运动，当D不与点A重合时，将绕点C逆时针方向旋转得到，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)如图2，当时，的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由； (3)如图3，当点D在射线上运动时，是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)存在，； (3)存在，当t的值为或时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形． 【分析】（1）由旋转的性质可得，由等边三角形的判定可得结论； （2）由旋转的性质可得，再由是等边三角形，可得，根据垂线段最短得，当时，的周长最小，根据等边三角形的性质以及勾股定理求出，即可求解． （3）分四种情况，由旋转的性质和直角三角形的性质可求解． 【详解】（1）证明∶ ∵将绕点C逆时针方向旋转得到， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：存在，当时， 由旋转的性质得：， ∴， 由（1）知，是等边三角形， ∴， ∴， 由垂线段最短得，当时，的周长最小， 此时，， ∴， ∴的最小周长； （3）解：存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形， ∴当点D与点B重合时，不符合题意， ②当时，由旋转可知，， ∴， 由（1）可知，是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当时，不存在直角三角形． ④如图，当时，由旋转的性质可知，， 又由（1）知， ∴， 而， ∴， ∴只能， 从而， ∴， ∴， ∴， 综上所述：当t的值为或时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 能力提升 一、单选题 23．如图，中，，，，垂足为Q，延长MN至G，取，若的周长为12，，则周长是（    ） A．8＋2m B．8＋m C．6＋2m D．6＋m 【答案】C 【分析】根据题意，判定△PMN是等边三角形，∠QMN=∠G=30°，QN=NC=，得到QM=QG，计算周长即可． 【详解】∵，， ∴△PMN是等边三角形， ∵， ∴QN=PQ=，∠QMN=30°，∠QNM=60°， ∵， ∴∠GQN=∠G=30°，QN=NC=， ∴∠QMN=∠G=30°， ∴QM=QG， ∵的周长为12，， ∴MN=4，QN=NC=2，QM=QG=m， ∴周长是QM+QG+MN+NG=6+2m， 故选C． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和三线合一性质，熟练掌握等腰三角形的判定和三线合一性质是解题的关键． 24．如图，是边长为2的等边三角形，点D、E分别在边、上，将沿直线折叠，使点B落在点处，、分别交边于点F、G．则阴影部分图形的周长等于（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】利用折叠的性质可得，利用等量代换和等式的性质解答即可． 【详解】解：利用折叠的性质可得， ∴，． ∴阴影部分图形的周长 ， ∵是边长为2的等边三角形， ∴， ∴， ∴阴影部分图形的周长等于6， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，折叠的性质，由折叠的性质得是解题的关键． 二、填空题 25．如图，平分，点为射线上一点，，点分别为边上的动点，则周长的最小值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，轴对称最短路线问题的应用；作点关于的对称点，点关于的对称点，连结，与的交点即为点，与的交点即为点，则此时、符合题意，求出线段的长即可． 【详解】解：作点关于的对称点，点关于的对称点，连接与的交点即为点，与的交点即为点， 的最小周长为，即为线段的长， 连接、，则， 又， 是等边三角形， ， 即的周长的最小值是． 故答案是：． 26．如图，已知：，点、、……在射线上，点、、……在射线上，、、……均为等边三角形，若，则的边长为 ． 【答案】16 【分析】根据题目条件∠MON=30° ，∠B1A1A2=60°，根据三角形外角的性质可得∠OB1A1=30°，等腰三角形的性质可得A1O=B1A1 =1，然后证得A2O=A1O +A1A2=2，按照此规律证得边长为16． 【详解】 ∵∠MON=30° ∠B1A1A2=60° ∴∠OB1A1=∠B1A1A2 -∠MON =30° ∴∠MON=∠OB1A1 ∴A1O=B1A1 =1 ∴A2O=A1O +A1A2=2 同理可得A2O= A2B2=2 以此类推 AO3= A3B3=4 A4O= A4B4=8 A5O= A5B5=16 ∴△A5B5A6的边长是16． 【点睛】本题考查三角形外角的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，熟记性质是解题的关键． 三、解答题 27．如图，在等边三角形中，是中线，延长至，使，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质； 根据等边三角形的性质求出，，然后根据三角形外角的性质和等边对等角求出，得到，再根据等角对等边得出结论． 【详解】证明：∵在等边三角形中，是中线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 28．如图，在等边三角形中，点D在边上，按逆时针方向旋转后得． (1)旋转中心是哪一点？ (2)旋转了多少度？ (3)如果M是边的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？ 【答案】(1)旋转中心是点； (2)旋转了； (3)的中点旋转到了的中点位置． 【分析】本题主要考查的是旋转变换后图形所具有的性质，等边三角形的性质，关键在于明确旋转中心，旋转角度和旋转位置． （1）观察图形，经旋转后到达的位置，可得出旋转中心； （2）观察图形，线段旋转后，对应边是就是旋转角，可得出旋转角； （3）因为旋转前后是对应边，故的中点，旋转后就是的中点了； 【详解】（1）解：∵经旋转后到达，它们的公共顶点为， ∴旋转中心是点； （2）解：线段旋转后，对应边是就是旋转角，也是等边三角形的内角，是， ∴旋转了； （3）解：旋转前后是对应边，故的中点，旋转后就是的中点了， ∴点转到了的中点. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$